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1977年普通高等学校招生考试(黑龙江+天津+江苏+河北)数学试题及答案


1977 年普通高等学校招生考试数学(黑龙江省)试题及答案
1.解答下列各题: (1)解方程 3x ? 4 ? 4. 解:方程两边平方得 x 2 ? 3x ? 4 ? 0, x=4,x=-1(增根) 故 x=4 是原方程的根
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(2)解不等式|x|<5. 解:-5<x<5. (3)已知正三角形

的外接圆半径为 6 3 cm,求它的边长 解:设正三角形的边长为 a ,则
1 3 a ? R cos30? ? 6 3 ? ? 9(cm) ? a ? 18(cm). 2 2
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2.计算下列各题: (1) m2 ? 2ma ? a 2 . 解:当 m ? a时, m 2 ? 2ma ? a 2 ? m ? a. 当 m ? a时, m 2 ? 2ma ? a 2 ? a ? m. (2) cos 78? ? cos 3? ? cos 12? ? sin 3? (不查表求值) 解:原式= sin 12? ? cos3? ? cos12? ? sin 3? ? sin 15? ? sin(45? ? 30?)
? sin 45? cos30? ? cos 45? sin 30? ? 2 ( 3 ? 1) . 4
? ) 6

(3) arcsin(cos 解:原式= arcsin

3 ? ? . 2 3

3.解下列各题:
x

(1)解方程 3 x?1 ? 9 2 ? 18. 解: 3 x?1 ? 3 x ? 18
3 x (3 ? 1) ? 18, 3 x ? 9 ? 32 , ? x ? 2.

(2)求数列 2,4,8,16,??前十项的和

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解:由题设可知,此等比数列的首项 a1 ? 2 公比 q ? 2
? S10 ? a1 (q10 ? 1) 2 ? (210 ? 1) ? ? 2046 . q ?1 2 ?1

4.解下列各题: (1)圆锥的高为 6cm,母线和底面半径成 300 角,求它的侧面积
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解:由题设条件可知,圆锥底面半径 R= 6ctg30? ? 6 3, 圆锥母线 l ?
6 ? 12, sin 30?

∴侧面积 S ? ?Rl ? 72 3?(cm2 ) (2)求过点(1,4)且与直线 2 x ? 5 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程 解:因为直线 2 x ? 5 y ? 3 ? 0 的斜率为 ,所以所求直线的斜率为 ? 求直线的方程为 5x ? 2 y ? 13 ? 0
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2 5

5 所 2
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5.如果△ABC 的∠A 的平分线交 BC 于 D,交它的外接圆于 E,那么 AB·AC=AD·AE
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证:连结 BE(如图)
C

∵∠CAE=∠EAB,∠ACB=∠AEB, ∴△ACD∽△AEB,
AC AD ? . ∴ AE AB
A D

E

B

∴AB·AC=AD·AE

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6.前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召,1975年造林 200亩,又知1975年至1977年这三年内共造林728亩,求后两年造林面 积的年平均增长率是多少? 解:设后两年造林面积的年平均增长率为 x,依照题意可得 200+200(1+x)+200(1+x)2=728, 200(1+x)2+200(1+x)-528=0, (1+x)2+(1+x)-2.64=0, [(1+x)-1.2][(1+x)+2.2]=0, 1+x=1.2,x=0.2=20% 1+x=-2.2,x=-3.2(不合题意,舍去) 故后两年造林面积的年平均增长率为 20% 7.解方程 lg(2 x ? 2x ? 16) ? x(1 ? lg 5). 解: lg(2 x ? 2x ? 16) ? x(1 ? lg 5) ? x lg 2 ? lg 2 x ,
? 2 x ? 2 x ? 16 ? 2 x , ? 2 x ? 16, ? x ? 8.
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8.已知三角形的三边成等差数列,周长为 36cm,面积为 54cm2,求 三边的长
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解:设三角形三边的长分别为 a ? d , a, a ? d , 则依题意有
? (a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 36 ???????(1) ? ? 18(18 ? a ? d )(18 ? a)(18 ? a ? d ) ? 54??(2)

由(1)得 a ? 12(cm). 代入(2)得 18(6 ? d ) ? 6 ? (6 ? d ) ? 54,
36 ? d 2 ? 27, d 2 ? 9, d ? ?3.

故此三角形的三边长分别为 9cm,12cm,15cm. 9. (参考题)如图,AP 表示发动机的连杆,OA 表示它的曲柄 当 A 在
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圆上作圆周运动时,P 在 x 轴上作直线运动,求 P 点的横坐标 为什么
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当 ? 是直角时, ? P 是最大? 解:过 A 作 AB⊥OP 设 x 为点 P 的横坐标,则 x=OP=OB+BP=
R cos? ? l 2 ? R 2 ? sin 2 ?
A R α O B

l
P X

因为∠P 随连杆位置的变化而改变, 但连杆上下摆动的幅度是一样的, 所以∠P 的最大值是一样的
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故可以考虑 0 ? ? ? ? 内∠P 变化的情况,由正弦定理得
sin ?P ? R ? sin ? l

在 0 ? ? ? ? 内,当 ? ?

? 时, sin ? 的值最大,因而 sin ?P 的值也最大∵ 2
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OA<AP,∴∠P< ? ,即∠P 总是锐角
? 2

在 0 ? ?P ? 内, sin ?P 是单调上升的,所以 ? ?

? 时,∠P 最大 2

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10. (加试题)求曲线 y ? sin x 在 [0, ?] 上的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所

形成的旋转体的体积

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解:设旋转体的体积为 V,则
v ? ? ? sin 2 xdx ? ??
0 ? ? 0 ? 1 ? cos 2 x ? dx ? ?? ? ? cos 2 xdx? ? 0 ? ? 2 2?

? ?2 ? ? ? 2? cos xd (2 x) 2 2 0 ? ?2 ?2 ? ? ? ? sin 2 x ? . 0 2 2

?

1977 年普通高等学校招生考试数学(天津市)试题及答案
1. (1)在什么条件下, 义? 解: ①x 和 y 同号; ②x 和 y 异号; ③y=0,x≠0; ④x=0. (2)比较下列各组数的大小,并说明理由 ① cos31?与cos30? ; ② log 2 1与 log 2 . 解: ①因为 cosx 在 [0, ] 是递减函数,所以 cos 31? ? cos 30? ② log 2 1 ? 0 ? log 2 (3)求值: ① tg (5 arcsin
0
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y ①是正数;②是负数;③等于零;④没有意 2x

1 4

? 2

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1 ? ?2. 4

3 ); 2
1 2

② (?2) ? (0.01) . 解: ①原式= ? 3 . ②原式=
1 . 10 5 8

(4)计算 lg12.5 ? lg ? lg sin 30?. 解:原式= lg
100 10 1 ? lg ? lg ? 1 8 16 2 4x 2 1 ? ? 1? . (5)解方程 2 x?2 x ?4 x?2

解:略 x=1. 2. (1)某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场(如图) ,现有

50 米长的铁丝网,如果用它来围成这个储料场,那么长和宽各是多 少时,这个储料场的面积最大?并求出这个最大的面积 解:设矩形储料场的长为 x 宽为 y
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则因其一面靠墙,所以应有 2x+y=50,即 y=50-2x,

仓库 储料场 x

y

设储料场的面积为 S, 则 S=xy=x(50-2x) =-2x2+50x =-2(x-12.5)2+312.5 ∴当 x=12.5 时,储料场的面积最大 S=312.5 米 2 此时 y=25 米
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(2) 如图, 已知 AB、 是圆 O 的直径, 是弦, DE AC AC∥DE, 求证 CE=EB 证:∵AC∥DE,∴∠1=∠2
⌒ ⌒ ⌒
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E C B 1

⌒ ⌒

1 EB= EB,CB=2EB 2
⌒ ⌒



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⌒ O 2 A D

但 CB=CE+EB,∴2EB=CE+EB, ⌒ ⌒ CE=EB,CE=EB
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(3)如图所示的棱长为 a 的正方体 中, ①求 CD1 和 AB 所成的角的度数; ②求∠B1BD1 的正弦值
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解: ①CD1 和 AB 所成的角等于∠D1CD, 所以为 450
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D1 A1

C1 B1

②∵D1B1= 2 a,D1B= 3 a, ∴ sin ?B1 BD1 ?
D1 B1 6 ? . D1 B 3
A D C B

3.如果已知 bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠

0)有两个相等的实数根,求证 a,b,c 成等差数列

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证:∵已知 bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠0)有两个相等的实数根, ∴(-4b)2-4b·2(a+c)=0,但∵b≠0, ∴2b-a-c=0,即 b-a=c-b.故 a,b,c 成等差数列
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4.1) ( 如图, 为求河对岸某建筑物的高 AB, 在地面上引一条基线 CD= a , 测得∠ACB=α ,∠BCD=β ,∠BDC=γ ,求 AB 解:由正弦定理得
BC CD ? , sin ? sin(180? ? ? ? ?) a sin ? BC ? , sin(? ? ?) a ? sin ? ? tg? ? AB ? BC ? tg? ? . sin(? ? ?)
A
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D B γ

(2)如果α =300,β =750,γ

α β C
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=450,a=33 米,求建筑物 AB 的高(保留一位小数) 解: AB ?
33 ? sin 45? ? tg 30? ? 11 2 ? 15.6(米). sin 120 ?
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5. (1)求直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点坐标 解:略(-1,-1)

(2)求通过上述交点,并同直线 x+3y+4=0 垂直的直线方程

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解:所求直线的斜率为 3

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所求直线方程为 y+1=3(x+1),即 3x-y+2=0. 6.附加题. (1)求 lim x ?0
e x ? e ?x ? 2x 的值 x ? sin nx
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解:应用罗比塔法则
lim

e x ? e ?x ? 2x e x ? e?x ? 2 ? lim ? 0.(n ? 1) x ?0 x ?0 1 ? n cos nx x ? sin nx 当n ? 1时, lim e x ? e ?x ? 2x e x ? e ?x ? 2 e x ? e ?x e x ? e ?x ? lim ? lim ? lim ?2 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x ? sin nx 1 ? cos x sin x cos x
4

(2)计算 ?0
解:设 则

x?2 2x ? 1

dx.

u ? 2 x ? 1, u 2 ? 2 x ? 1, x ? u 2 ?1 , dx ? udu. 2

??

4

0

u 2 ?1 ?2 2 3 3 u x?2 3 1 2 dx ? ? udu ? ? ( ? )du ? 7 . 1 1 u 2 2 3 2x ? 1

1977 年普通高等学校招生考试数学(河北省)试题及答案
1.解答下列各题: (1)叙述函数的定义 答:略
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(2)求函数 y ? 1 ?

1 2 ? 3x
2 3

的定义域

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解:由 2 ? 3 x ? 0解得 x ? . (3)计算 [1 ? (0.5) ?2 ] ? (? 解:原式=2
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27 3 ) . 8

1

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(4)计算 log4 2. 解:原式=
1 2
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(5)分解因式 x2y-2y3. 解:原式= y( x ? 2 y)(x ? 2 y).
4? 25? 3? ? cos ? tg (? ). 3 6 4 ? ? ? 3 解:原式= (? sin ) ? cos ? tg ? ? . 3 6 4 4

(6)计算 sin

2.证明:从圆 O 外一点 P 向这个圆所引的两条切线 PA、PB 所成的角 APB 被 PO 平分(本题要求写出已知、求证、证明并画图)
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解:已知:圆 O 及圆 O 外一点 P,PA、PB 是圆 O 的切线,A、B 是切 点(如图) ,

求证:∠OPA=∠OPB 证明:联结 OA、OB ∴∠OAP=∠OBP=90
0
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A

P

O

在直角△OPA 与直角△OPB 中,∵OA=OB,OP=OP, ∴△OPA≌△OPB,∠OPA=∠OPB 3.证明: 证:左边=
?
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B

sin 2? ? 1 1 1 ? tg? ? . 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 2

2 sin ? ? cos? ? sin 2 ? ? cos2 ? (sin ? ? cos?) 2 ? 2 cos?(cos? ? sin ?) 2 cos2 ? ? 2 sin ? cos?
sin ? ? cos ? 1 1 ? tg? ? =右边 2 cos ? 2 2
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4.已知 2 lg x ? lg 2 ? lg( x ? 6), 求 x 解:由原方程可得
lg 2 x 2 ? lg( x ? 6),

3 2 x 2 ? x ? 6 ? 0,? x ? 2, x ? ? (增根) 2

故原方程的解为 x=2. 5.某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃,其两邻边借用夹角 为 1350 的两面墙,另外两边是总长为 30 米的篱笆(如图,AD 和 DC 为墙) 问篱笆的两边各多长时, , 苗圃的面积最大?最大面积是多少? 解:如图,设 BC 长为 x,苗圃面积为 S. 过 D 作 DE⊥AB 交 AB 于 E. 由已知条件可得 AB=30-x, ∠DAB=450,
A 450 E D 1350 C

B

AE=DE=BC=x, CD=BE=AB-AE=30-2x,
?S ? 1 1 3 (CD ? AB ) ? BC ? (60 ? 3x) x ? ? ( x ? 10) 2 ? 150 . 2 2 2
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由此可知,当 x=10 时,S 取最大值 所以,当 BC=10 米,AB=20 米时, 苗圃面积最大,这时 S=150 米 2
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6. 工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器 (上面开口) , 使其容积为 208 立方米,高为 4 分米,上口边长与下底面边长的比为 5:2,做这样的容器需要多少平方米的铁皮?(不计容器的厚度和加 工余量,不要求写出已知、求解,直接求解并画图即可) 解:设正四棱台形容器上口边长 AB=5x,则下底面边长 A1B1=2x, 设表面积为 S
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因正四棱台的体积
E

C F A C1 E1 D1 A1 H E B1 F1 D

B

1 V ? h( s1 ? s 2 ? s1 s 2 ). 3 1 ? 208 ? ? 4 ? [(5 x) 2 ? (2 x) 2 ? 5 x ? 2 x], 3 2 ? x ? 4,? x ? 2, ? AB ? 10(分米), A1 B1 ? 4(分米). 由此可得 1 S ? A1 B1 ? 4 ? ? ( AB ? A1 B1 ) ? FF1 2 1 10 ? 4 2 ? 4 2 ? 4 ? ? (10 ? 4) ? 4 2 ? ( ) 2 2 ? 156(平方分米) ? 1.56(平方米)
2

F

E1

F1

故共需铁皮 1.56 平方米

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7.已知:如图,MN 为圆的直径,P、C 为圆上两点,连 PM、PN,过 C 作 MN 的垂线与 MN、MP 和 NP 的延长线依次相交于 A、B、D,求证:

AC2=AB·AD

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证:在△ABM 与△AND 中, ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND, ∴△ABM∽△AND,
M

D

C B

P

N A

AB:AN=AM:AD, AN·AM=AB·AD??① 又∵在直角△MCN 中,AC⊥MN, ∴AC2=AM·AN???② 由①,②得 AC2=AB·AD 8.下列两题选做一题
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(甲)已知椭圆短轴长为 2,中心与抛物线 y2=4x 的顶点重合,椭圆 的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长 解:设所求之椭圆方程为
x2 y2 ? ?1 a2 b2
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∵2b=2,∴b=1. 由抛物线方程 y2=4x 可知它的焦点而(1,0) ,所以点(1,0)也是 椭圆的一个焦点,于是 c=1,从而 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2, a ? 2, 故所求之椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1 ,长轴的长为 2 2 2
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(乙)已知菱形的一对内角各为 600,边长为 4,以菱形对角线所在 的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形 600 角的两个顶点为焦点,

并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程

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解:设以菱形内角为 600 的一对顶点为端点的对角线所在的直线 为 X 轴,建立直角坐标系 设欲求之椭圆方程为
Y

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

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B C' 300 O B' C X

由图及已知条件可得 b=BO=BC·sin30 =2
a =BC=4.
0

故所求之椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1. 16 4

参考题 1.将函数 f ( x) ? e x 展开为 x 的幂级数,并求出收敛区间 (e=2.718 为
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自然对数的底)
解 : ? f ( x) ? e x ,? f ?( x) ? f ??( x) ? ? f n ( x) ? e x . ? f (0) ? f ?(0) ? f ??(0) ? ? f n (0) ? 1. 函数在区间? r ? x ? r上, 有 | f n ( x) |?| e x |? e r (n ? 1,2?)

所以函数 e x 可以在区间[-r,r]上展开成幂级数,因为 r>0 是任意的, 所以,函数 e x 在区间 (??,??) 上可展成幂级数,特别的它的马克劳林 级数是
x2 x3 xn e ? 1? x ? ? ??? ?? 2! 3! n!
x

2.利用定积分计算椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 所围成的面积 a2 b2

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解:因为椭圆 积为
s ? 4? ydx ? 4?
0 ? a a 0

x2 y2 ? ? 1 关于 x 轴和 y 轴都是对称的,所以所求之面 a2 b2

a ? a 2 ? x 2 dx.令x ? a sin ?.(0 ? ? ? ) b 2
? ?

则 a 2 ? x 2 ? a 2 ? a 2 sin 2 ? ? a cos?, dx ? a cos?d? ? s ? 4? 2 b 1 ? cos 2? ? a ? cos? ? a ? cos?d? ? 4ab? 2 (cos?) 2 d? ? 4ab? 2 d? 0 a 0 0 2 ? ? ? ? 2ab[ ? ? 2 cos 2?d?] ? 2ab ? ? ?ab. 2 0 2

1977 年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案
1. (1)计算 (2 ) 2 ? ( ) ?2 ? (3.14) 0 ? ((? 解:原式=99
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1 4

1

1 10

27 ? 2 ) . 8

1

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(2)求函数 y ? x ? 2 ? 解:根据题意,得
?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? ? ?5 ? x ? 0 ? ? x ? 5 ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? ?

1 ? lg(5 ? x) 的定义域 x?3

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故函数的定义域为 2 ? x ? 3和3 ? x ? 5. (3)解方程 5 x ?2 x ? 125.
2

解:原方程即 5 x ?2 x ? 53 ,
2

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? ?3, x ? 1.均为原方程的解 .

(4)计算 ? log3 ? log3 3 ?
?
1 27

3 3

? 3? ?
1 log3 3) ? ? log3 3?3 ? 3. 27
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解:原式= ? log3 (log3 3 ) ? ? log3 (

(5)把直角坐标方程 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 化为极坐标方程 解:原方程可展开为 x 2 ? 6x ? 9 ? y 2 ? 9,
x 2 ? 6 x ? y 2 ? 0, ? 2 ? 6 ? ? cos? ? 0, ? ? ? 0或? ? 6 cos? 即? ? 6 cos?
1? 2 ? 3 ??? n . n2 n(n ? 1) n ?1 1 解:原式= lim 22 ? lim ? . n?? n?? 2n 2 n

(6)计算 lim n ??

(7)分解因式 x 4 ? 2x 2 y ? 3 y 2 ? 8 y ? 4. 解:原式= ( x 2 ? y 2 ) 2 ? (2 y ? 2) 2
? ( x 2 ? y ? 2 y ? 2)(x 2 ? y ? 2 y ? 2) ? ( x 2 ? y ? 2)(x 2 ? 3 y ? 2).
3 4

3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作倾斜角为 ? 的直线,它与抛物线相交于 A、B 两点 求 A、B 两点间的距离
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解:抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为(1,0)所作直线方程为
y ? tg 3? ( x ? 1)或y ? 1 ? x, 它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 4

确定
?y ? 1? x 解得(1 ? x) 2 ? 4 x, x 2 ? 6 x ? 1 ? 0, ? 2 ? y ? 4x

由根与系数关系,得 x1+x2=6, x1x2=1. 又解得 y 2 ? 4(1 ? y), y 2 ? 4 y ? 4 ? 0, y1+y2=-4,y1y2=-4. 由两点间距离公式 d ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 但 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? 36 ? 4 ? 32,
( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 16 ? 16 ? 32, ? d ? 32 ? 32 ? 8

故 AB 两点间距离为 8

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3.在直角三角形 ABC 中,∠ACB=900,CD、CE 分别为斜边 AB 上的高 和中线,且∠BCD 与∠ACD 之比为 3:1,求证 CD=DE 证:∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900, ∴∠ACD=∠B 又∵CE 是直角△ABC 的斜边 AB 上的中线
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∴CE=EB ∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB 但∵∠BCD=3∠ACD, ∠ECD=2∠ACD= ∠ACB = ×900=450, △EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE
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C

A

D

E

B

1 2

1 2

4.在周长为300cm的圆周上,有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速 圆周运动 甲球从A点出发按逆时针方向运动, 乙球从B点出发按顺时针
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方向运动, 两球相遇于C点 相遇后, 两球各自反方向作匀速圆周运动,
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但这时甲球速度的大小是原来的2倍,乙球速度的大小是原来的一 半,以后他们第二次相遇于D点 已知AmC=40厘米,BnD=20厘米,求ACB
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的长度

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解:如图设 BC=x 厘米 甲球速度为 v甲 ,乙球速度为 v乙 根据二次从出发
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到相遇二球运动的时间都相同,可得第 一次等候时方程
v 40 x x ? 或 甲 ? . v甲 v乙 v乙 40
A 甲 · m C· 乙 D · n · B

第二次等候时方程
300 ? 20 ? x x ? 20 v乙 4( x ? 20) ? 或 ? . 1 2v甲 v甲 280 ? x v乙 2

由此可得

x 4( x ? 20) ? , 40 280 ? x

( x ? 40)(x ? 80) ? 0.

由于已知条件 v甲 ≠ v乙 ,∴x≠40,


x=80(厘米)

ACB=40+80=120(厘米) 5. (1)若三角形三内角成等差数列,求证必有一内角为 600 证:设三角形三内角分别为 ? ? d , ?, ? ? d , 则有
(? ? d ) ? ? ? (? ? d ) ? 180?, 3? ? 180? ? ? ? 60?.
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(2)若三角形三内角成等差数列,而且三边又成等比数列,求证三 角形三内角都是 600
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证:由题(1)可知,此三角形必有一内角为 600,今设其对边为 a , 则三角形的三边分别为 , a, aq (此处 q 为公比,且 q ? 0 ) 由余弦定理可得
a a a 2 ? ( ) 2 ? (aq) 2 ? 2 ? ? cos60?, q q 1 1 1 ? 2 ? q2 ? 2 ? , 2 q 1 ? 2 ? q 2 ? 0, q2
a q

1 1 ( ? q) 2 ? 0, ? q ? q 2 ? 1, q q q ? 1, q ? ?1(不合题意, 舍去)

由 q ? 1 可知,此三角形为等边三角形,三个内角均为 600

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6.在两条平行的直线 AB 和 CD 上分别取定一点 M 和 N,在直线 AB 上 取一定线段 ME= a ;在线段 MN 上取一点 K, 连结 EK 并延长交 CD 于 F 试
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问 K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小?最小值是多少? 解:过点 K 作两条平行直线的公垂线 PQ, 设 PQ= l ,MN= m , 令 PK= x ,则 KQ= l ? x ∴△EMK∽△FNK,
ME MK ? . ∴ NF NK
C F N Q A P M E B

K D

又∵△MKP∽△NKQ, ∴
MK KP ? . NK KQ ME KP ? , NF KQ

于是得到
NF ?

ME ? KQ a(l ? x) ? . KP x

从而△EMK 与△FNK 的面积之和为
A? 1 1 a (l ? x) ? x ? a ? ? (l ? x) ? 2 2 x 2 a? (l ? x) ? ? ?x ? ? 2? x ?

a 2 x 2 ? 2lx ? l 2 ? ? 2 x l2 ? a ? (x ? l ? ) 2x ? ? l 2 ? a ?( x ? ) ? ( 2 ? 1)l ?, 2x ? ?

?当 x ?

l 2x

? 0时, 也即x ?

2 l时, A 有最小值 ( 2 ? 1)al. 2

x?

2 2 倍的 PQ,从而点 K 到 M 的距 l 表示点 K 到直线 AB 的距离为 2 2 2 2 倍,即 KM= MN. 2 2

离也为 MN 的

附加题 1 求极限 lim x ( x ? 1 ? x ). n ?? 解:原式= lim
n??

x ( x ? 1 ? x )( x ? 1 ? x ) x ?1 ? x

? lim
n ??

x x ?1 ? x

? lim
n ??

1 1? 1 ?1 x

1 ? . 2

2.求不定积分 ? 解:令 1 ? e x ? t,

dx . (1 ? e x ) 2

则 dt ? e x dx ? (t ? 1)dx,
dt . t ?1 dx dt ?? ?? x 2 (1 ? e ) (t ? 1)t 2 dx ?

1 1 ? 2 )dt t (t ? 1) t 1 1 1 ? ?( ? ? 2 )dt t ?1 t t 1 ? ln(t ? 1) ? ln t ? ? C t ? ?( 1 ?C 1? ex 1 ? x ? ln(1 ? e x ) ? ? C. 1? ex ? ln e x ? ln(1 ? e x ) ?


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