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广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学文试题


2013--2014 学年度高三摸底考联考

文科数学试题
命题人:潮州金山中学 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3.答案一律写在答题区域内,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案

无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B = A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

2.设复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? A. 2 ? i 3.函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 1? x
B. (1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??) D. (??, ??)

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180
? ?

5. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? C. ?

A. 4 3

B. 2 3

D.

? ?

第4题 图 开始

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 A.123 B.38 C.11 D.3

a ?1
7. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4
2 2

a ? a2 ? 2

a ? 10?
相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长等于( A. 3 3 B. 2 3 C. ? ) D. ? 否 输出 a 结束 第6题 图



8.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线
30 6

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m

A.

B. 7

C.

30 或 7 6

5 D. 或7 6

9. 在下列条件下,可判断平面 α 与平面 β 平行的是 A. α 、β 都垂直于平面 γ B. α 内不共线的三个点到 β 的距离相等 C. l,m 是 α 内两条直线且 l∥β ,m∥β D. l,m 是异面直线,且 l∥α ,m∥α ,l∥β ,m∥β

? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 10.对任意两个非零的平面向量 ? , ? , 定义 ? ? ? ? ?? ?? . 若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 ,a 与 ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?n ? b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 b ? a ? ? 4? ?2 ?
A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D.

5 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14、15 题为选做题。 (必做题)

11.在等差数列{an}中,a1=-7, a7 ? ?4 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值为________.
12.曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________.

?x+2y≤4, ? 13.设 x,y 满足约束条件?x-y≤1, ?x+2≥0, ?

则目标函数 z=3x-y 的最大值为________.

(选做题)请在 14、15 题中选一题作答。
?x=2+cos θ, ? 14.若直线 y=x-b 与曲线? θ∈[0,2π)有两个不同的公共点,则实数 b 的取值范围 ? ?y=sin θ,

是________. 15.如图所示,平行四边形 ABCD 中,AE∶EB=1∶2,若△AEF 的面积等于 1 cm2,则△CDF 的面 积等于________cm2.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 过程和演算步骤.

明、证明

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (cos x, sin x) , b = (? cos x, cos x) , c = (?1,0) (1)若 x ?

?
6

,求向量 a 、 c 的夹角

(2)当 x ? [

? 9?

, ] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1 的最大值 2 8

17. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 CC1 ? 底面 ABC , ?ACB ? 90? , AB ? 2 , BC ? 1 ,

AA1 ? 3 .
(1)证明: AC ? 平面 AB1C1 ; 1 (2)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上是否存在一点 E ,

A

A1

C B

D B1

使 C1

DE / / 平面 AB1C1 ?证明你的结论.

19(本小题满分 14 分)

设等差数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若数列满足

b b1 b2 b3 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? n (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 a3 an 2

20(本小题满分 14 分) 抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与直线 y ? x ? 1 相切,A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 是抛物线上两个动
2

点, F 为抛物线的焦点, AB 的垂直平分线 l 与 x 轴交于点 C ,且 | AF | ? | BF |? 8 . (1)求 p 的值; (2)求点 C 的坐标; (3)求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

21(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x ? ax ? a ln x
2

(1) a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [1, a ] 上的最大值.

一、选择题

1—5 BDCBB 二、填空题 11. ?
105 2

6—10 CBCDA

12.y=2x+3

13. 5

14. (2- 2,2+ 2)

15. 9

三、解答题 16.解: (1)∵ a = (cos x, sin x) , c = (?1,0) ∴a ? 当x ?

?

? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 , c ? (?1) 2 ? 02 ? 1
时, a = (cos

……2 分

?
6

?

? 3 1 ,sin ) ? ( , ) 6 6 2 2
……4 分

? ? 3 1 3 a ?c ? ? (?1) ? ? 0 ? ? 2 2 2
? ? ? ? a ?c 3 cos a , c ? ? ? ?? ? a?c 2
∵ 0 ? a, c ? ? (2)

……5 分

? ?

∴ a, c ?

? ?

5? 6

……6 分 ……7 分

f ( x) ? 2a ? b ? 1 ? 2(? cos2 x ? sin x cos x) ? 1

? 2 sin x cos x ? (2 cos2 x ? 1)

? sin 2x ? cos 2x
? 2 sin(2 x ? ) 4

……9 分 ……10 分

?

∵ x ?[ ∴ 2x ?

? 9?

, ] 2 8

?
4

?[ ?

? 2 3? ] ,2? ] ,故 sin(2 x ? ) ? [?1, 4 2 4
3? ? ,即 x ? 时, f ( x) max ? 1 4 2

……11 分

∴当 2 x ?

?
4

……12 分

17.解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果: 1 2 1 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. ……4 分 (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1-2,2-1,2-3,3-2,3-4,

4-3,共 6 种. 故所求概率 P ?

……6 分

6 3 ? . 16 8 3 . 8
……8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1-2,2-1,2-4,3-3,4-2,共 5 种. ……10 分 故所求概率为 P ?

5 . 16 5 . 16
……12 分

答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为

解法二:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x, y ,用 ( x, y ) 表示抽取结果, 则所有可能有 ?1,1? ,?1, 2 ? ,?1, 3 ? ,?1, 4 ? ,? 2,1? ,? 2, 2 ? ,? 2, 3 ? ,? 2, 4 ? ,? 3,1? ,? 3, 2 ? ,? 3, 3 ? ,

? 3, 4 ? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4, 3? , ? 4, 4 ? ,共 16 种.

……4 分

(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ?1, 2 ? , ? 2,1? , ? 2, 3 ? ,? 3, 2 ? , ? 3, 4 ? ,

? 4, 3? ,共 6 种.
故所求概率 P ?

……6 分

6 3 ? . 16 8 3 . 8
……8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(2) 所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 ?1, 2 ? , ? 2,1? , ? 2, 4 ? , ? 3, 3 ? , ? 4, 2 ? , 共 5 种. 故所求概率为 P ? ……10 分

5 . 16 5 . 16
……12 分

答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为

18.证明: (1)∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? AC .
?

∵侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,∴ CC1 ? BC . ∵ AC ? CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 . ∵ A1C ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AC , 1 ∵ BC / / B1C1 ,则 B1C1 ? A1C . 在 Rt?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ AC ? 3 . ……4 分

∵ AA1 ? 3 ,∴四边形 ACC1 A1 为正方形. ∴ A1C ? AC1 . ∵ B1C1 ? AC1 ? C1 ,∴ AC ? 平面 AB1C1 . 1 (2)当点 E 为棱 AB 的中点时, DE / / 平面 AB1C1 . 证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE , ∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点, A ∴ EF / / AB1 . ∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 , ∴ EF / / 平面 AB1C1 . 同理可证 FD / / 平面 AB1C1 . ∵ EF ? FD ? F , ∴平面 EFD / / 平面 AB1C1 . ∵ DE ? 平面 EFD , ∴ DE / / 平面 AB1C1 . ……14 分 ……13 分 ……11 分 ……12 分 B E C F D B1 C1 A1 …6 分 ……7 分 ……9 分

19 解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,

1 ? ?S4 ? 4S2 ?4a1 ? ? 4 ? 3d ? 4(2a1 ? d ) 由? 得? 2 ? a2 n ? 2 an ? 1 ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ?
? 2a1 ? d ? ? a1 ? d ? 1 ? 0
解得 ?

……………2 分

?a1 ? 1 ?d ? 2

……………4 分

故通项 an ? 2n ? 1 (2)由已知

……………5 分

b b1 b2 b3 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? n (n ? N * ) a1 a2 a3 an 2



n ? 1 时,

b1 1 ? a1 2

……………6 分

n ? 2 时,

b b1 b2 b3 1 ? ? ? ? ? n ?1 ? 1 ? n ?1 (n ? N * ) ② a1 a2 a3 an ?1 2
对于 n ? 1 也成立

① ? ②得:

bn 1 1 1 ? 1 ? n ? (1 ? n ?1 ) ? n an 2 2 2



bn 1 ? n (n ? N * ) an 2

……………8 分

1 (n ? N * ) n 2 1 3 5 2n ? 1 ③ Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ④ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 n ?1 ③ ? ④得: Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 1 2n ? 1 ? ? 2 ? 4 2 ? n ?1 1 2 2 1? 2 3 4 2n ? 1 ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 3 2n ? 3 ? ? n ?1 2 2 2n ? 3 所以 Tn ? 3 ? 2n
所以 bn ? (2n ? 1) 20 解 (1)由 ?

……………9 分

……………10 分 ……………11 分

……………12 分

……………14 分

? y 2 ? 2 px ( p ? 0) ? y ? x ?1
2

得: y ? 2 py ? 2 p ? 0 ( p ? 0) 有两个相等实根 ………1 分
2

即 ? ? 4 p ? 8 p ? 4 p( p ? 2) ? 0 (2)抛物线 y ? 4 x 的准线 x ? ?1
2

得: p ? 2 为所求

………3 分

且 | AF | ? | BF |? 8 ,由定义得 x1 ? x2 ? 2 ? 8 ,则 x1 ? x2 ? 6 设 C (m, 0) ,由 C 在 AB 的垂直平分线上,从而 | AC |?| BC | 则 ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y2
2 2 2 2

………5 分 ………6 分

2 2 ( x1 ? m) ? ( x ? m2) ? ?12 ? 2 y y 2

( x1 ? x2 ? 2m)( x1 ? x2 ) ? ?4( x1 ? x2 )

………8 分

因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 2m ? ?4 又因为 x1 ? x2 ? 6 ,所以 m ? 5 ,则点 C 的坐标为 (5, 0) (3)设 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ,有 x0 ? ………10 分 ………11 分 ………12 分 …13 分

x1 ? x2 ?3 2

设直线 l 方程 y ? k ( x ? 5) 过点 M (3, y0 ) ,得 y0 ? ?2k 又因为点 M (3, y0 ) 在抛物线 y ? 4 x 的内部,则 y0 ? 12
2

2

得: 4k ? 12 ,则 k ? 3
2

2

又因为 x1 ? x2 ,则 k ? 0 故 k 的取值范围为 (? 3, 0) ? (0, 3) ………14 分

21 解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? ln x 的定义域为 (0, ??)
2

1 1 ? ( 22 ? x ? 1 )? (x2 ? 1 ) ( x x ? 1) x x 1 1 因为 x ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,则 0 ? x ? ; f ?( x) ? 0 ,则 x ? 2 2 1 1 故 f ( x) 的减区间为 (0, ) ,增区间为 ( , ??) 2 2
(2) a ? 1 时, f ( x) ? x ? ax ? a ln x 的定义域为 (0, ??)
2

1 f ?( x)? 2 x? 1? x

…………2 分 …………3 分 …………4 分

a 1 ? (2 x 2 ? ax ? a) x x g ( x) 2 设 g ( x) ? 2 x ? ax ? a ,则 f ?( x) ? x f ?( x) ? 2 x ? a ?

…………5 分

a ? 1 ,其根判别式 ? ? a 2 ? 8a ? 0 ,
设方程 g ( x) ? 0 的两个不等实根 x1 , x2 且 x1 ? x2 , …6 分

则 x1 ?

?a ? ? ?a ? ? , x2 ? 4 4

a ? 1 ,显然 x1 ? 0 ,且 x1 x2 ? ?

a ? 0 ,从而 x2 ? 0 2

…………7 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分

x ? (0, x2 ) , g ( x) ? 0, 则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减 x ? ( x2 , ??) , g ( x) ? 0, 则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增
故 f ( x) 在 [1, a ] 上的最大值为 f (1), f (a) 的较大者
2 2

设 h(a) ? f (a) ? f (1) ? (2a ? a ln a) ? (1 ? a) ? 2a ? a ln a ? a ? 1 ,其中 a ? 1

h?(a) ? 4a ? ln a ? 2

…………11 分

[h?(a)]? ? 4 ?

1 ? 0 ,则 a
…………12 分 …………13 分

h?(a) 在 (1, ??) 上是增函数,有 h?(a) ? h?(1) ? 4 ? 0 ? 2 ? 0

h(a ) 在 (1, ??) 上是增函数,有 h(a) ? h(1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,
即 f (a) ? f (1) 所以 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 [1, a ] 上的最大值为 f (a) ? 2a ? a ln a
2

………14 分


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