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2016年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试数学(理科A卷)试题(word版)


2016 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(理科)A 卷
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若复数 z ? A. ? 1 ? i

2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ( 1? i
B. ?

1 ? i
2

) D. 1 ? i )

C. 1 ? i

2.已知集合 A ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} , B ? {x | ?3 ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( A. (?3,3) B. (?3,6) C. (?1,3) D. (?3,1)

?x ? 1 ? 0 ? 3.设变量 , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最小值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 3 C.

)

26 5

D. ? 19

4.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图像如右图所示,则 f ( A. ?

11? ) 的值为( 24

)

6 2

B. ?

3 2

C. ?

2 2

D. ? 1

5.程序框图如图,当输入 x 为 2016 时,输出的 y 的值为( A.

)

1 8

B. 1

C. 2

D. 4

6.为比较甲乙两地某月 11 时的气温情况,随机选取该月中的 5 天中 11 时的气温数据(单位:℃)制成如 图所示的茎叶图,考虑以下结论: 甲 9 2 1 8 0 2 3 6 1 乙 8 1 9

①甲地该月 11 时的平均气温低于乙地该月 11 时的平均气温 ②甲地该月 11 时的平均气温高于乙地该月 11 时的平均气温 ③甲地该月 11 时的气温的标准差小于乙地该月 11 时的气温的标准差 ④甲地该月 11 时的气温的标准差大于乙地该月 11 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( A.①③ B.①④ C.②③
2

)

D.②④

7.过点 A(0,1) 作直线,与双曲线 x ? A. 0 B.2 C.4

y2 ? 1 有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( 9
D.无数 )

)

8.如图所示的数阵中,用 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则依此规律 A(15,2) 为( A.

29 42

B.

7 10

C.

17 24

D.

73 102

9.已知函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于直线 x ? ?2 对称, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) ?| log2 x | , 若 a ? f (?3) ,

1 b ? f ( ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 的大小关系是( 4
A. a ? b ? c B. b ? a ? c

) D. a ? c ? b )

C. c ? a ? b

10.某几何体的三视图如图所示,图中网格小正方形边长为 1,则该几何体的体积是( A. 4 B.

16 3

C.

20 3

D. 12

11. A, B, C 是圆 O 上不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于 D ,若 OC ? ?OA ? ?OB ( ? ? R, ? ? R ) , 则 ? ? ? 的取值范围是( A. (0,1) B. (1,??) ) C. (1, 2 ] D. (?1,0)

12.如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为 20 厘米,底面半径为 2 厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒 乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计).一个平面与两乒乓球均相切,且此 平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为( A. )

15 4

B.

1 5

C.

2 6 5

D.

1 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. ( x ?

1 6 ) 的展开式中常数项为 4x

.

? ?x 1 ?sin ,?1 ? x ? 0 14.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f ( x) ? ? ,则 x 的值为 2 2 ? ?log2 ( x ? 1),0 ? x ? 1
15.已知 ?ABC 中, AC ? 4, BC ? 2 7,?BAC ? 60? , AD ? BC 于 D ,则

.

BD 的值为 CD

.

3 2 16.若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx(a, b ? R) 的图象与 x 轴相切于一点 A(m,0)(m ? 0) ,且 f ( x ) 的极大值为

1 ,则 m 的值为 2

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分) 在平面四边形 ACBD (图①)中, ?ABC 与 ?ABD 均为直角三角形且有公共斜边 AB ,设 AB ? 2 ,

B C 沿 AB 折起, ?BAD ? 30? ,?BAC ? 45? , 将 ?A 构成如图②所示的三棱锥 C '? ABC , 且使 C ' D ? 2 .
(Ⅰ)求证:平面 C ' AB ? 平面 DAB ; (Ⅱ)求二面角 A ? C ' D ? B 的余弦值.

C' C

A

B

A

B



D



D

19.(本小题满分 12 分) 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动员在篮筐中心的水 平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果绘制如下频率分布直方图:

(Ⅰ)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数; (Ⅱ)在某场比赛中,考察他前 4 次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况,并且规定:运动员投篮命中 时, 他到篮筐中心的水平距离不少于 4 米的记 1 分, 否则扣掉 1 分.用随机变量 X 表示第 4 次投篮后的总分, 将频率视为概率,求 X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 M (m,2) ,其焦点为 F ,且 | MF |? 2 .
2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点,过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线 C 和圆 F :

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1相切,切点分别为 A, B ,求证:直线 AB 过定点.
21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? e ? ax ? 2 x ? b ( e 为自然对数的底数, a, b ? R ).
x 2

(Ⅰ)设 f ' ( x) 为 f ( x ) 的导函数,证明:当 a ? 0 时, f ' ( x) 的最小值小于 0; (Ⅱ)若 a ? 0, f ( x) ? 0 恒成立,求符合条件的最小整数 b .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,过点 P 分别做圆 O 的切线 PA 、 PB 和割线 PCD ,弦 BE 交 CD 于 F ,满足 P 、 B 、 F 、 A 四点 共圆. (Ⅰ)证明: AE // CD ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 5,且 PC ? CF ? FD ? 3 ,求四边形 PBFA 的外接圆的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知曲线 C1 : ? ? 2 cos? 和曲线 C2 : ? cos? ? 3 ,以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴非 负半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 是曲线 C1 上一动点,过点 P 作线段 OP 的垂线交曲线 C2 于点 Q ,求线段 PQ 长度的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)若 f ( x) ?| m ? 1 | 恒成立,求实数 m 的最大值 M ; (Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数 a , b 满足 a ? b ? M ,证明: a ? b ? 2ab .
2 2

2016 届高三数学一模理科答案
一.选择题:

A 卷答案:1-5 BCBDA B 卷答案:1-5 ACADB 二.填空题: 13..

6-10 CCCBB 6-10 CCCAA

11-12 BA 11-12 AB

?

5 16
6

14.

?

1 3

15.

16.

3 2

三、解答题:

?2a2 ? a3 ? a5 =4a1 +8d =20 ? 17. 解: (I)由已知得 ? , -------------------------------2 分 10 ? 9 10 a + d =10 a +45 d =100 1 1 ? ? 2
解得 ?

?a1 ? 1 ,-------------------------------4 分 ?d ? 2

所以 {an } 的通项公式为 an ? 5 ? 2(n ? 3) ? 2n ?1 ,--------------------------------5 分 (II)由(I)可知 an ? bn ? (2n ?1) ? 22n?1 , 所以 Sn ? 1? 21 ? 3? 23 ? 5 ? 25 ???? ? (2n ? 3) ? 22n?3 ? (2n ?1) ? 22n?1 ,①

4Sn ? 1? 23 ? 3? 25 ? 5 ? 27 ????? (2n ? 3) ? 22n?1 ? (2n ?1) ? 22n?1 ,②---------------------7 分
①-②得: ?3Sn ? 2 ? 2 ? (23 ? 25 ????? 22n?1 ) ? (2n ?1) ? 22n?1

? Sn ?

2 ? 2 ? (23 ? 25 ? ??? ? 22 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 22 n ?1 ………………9 分 ?3

?
?

2 ? 2? (

8(1 ? 4n?1 ) ) ? (2n ? 1) ? 22 n?1 1? 4 ?3

?6 ? 2 ? 8(1 ? 4n?1 ) ? (6n ? 3) ? 22 n ?1 ---------------------11 分 9

?

10 ? (6n ? 5) ? 22 n ?1 --------------------------12 分 9

18. 解: (1)取 AB 的中点 O ,连 C ?O, DO , 在 RT ?ACB, RT ?ADB , AB ? 2 ,则 C ?O ? DO ? 1 ,又? C ?D ?

2,

? C ?O2 ? DO2 ? C ?D2 ,即 C ?O ? OD ,…………2 分
又? C ?O ? AB , AB ? OD ? O , AB, OD ? 平面 ABD

? C ?O ? 平面 ABD ,…………………4 分
又? C ?O ? 平面 ABC ?

? 平面 C ?AB ? 平面 DAB
…………5 分 (2)以 O 为原点, AB , OC ? 所在的直线分别为 y , z 轴,建立如图空间直角坐标系,

则 A(0, ?1,0), B(0,1,0), C ?(0,0,1), D(

3 1 , ,0) , 2 2

???? ? ???? ? ???? ? 3 1 ? AC ? ? (0,1,1), BC ? ? (0, ?1,1), C ?D ? ( , , ?1) …………6 分 2 2 ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? n1 ? AC ? ?n1 ? AC ? ? 0 设平面 AC ?D 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ?? , ? ???? ? ,即 ? ?? ? ???? ? ? ? n ? C D n ? C D ? 0 ? ? ? 1 ? 1

? y1 ? z1 ? 0 ? ,令 z1 ? 1 ,则 y1 ? ?1 , x1 ? 3 , ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ? n1 ? ( 3, ?1,1) …………8 分 ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? n2 ? BC ? ?n2 ? BC ? ? 0 设平面 BC ?D 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? ?? , ? ???? ? ,即 ? ?? ? ???? ? ? ? n ? C D n ? C D ? 0 ? ? ? 2 ? 2 ?? y2 ? z2 ? 0 3 ? ,令 z2 ? 1 ,则 y2 ? 1 , x2 ? , ? 3 1 3 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ? 2 2

?? ? 3 ? n2 ? ( ,1,1) ………………10 分 3
3 3? ? (?1) ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? ?? ? 1 105 3 ? cos n1 , n2 ? ? ? , 35 1 7 3 ?1?1 ? ?1?1 5? 3 3
二面角 A ? C ?D ? B 的余弦值为 -

105 .……………12 分 35

19.解: (I) 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为 x, ∵ 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 0.20 ? 0.5 ,且 (0.40 ? 0.20) ? 1 ? 0.6 ? 0.5 , ∴ x ? [4,5] …………………2 分

随机变量 ? 的所有可能取值为-4,-2,0,2,4;
4

…………………………………8 分

216 16 ? 2? 3 2 1 3 3 , P ( X ? 2) ? C 4 ( ) ( ) ? P ? X ? ?4? ? ? ? ? 5 5 625 625 ? 5? 96 1 2 3 3 P( X ? ?2) ? C4 ( ) ( )? 5 5 625 2 3 216 2 P( X ? 0) ? C4 ( )2 ( )2 ? ; 5 5 625 216 3 2 1 3 3 P ( X ? 2) ? C 4 ( )( ) ? 5 5 625

81 ? 3? P ? X ? 4? ? ? ? ? 625 ? 5?
X P
-4 -2 0 2 4

4

16 625

96 625

216 625

216 625

81 625

…………………10 分

EX ? ? ?4 ? ?

16 96 216 216 81 4 ? ( ?2) ? ? 0? ? 2? ? 4? ? 625 625 625 625 625 5

…………………12 分 20.解: (1)抛物线 C 的准线方程为: x ? ?

p , 2

?| MF |? m ?

p p ? 2 ,又? 4 ? 2 pm ,即 4 ? 2 p (2 ? ) --------------------2 分 2 2

? p2 ? 4 p ? 4 ? 0,? p ? 2
抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . -------------------4 分

(2)设点 E (0, t )(t ? 0) ,由已知切线不为 y 轴,设 EA : y ? kx ? t

联立 ?

? y ? kx ? t ? y ? 4x
2

,消去 y ,可得 k 2 x2 ? (2kt ? 4) x ? t 2 ? 0

? 直线 EA 与抛物线 C 相切,?? ? (2kt ? 4)2 ? 4k 2t 2 ? 0 ,即 kt ? 1
代入

1 2 x ? 2 x ? t 2 ? 0 ,? x ? t 2 ,即 A(t 2 , 2t ) --------------------------------------6 分 2 t

设切点 B( x0 , y0 ) ,则由几何性质可以判断点 O, B 关于直线 EF : y ? ?tx ? t 对称,则

? y0 t ? 0 ? 2t 2 ? ? ?1 x ? ? ? 2t 2 2t ? 0 t2 ?1 ? x0 0 ? 1 B ( , 2 ) -------------------------------8 分 ,解得: ? ,即 ? 2 t ?1 t ?1 ? y ? 2t ? y0 ? ?t ? x0 ? t 0 2 ? ? t ?1 ? ?2 2
思路 1:直线 AB 的斜率为 k AB ? 直线 AB 的方程为 y ? 整理 y ?
2

2t (t ? ?1) t ?1
2

2t ( x ? t 2 ) ? 2t ,--------------------------------------10 分 t ?1

2t ( x ? 1) t ?1
2

? 直线 AB 过定点恒过定点 F (1, 0) --------------------------------------11 分
当 t ? ?1 时, A(1, ?2), B(1, ?1) ,此时直线 AB 为 x ? 1 ,过点 F (1, 0) . 综上,直线 AB 过定点恒过定点 F (1, 0) --------------------------------------12 分

思路 2:直线 AF 的斜率为 k AF ?

2t (t ? ?1) , t ?1
2

直线 BF 的斜率为 k BF

2t ?0 2t t ? 1 ? ? 2 (t ? ?1) , 2 2t t ?1 ?1 t2 ?1
2

?k AF ? kBF ,即 A, B, F 三点共线--------------------------------------10 分
当 t ? ?1 时, A(1, ?2), B(1, ?1) ,此时 A, B, F 共线. --------------------------------------11 分

? 直线 AB 过定点 F .--------------------------------------12 分

21. 解:(Ⅰ)证明:令 g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? 2 ,则 g ?( x) ? ex ? 2a 因为 a ? 0 ,令 g ?( x0 ) ? 0 , x0 ? ln 2a 所以当 x ? (??,ln 2a) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (ln 2a, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增--------------------2 分 则 f ?( x)min ? g ( x)min ? g (ln 2a) ? eln 2a ? 2a ln 2a ? 2=2a ? 2a ln 2a ? 2 --------------------3 分 令 G( x) ? x ? x ln x ? 2 , ( x ? 0)

G?( x) ? 1 ? (ln x ? 1) ? ? ln x
当 x ? (0,1) 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递增 当 x ? (1, ??) 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递减 所以 G( x)max ? G(1) ? ?1 ? 0 ,所以 f ?( x)min ? 0 成立. --------------------5 分

(Ⅱ)证明: f ( x) ? 0 恒成立,等价于 f ( x)min ? 0 恒成立 令 g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? 2 ,则 g ?( x) ? ex ? 2a 因为 a ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 单调递增, 又 g (0) ? ?1 ? 0 , g(1) ? e ? 2a ? 2 ? 0 ,所以存在 x0 ? (0,1) ,使得 g ( x0 ) ? 0 ---------------------6 分 则 x ? (??, x0 ) 时, g ( x) ? f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;

x ? ( x0 , ??) 时, g ( x) ? f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;
2 所以 f ( x)min ? f ( x0 ) ? e 0 ? ax0 ? 2x0 ? b ? 0 恒成立.........(1) x

且 e 0 ? 2ax0 ? 2 ? 0 ...........(2)
x

x e x0 由(1) (2), b ? ?e ? ax ? 2 x0 ? ?e ? x0 ( ? 1) ? 2 x0 ? ( 0 ? 1)e x0 ? x0 即可-----------------8 分 2 2
x0 2 0 x0

又由(2) a ?

e x0 ? 2 ? 0 ,所以 x0 ? (0,ln 2) ---------------------9 分 2 x0
x

令 m( x) ? ( ? 1)e ? x, x ? (0, ln 2)

x 2

n( x) ? m?( x) ?

1 ( x ? 1)e x ? 1 2

n?( x) ?

1 x xe ? 0 , 2
1 ? 0 所以 m( x) 单调递增, 2 ,

所以 n (x ) ? n (0) ?

m (x ) ? m (0) ? (?1)e 0 ? ?1 ,
m (x ) ? m (ln 2) ? ( ln 2 ? 1)e ln 2 ? ln 2 ? 2 ln 2 ? 2 ---------------------11 分 2

所以 b ? ?1 ,所以符合条件的 b =0 ---------------------12 分 法 2:令 x ? 0, f (0) ? 1 ? b ? 0, b ? ?1 ,故符合条件的最小整数 b ? 0 .-------------------6 分 现证明 b ? 0 时, f ( x) ? 0 求 f ( x) ? e x ? ax2 ? 2x 的最小值即可

令 g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? 2 ,则 g ?( x) ? ex ? 2a 因为 a ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 单调递增, 又 g (0) ? ?1 ? 0 , g (1) ? e ? 2a ? 2 ? 0 ,所以存在 x0 ? (0,1) ,使得 g ( x0 ) ? 0 则 x ? (??, x0 ) 时, g ( x) ? f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;

x ? ( x0 , ??) 时, g ( x) ? f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;
所以 f ( x)min ? f ( x0 ) ? e 0 ? ax0 ? 2x0
x 2

.(1)

且 e 0 ? 2ax0 ? 2 ? 0 ...........(2)
x

f ( x) min ? f ( x0 ) ? e x0 ?

x0 x0 x (e ? 2) ? 2 x0 ? (1 ? 0 )e x0 ? x0 ---------------8 分 2 2

e x0 ? 2 又由(2) a ? ? 0 ,所以 x0 ? (0,ln 2) ---------------9 分 2 x0
现在求函数 p ( x) ? (1 ? )e ? x, x ? (0, ln 2) 的范围
x

x 2

1 1 (1 ? x)e x ? 1 , q?( x0 ) ? ? xe x ? 0 , 2 2 1 所以 q (x ) ? q (0) ? ? ? 0 ,所以 p ( x) 单调递减, 2

q( x0 ) ? p?( x) ?

p (x ) ? p (0) ? (?1)e 0 ? 1
p (x ) ? p (ln 2) ? (1 ? ln 2 ln 2 )e ? ln 2 ? 2 ? ln 2 ? 0 -------------11 分 2

所以 b =0 是符合条件的. -------------12 分 选做题:

22.解: (I)连接 AB,

? P、B、F、A 四点共圆,
??PAB ? ?PFB .
. . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

又? PA 与圆 O 切于点 A, ??PAB ? ?AEB ,. . . . . . . . . . . . .4 分

??PFB ? ?AEB

? AE // CD .. . . . . . . . . . . . .5 分
(II)因为 PA、PB 是圆 O 的切线,所以 P、B、O、A 四点共圆, 由 ?PAB 外接圆的唯一性可得 P、B、F、A、O 共圆, 四边形 PBFA 的外接圆就是四边形 PBOA 的外接圆,

? OP 是该外接圆的直径.
2

. . . . . . . . . . . . .7 分

由切割线定理可得 PA ? PC ? PD ? 3 ? 9 ? 27 . . . . . . . . . . . . .9 分

?OP ? PA2 ? OA2 ? 27 ? 25 ? 2 13 .
? 四边形 PBFA 的外接圆的半径为 13 .
. . . . . . . . . . . .10 分

2 23 解: (I) C1 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 , 2

. . . . . . . . . . . .2 分

. . . . . . . . . . . .4 分 C2 的直角坐标方程为 x ? 3 ; (II)设曲线 C1 与 x 轴异于原点的交点为 A,

? PQ ? OP ,? PQ 过点 A (2, 0) ,
设直线 PQ 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos ? ?t为参数? , ? y ? t sin ?

代入 C1 可得 t 2 ? 2t cos ? ? 0, 解得 t1 ? 0或t2 ? ?2cos? , 可知 | AP |?| t2 |?| 2cos ? | . . . . . . . . . . . .6 分 代入 C2 可得 2 ? t cos ? ? 3, 解得 t ?
/

1 , cos ?

1 |. . . . . . . . . . . .8 分 cos ? 1 1 | 时取等号, |? 2 2, 当且仅当 | 2 cos ? |?| 所以 PQ= | AP | ? | AQ |?| 2 cos ? | ? | cos ? cos ?
可知 | AQ |?| t |?|
/

所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 .. . . . . . . . . . . .10 分

?1 ? 2 x, x ? 0 ? 0 ? x ? 1, 24.解: (I)由已知可得 f ( x) ? ?1, ?2 x ? 1, x ? 1 ?
所以 f min ( x) ? 1 , . . . . . . . . . . . .3 分

所以只需 | m ? 1|? 1 ,解得 ?1 ? m ? 1 ? 1 ,

?0 ? m ? 2 ,
所以实数 m 的最大值 M ? 2 . . . . . . . . . . . . .5 分

(II)法一:综合法

? a 2 ? b2 ? 2ab
? ab ? 1
. . . . . . . . . . .7 分 ? ab ? 1 ,当且仅当 a ? b 时取等号,①. 又? ab ?

a?b 2

?

ab 1 ? a ?b 2 ab ab ,当且仅当 a ? b 时取等号,②. . . . . . . . . . . .9 分 ? a ?b 2
ab 1 ? ,所以 a ? b ? 2ab .. . . . . . . . . . . .10 分 a ?b 2

?

由①②得,?

法二:分析法因为 a ? 0, b ? 0 , 所以要证 a ? b ? 2ab ,只需证 (a ? b) ? 4a b ,
2 2 2

即证 a ? b ? 2ab ? 4a b ,
2 2 2 2

? a 2 ? b2 ? M ,所以只要证 2 ? 2ab ? 4a 2b2 , . . . . . . . . . . . .7 分
即证 2(ab) ? ab ?1 ? 0 ,
2

即证 (2ab ? 1)(ab ? 1) ? 0 ,因为 2ab ? 1 ? 0 ,所以只需证 ab ? 1 , 下证 ab ? 1 , 因为 2 ? a ? b ? 2ab ,所以 ab ? 1 成立,
2 2

所以 a ? b ? 2ab . . . . . . . . . . . .10 分


2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科A卷)

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