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2015名校联盟新高一开学分班考试数学试题


2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试

数 学 试 题
本试卷包括三个大题,共 6 页,满分 120 分,考试时量 90 分钟。 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. 已知圆柱的底面半径为 3cm,母线长为 5cm,则圆柱的侧面积是 A

.30cm2 B.30πcm2 C.15cm2 D.15πcm2 2. 一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的 5 个白球和若干个红球,在不允许 将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法,先将口 袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中, 不断重复上述过程,小亮共摸了 100 次,其中有 10 次摸到白球,因此小亮估计 口袋中的红球大约有________个 A、45 B、48 C、50 D、55 3. 已知矩形的面积为 36cm2,相邻的两条边长为 xcm 和 ycm ,则 y 与 x 之间的 函数图像大致是

A 4. 要使分式 A. 9

B 的值为 0,你认为 x 可取得数是 B.± 3 C.﹣3

C

D

D.3 在同一坐标系数中的大致 D.

5. 若 ab>0, 则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 图象是 A. B. C.

6. 如图,点 P(a,a)是反比例函数 y=

在第一象限内的图象上的一个点,以

点 P 为顶点作等边△ PAB,使 A、B 落在 x 轴上,则△ POA 的面积是

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A. 3

B.4

C.

D.

7. 在△ ABC 中,∠ BAC=90° ,AB=3,AC=4.AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,则 BD 的长为 A. B. C. D.

第 6 题图

第 7 题图

8. 如图 2,函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A(m,3),则不等式 2x<ax+4 的解 集为 3 3 A、 x ? B、 x ? 3 C、 x ? D、 x ? 3 2 2
y A O 图2
y
1

x
–1

O
图3

x
1

第 8 题图

第 9 题图

9. 如图 3 所示, 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像中,王刚 同学观察得出了下面四条 信息: (1)b2-4ac>0 (2)c>1 (3)2a-b<0 (4)a+b+c<0,其中错误的有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 10.已知点 A(0,0),B(0,4),C(3,t+4),D(3,t). 记 N(t)为□ABCD 内部(不含边界)整点的个数,其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点,则 N(t)所有可能的值为 A.6、7 B.7、8 C.6、7、8 D.6、8、9 题序 1 2 3 4 5
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6

7

8

9

10

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答案 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 已知 a ?1? | a ? b ? 1|? 0 ,则 ab =_________。 12. 如图,△ ABC 中,AB=AC,DE 垂直平分 AB,BE⊥ AC,AF⊥ BC,则 ∠ EFC=________° . 13. 如图,△ ABC≌ △ DEF,请根据图中提供的信息,写出 x=__________.
A

D E B F C

(第 12 题图)

第 15 题图

第 13 题图 14. 下面是按一定规律排列的一列数: , , ______________. 15. 如图,一个正比例函数图像与一次函数 y ? ? x ? 1 的图像相交于点 P,则这 个正比例函数的表达式是____________. , ,…那么第 n 个数是

三、解答题(每小题 12 分,共 60 分) 16. (1)计算: ? ?1?
2020

?? ?1? ? ? ? ? ? ? sin 98? ? ? ? 3 ? 2sin 60? 。 2? ? 2? ?
3 18 ? 2 ,其中 x ? 10 ? 3 。 x ?3 x ?9

?2

0

(2)先化简,再求值:

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17. 近年来,中学生的身体素质普遍下降,某校为了提高本校学生的身体素质, 落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于 1 小时”的文件精神, 对部分学 生的每天体育锻炼时间进行了调查统计.以下是本次调查结果的统计表和统计 图. 组别 A B C D E 时间 t(分钟) t<40 40≤t<60 60≤ t<80 80≤t<100 t≥100 人数 12 30 a 24 12 (1)求出本次被调查的学生数; (2)请求出统计表中 a 的值; (3)求各组人数的众数; (4)根据调查结果,请你估计该校 2400 名学生中每天体育锻炼时间不少于 1 小时的学生人数.

18. 如图,马路的两边 CF、DE 互相平行,线段 CD 为人行横道,马路两侧的 A、 B 两点分别表示车站和超市。CD 与 AB 所在直线互相平行,且都与马路两边垂 直,马路宽 20 米,A,B 相距 62 米,∠ A=67° ,∠ B=37° (1)求 CD 与 AB 之间的距离; ( 2 )某人从车站 A 出发,沿折线 A→D→C→B 去超市 B ,求他沿折线 A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走多少米 12 5 12 (参考数据: sin 67 ? ? , cos 67 ? ? , tan 67 ? ? , 13 13 5 3 4 3 sin 37? ? , sin 37? ? , tan 37? ? ) 5 5 4

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

19. 如图,⊙ O 的直径 AB=6,AD、BC 是⊙ O 的两条切线,AD=2,BC= . (1)求 OD、OC 的长; (2)求证:△ DOC∽ △ OBC; (3)求证:CD 是⊙ O 切线.

20. 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0) , (5,0) , (3,﹣4) . (1)求该二次函数的解析式; (2)当 y>﹣3,写出 x 的取值范围; (3)A、B 为直线 y=﹣2x﹣6 上两动点,且距离为 2,点 C 为二次函数图象上 的动点, 当点 C 运动到何处时△ ABC 的面积最小?求出此时点 C 的坐标及△ ABC 面积的最小值.

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

21. 如图10,已知抛物线经过A(-2,0) ,B(-3,3)及原点O,顶点为C (1)求抛物线的函数解析式。 (2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE 是平行四边形,求点D的坐标。 (3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥ x轴,垂足为M,是否存在 点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与 ?BOC 相似?若存在,求出点P的坐标, 若不存在,请说明理由。

y B

A C
图10

x O

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学参考答案
1.B 11. 1 2. A 3. A 4. D 5. A 6. D 7. A 15. y=-2x
?2

8. A

9. A

10.C

12. 45

13. 20 14.
?1? ?? ? ?2?

21?1? .解: ? ?1?

2020

?? ? ? ? sin 98? ? ? ? 2? ?

0

3 ? 2 sin 60?

16.

(1) ? 1? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 1 2 4 ? 1? 4 ? 1 ? 0 ?5
3 18 2( 1 2) .解: ? 2 x ?3 x ?9 3 18 ? ? x ? 3 ? x ? 3? ? x ? 3?

(2)

? ? ?

3 ? x ? 3? 18 ? ? x ? 3? ? x ? 3? ? x ? 3? ? x ? 3? 3 ? x ? 3? ? x ? 3? ? x ? 3? 3 x?3 10 ? 3时,原式 ? 3 ? 10 ? 3 ? 3 3 3 10 ? 10 10

当x ?

17 答: 解: (1)12÷ 10%=120(人) ; [来源: (2)a=120﹣12﹣30﹣24﹣12=42; 学科 (3)众数是 12 人; 网] (4)每天体育锻炼时间不少于 1 小时的学生人数是:2400× 18. 解析:

=1560(人) .

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

19: (1)解:∵ AD、BC 是⊙ O 的两条切线, ∴ ∠ OAD=∠ OBC=90° , 在 Rt△ AOD 与 Rt△ BOC 中,OA=OB=3,AD=2,BC= , 根据勾股定理得:OD= = ,OC= = ;

(2)证明:过 D 作 DE⊥ BC,可得出∠ DAB=∠ ABE=∠ BED=90° , ∴ 四边形 ABED 为矩形, ∴ BE=AD=2,DE=AB=6,EC=BC﹣BE= , 在 Rt△ EDC 中,根据勾股定理得:DC= ∵ = = = , = ,

∴ △ DOC∽ △ OBC; (3)证明:过 O 作 OF⊥ DC,交 DC 于点 F, ∵ △ DOC∽ △ OBC, ∴ ∠ BCO=∠ FCO, ∵ 在△ BCO 和△ FCO 中, , ∴ △ BCO≌ △ FCO(AAS) , ∴ OB=OF, 则 CD 是⊙ O 切线.

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

20: 解: (1)∵ 点(1,0) , (5,0) , (3,﹣4)在抛物线上,





解得



∴ 二次函数的解析式为:y=x2﹣6x+5. (2)在 y=x2﹣6x+5 中,令 y=﹣3,即 x2﹣6x+5=﹣3, 整理得:x2﹣6x+8=0,解得 x1=2,x2=4. 结合函数图象,可知当 y>﹣3 时,x 的取值范围是:x<2 或 x>4. (3)设直线 y=﹣2x﹣6 与 x 轴,y 轴分别交于点 M,点 N, 令 x=0,得 y=﹣6;令 y=0,得 x=﹣2. ∴ M(﹣3,0) ,N(0,﹣6) , ∴ OM=3,ON=6,由勾股定理得:MN=3 , ∴ tan∠ MNO= = ,sin∠ MNO= = .

设点 C 坐标为(x,y) ,则 y=x2﹣6x+5. 过点 C 作 CD⊥ y 轴于点 D,则 CD=x,OD=﹣y,DN=6+y. 过点 C 作直线 y=﹣2x﹣6 的垂线,垂足为 E,交 y 轴于点 F,

在 Rt△ CDF 中,DF=CD?tan∠ MNO= x,C F=

=

=

=

x.

∴ FN=DN﹣DF=6+y﹣ x. 在 Rt△ EFN 中,EF=FN?sin∠ MNO= ∴ CE=CF+EF= x+ (6+y﹣ x) , (6+y﹣ x) .

∵ C(x,y)在抛物线上,∴ y=x2﹣6x+5,代入上式整理 得:

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题 CE= (x2﹣4x+11)= (x﹣2)2+ , .

∴ 当 x=2 时,CE 有最小值,最小值为

当 x=2 时,y=x2﹣6x+5=﹣3,∴ C(2,﹣3) . △ ABC 的最小面积为: AB?CE= × 2× = . .

∴ 当 C 点坐标为(2,﹣3)时,△ ABC 的面积最小,面积的最小值 为

21. 解: (1)由 A(-2,0) ,B(-3,3) ,O(0,0)可得解析式:

y ? x2 ? 2x
(2)当 AO 为平行四边形的边时,DE∥ AO,DE=AO,由 A(-2, 0)知 DE=AO=2, 若 D 在对称轴直线 x=-1 左侧, 则 D 横坐标为-3,代入抛物线解析式得 D1(-3,3) 若 D 在对称轴直线 x=-1 右侧, 则 D 横坐标为 1,代入抛物线解析式得 D2(1,3) (3)存在,如图:

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2015 年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题 ∵ B(-3,3) ,C(-1,-1) , 2 根据勾股定理得:BO =18,CO2=2,BC2=20, ∴ BO2+CO2=BC2. ∴ △ BOC 是直角三角形且 设 P(m, m ? 2m )
2

BO ?3. CO

当 P 在 x 轴下方,则-2<m<0,

PM ? m 2 ? 2m ? 3 ,则 ? 3, 若 AM m?2
∴ m=-2(舍)或者 m=-3(舍 ) 若

PM ? m 2 ? 2m 1 ? 3 ,则 ? , AM m?2 3

∴ m=-2(舍)或者 m= ? ∴ P1( ?

1 , 3

1 5 , ? )[来源:Z&xx&k.Com] 3 9

当 P 在 x 轴上方,则 m<-2, 若

PM m 2 ? 2m ? 3 ,则 ? 3, AM ?m ? 2

∴ m=-2(舍)或者 m=-3, ∴ P2(-3,3) 若

PM 1 m 2 ? 2m 1 ? ,则 ? , AM 3 ?m ? 2 3

∴ m=-2(舍)或者 m= ?

1 (舍) 3 1 5 ,? ) ,P2(-3,3) 3 9

综上所述:符合条件的 P 有两个点:P1( ?

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