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经典高考立体几何知识点和例题(理科学生用)


高考立体几何知识点总结
整体知识框架:

一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体: 由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体: 把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴



(二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 图 1-1 棱柱


底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面



四棱柱
底面是矩形 底面是正方形

平行六面体
棱长都相等

直平行六面

体 性质:

长方体

正四棱柱

正方体

1

Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式

S 直棱柱侧 ? ch ( c 是底周长, h 是高)
S 直棱柱表面 = c·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到 底面的距离之比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱锥的 体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: S正棱椎 ?

1 ch ' ( c 为底周长, h ' 为斜高) 2
D O A

P

体积: V棱椎 ? 正四面体:

1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3

C H B

对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为

2 a 的正方体问题。 2

对棱间的距离为

2 a (正方体的边长) 2

正四面体的高

2 6 a ( ? l正方体体对角线 ) 3 3

正四面体的体积为

1 2 3 a ( V正方体 ? 4V小三棱锥 ? V正方体 ) 3 12 1 1 l正方体体对角线 : l正方体体对角线 ) 6 2

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 1 : 3 ( ?

2

正四面体的外接球半径为

6 6 2 a ,外接球半径为 a ,外接球半径 a 4 12 4

3 、棱台的结构特征 3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱 台。 3.2 正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 4.1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的 几何体叫圆柱。 4.2 圆柱的性质 (1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆; (2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 4.3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 4.4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高)
3

S 圆柱全 = 2π r h + 2π r2 V 圆柱 = S 底 h = πr2h 5、圆锥的结构特征 5.1 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋 转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆 锥。 5.2 圆锥的结构特征 (1) 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之 比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; (2)轴截面是等腰三角形; (3)母线的平方等于底面半径与高的平方和: l2 = r2 + h2 5.3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。 6、圆台的结构特征 6.1 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为 圆台。 6.2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; ⑵ 圆台的截面是等腰梯形; ⑶ 圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。 6.3 圆台的面积和体积公式 S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径) S 圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V 圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h 7 球的结构特征 7.1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中,与定 点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的 几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面; ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方 差:r2 = R2 – d2 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是: ⑴ 根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形; ⑵ 找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后做出剖面图;
4 图 1-5 圆锥

(h 为圆台的高)

⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题; ⑷ 注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线; 球外切正方 体,球直径等于正方体的边长。

D' A' O B'

C'

A'

C'

O

D A B

C A c

7-4 球的面积和体积公式 S 球面 = 4 π R2 (R 为球半径) V 球 = 4/3 π R3 练习: 1)将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是( ) A.圆锥 B.圆柱 C.圆台 D.上均不正确 2)用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是( A.圆锥 B.圆柱 C. 球体 D. 以上都可能 3)下左一图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),计算它的体积为

) cm3.

二、典型例题分析 例 1:(几何体的侧面展开图) 如上左二图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的长、宽、高分别是 5cm、4cm、3cm,一只蚂蚁从

A 到 C1 点,沿着表面爬行的最短距离是多少.
练习:1)如上右二图, 四面体 P-ABC 中, PA=PB=PC=2, ? APB= ? BPC= ? APC=30 . 一只蚂蚁 从 A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到 A 点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________. 练习.1)已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆, 则此几何体的外接球的表面积为( ) A.
0

4 ? 3

B.

8 ? 3

C.

16 ? 3

D.

32 ? 3

(三)空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 圆柱的表面积 : S ? 2? rl ? 2? r 圆台的表面积:
2

圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2
? 4? R2

S ? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R2

球的表面积: S

5

扇形的面积公式 S扇形 ? 空间几何体的体积 柱体的体积 : V

n? R 2 1 1 ? lr = ? r 2 (其中 l 表示弧长,r 表示半径,? 表示弧度) 360 2 2
锥体的体积 : V ?

? S底 ? h
1 V ? (S ? 3 上 S S ?下 S) ? h 上 下

1 S ?h 3 底

台体的体积 :

球体的体积: V

4 ? ? R3 3

(四)空间几何体的三视图和直观图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。 ★画三视图的原则: 主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系;俯视图反映了物体的前、后和左、右 位置关系;侧视图反映了物体的上、下和前、后位置关系。 三个视图之间的投影关系为:正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样 注:球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形 直观图:斜二测画法 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 (1)建立直角坐标系, 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox, Oy, 建立直角坐标系; (2)画出斜坐标系, 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 Ox′, Oy′, 使∠x′Oy′=45° (或 135° ), 它们确定的平面表示水平平面; (3)画对应图形,在已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x′轴,且长度保持 不变;平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y′轴,且长度变为原来的一半; (4)擦去辅助线,图画好后,要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线).

原视图与直观图的关系:

s直观图 2 ? ,s原视图 ? 2 2s直观图 s原视图 4
( )

例 1、 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为

解析:如图所示,点 D1 的投影为点 C1,点 D 的投影为点 C,点 A 的投影为点 B.

6

答案:D 练习: (1)如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是





(2)判断: ①水平放置的正方形的直观图可能是等腰梯形 ②两条相交的线段的直观图可能是平行线段 ③两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直 ④平行四边形的直观图仍为平行四边形 ⑤长度相等的两线段直观图仍然相等 (3)三角形 ABC 是边长为 1正三角形,求其直观图三角形 A B C 的面积 (4)如图,正方形 O A B C 的边长为 1 ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,求原图 形的周长和面积
' ' ' '
' ' '

(5)如上右图,用斜二测画法作 ? ABC 水平放置的直观图形得 ? A1B1C1,其中 A1B1=B1C1,A1D1 是 B1C1 边上的中线,由图形可知在 ? ABC 中,下列四个结论中正确的是( A.AB=BC=AC B. AD ? BC C. AC>AD>AB>BC )

D. AC>AD>AB=BC

空间几何体三视图(重点) 例 1 如图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体 的体积为 ( )

7

A.6 3

B.9 3

C.12 3

D.18 3

解析: 由三视图可还原几何体的直观图如图所示. 此几何体可通过分割和补形的方法拼 凑成一个长和宽均为 3,高为 3的长方体,所求体积 V=3× 3× 3=9 3.

答案:B (2)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.48

B.32+8 17

C.48+8 17 )

D.80

(3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

8

9 A. π+12 2 C.9π+42 【答案】(1)C (2)B

9 B. π+18 2 D.36π+18

【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图 1 所示), 所以该直四棱柱的表面积为 S=2× × (2+4)× 4+4× 4+2× 4+2× 1+16× 4=48+8 17. 2

(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为 3 的球,下面是一个长、宽都为 3、 3?3 4 9 高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:V=V1+V2= ×π×? ?2? +3×3×2=2π+18,故 3 选 B. (3). 【 2012 高考真题北京理 7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是 ( )

A. 28+6 5

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5

D. 60+12 5

【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字 所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得 到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积 公 式 , 可 得 : S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 , 因 此 该 几 何 体 表 面 积

9

S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 ,故选 B。
例题: 1. 一空间几何体的三视图如下右图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B.
4? ? 2 3

).
3

C.

2? ?

2 3 3

D. 4? ? 2 3

2、上中图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π 3、 若一个正三棱柱的体积为 12 3 ,其三视图如上左图所示,则这个正三棱柱的侧视图的 面积为_______。 4.【2012 高考真题广东理 6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C)

A.12π B.45π

C.57π D.81π

10

二、典型例题 考点一:三视图 1.一空间几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的体积为_________________. 2 2

2

2 正(主)视图

2 侧(左)视图 第1题

俯视图

2.若某空间几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积是________________.

第2题

第3题 .

3.一个几何体的三视图如图 3 所示,则这个几何体的体积为

4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图 4 所示,则此几何体的体积是

.

a
3 正视图 2 左视图

1 1
俯视图 第4题 第5题 .

5.如图 5 是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ?

11

6.已知某个几何体的三视图如图 6,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体 的体积是 .

20

20 正视图

20 侧视图

10 10 20 俯视图

第6题

第7题

7.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是

cm 3
3

8.设某几何体的三视图如图 8(尺寸的长度单位为 m),则该几何体的体积为_________m 。

2
2 2 2
1
俯视图

3
2

2 3
正(主)视图 侧(左)视图

2



7



第8题 9.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个 几何体的侧面积为_________________.

10.一个三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如图 10 所示(单 位 cm),则该三棱柱的表面积为_____________.
12

正视图 俯视图

图 10 11. 如图 11 所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一 个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为_____________.



图 11

图 12

图 13 12. 如图 12,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个 圆,那么几何体的侧面积为_____________. 13.已知某几何体的俯视图是如图 13 所示的边长为 2 的正方形, 主视图与左视图是边长为 2 的正三角形,则其表面积是_____________. 14. 如果一个几何体的三视图如图 14 所示 ( 单位长度 : cm ), 则此几何体的表面积是 _____________.

图 14 15.一个棱锥的三视图如图图 9-3-7,则该棱锥的全面积(单位: cm )_____________.
2

正视图

左视图 图1

俯视图

13

二 、点、直线、平面之间的关系
(一)、立体几何网络图: ⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行

⒁ 面面垂直

1.平面的基本性质 公理 1 若一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.等角定理及其推论 定理 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等. 推论 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的角相等. 2.空间线面的位置关系 共面 平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 唯一性定理:(1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 1、线线平行的判断方法: 1.中位线、证明平行四边形、相似边互相平行(初中的方法)、内错角同位角相等、平行公 理等

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2.线面平行的性质、面面平行的性质 3.线面垂直的性质:垂直于同一平面的两直线平行。 4.向量法,证明 a // b

?

?

2、线线垂直的判断: 1.勾股定理 2.正方形、菱形、圆等特点 3.等腰、等边三角形的中线 4.线面垂直和面面垂直的 转化 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断: 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这 个平面平行。 符号表示:

4.线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 5、 面面平行的判断: 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面, 这两个平面平行。 注:垂直于同一条直线的两个平面平行 5、面面平行的性质: 性质定理:1.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 2.两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

★判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法): l I ? ? ? ,则 l ∥α (用于判断); ⑵ 利用判定定理:线线平行 ⑶ 利用平面的平行:面面平行 2 线面斜交和线面角: l ∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面 的斜线与该斜线在平面内射影的夹角 θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0° ,90° ]注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;当 图 2-3 线面角
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线面平行 (用于证明); 线面平行 (用于证明);

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。

直线垂直于平面时,θ=90° 4、线面垂直的判断: 判定定理如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。

5.线面垂直性质:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。 即: (2)垂直于同一平面的两直线平行。 即: 推论: a ? ? , a // b ? b ? ?

6、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 判定定理:

6、面面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么在—个平面内 垂直 于交 线的 直线必垂直于另—个平面。

图 2-10 面面垂直性质 2

定义法:若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为 90°; ★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义,用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中, 线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。
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图 2-7 斜线定理

如图:

⑵ 三垂线定理及其逆定理 已知 PO⊥α,斜线 PA 在平面 α 内的射影为 OA,a 是平面 α 内的一条直线。 ① 三垂线定理:若 a⊥OA,则 a⊥PA。即垂直射影则垂直斜 线。 ② 三垂线定理逆定理:若 a⊥PA,则 a⊥OA。即垂直斜线则 垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 (二)、其他定理: (1)确定平面的条件:①不共线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线或平行直线; (5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。 (6)异面直线的判定:①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 (8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。 考点六 线面、面面关系判断题 1.已知直线l、m、平面α 、β ,且l⊥α ,m ? β ,给出下列四个命题: (1)α ∥β ,则l⊥m (2)若l⊥m,则α ∥β (3)若α ⊥β ,则l∥m (4)若l∥m,则α ⊥β 其中正确的是__________________. 2. m、n 是空间两条不同直线, ?、? 是空间两条不同平面,下面有四个命题: ① ③
图 2-8 三垂线定理

m ? ? ,n ? , ? ? ? m ? n  ; m ? n, ? ? , m ? ? n ? ?   ;

② ④

m ? n, ? ? , m ? ? ? n ?   ; m ? ? , m n, ? ? ? n ? ?   ;

其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)。 5. 关于直线m、n与平面 ? 与 ? ,有下列四个命题: ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ;

③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; ④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n ;

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其中真命题的序号是_________________. 练习 1.判断下面命题的正确的是 平行于同一直线的两平面平行. 垂直于同一平面的两直线平行. 平行于同一平面的两直线平行. 垂直于同一直线的两平面平行. 平行于同一平面的两平面平行. 垂直于同一平面的两平面平行. 2 空间不重合的三平面可以把空间分成 部分,正方体六个面所在平面把空间分成 部分. 3 若 a , b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a ,c 的位置关系是( ) A.相交,平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 4 设 b,c 表示两条直线,?,?表示两个平面,下列命题中正确的是 A.若 b ? ??,c∥?,则 b∥c B.若 b ? ?,b∥c,则 c∥? C.若 c∥??c⊥?,则?⊥? D.若 c∥???⊥??则 c ? ? 5 设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) A,若 m ? n, m ? ? , n // ? ,则 ? // ? C,若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n A. a ? ? , b // ? , ? ? ? B,若 m // ? , n // ? , ? // ? , 则 m // n D,若 m // n, m // ? , n // ? , 则 ? // ? ) B. a ? ? , b ? ? , ? // ? )

6 设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则能推出 a ? b 的一个条件是 (

9 已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(

10 已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ③ m // n, m // ? ? n // ? ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 11 设有直线 m, n 和平面 ? , ? .下列四个命题中,正确的是( ) A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? A.若 l ? ? , ? ? ? , 则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? ① m // n, m ? ? ? n ? ? ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n

B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? ) B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? .

12 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是(

13 已知直线 a , b 和平面 ? ,下述推理中正确的有

14 如下左图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, ①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60? 角;④DM 与 BN 垂直; 以上四个命题中,正确命题的序号是 ( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 练习:下左二图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ⑴AB 与 EF 所在直线平行;⑵AB 与 CD 所在直线异面; ⑶MN 与 BF 所在直线成 60°; ⑷MN 与 CD 所在直线垂直; 其中正确命题的序号是________.

18

考点四 平行与垂直的证明 1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

D1
A1

C1

B1

E

D
A B

C

2.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D1
求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1

C1 B1

A1 D O A

C B

3.如图,PA ? 矩形 ABCD 所在平面,M 、N 分别是 AB 和 PC 的中点. (Ⅰ)求证: MN ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: MN ? CD ; (Ⅲ)若 ?PDA ? 45 ,求证: MN ? 平面 PCD .

P

A M B

N D C

19

4.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, N 为 AE 的中点,AF=AB=BC=FE= (I) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (II) 证明 BN // 平面 CDE;

F N A B C M

E

1 AD 2

D

5.在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂 直,已知菱形 ABCD 中∠ADC=60°,M 是 PA 的中点,O 是 DC 中点. (1)求证:OM // 平面 PCB;(2)求证:PA⊥CD; (3)求证:平面 PAB⊥平面 COM.

P

C O D

M

B

A

7.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB;(2)证明 PB⊥平面 EFD
F D E P

C

A

B

20

异面直线所成的角,线面角,二面角的求法★★★
1.求异面直线所成的角 ? ? ? 0?,90?? : 1.定义法:解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条 直线平移另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线 平移法 二证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。常需要证明线线 平行;三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角; 2.向量法求异面直线所成的角:若异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,异面直线所成 |a· b| 的角为 θ,则 cosθ=|cos〈a,b〉|= . |a||b| 2 求直线与平面所成的角 ? ??0?,90?? :关键找“两足”:垂足与斜足 1.定义法:解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理 的应用);二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线 面垂直);三计算:常通过解直角三角形,求出线面角。 2.向量法:求出平面的法向量 n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为 θ,则 sinθ=|cos〈n, |n· a| a〉|= . |n||a| 3 求二面角的平面角 ? ? ?0, ? ? 解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角; 二证: 证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法); 三计 算:通过解三角形,求出二面角的平面角。 2.向量法求二面角:求出二面角 α-l-β 的两个半平面 α 与 β 的法向量 n1,n2,若二面角 α -l-β 所成的角 θ 为锐角,则 cosθ=|cos〈n1,n2〉|= |n1· n2 | ; |n1||n2| |n1· n2 | . |n1||n2|

若二面角 α-l-β 所成的角 θ 为钝角,则 cosθ=-|cos〈n1,n2〉|=- 五、距离的求法:

(1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的 距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。 注意:求点到面的距离的方法:

21

①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式。 (2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关键是找出或构造出 这个平面;③转化为面面距离; (3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化; 例题:如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异 面直线 BE 与 SC 所成角的大小为( A.90° B.60° ) C.45° D.30°

2 正方体 ABCD ? A B C D 中,异面直线 CD 和 BC 所成的角的度数是_________________.
' ' ' '
' '

7.如图 7, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E, F 分别是 所成角的角______________.

A1 D1



C1 D1

中点, 求异面直线

AB1

与 EF

考点二 体积、距离、角等问题 1.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的

1 ,则它的体积是原来的______________. 2
.

2.已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π ,则它的体积是

3. 如图 8 所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点, 则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为_____________.
22

第3题 4. 如图 9-1-4,在空间四边形 ABCD 中, AC ? BD 则 EF 与 AC 所成角的大小为_____________. 5.如上右三图在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AA1 ,则直线 CB1 与平面 AA1 B1 B 所成角的正 弦值为_______________. 6 如图 9-3-6,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 BD1 与平面 ABCD 所成的角的正 切值为_______________.
P

A C? B D , E, F 分别是 AB、CD 的中点,

D1 A1
C

O
A1

C1 B1

D
A M B

C
A1

A
A1

A1

B
A1

图 9-3-6

图 9-3-1

图7

7.如图 9-3-1,已知 ?ABC 为等腰直角三角形, P 为空间一点,且 AC ? BC ? 5 2, PC ? AC , PC ? BC , PC ? 5 , AB 的中点为 M ,则 PM 与平面 ABC 所成的角为 8.如图 7,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平 面 AB C1D1 的距离为__________________. 9.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 ______________. 10.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 , AA1 ? 1, 则顶点 A、B 间的球面距离是_________________.

? 平面 11. 已 知 点 A, B, C , D 在 同 一 个 球 面 上 , A B
AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是

? B, CB DC
.

C , D 若

23

12. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是_________________. 13.△ABC 的顶点 B 在平面 a 内, A、C 在 a 的同一侧,AB、BC 与 a 所成的角分别是 30°和 45°,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5,则 AC 与 a 所成的角为_________. 14.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为_____________. 15.已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为

32 ? ,则正方体的棱长为_________. 3

16. 一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为_________. 考点五 异面直线所成的角,线面角,二面角证明 1.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD.求证:(1)平面 PAC⊥平面 PBD; (2)求 PC 与平面 PBD 所成的角;

2.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异 面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 _____________.

5. 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD,且 PA =AB,点 E 是 PD 的中点.(1)求证: AC ? PB ;(2)求证: PB// 平面 AEC; (3)若 PA ? AB ? AC ? a ,求三棱锥 E-ACD 的体积;(4)求二面角 E-AC-D 的大 小.

24

立体几何中的向量方法(理科) 例题:如图,直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的高为 3,底面是边长为 4 且∠ DAB=60° 的菱形, AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E 是 O1A 的中点. (1)求二面角 O1-BC-D 的大小; (2)求点 E 到平面 O1BC 的距离. 解 (1)∵ OO1⊥平面 AC, ∴ OO1⊥ OA,OO1⊥ OB,又 OA⊥ OB, 建立如图所示的空间直角坐标系(如图) ∵底面 ABCD 是边长为 4,∠ DAB=60° 的菱形, ∴ OA=2 3 ,OB=2, 则 A(2 3 ,0,0),B(0,2,0),C(-2 3 ,0,0), O1(0,0,3) 设平面 O1BC 的法向量为 n1 =(x,y,z),
? 则 n1 ⊥O1 B , n1 ⊥O1C ,∴ ? ? 2 y ? 3z ? 0

D1 A1 E D A

O1 B1

C1

O B

C

? ? ?2 3 x ? 3 z ? 0

,则 z=2,则 x=- 3 ,y=3,

∴n1 =(- 3 ,3,2),而平面 AC 的法向量 n2 =(0,0,3) ∴ cos< n1 , n2 >= n1 ? n2
? 6 1 ? , 3? 4 2

| n1 | ? | n2 |

设 O1-BC-D 的平面角为 α, ∴ cosα= , ∴ α=60° .故二面角 O1-BC-D 为 60°. (2)设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d,∵E 是 O1A 的中点,∴ EO1 =(- 3 ,0, 则 d= | EO1 ? n | ? | n1 |
3 | (? 3,0, ) ? (? 3,3,2) | 3 3 2 ? ,∴点 E 到面 O1BC 的距离等于 . 2 2 (? 3 ) 2 ? 3 2 ? 2 2

1 2

3 ), 2

例 题 : 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
(1)求证: AO ? 平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离. ⑴ 证明 连结 OC D O x B E C 25 y z A

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.
BO ? DO, BC ? CD , CO ? BD .
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2 , ? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
BD OC ? O, ∴ AO ? 平面 BCD .
(2)解 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,

1 3 则 B(1,0,0), D(?1,0,0), C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
? cos ? BA, CD ?? BA ? CD BA ? CD ? 2, 4

∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

2 . 4

⑶解

设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

? ? ?x ? z ? 0 ?n ? AD ? ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 ,∴ ? , ? 3 y ? z ? 0 ? n ? AC ? ( x , y , z ) ? (0, 3, ? 1) ? 0 ? ? ?
令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量. 又 EC ? (? ,

EC ? n 1 3 3 21 , 0), ∴点 E 到平面 ACD 的距离 h ? . ? ? 2 2 7 7 n
D1 A1 C1 B1 D E A F B C

例题:如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2,

AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 E1

解法一:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, A1 D1 F1 P O F B C26 C1 B1

E1 E A

D

又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO, 所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△ CC1F,∵

OP OF 1 2 ? ∴ OP ? , ?2 ? CC1 C1F 2 22 ? 22

2 OP 7 1 14 2 2 ? 2 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? ,所以 ?3 ? BP 7 2 2 14 2
二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7
D1

z C1 B1 D E M F ) , 所 以 C B

解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 A1 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, E1 ,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0), C1 ( 0,2,2 ) ,E ( A (

y

3 2

,

1 ? 2

,0



,E1

3

x ,-1,1

EE1 ? (

3 1 , ? ,1) , CF ? ( 3, ?1,0) , CC1 ? (0,0, 2) FC1 ? (? 3,1,2) 设平面 CC1F 的法 2 2
? ? n ? CF ? 0 ? ?n ? CC1 ? 0
所 以 ?

向 量 为 n ? ( x, y, 则 z) ?

? ? 3x ? y ? 0 取 n ? (1, 3,0) , 则 ? ? z?0

n ? EE1 ?

3 1 ?1 ? ? 3 ? 1? 0 ? 0 ,所以 n ? EE1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . 2 2
? ? n1 ? FB ? 0 ? ? n1 ? FC1 ? 0
所以

( 2 ) FB ? (0, 2,0) , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ?

27

y1 ? 0 ? ? ,取 n1 ? (2,0, 3) ,则 n ? n1 ? 2 ?1 ? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 2 , ? ? ?? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0
| n |? 1 ? ( 3) 2 ? 2 , | n1 |? 22 ? 0 ? ( 3) 2 ? 7 ,
所以 cos? n, n1 ? ?

n ? n1 2 7 , 由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角 , 所以二面角 ? ? 7 | n || n1 | 2 ? 7
7 . 7

B-FC 1 -C 的余弦值为

例题:如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? a , 点 E 在棱 PC 上. (Ⅰ)问点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明; (Ⅱ)当 PA // 平面EBD 时,求点 A 到平面 EBD 的距离; (Ⅲ)求二面角 C ? PA ? B 的余弦.

P E D C

A

B

例题:如图,在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAB⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, △PAB 等边三角形. (1)求二面角 B—AC—P 的大小; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离.

28


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