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§2.1.1合情推理 类比推理导学案 文


§2.1.1 合情推理---类比推理
一、学习目标: 知识与能力:通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它 用于对问题的发现中去. 过程与方法:类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比 的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就 越可靠. 情感态度与价值观: 1、正确认识合情推理在

数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发 现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识. 2、认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确 数学意识. 二、教学重点与难点: 重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理. 难点:用类比进行推理,做出猜想. 三、学习过程: (一)问题情境 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗? (二)数学活动 我们再看几个类似的推理实例.

例 1、向量基本定理的类比

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在平面向量中,如果两个向量 a, b 不共线,那么对平面内任意向量 p ,存在一个惟一的 有序实数组 x, y ,使 p ? xa ? yb . 猜想:在空间中,如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对平面内任意向量 p ,存在一个惟 一的有序实数组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc . 问:这样猜想出的结论是否一定正确?

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例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球

弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦

球的性质 球心与截面圆 ( 不是大圆 ) 的圆点的连线垂直 于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等 与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离 的两弦不等,距圆心较近的弦较长 不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较 大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂 球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂 直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其
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他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类事物之间的相似性或一致性; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想. 例 3.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边 的距离分别为 pa,pb,pc,我们可以得到结论:

pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

(三)巩固提高 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形

三个面两两垂直的四面体

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∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c

∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜面” S

3、 (2004,北京)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一 个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {a n } 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为______________,这个 数列的前 n 项和 S n 的计算公式为________________ (四)课堂小结 1、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质.类比的性质相 似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠. 2、 比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或者一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) 四、课后反思

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