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2013届高考数学第一轮复习教案第6讲 函数与方程


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第6讲
一.课标要求:

函数与方程

1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的 个数,从而了解函数的零点与方程根的联系; 2.根据具体函数的图像,能够借助计算器用二

分法求相应方程 的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二.命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点,特别是 “二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。 从近几年高考的形 势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、 一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论, 并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 预计 2013 年高考对本讲的要求是:以二分法为重点、以二次函 数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 (1)题型可为选择、填空和解答; (2) 高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题, 同时考察函数方程的思想。
三.要点精讲

1.方程的根与函数的零点 (1)函数零点 概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。

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函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦 即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数 根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点。 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点: 1)△ >0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象 与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点; 2)△ =0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次 函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零 点; 3)△ <0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴 无交点,二次函数无零点。
[来源:学科网 ZXXK]

零点存在性定理:如果函数 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续 不断的一条曲线, 并且有 f (a) f (b) ? 0 , 那么函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内 有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤:
[来源:Z|xx|k.Com]

对于在区间 [ a , ] 上连续不断, 且满足 f (a) · (b) ? 0 的函数 y ? f (x) , f b 通过不断地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端 点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [ a , b] ,验证 f (a) · (b) ? 0 ,给定精度 ? ; f (2)求区间 (a , b) 的中点 x1 ;

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(3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a) · ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; f ③若 f ( x1 ) · (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; f (4)判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。 注:函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切, 则零点 x0 通常称为不变 号零点; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交, 则零点 x0 通常称为变号 零点。 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f (a) · (b) ? 0 表 f 明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2); y=a(x-x0)2+n。 (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0= 1 (p+q)。
2

若- 若

b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a p≤- b <x0,则 f(- b )=m,f(q)=M; 2a 2a

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若 x0≤- 若-

b <q,则 2a

f(p)=M,f(-

b )=m; 2a

b ≥q,则 2a

f(p)=M,f(q)=m。

(3)二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。 ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a· f(r)<0;
? ? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? r ? ?? b ? r, ? ? 2a ?a ? f ( r ) ? 0 ?

②二次方程 f(x)=0 的两根都大于

③二次方程 f(x)=0

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? p ? ? b ? q, 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ? ?a ? f ( q ) ? 0, ? ? ?a ? f ( p ) ? 0;

④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立。
四.典例解析

题型 1:方程的根与函数零点 例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( A . (0 , 1) D.(3,+∞) B . (1 , 2) ) C . (2 , 3)

(2) a 为常数, 设 试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个 数。 解析:
3

y
2 1

(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横坐标 x0 ,显然在 区间(1,3)内,由此可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

o

1

2 x0 3

x

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

由于画图精确性的限制,单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较
x0 与 2 的大小。当 x=2 时,lgx=lg2,3-x=1。由于 lg2<1,因此 x0 >2,

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从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C。
?x ? 1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ? (2)原方程等价于 ? ?a ? x ? 0 ?( x ? 1)(3 ? x ) ? a ? x ?
Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 X

y?a

即?

?a ? ? x 2 ? 5 x ? 3 ?1 ? x ? 3
2

x?5 2 Y(x)=-x^2+5x-3
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构造函数 y ? ? x ? 5x ? 3 (1 ? x ? 3) 和 y ? a ,作出它们的图像,易知 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得: ①当1 ? a ? 3 或 a ? 13 时,原方程有一解;
4

②当 3 ? a ? 13 时,原方程有两解;
4

③当 a ? 1或 a ? 13 时,原方程无解。
4

点评:图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。本题是通 过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间。数形结合, 要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x0 的 邻近两个函数值,通过比较其大小进行判断。 例 2 . 设 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 上 满 足 f ( 2 x )? f ( ? x ) ? 2 ,
f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。

(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) =0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个 数,并证明你的结论。 解析:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 y ? f (x) 的对称轴为
x ? 2和x ? 7 ,

从而知函数 y ? f (x) 不是奇函数,

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由?

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f (x) 的周期为 T ? 10

又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0 ,故函数 y ? f (x) 是非奇非偶函数; (II)由 ?
? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10)

(III) 又 f (3) ? f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 y ? f (x) 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f (x) 在[-2005,2005]上有 802 个解。 点评:解题过程注重了函数的数字特征“ f (1) ? f (3) ? 0 ”,即函数 的零点,也就是方程的根。 题型 2:零点存在性定理 例 3.设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? m) ,其中常数 m 为整数。 (1)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 ; (2)定理:若函数 g ( x) 在 [a, b] 上连续,且 g (a) 与 g (b) 异号,则至 少存在一点 x0 ? (a, b) ,使得 g ( x0 ) ? 0 试用上述定理证明: 当整数 m ? 1时, 方程 f ( x) ? 0 在 ?e? m ? m, e 2 m ? m ? ? ? 内有两个实根。 解析: (1)函数 f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续,且
f ' ( x) ? 1 ? 1 , 令f ' ( x) ? 0, 得x ? 1 ? m x?m

当 x∈(-m,1-m)时,f ’(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)

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当 x∈(1-m, +∞)时,f ’(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m 为极小值,而且 对 x∈(-m, +∞)都有 f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数 m≤1 时,f(x) ≥1-m≥0 (2)证明:由(I)知,当整数 m>1 时,f(1-m)=1-m<0, 函数 f(x)=x-ln(x+m),在 [e ? m ? m,1 ? m] 上为连续减函数.
f (e ? m ? m) ? e ? m ? m ? ln(e ? m ? m ? m) ? e ? m ? 0 当整数m ? 1时, f (e ? m ? m)与f (1 ? m)异号,

由所给定理知,存在唯一的 x1 ? (e ? m ? m,1 ? m), 使f ( x1 ) ? 0 而当整数 m>1 时,
2m(2m ? 1) ? 3m ? 0 2 (? m ? 1 ? 2m ? 1 ? 1, 上述不等式也可用数学归纳法证明) f (e 2 m ? m) ? e 2 m ? 3m ? (1 ? 1) 2 m ? 3m ? 1 ? 2m ?

类似地,当整数 m>1 时,函数 f(x)=x-ln(x+m),在 [1 ? m, e ? m ? m] 上为连 续增函数且 f(1-m)与 f (e 2m ? m) 异号,由 所给定理知,存在唯一的
x2 ? [1 ? m, e ? m ? m, ], 使f ( x2 ) ? 0

故当 m>1 时,方程 f(x)=0 在 [e ? m ? m, e 2m ? m] 内有两个实根。 点评:本题以信息给 予的形式考察零点的存在性定理。解决 该 题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。 例 4.若函数 y ? f (x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则 下列说法正确的是( )
[来源:Zxxk.Com]

A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;

B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;

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D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 解析:由零点存在性定理可知选项 D 不正确;对于选项 B,可通 过反例“ f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 1) 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在 三个解 {?1,0,1} ”推翻; 同时选项 A 可通过反例“ f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1) 在区间
[?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在两个解 {?1,1} ”;选项 D 正确,见

实例“ f ( x) ? x 2 ? 1 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其不存在实数 解”。 点评:该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型 3:二分法的概念 例 5.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是( )

A.“二分法”求方程的近似解一定可将 y ? f (x) 在[a,b]内的所有零 点得到; B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y ? f (x) 在[a,b]内的零 点; C.应用“二分法”求方程的近似解, y ? f (x) 在[ a,b]内有可能无零 点; D.“二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x) ? 0 在[a,b]内的精确 解; 解析:如果函数在某区间满足二分法题设,且在区间内存在两个 及以上的实根, 二分 法只可能求出其中的一个, 只要限定了近似解的 范围就可以得到函数的近似解,二分法的实施满足零点存在性定理, 在区间内一定存在零点,甚至有可能得到函数的精确零点。

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点评:该题深入解析了二分法的思想方法。 例 6.方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内的近似解,用“二分法”计算 到 x10 ? 0.445 达到精确度要求。那么所取误差限 ? 是( ) A.0.05 B.0.005 C.0.0005 D.0.00005

解析:由四舍五入的原则知道,当 x10 ? [0.4445 ,0.4455 ) 时,精度达 到 x10 ? 0.445 。此时差限 ? 是 0.0005,选项为 C。 点评:该题考察了差限的定义,以及它对精度的影响。 题型 4:应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例 7.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 x 在区间(1,2) 内的近似解(精确到 0.1) 。 解析:原方程即 ln(2 x ? 6) ? 3 x ? 2 ? 0 。令 f ( x) ? ln(2 x ? 6) ? 3 x ? 2 , 用计算器做出如下对应值表 x f(x) -2 2.5820 -1 3.0530 0 27918 1 1.0794 2 -4.6974

观察上表,可知零点在(1,2)内 取区间中点 x1 =1.5,且 f (1.5) ? ?1.00 ,从而,可知零点在(1,1.5)内; 再取区间中点 x 2 =1.25,且 f (1.25) ? 0.20 ,从而,可知零点在(1.25, 1.5)内; 同理取区间中点 x 3 =1.375,且 f (1.375 ) ? 0 ,从而,可知零点在(1.25, 1.375)内; 由于区间(1.25,1.375)内任一值精确到 0.1 后都是 1.3。故结 果是 1.3。
[来源:学科网]

点评:该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程,通过本题

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学会借助精度终止二分法的过程。 例 8. 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解 (精 确到 0.1 ) 。 分析:本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和 解的个数外,你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数? 略解:图象在闭区间 [ a , b] 上连续的单调函数 f (x) ,在 (a , b) 上 至多有一个零点。 点评:①第一步确定零点所在的大致区间 (a , b) ,可利用函数性 质,也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数的区 间,尽量缩 短区间长度,通常可确定一个长度为 1 的区间; ②建议列表样式如下: 零点所在 中点函数值 区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5]
f (1.5) >0 f (1.25) <0
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

区间长 度 1 0.5
[ 来源:学。科。网 Z。X。X。K]

f (1.375) <0

0.25

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计 算的最后一步。 题型 5:一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例 9. 设二次函数 f ? x? ? ax 2 ? bx ? c? a ? 0? ,方程 f ? x? ? x ? 0 的两个 根 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? . 当 x ? ?0, x1 ? 时,证明 x ? f ? x ? ? x1 。
1 a

证明:由题意可知

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,

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? 0 ? x ? x1 ? x2 ?

1 , a

∴ a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 , ∴ 当 x ? ?0, x1 ? 时, f ( x) ? x 。

又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )(ax ? ax2 ? 1) ,
x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0,



f ( x) ? x1 ,

综上可知,所给问题获证。 点评:在已知方程 f ? x? ? x ? 0 两根的情况下,根据函数与方程根 的关系, 可以写出函数 f ?x ? ? x 的表达式, 从而得到函数 f (x) 的表达式。 例 10 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) , 设 方 程
f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和 x 2 .

(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f (x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证:
x0 ? ?1 ;

(2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 解析: g ( x) ? f ( x) ? x ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 1 , g ( x) ? 0 的二根为 x1 设 则 和 x2 。 (1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得
[来源:学*科*网]

? g (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ,即 ? , ? ?16 a ? 4b ? 3 ? 0 ? g (4) ? 0

b 3 ? ?3 ? 3 ? 2a ? 4a ? 0, 即? ? ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a ?

两式相加得

b ? 1 ,所以, x0 ? ?1 ; 2a

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(2)由 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( 又 x1 x2 ?

b ?1 2 4 ) ? , 可得 a a

2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 。

1 ? 0 ,所以 x1 , x 2 同号。 a ?0 ? x1 ? 2 ? x2 ∴ x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 等价于 ? ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?

或? ?

? x2 ? ?2 ? x1 ? 0 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?

,



? g (2) ? 0 ? g (?2) ? 0 ? ? ? 或 ? g (0) ? 0 g (0) ? 0 ? ? ? ? 2 ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? ?

解之得

b?

1 7 或b ? 。 4 4

点评:条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4 实际上给出了 f ( x) ? x 的两个实数根所在 的区间,因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。 题型 6:一元二次函数与一元二次不等式 例 11.设 f ? x? ? ax 2 ? bx ? c? a ? 0? ,若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试证明:对于任意 ? 1 ? x ? 1,有 f ? x? ? 。 解析:∵ f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c , ∴ a ? ( f ?1? ? f ?? 1? ? 2 f ?0?), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f ?0? ,
1 2 1 2 5 4

∴ f ?x ? ? f ?1?? ?

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ? f ?? 1?? ? 2 ? ? f ?0 ? 1 ? x . ? 2 ? ? ? ? ?

?

?

∴ 当 ? 1 ? x ? 0 时,

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x2 ? x x2 ? x f ? x ? ? f ?1? ? ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2 ? x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ?? ? 2 ? ? ? 2 ? ? (1 ? x ) ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?x ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4

当 0 ? x ? ?1时,
f ? x ? ? f ?1? ? x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2

?

x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2

? x2 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? (1 ? x 2 ) ?? ? 2 ??? ? ? ? 2 ? ? ? ?

? ?x2 ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4

综上,问题获证。 点评:本题中,所给条件并不足以确定参数 a, b 的值,但应该注 意到:所要求的结论不是确定值,而是与条件相对应的“取值范围”, 因此,我们可以用 f ?0?, f ?1?, f ?? 1? 来表示 a, b, c 。 例 12 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , 当 ? 1 ? x ? 1 时 , 有
? 1 ? f ( x) ? 1,求证:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x) ? 7

解析:由题意知: f (?1) ? a ? b ? c, f (0) ? c, f (1) ? a ? b ? c , ∴ a ? ( f (1) ? f (?1) ? 2 f (0)), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f (0) ,
1 2 1 2

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∴ f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? f (1)? ?

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ? f (?1)? ? 2 ? ? f ( 0) 1 ? x 。 ? 2 ? ? ? ? ?

?

?

由 ? 1 ? x ? 1时, ? 1 ? f ( x) ? 1, 有 可得 f (1) ? 1, ∴

f ?? 1? ? 1 , f ?0 ? ? 1 。

f (2) ? 3 f ?1? ? f ?? 1? ? 3 f ?0? ? 3 f ?1? ? f (?1) ? 3 f (0) ? 7 , f (?2) ? f ?1? ? 3 f ?? 1? ? 3 f ?0? ? f ?1? ? 3 f (?1) ? 3 f (0) ? 7 。

(1)若 ?

b ? ?? 2,2?,则 f ? x ? 在 ?? 2,2?上单调,故当 x ? ?? 2,2? 时, 2a
f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) )
[来源:Z。xx。k.Com]



此时问题获证.
b ? ?? 2,2?,则当 x ? ?? 2,2? 时, 2a
? b ? f ( x) max ? max( f (?2) , f (2) , f ? ? ? ) ? 2a ?

(2)若 ?


b2 b b b f (1) ? f (?1) 1?1 ? b ? f ?? ?c? ? ? f ?0? ? ? ? 1? 2? ? 2?7, ? ? c? 4a 2a 2 2a 4 4 ? 2a ?



此时问题获证。

综上可知:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x) ? 7 。 点评:研究 f (x) 的性质,最好能够得出其解析式,从这个意义上 说,应该尽量用已知条件来表达参数 a, b, c . 确定三个参数,只需三个 独立条件,本题可以考虑 f (1) , f (?1) , f (0) ,这样做的好处有两个: 一是 a, b, c 的表达较为简洁,二是由于 ? 1和0 正好是所给条件的区间端 点和中点, 这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目 的。 要考虑 f ? x ? 在区间 ?? 7,7? 上函数值的取值范围,只需考虑其最大

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值,也即考虑 f ? x ? 在区间端点和顶点处的函数值。 题型 7:二次函数的图像与性质 例 13.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=( )
x

b a

的图象只可能是(



[来

源:学|科|网 Z|X|X|K]

解析一:由指数函数图象可以看出 0< <1.抛物线方程是 y=a
b2 b2 b b b 2 (x+ ) - 2 ,其顶点坐标为(- ,- ) ,又由 0< <1,可 4a 4a 2a 2a a

b a

得- <-

1 2

b <0.观察选择支,可选 A。 2a

解析二:求 y=ax2+bx 与 x 轴的交点,令 ax2+bx=0,解得 x=0 或 x=- ,而-1<- <0.故选 A。 点评:本题虽小,但一定要细致观察图象,注意细微之处,获得 解题灵感。
例 14.设 a∈R,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x) 的奇偶性 (2)求 f(x)的最小值. 解:(1)显然 a=0 时,f(x)为偶函数,当 a≠0 时,f(a)=a2+1, f(-a)=a2+2|a|+1 f(a)≠f(-a), f(a)+f(-a)≠0 ∴ 此时 f(x)为非奇非偶函数.

b a

b a

(2)首先应先去掉绝对值,再进 行讨论. ①当 x≤a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 . 4

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若a ? ∴

1 ,则 f(x)在区间(-∞,a]上单调递减, 2

f(x)的最小值为 f(a)=a2+1.(如图(I))

若a ?

1 1 3 ,则 f(x)在区间(-∞,a]上的最小值为 f ( ) ? ? a (如图 II). 2 2 4

②当 x≥a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 , 4

若a ? ? 若a ? ?

1 1 3 ,则 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f (? ) ? ? a (如图 III)。 2 2 4 1 ,则 f(x)在[a,+∞]上单调递增。 2

则 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(a)=a2+1.(如图 IV)。 综上,当 a ? ? 当?

1 3 时,f(x)最小值为 ? a 。 2 4

1 1 ? a ? 时,f(x)最小值为 a2+1。 2 2 1 2 3 4

当 a ? 时,f(x)最小值为 a ? 。 点评:该题考察到函数的图像与性质的综合应用,考察了分类讨 论的思想。 题型 8:二次函数的综 合问题 例 15. 已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图象关于原点对称, f ? x ? ? x 且 (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范
2

? 2x 。

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围。 解析: (Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x , y ? 关于原点的对
0 0

? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, 称点为 P ? x, y ? ,则 ? 2 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?

∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x 2 ? 2 x,即y ? ? x 2 ? 2 x, 故g ? x ? ? ? x 2 ? 2 x (Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 , 可得2 x 2 ? x ? 1 ? 0 当 x ? 1时, 2 x2 ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解。 当 x ? 1时, 2 x2 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 。
1 因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? 。 ? ? ? 2?

1 2

(Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1 ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4 x ? 1在??1,1?上是增函数,
2

?

? ? ?1
1? ?

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ? 1 ? ? . ⅰ) 当? ? ?1时,1 ? ? ? ?1, 解得? ? ?1.
1? ? ⅱ) 当? ? ?1时,1 ? ? ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ? 综上,? ? 0.

点评:本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不 等式的应用等基础知识, 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能 力。 例 16.已知函数 f ( x) ? 2 z ?
a 。 2x

(1)将 y ? f (x) 的图象向右平移两个单位,得到函数 y ? g (x) ,求 函数 y ? g (x) 的解析式; (2)函数 y ? h(x) 与函数 y ? g (x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函 数 y ? h(x) 的解析式; (3)设 F ( x) ?
1 f ( x) ? h( x) ,已知 F (x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 , a

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求实数 a 的取值范围。 解析:(1) g ?x ? ? f ?x ? 2? ? 2 x?2 ?
a 2 x ?2 ;

(2)设 y ? h?x ? 的图像上一点 P?x, y ? ,点 P?x, y ? 关于 y ? 1 的对称点为
Q?x,2 ? y ? ,由点 Q 在 y ? g ?x ? 的图像上,所以

2 x ?2 ?

a 2 x ?2

? 2? y, , 2 x?2 a ? x ?2 ; 2 a

于是 即

y ? 2 ? 2 x?2 ? h?x ? ? 2 ? 2 x ?2

(3) F ( x) ?

1 (4a ? 1) ?1 1? f ( x ) ? h( x ) ? ? ? ? 2 x ? ? 2。 a 2x ?a 4?
[来源:学科网 ZXXK]

4?a 4a ? 1 t? ? 2。 4a t 4?a 4a ? 1 问题转化为: t? ? 2 ? 2 ? 7 对 t ? 0 恒成立. 即 4a t 4?a 2 (*) t ? 7t ? ?4a ? 1? ? 0 对 t ? 0 恒成立. 4a 4?a 4?a 故必有 ?0 .(否则,若 ?0 ,则关于 t 的二次函数 4a 4a 4?a 2 u (t ) ? t ? 7t ? ?4a ? 1? 开口向下,当 t 充分大时,必有 u ?t ? ? 0 ;而当 4a 4?a , ? 0 时,显然不能保证(*)成立.) 此时,由于二次函数 4a

设 t ? 2 x ,则 F ( x) ?

u (t ) ?

7 4?a 2 ? 0 , 所 以, 问 题 等 价于 t ? 7t ? ?4a ? 1? 的 对 称 轴 t ? 4?a 4a 8a

?4 ? a ? 4a ? 0 ? ? t ? 0 ,即 ? , ?7 ? 4 ? 4 ? a ? ?4a ? 1? ? 0 ? 4a ?

解之得: ? a ? 2 。 此时,
4?a 4?a 4a ? 1 ? 0,4a ? 1 ? 0 ,故 F ( x) ? t? ? 2在 t ? 4a 4a t
4a(4a ? 1) 4?a

1 2

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取得最小值 m ? 2

4?a ? ?4a ? 1? ? 2 满足条件。 4a
2

b 4ac ? b 2 , 对称轴、最 点评:紧扣二次函数的顶点式 y ? a? x ? ? ? ? ? 2a ? 4a ?

值、判别式显合力。
五. 思维总结

1.函数零点的求法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点。

2.学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图 像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、 论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实 现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、 零点式等) ,所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式, 通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质。 (1)二次函数的一般式 y ? ax2 ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数。 (2)数形结合:二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0? 的图像为抛物 线,具有许多优美的性质,如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些 图像特征解决有关二次函数的问题,可以化难为易,形象直观。因为 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0? 在区间 (??,?
b b ] 和区间 [? ,??) 上分 2a 2a

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别单调,所以函数 f ?x ? 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或 顶点处取得; 函数 f (x) 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取 得。

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