nbhkdz.com冰点文库

高考数学一轮总复习 第55讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 新课标


能充分利用几何性质判定直线与圆、 圆与圆的位置关系,能熟练地分析 求解与圆的切线和弦有关的综合问 题,提升运算和推理能力.

1.直线与圆的位置关系 设直线的方程为Ax ? By ? C ? 0( A2 ? B 2 ? 0), 圆的方程为? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r .
2 2 2

?1?圆心到直线

的距离d ? ① _________ ,
?相切② ? 圆与直线 ?相离③ ?相交④ ? (几何法).

? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 ? 判别式法:由方程组 ? ? x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ? 得关于x(或y )的一元二次方程,则判别式 ?? 0⑤ ? ? ?? 0⑥ ?? 0⑦ ? (代数法).

? 3? 直线与圆相离时,圆上各点到直线的距离
中的最大值和最小值的求法可用线心距法.

? 4 ? 直线与圆相交时,弦长的求法可利用弦心
距、半径及半弦长组成的直角三角形,运用 勾股定理求解.

2.圆的切线及圆的弦

?1? 过圆x

2

? y ? r 上一点P ( x0,y0 )的切线方程
2 2 2 2 2

为⑧ ___________ ;过圆x ? y ? r 外一点 P( x0,y0 )作圆的两条切线,则切点弦所在直 线的方程为⑨ ____________ . 2 ?圆的弦长l ? s 2 ? r 2 ⑩ _______(d 为弦心距); ? 圆的切线长l ? ( s为点到圆心的距离).

? 3? 公共弦所在直线的方程:
圆C1:x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0,
2 2

圆C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0.若两圆相交, 公共弦所在直线的方程为

? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? F1 ? F2 ? 0.

3.两个圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R、r(R≥r),圆心距|C1C2|=d,则 两圆的位置关系如下: (1)外切:?__________; (2)内切:?__________; (3)内含:d?______R-r; (4)外离:d?______R+r; (5)相交:R-r?____d?______R+r.

【要点指南】 | Aa ? Bb ? C | ① ;②d ? r;③d>r; A2 ? B 2 ④d<r;⑤相交;⑥相切;⑦相离; ⑧x0 x ? y0 y ? r ;⑨x0 x ? y0 y ? r ;
2 2

⑩2 r ? d ; d ? R ? r; d ? R ? r; <; >; <; <
2 2

1.直线 4x+3y=40 和圆 x2+y2=100 的位置关系是( A.相交 C.相切 B.相离 D.无法确定

)

40 【解析】 因为 d= 5 =8<10=r,所以直线与圆相交.

2.以点(2,-1)为圆心,且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为( ) A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9

|3×2-4×?-1?+5| 【解析】 r= =3,故选 C. 2 2 3 +?-4?

3.两圆 C1:x2+y2-6x+4y+12=0 与圆 C2: 2+y2-14x-2y+14=0 的位置关系是( x A.相交 C.外切 B.内含 D.内切 )

【解析】 由已知,圆 C1:(x-3)2+(y+2)2=1, 圆 C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则|C1C2|=5=6-1,故 选 D.

4.直线 x+2y=0 被圆 C:x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于 4 5 .

【解析】由已知,圆心 C(3,1),半径 r=5.又圆心 C 到 |3+2| 直线 l 的距离 d= = 5,则弦长=2 r2-d2=4 5. 5

5.过定点 A(1,2)可作两直线与圆 C:x2+y2 +kx+2y+k2-15=0 相切,则 k 的取值范围是 8 3 8 3 (- 3 ,-3)∪(2, 3 ) .

【解析】由已知可知定点 A 在圆 C 外,
?k2+4-4?k2-15?>0 则? , 2 2 ?1+2 +k+4+k -15>0

8 3 8 3 解得- 3 <k<-3 或 2<k< 3 .



直线与圆的位置关系

【例 1】已知圆 C:x2+y2=8 及定点 P(4,0),直线 l 过定点 P,斜率为 k,试问 k 在什么范围内取值时,该直线 l 与已知圆 C:(1)相切;(2)相交;(3)相离.

【解析】 由已知得直线 l 的方程为 y=k(x-4). 即 kx-y-4k=0.又圆心为(0,0),半径为 2 2. |k×0-0-4k| (1)若 l 与圆 C 相切,则 =2 2, 2 1+k 得 k=± 1.

|k×0-0-4k| (2)若 l 与圆 C 相交,则 <2 2, 2 1+k 得-1<k<1. |k×0-0-4k| (3)若 l 与圆 C 相离,则 >2 2, 2 1+k 得 k>1 或 k<-1.

【点评】直线与圆的位置关系的探究,既可利用几何 性质,又可运用方程思想,问题求解应视题设情境恰当选 用.

素材1

已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2,P 点的坐标为(2,-1),过 点 P 作圆 C 的切线,切点为 A、B. (1)求直线 PA、PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长; (3)求直线 AB 的方程.

【解析】(1)如图,设过 P 点的圆的切线方程为 y+1 =k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. 因为圆心(1,2)到切线的距离为 2, |-k-3| 即 2 = 2, 1+k 所以 k2-6k-7=0,解得 k=7 或 k=-1, 所以所求的切线方程为 7x-y-15=0 或 x+y-1=0.

(2)连接 PC,CA. 在 Rt△PCA 中,|PA|2=|PC|2-|CA|2=8, 所以过 P 点的圆 C 的切线长为 2 2.

?7x-y-15=0 12 9 (3)由? ,解得 A( 5 ,5). ?x-1?2+?y-2?2=2 ? ?x+y-1=0 又由? ,解得 B(0,1), 2 2 ??x-1? +?y-2? =2

所以直线 AB 的方程为 x-3y+3=0.



圆与圆的位置关系
【例 2】若动圆 C 与圆 C1:(x+2)2+y2=1 及圆

C2:(x-2)2+y2=4 分别相切,且一个内切,一个外切, 则动圆 C 的圆心的轨迹是( A.两个椭圆 B.一个椭圆及一个双曲线的一支 C.两个双曲线的各一支 D.一个双曲线的两支 )

【解析】 设动圆 C 的半径为 r, 依题意得|C1C|=r-1,|C2C|=r+2 或|C1C|=r+1, |C2C|=r-2, 所以|C2C|-|C1C|=3 或|C1C|-|C2C|=3, 故 C 点的轨迹为双曲线的两支,选 D.

【点评】 判断两圆的位置关系常用几何法,即用两 圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代 数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两 圆的方程作差消去 x2,y2 项得到.

素材2

若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则 线段 AB 的长度是 4 .

【解析】由题意知,O(0,0),O1(m,0),且 5<|m|<3 5. 因为两圆在点 A 处的切线互相垂直,所以 OA⊥O1A, 所以有 m2=( 5)2+(2 5)2=25?m=± 5, 5× 20 所以|AB|=2× =4. 5



圆的弦长、中点弦问题

【例 3】已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3, 求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

【解析】 (1)如图所示,AB=4 3,D 是线段 AB 的中 点,CD⊥AB,AD=2 3,AC=4,在 Rt△ACD 中,可得 CD=2.

当 l 的斜率存在时,设所求直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 由点 C 到直线 AB 的距离 =2, 2 k +1

3 得 k=4,此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. 所以所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.

(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → PD → 则 CD⊥PD,所以CD· =0, 所以(x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.

【点评】在研究弦长及弦中点问题时,可设弦 AB 两端点的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2).(1)若 OA⊥ OB(O 为原点),则可转化为 x1x2+y1y2=0,再结合根与 系数的关系等代数方法简化运算过程,这在解决垂直关 系问题中是常用的;

(2)若弦 AB 的中点为(x0,y0),圆的方程为 x2+y2=r2,则
?x2+y2=r2 y1-y2 x1+x2 x0 1 1 ? 2 =- =-y ,该法叫平 2 2 ,所以 k= x1-x2 y1+y2 0 ?x2+y2=r

方差法, 常用来解决与弦的中点、 直线的斜率有关的问题.

素材3

已知点 M(3,0),圆 C:x2+y2-2x-2y=0,直线 l 过点 M,在下列条件下,求直线 l 的方程. (1)直线 l 与圆 C 相切; (2)直线 l 被圆截得的弦长为 2.

【解析】设所求直线 l 的斜率为 k,显然 k 存在. 则 l 的方程为 kx-y-3k=0,圆的方程可化为 (x-1)2+(y-1)2=2.

(1)因为直线 l 与圆 C 相切, |-1-2k| 6 所以 2 2= 2,解得 k=-1± 2 . k +?-1? 6 6 故直线 l 的方程为(-1+ 2 )x-y-3(-1+ 2 )=0 或 6 6 (-1- 2 )x-y-3(-1- 2 )=0.

|-1-2k| 2 2 2 (2)由已知得( 2 ) +(2) =( 2)2, k +?-1?2 4 解得 k=0 或 k=-3. 故直线 l 的方程为 y=0 或 4x+3y-12=0.

备选例题

已知半圆 x2+y2=4(y≥0),动圆与此半圆相切,且与 x 轴相切. (1)求动圆圆心的轨迹; 1 (2)是否存在斜率为3的直线 l, 它与(1)中所得轨迹从左 至右顺次交于 A、B、C、D 四点,且满足|AD|=2|BC|?若 存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

【解析】(1)设动圆圆心 M(x,y),作 MN⊥x 轴于 N. ①若两圆外切, |MO|=|MN|+2, 所以 x2+y2=y+2, 化简得 x2+y2=y2+4y+4, 所以 x2=4(y+1)(y>0). ②若两圆内切, |MO|=2-|MN|, 所以 x2+y2=2-y, 化简得 x2+y2=y2-4y+4,所以 x2=-4(y-1)(y>0).

综上所述,动圆圆心轨迹方程是 x2=4(y+1)(y>0)及 x2=-4(y-1)(y>0),其轨迹为两条抛物线位于 x 轴上方的 部分.作简图如图所示.

1 (2)假设直线 l 存在, 可设 l 的方程为 y=3x+b, 依题意, 它与曲线 x2=4(y+1)交于点 A、D,与曲线 x2=-4(y-1) 交于点 B,C.
? 1 ?y= x+b 即由? 3 ?x2=4?y+1? ? ? 1 ?y= x+b ,与? 3 ?x2=-4?y-1? ?

.

得 3x2-4x-12b-12=0,① 3x2+4x+12b-12=0.② 又|AD|= |BC|= 12 1+?3? |xA-xD|, 12 1+?3? |xB-xC|.

因为|AD|=2|BC|,即|xA-xD|=2|xB-xC|, 4 2 4?12b+12? 4 2 4?12b-12? 即(3) + =4[(3) - ], 3 3 2 2 10 解得 b=3,把 b=3代入方程①得 xA=-2,xD= 3 . 因为曲线 x2=4(y+1)中横坐标的取值范围为(-∞,-2) ∪(2,+∞),所以这样的直线 l 不存在.

【点评】 解决与圆有关的综合问题时,一方面充分 利用圆与直线的直观图形以及平面几何知识来解决问题; 另一方面还要注意利用一元二次方程的有关结论(判别 式,韦达定理等)来解题.

1.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用 几何法,即利用圆心到直线的距离,两圆 心连线的长与半径和、差的关系判断求解. 2.求过圆外一点( x0,y0 )的圆的切线方程:

?1? 几何方法:设切线方程为y ? y0 ? k ? x ? x0 ?,
即kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0.由圆心到直线的距离等 于半径,可求得k,切线方程即可求出.

? 2 ? 代数方法:设切线方程为y ? y0 ? k ? x ? x0 ?,
即y ? kx ? kx0 ? y0,代入圆的方程,得一个关 于x的一元二次方程,由? ? 0,求得k,切线 方程即可求出. 以上两种方法只能求斜率存在的切线,斜率 不存在的切线,可结合图形求得.

3.求直线被圆截得的弦长.

?1? 几何方法:运用弦心距、半径及弦长的一半
构成的直角三角形,计算弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 .

? 2 ? 代数方法:运用韦达定理,弦长
AB ? [? x A ? xB ?2 ? 4 x A ? xB ]?1 ? k 2 ?. 4.注意利用圆的几何性质解题.如:圆心在 弦的垂直平分线上,切线垂直于过切点的半 径,切割定理等.在考查圆的相关问题时, 常结合这些性质一同考查,因此要注意灵活 运用圆的性质解题.


2013高考第一轮复习课件(8.3直线、圆与圆的位置关系)

2012大纲全国卷高考数学(... 2012年高考新课标理科数学... 2012年高考全国卷...2013高考第一轮复习课件(8.3直线圆与圆的位置关系) 隐藏>> 2013 年高考数学...

2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第56讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》 Word版含解析

2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第56讲《直线与圆圆与圆的位置关系》 Word版含解析_高考...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷...

【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 直线与圆的位置关系习题 选修--课件

【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 直线与圆的位置关系习题 选修--课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 几何证明选讲 第...

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查51 直线与圆、圆与圆的位置关系

《状元之路》2016届高考数学新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查51 直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十一) 直线与圆、...

2014届高考数学一轮复习讲解与练习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系理 新人教A版

2012大纲全国卷高考数学... 2012年高考新课标理科数...2014届高考数学()一轮... 暂无评价 38页 免费...第四节 直线与圆圆与圆的位置关系 [备考方向要...

高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 直线与圆的位置关系练习 理 选修--课件

高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 直线与圆的位置关系练习 理 选修--课件_数学_高中教育_教育专区。几何证明选讲 第 2 讲 直线与圆的位置关系练习 理 ...

2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分51 直线与圆、圆与圆的位置关系

2016届高考数学新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分51 直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置...

《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线与圆、圆与圆的位置关系

基础讲解直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中教育...高考数学一轮复习教学案+复习技法 3.直线 x-y+1...[自主解答] 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程,得...

2014高考数学新编:第14讲 直线 圆的位置关系

2012大纲全国卷高考数学(... 2012年高考新课标理科...1/2 相关文档推荐 2014高考数学第一轮复习精... ...直线与圆圆与圆的位置关... 7页 1财富值 直线...

更多相关标签