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2.5平面向量应用举例


2.5平面向量应用举例

先相信你自己,然后别人才会相信你。

平面几何中的向量方法
向量概念和运算,都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算, 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景,平面几何的许多性质

,如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。

问题:平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图,你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?

2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗? D D 思考: D 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系? A A A 发现:
2 2 2 2

C C C

B B

B

DB ? AC ? 2( AB ? AD )

例1、证明平行四边形两对角线平方和等于两条邻边平方和的两倍 已知:平行四边形ABCD。 D 2 2 2 2 AC ? BD ? 2( AB ? AD ) 求证: 分析:因为平行四边形对边平行且相 如果不用向量的方法,你能 A 等,故设 其它线段对应向 AB ? a , AD ? b 证明上述结论吗?如果有,怎么 量用它们表示。 来解决呢?

C B

解:设 AB ? a, AD ? b ,则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b
AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2 a ? b ? 2 a ? b


2

2

2

2

?

2

2

? ?

2

2

?

? 2( AB 2 ? AD 2 )

AC 2 ? BD2 ? 2( AB2 ? AD2 )

例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和

作CE ? AB于E, DF ? AB于F , 则 : Rt?ADF ? Rt?BCE,? AD ? BC, AF ? BE.
由于AC ? AE ? CE ? ( AB ? BE ) ? CE
2 2 2 2 2

D

C B

? AB 2 ? 2 AB ? BE ? BE 2 ? CE 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BE ? BC 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BE ? AD 2

A

F

E

BD 2 ? BF 2 ? DF 2 ? ( AB ? AF ) 2 ? DF 2 ? AB 2 ? 2 AB ? AF ? AF 2 ? DF 2 ? AB 2 ? 2 AB ? AF ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BE ? AD 2

? AC 2 ? BD2 ? 2( AB2 ? AD2 )

你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗?

用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形

例2 如图,平行四边形ABCD中,点 E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你能发 现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?
猜想:
AR=RT=TC
A
E D R F T C

B

第一步:建立平面几何与向量的联系,用向量表示问 题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.

解:设 AB ? a, AD ? b , AR ? r , 则 AC ? a ? b
第二步:通过向量运算,研究几何元素之间的关系.

由于 AR 与AC 共线,故设r ? n(a ? b ), n ? R 1 又因为 ER与EB 共线所以设ER ? mEB ? m(a ? b )

因为 AR ? AE ? ER 因此 11 1 1 F D C r ? b ? m ( a ? b ) 所以 n(a ? b ) ? b ? m ( a ? b ) 2 2 因此 2 m ?1 2 即( n ? m )a 1 ? (n ? )1 b ? 0E R T 2? b 由于向量 b 不共线,要使上式为 0,必须 n (a ? b a )、 ? b ? m (a ) 2 2 ?n ? m ? 0 ? 1 A B 1 ? m ?1 解得:n= m = 所以 AR ? AC n ? ? 0 ? 3 3 ? 2

2

第一步:建立平面几何与向量的联系,用向量表示问 题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.

解:设 AB ? a, AD ? b , AR ? r , 则 AC ? a ? b
第二步:通过向量运算,研究几何元素之间的关系.

由于 AR 与AC 共线,故设r ? n(a ? b ), n ? R 1 又因为 ER与EB 共线所以设ER ? mEB ? m(a ? b ) 2 1 所以 AR ? AC 3 F D C 1 1 同理TC ? AC , 于是 RT ? AC 3 3 E R T 第三步:把运算结果
“翻译”成几何关系

故AT=RT=TC

A

B

例3 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提
一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动
,两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗? 分析:由向量的平行四边形法则,力的平衡及解 不妨设 F ? F 1 2 直角三角形等知识,得出: F

1 G G ? cos ? 2 ? F1 ? ? 2 F 1 2 cos 思考: 2 F1 1.当 ? 逐渐增大时,F1 的大小怎样变化?为什么? 由上面的式子,我们发现:当q由0 180 逐 2.当 ? 为何值时,F1 最小,最小值是多少? q q 渐变大时,由 0 F 90 ? 逐渐变大, cos 的值由 3.当 ? 为何值时, ? G 1 2 2 大逐渐变小,因此 F1 由小逐渐变大,即 F1

q

F2

G

F2 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力

例4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m 一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h
, 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时,所用时间是
C

多少(精确到0.1 min)? 分析:如图,已知v ? v1 ? v2,

B

D

v1 ? 10km / h, v2 ? 2km / h, v ? v2,求t.

v1
A

?

v

2

| v |? 解:

v ? v ? 96(km / h)
2 1 2 2

d 0.5 t如果水是静止的,则船只要取垂直于河岸的方向行驶, ? ? ? 60 ? 3.1min |v| 96 就能使行驶航程最短,考虑到水的流速,要使船行驶
最短航程,那么船的速度与水流速度的合速度必须垂直于 思考:要使船行驶的时间最短,船必须朝哪个方向开? 对岸,如图

步骤小结:
物理问题 (实际问题) 向量问题

(数学模型)

解释和验证相 关物理现象

数学问题 的解决

小结:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

练习、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量AC ? CB,即 AC ? CB ? 0 。

C

b

B

a

O

解:设 AO ? a, OC ? b 则 AC ? a ? b, CB ? a ? b ,
2 2

由此可得: AC ? CB ? (a ? b)(a ? b)
? a ?b ? a ? b ? r2 ? r2 ? 0
2 2

第一步:建立平面几何与 向量的联系,用向量表示 问题中的几何元素,将平 面几何问题转化为向量问 题. 第二步:通过向量运算,研 究几何元素之间的关系. 第三步:把运算结果 “翻译”成几何关系

即 AC ? CB ? 0 ∠ACB=90°




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