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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离(教师版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 19:空间角与空间距离
一、选择题 1 . (2009 高考(北京理))若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则

A1C1 到底面 ABCD 的距离为
A.





3 3

B.1

C. 2
【答案】D

D. 3

【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.
? 属于基础知识、基本运算的考查.依题意, ?B1 AB ? 60 , BB1 ? 1? tan 60 ? 3 ,故选 D.

?

2 . (2013 届北京西城区一模理科) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为底面

ABCD 上的动点,
( )

PE ? AC 于 E ,且 PA ? PE ,则点 P 的轨迹是 1

A.线段
【答案】A 二、解答题

B.圆弧

C.椭圆的一部分

D.抛物线的一部分

3 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , E
?

是 AB 的中点, MA ⊥平面 ABCD ,且在矩形

N M

3 7 . ADNM 中, AD ? 2 , AM ? 7 (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小.

D

C B

A
【答案】解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD .

E

由已知 DN ? 平面 ABCD ,
第 1 页,共 42 页

z N M F D C A 因为 x E B y

DN ? DB ? D ,

所以 AC ? 平面 NDB .……………………2 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .……………………4 分 (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .…………………………7 分 又 EF ? 平面 MEC ,

AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC . ……………………………………………………………9 分
(Ⅲ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D(0,0,0) , E ( 3, 0, 0) , C (0, 2,0) ,

M ( 3, ?1,

3 7 ). 7

???? ? ??? ? 3 7 CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, ) .…………………………………………10 分 7
设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

??? ? ?CE ? n ? 0, ? 则 ? ???? ? ? EM ? n ? 0. ?
? 3 x ? 2 y ? 0, ? 所以 ? 3 7 z ? 0. ?y ? 7 ?
令 x ? 2. 所以 n ? (2, 3,

21 ) .……………………………………………………………12 分 3
第 2 页,共 42 页

又平面 ADE 的法向量 m ? (0,0,1) , 所以 cos ? m , n ??

m?n 1 ? . m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ………………………………………14 分

4 . (2013 届北京丰台区一模理科)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB∥MD,且

NB=1,MD=2; (Ⅰ)求证:AM∥平面 BCN;
M

(Ⅱ)求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值; (Ⅲ)E 为直线 MN 上一点,且平面 ADE⊥平面 MNC,求 值. .
D

ME MN
E N C



【答案】解: (Ⅰ)∵ABCD 是正方形,

A

B

∴BC∥AD. ∵BC?平面 AMD,AD ? 平面 AMD, ∴BC∥平面 AMD. ∵NB∥MD, ∵NB?平面 AMD,MD ? 平面 AMD, ∴NB∥平面 AMD. ∵NB ? BC=B,NB ? 平面 BCN, BC ? 平面 BCN, ∴平面 AMD∥平面 BCN…………………………………………………………………………………3 分 ∵AM ? 平面 AMD, ∴AM∥平面 BCN…………………………………………………………………………………………4 分 (也可建立直角坐标系,证明 AM 垂直平面 BCN 的法向量,酌情给分) (Ⅱ)? MD ? 平面 ABCD,ABCD 是正方形,所以,可选点 D 为原点,DA,DC,DM 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系(如图)…………………………………………………………………5 分

第 3 页,共 42 页

则 A?2,0,0? , M ?0,0,2? , C ?0,2,0? , N ?2,2,1? .

? AN ? (0,2,1) ,
…6 分

……………………………………

z M

MN ? (2,2,?1) , MC ? (0,2,?2) ,
设平面 MNC 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,
E

? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ,2,2 , z ? 2 ,则 n ? ? ?1 , ? … 7 令 ? 则 ? 2 y ? 2z ? 0

A

N D C y

设 AN 与平面 MNC 所成角为 ? ,

B

x

? sin? ? cos AN , n ?

2 ? 2 ? 1? 2 2 5 ? 5 5 ?3 . ……

9分

???? ???? ? ME ? ? ,? ME ? ? MN , MN ???? ???? ? 又? ME ? ( x, y, z ? 2), MN ? (2, 2, ?1) ,
(Ⅲ)设 E ( x, y, z ) ,

?E 点的坐标为 (2? , 2? , 2 ? ? ) , …………………………………………………………………11 分
? AD ? 面 MDC,? AD ? MC ,
欲使平面 ADE⊥平面 MNC,只要 AE ? MC ,

??? ???? ? ? ??? ? ???? ? ? AE ? (2? ? 2, 2? , 2 ? ? ), MC ? (0, 2, ?2) ,? AE ? MC ? 0 ? 4? ? 2(2 ? ? ) ? 0 ,

?? ?

2 ME 2 ? . ………………………………………………………………………………14 分 ? 3 MN 3

5 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理试题)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,





SAC
2







ABC





,

E, O







SC, AC





点, SA ? SC ?

, BC ?

1 AC , ?ASC ? ?ACB ? 90 ? . 2

第 4 页,共 42 页

S

E A O F B

C

(1)求证: OE //平面 SAB ; (2)若点 F 在线段 BC 上,问:无论 F 在 BC 的何处,是否都有 OE ? SF ?请证明你的结论; (3)求二面角 B ? AS ? C 的平面角的余弦值.

【答案】解:(1)? E,O 分别是 SC, AC 的中点

? OE // SA
又? OE ? 平面 SAB ? OE //平面 SAB
S

E A O F B

C

(2) 在 ?SAC 中,? OE // AS , ?ASC ? 90 ? ? OE ? SC

? 平面 SAC ? 平面 ABC , ?BCA ? 90 ?

? BC ? 平面 ASC , OE ? 平面 ASC ? BC ? OE ? OE ? 平面 BSC
? SF ? 平面 BSC ? OE ? SF
第 5 页,共 42 页

? BC ? AS

所以无论 F 在 BC 的何处,都有 OE ? SF (3) 由(2) BC ? 平面 ASC 又? ?ASC ? 90 ?

? AS ? SC ? AS ? 平面 BCS ? AS ? SB ? ?BSC 是二面角 B ? AS ? C 的平面角
在 Rt ?BCS 中 cos ?BSC ?

6 3 6 3

所以二面角 B ? AS ? C 的平面角的余弦值为

法二: (2)? O 是 AC 的中点, SA ? SC ? SO ? AC 又? 平面 SAC ? 平面 ABC ? SO ? 平面 ABC 同理可得 BC ? 平面 ASC 在平面 ABC 内,过 O 作 OM ? AC 以 O 为原点, OM , OC , OS 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐 标系,如图所示,则 O (0,0,0) A(0,?1,0) , B (1,1,0) , C (0,1,0) , S (0,0,1) ,

AS ? (0,1,1) , AB ? (1,2,0) ,
z S

E A y

O

C

M B

F

1 1 ? F ? BC ,设 F (x,1,0) ,则 SF ? ( x,1,?1) , OE ? (0, , ) 2 2
SF ? OE ? 0 恒成立,所以无论 F 在 BC 的何处,都有 OE ? SF
(3)由(2)知平面 ASC 的法向量为 BC = (?1, 0, 0) 设平面 SAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则 n ? AS ? 0 , n ? AB ? 0
第 6 页,共 42 页

??? ?

?

即?

? y?z ?0 ?x ? 2 y ? 0

令 y ? 1 ,则 x ? ?2 , z ? ?1

n ? (?2,1,?1)
cos ? n ? BC ?? n ? BC | n | ? | BC | ? 6 3

所以二面角 B ? AS ? C 的平面角的余弦值为

6 3

6 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)如
P

图, 在三棱 PAB ? 平

锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2, BC ? 3 , ?ABC ? 90 ° ,平面 面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. (Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小.
B

A D E C

【答案】解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点,

?DE//BC .

P _

?DE?平面 PBC,BC?平面 PBC,
?DE//平面 PBC .…………………………4 分 (Ⅱ)连结 PD,

?PA=PB, ? PD ? AB. …………………………….5 分 ? DE / / BC ,BC ? AB,
B _ D _

A _ E _ C _

第 7 页,共 42 页

? DE ? AB. .... .......................................................................................................6 分
又? PD ? DE ? D ,

?AB ? 平面 PDE.......................................................................................................8 分

?PE?平面 PDE,
?AB ? PE . ..........................................................................................................9 分
(Ⅲ)?平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,

? PD ? 平面 ABC................................................................. ................................10 分
如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ?B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 . ? PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, , ? 3 ) 2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,
? x ? 3 z ? 0, ? 令z? 3 ? ?3 ? y ? 3 z ? 0, ?2 ?? 得 n1 ? (3, 2, 3) . ............................11 分

z P _

A _ D _ B _ _ E y C _

?DE ? 平面 PAB,

x

?? ? ?平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1, 0) .………………….......................................12 分
设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ,[来源:学&科&网 Z&X&X&K] ? n1 ? n2 2
所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60? . ..........................................14 分[

7 . (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)如图,

ABCD 是正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? DA ? 3 AF . (Ⅰ) 求证: AC ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM // 平面 BEF ,证明你的结论.

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E

F D

A

B

C

【答案】(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD ,

所以 DE ? AC 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 所以 AC ? 平面 BDE , 从而 AC ? BE (Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示
z
E

F D A M B C

x

y

设 AD ? 3 ,可知 DE ? 3, AF ? 1 则 D(0,0,0) , A(3, 0, 0) , F (3,0,1) , E (0,0,3) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0,?3,1) , EF ? (3,0,?2) ,

??? ? ?n ? BF ? 0 ?? 3 y ? z ? 0, ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? ? 3 x ? 2 z ? 0. ?n ? EF ? 0 ?
令 z ? 3 ,则 n ? (2,1,3) 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) ,

??? ?

??? ?

第 9 页,共 42 页

所以 cos ? n, CA ? ?

n ? CA n CA

?

7 14
7 14

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

(Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) (0 ? t ? 3 2) . 则 AM ? (t ? 3, t , 0) ,因为 AM // 平面 BEF ,所以 AM ? n ? 0 , 即 2(t ? 3) ? t ? 0 ,解得 t ? 2 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ?

???? ?

???? ?

1 BD ,符合题意 3

8 . (2013 届北京大兴区一模理科)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中

点. (Ⅰ)求证:A1B//平面 ADC1; (Ⅱ)若 AB=BB1=2,求 A1D 与平面 AC1D 所成角的正弦值.

【答案】证明: (I)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以四边形 A1 ACC1 是矩形。

连结 A1C 交 AC1 于 O,则 O 是 A1C 的中点,又 D 是 BC 的中点,所以在 ?ADC1 中, OD / / A1 B 。 因为 A1 B ? 平面 ADC1 , OD ? 平面 ADC1 ,所以 A1 B / / 平面 ADC1 。 (II)因为 ?ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点,所以 AD ? BC 。以 D 为原点,建立如图所示空间

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坐标系 D ? xyz 。由已知 AB ? BB1 ? 2 ,得:

D(0, 0, 0) , A( 3, 0, 0) , A1 ( 3,0, 2) , C1 (0, ?1, 2) .

则 DA ? ( 3,0,0) , DC1 ? (0, ?1, 2) ,设平面 ADC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 。
? ??? ? ? ? n ? DA ? 0 ? 3x ? 0 ? ? 由 ? ? ????? ,得到 ? ,令 z ? 1 ,则 x ? 0 , y ? 2 ,所以 n ? (0, 2,1) . ?? y ? 2 z ? 0 ? n ? DC1 ? 0 ? ?

??? ?

???? ?

?

又 DA1 ? ( 3,0, 2) ,得 n ? DA1 ? 0 ? 3 ? 2 ? 0 ? 1? 2 ? 2 。 所以 cos ? DA1 , n ??
???? ? ? 2 5? 7 ? 2 35 35

???? ?

? ???? ?

设 A1 D 与平面 ADC1 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? DA1 n ?|? 所以 A1 D 与平面 ADC1 所成角的正弦值为
2 35 。 35

???? ??

2 35 。 35

P 9 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,
?

侧面 PAB 是边长为 2 的正三角形,侧面 PAB ? 底面 ABCD . (Ⅰ)设 AB 的中点为 Q ,求证: PQ ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上存在一点 M ,使得二面角 B

A M
Q

D
C

CM M ? BD ? C 的大小为 60 ? ,求 的值. CP

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【答案】(Ⅰ)证明:因为侧面 PAB 是正三角形, AB 的中点为 Q ,所以 PQ ? AB ,

因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,侧面 PAB ? 底面 ABCD ? AB , PQ ? 侧面 PAB , 所以 PQ ? 平面 ABCD . 设 AC ? BD ? O ,建立空间直角坐标系 O ? xyz , ………3 分(Ⅱ)连结 AC ,

则 O (0,0,0) , B( 3 ,0,0) , C (0,1,0) , D (? 3 ,0,0) , P (

3 1 ,? , 3 ) ,………5 分 2 2

PD ? (?

3 3 1 ? , ,? 3 ) ,平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) , 2 2

设斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的为 ? , 则 sin ? ?| cos ? m, PD ?|?| ?

?

? m· PD

|?

| m || PD |

3 30 ? . 10 27 1 ? ?3 4 4

………8 分

(Ⅲ)设 CM ? t CP ? (

3 3 3 3 t ,? t , 3t ) ,则 M ( t ,? t ? 1, 3t ) , 2 2 2 2
………10 分

BM ? (

3 3 t ? 3 ,? t ? 1, 3t ) , DB ? 2 3 (1,0,0) , 2 2
?

DB 设平面 MBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? DB ? n· ? 0 ? x ? 0 , ? ? 3 3 n ? MB ? n· ? 0 ? ( t ? 3 ) x ? (? t ? 1) y ? 3tz ? 0 , MB 2 2
取 z ? 3 ,得 n ? (0,

?

?

?

6t ? , 3 ) ,又平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) ………12 分 3t ? 2

? ? m· n ? ? ? 所以 | ? ? |?| cos ? m, n ?|?| cos 60 | ,所以 |m|n|

3 1 ? , 6t 2 2 3? ( ) 3t ? 2
………14 分

解得 t ? 2 (舍去)或 t ?

2 CM 2 .所以,此时 ? . CP 5 5

10. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 为

正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ;
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(Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

【答案】 (Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO .
z

因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点. 所以 PB// EO . ………………3 分
x A

P E D O B y C

因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . ………………4 分

(Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD .

………………5 分

………………7 分 ………………8 分

由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . …………9 分 设 AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) .

? 3x ? z ? 0,

………………11 分

………………12 分

〈 〉 所以 | cos n, v | ?

| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

………………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角,

第 13 页,共 42 页

所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

………………14 分

解法二:取 AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN . 因为 ABCD 为正方形,所以 MN // CD . 由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD . 因为 PA ? PD ,所以 PM ? AD . 由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M ? xyz .
x A P E D
M

z

C O B
N

y

………………9 分

设 AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) .

? 3x ? z ? 0,

………………11 分

………………12 分

〈 〉 所以 | cos n, v | ?

| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

………………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

………………14 分

11 .( 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 如 图 , 四 边 形

ABCD 是 正 方 形 , EA ? 平 面

, A B C DEA ? PD , AD ? PD ? 2EA ? 2 , F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点. (Ⅰ)求证: FG ? 平面 PED ; (Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60 ?若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.
?

第 14 页,共 42 页

P

H F E D G A B C

【答案】(Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点,所以 FG

? PE .

又 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED (Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , EA ? PD , 所以 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD , PD ? CD . 又因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD ? CD . 如图,建立空间直角坐标系, 因为 AD ? PD ? 2EA ? 2 , z P

H F E D G A x B 所以 D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , A ? 2, 0, 0 ? , C
y

C ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , E (2, 0,1) .
因为 F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, 所以 F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) . 所以 GF ? (?1,0, ) , GH ? (?2, 0, ) .

1 2

??? ?

1 2

????

1 2

第 15 页,共 42 页

1 ? ??? ? ?? x1 ? 2 z1 ? 0 ?n1 ? GF ? 0 ? ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ? ,即 ? , ???? ?n1 ? GH ? 0 ??2 x ? 1 z ? 0 ? 1 1 ? ? 2
再令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1, 0) . PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n2 ? PB ? 0 ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ? , ??? ? ?n2 ? PC ? 0 ?
即?

n1 ? n2 ? 2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 2 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) .所以 cos n1 , n2 = = . n1 ? n2 2 ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

? 4
?

(Ⅲ)假设在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 . 依题意可设 PM ? ? PC ,其中 0 ? ? ? 1 .由 PC ? (0, 2, ?2) ,则 PM ? (0, 2? , ?2? ) . 又因为 FM ? FP ? PM , FP ? (?1, ?1,1) ,所以 FM ? (?1, 2? ? 1,1 ? 2? ) . 因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 , PA ? (2, 0, ?2) ,
?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

? ??? ???? ??? ? ?

???? ?

??? ?

所以 cos FM , PA =

???? ??? ? ?

?2 ? 2 ? 4? 1 1 5 ,即 ? ,解得 ? ? . 2 2 2 ? 1 ? 2(2? ? 1) 2 2 8

所以 PM ? (0, , ? ) , PM ?

???? ?

5 4

5 4

???? ?

5 2 . 4
?

所以在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 ,此时 PM ?

5 2 4

12. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底

面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 N 是 AB 上一点,且 CN //平面 AB1M; (Ⅲ)若 CM ?
C1 B1 A1 M

AN CM ,求证: ? AB CC1

5 ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2

C N A

B

第 16 页,共 42 页

【答案】证明:

(Ⅰ)因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥平面 ABC, 所以 CC1⊥BC. ……………………1 分

因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC. 又因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 AM ? 平面 ACC1A1, 所以 BC⊥AM. ……………………4 分 (Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 NP∥CC1,且 ?ANP ∽ ?ABB1 . ……………5 分 于是有
C1 A1 P B1

……………………2 分

……………………3 分

M

NP BB1

?

AN AB


C B N A

由已知

AN CM NP CM ,有 . ? ? BB1 CC1 AB CC1

因为 BB1=CC1. 所以 NP=CM. 所以 四边形 MCNP 是平行四边形. 所以 CN//MP. 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, 所以 CN //平面 AB1 M. (Ⅲ)因为 BC⊥AC,且 CC1⊥平面 ABC, 所以 以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立
M

……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分 ……………………9 分
z C1 A1 B1

空间直角

坐标系 C-xyz.…………………10 分 因为

5 ,所以 C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4), M (0, 0, ) , C 2 2 ???? 5 AM ? (?2, 0, ) , 2 ???? ? 3 ……………………11 分 B1M ? (0, ?2, ? ) . 2 CM ?

5

y B N A x

设平面 AMB1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AM ? 0 , n ? B1M ? 0 .

???? ?

?????

第 17 页,共 42 页

5 ? ?(?2, 0, 2 ) ? ( x, y, z )=0, ? 即? ?(0, ?2, ? 3 ) ? ( x, y, z )=0. ? ? 2
令 x ? 5 ,则 y ? ?3, z ? 4 ,即 n ? (5, ?3,4) . 又平面 MB1C 的一个法向量是 CA=(2, 0, 0) , 所以 ……………………12 分

??? ?

??? ? ??? ? n ? CA 2 ? . c o s n CA > = ??? ? ? , | n | CA | 2 |

……………………13 分

由图可知二面角 A-MB1-C 为锐角, 所以 二面角 A-MB1-C 的大小为

? . 4

……………………14 分

13.北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 (本小题满分 14 分) ( ) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1

中, AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 为 BB1 中点. (Ⅰ)证明: AC ? D1 E ; (Ⅱ)求 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ?若存在,求 DP 的长;若不存在,说明 理由.
D1 A1 C1

B1

【答案】 (Ⅰ)证明:连接 BD

∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体, ∴ D1 D ? 平面 ABCD ,
A D B

E D1
A1

z

C1

C

B1

又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC ………………1 分

E

D A x B

C y

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC ………………2 分

第 18 页,共 42 页

又 BD ? D1 D ? D ∴ AC ? 平面 BB1 D1 D , ∴ AC ? D1 E ………………3 分 ………………4 分 而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 Dxyz ,则

??? ? ???? ? ???? A(1, 0, 0), D1 (0, 0, 2), E (1,1,1), B(1,1, 0) , AE ? (0,1,1), AD1 ? (?1, 0, 2), DE ? (1,1,1)
设平面 AD1 E 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ?? x ? 2 z ? 0 令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1) ? ?y ? z ? 0 ? ???? ? ???? n?DE 2 ?1 ?1 2 cos ? n, DE ?? ? ???? ? ? 3 3? 6 n ?DE
所以 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值为

? ???? ? ?n?AD1 ? 0 ? ? ? ? ??? ?n?AE ? 0 ?

………………7 分

………………9 分

2 3

………………10 分

(Ⅲ)假设在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E . 设 P 的坐标为 (t ,0,0) (0 ? t 所以

??? ? ? 1) ,则 BP ? (t ? 1, ?1, 0) 因为 BP ∥平面 AD1 E
………………13 分

??? ? ? ??? ? ? 1 BP ? n , 即 BP?n ? 0 , 2(t ? 1) ? 1 ? 0 ,解得 t ? , 2

所以 在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ,此时 DP 的长

1 .……14 分 2

14. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1, E 为

CD 的中点, F 为 AA1 的中点. (I)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 E ; (II)求证: DF // 平面 AB1 E ;
(III)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 ,求 AB 的长.
?

第 19 页,共 42 页

A1 B1
F

D1 C1

A
E

D

B

C

【答案】(I)证明:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

因为 A1 B1 ? 平面 A1 ADD1 ,所以 A1 B1 ? AD1 . 因为 AA1 ? AD ,所以四边形 ADD1 A1 为正方形, 因此 AD1 ? A1 D ,又 A1 B1 ? A1 D ? A1 ,所以 AD1 ? 平面 A1 B1 D . 又 A1 B1 // CD ,且 A1 B1 ? CD ,所以四边形 A1 B1CD 为平行四边形. 又 E 在 CD 上,所以 AD1 ? 平面 A1 B1 E (II)取 AB1 的中点为 N ,连接 NF .

1 1 A1 B1 且 NF ? A1 B1 , 2 2 1 因为 E 为 CD 的中点,所以 DE ? CD ,而 CD // A1 B1 ,且 CD ? A1 B1 , 2 所以 NF // DE ,且 NF ? DE ,因此四边形 NEDF 为平行四边形,
因为 F 为 AA1 的中点,所以 NF // 所以 DF // EN ,而 EN ? 平面 AB1 E ,所以 DF // 平面 AB1 E (III)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? a ,

第 20 页,共 42 页

z

A1 B1
F N

D1 C1

y

A
x

E

D

B

C
?a ? ,1,0 ?, B1 ?a,0,1? , ?2 ? ?a ? ,1,0 ? . ?2 ?

则 A?0,0,0?, D?0,1,0?, D1 ?0,1,1?, E ?

故 AD1 ? ?0,1,1?, AB1 ? ?a,0,1?, AE ? ? 由(I)可知 AD1 ? 平面 A1 B1 E ,

所以 AD1 是平面 A1 B1 E 的一个法向量. 设平面 AB1 E 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? , 则 n ? AB1 ? 0, n ? AE ? 0 ,

?ax ? z ? 0, ? 所以 ? a ?2 x? y ? 0 ?
令 x ? 1,则 y ? ? 所以 n ? ?1,?

a , z ? ?a , 2

? ?

a ? ,? a ? . 2 ?

设 AD1 与 n 所成的角为 ? ,则 cos? ?

n ? AD1 n AD1

?

a ?a 2 . a2 2 1? ? a2 4 ?

第 21 页,共 42 页

? 因为二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 ,所以 cos? ? cos 45 ,即
?

3a 2 2 1? 5a 2 4

?

2 , 2

解得 a ? 1 ,即 AB 的长为 1
15. (2013 届北京西城区一模理科)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形,

AB // CD , AB ? 2BC ,
?ABC ? 60? , AC ? FB .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 ED 上是否存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC ?证明你的结论.

【答案】 (Ⅰ)证明:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 ,

?

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . ………………4 分 ………………2 分

(Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . ………………5 分

所以 CA, CF , CB 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系 C ? xyz . ………………6 分在等腰梯 形 ABCD 中,可得 CB ? CD . 设 BC ? 1 ,所以 C (0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), D(

3 1 3 1 , ? , 0), E ( , ? ,1) . 2 2 2 2

所以 CE ? (

3 1 ,? ,1) , CA ? ( 3 ,0,0) , CB ? (0,1,0) . 2 2

第 22 页,共 42 页

??? ? ?n ? CE ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? CA ? 0. ?
? 3 1 x ? y ? z ? 0, ? 所以 ? 2 2 ? 3 x ? 0. ?
取 z ? 1,得 n ? (0, 2,1) . ………………8 分

??? ? ??? ? | CB ? n | 2 5 ? ? 设 BC 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? | cos?CB, n? | ? ??? , 5 | CB || n |
所以 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 5 . 5

………………9 分

(Ⅲ)解:线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .证明如下:

………………10 分

3 1 3 1 ,? , t ) (0 ? t ? 1) ,所以 CQ ? ( ,? , t ) . 2 2 2 2 ??? ? ?m ? CB ? 0, ? 设平面 QBC 的法向量为 m ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ?m ? CQ ? 0. ?
假设线段 ED 上存在点 Q ,设 Q(

?b ? 0, 2 ? 所以 ? 3 取 c ? 1 ,得 m ? (? t ,0,1) . 1 3 a ? b ? tc ? 0. ? ? 2 2
要使平面 EAC ? 平面 QBC ,只需 m ? n ? 0 , 即 ?

………………12 分

………………13 分

2 t ? 0 ? 0 ? 2 ? 1?1 ? 0 , 此方程无解. 3
………………14 分

所以线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .

16. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=AD=2 ,

点 E 在棱 CD 上,且 CE= CD . (Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 D ;
D

1 3

E C

( Ⅱ ) 在 棱 AA1 上 是 否 存 在 点 P , 使 DP ∥ 平 面

B1 AE ?
若存在,求出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由;

A

B

D1 C1

第 23 页,共 42 页
A1 B1

(Ⅲ)若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 长.

30 ,求棱 AB 的 6

【答案】证明: (Ⅰ)在长 方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
D

E C

因为 A1 B1 ? 面 A1 D1 DA , 所以 A1 B1 ? AD1 . ……………………2 分
A B

在矩形 A1 D1 DA 中,因为 AA1=AD=2 , 所以 AD1 ? A1 D .
A1

D1 C1

所以 AD1 ? 面 A1 B1 D . ………………………4 分

B1

(Ⅱ)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以 D1 为原点建立空间直角坐标系 D1 ? xyz . 依题意可知, D1 (0, 0, 0), A1 (2, 0, 0), D(0, 0, 2) ,
D z

E C

A(2,0, 2) ,
设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x, 0), B1 (2, x, 0) ,
A B

2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) . 3
D1

y C1

假设在棱 AA1 上存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE . 设点 P (2, 0, y ) ,则 DP ? (2, 0, y - 2) ,

??? ?

A1 x B1

??? ? AP ? (0, 0, y - 2) .
易知 B1 E=(-2, - x, 2), AE ? (-2,

????

1 3

??? ?

2 x, 0) . 3

设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,

第 24 页,共 42 页

1 ? ???? ?-2a - 3 xb ? 2c = 0 ? B1E ? n = 0 ? ? 则 ? ??? ,即 ? .………………………………………………7 分 ? ? AE ? n = 0 ? -2a + 2 xb = 0 ? ? 3 ?

3 3 x ,所以 n ? ( x,3, x) . 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE .
令 b ? 3 得, a ? x, c ?

3 2 x ? 0 ,所以 y ? . 2 3 ??? ? ??? 4 ? 4 4 所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ? ,所以 AP 的长为 .………………………………9 分 3 3 3
得 2 x + ( y - 2) ? (Ⅲ)因为 CD ∥ A1 B1 ,且点 E ? CD , 所以平面 A1 B1 E 、平面 A1 B1 D 与面 A1 B1CD 是同一个平面. 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1 B1 D , 所以 D1 A ? (2, 0, 2) 是平面 A1 B1 E 的一个法向量. 由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3,

???? ?

………………………………11 分

3 x) . 2

因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为

30 , 6
2 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 2
2

???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n
故 AB 的长为 3 2 .

,解得 x ? 3 2 .

…………………………………………………………14 分

17 .( 2013

北 京 海 淀 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 如 图

1, 在 直 角 梯 形 ABCD

中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 ,

AD ? 4 . 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 ABC 上的正投影

H 恰好落在线段 AC 上,连接 PB ,点 E , F 分别为线段 PA, AB 的中点.
(I) 求证:平面 EFH / / 平面 PBC ; (II)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值; (III)在棱 PA 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, H , A, F 四点的距离相等?请说明理由.

第 25 页,共 42 页

D

P E
C

A

图1

B

A F

H B
图2

C

【答案】解:(I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上

所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC 因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 , AD ? 4 所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E, CP ? PB ? P 所以 EFH / / PBC 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系,
z P E A F x H B C y

则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0)

???? 因为 E (0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3)

? PHB 的法向量为 n ? ( x, y , z ) 设平面

??? ? ??? ? HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3) 因为
第 26 页,共 42 页

所以有

??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? ? ? ??? ? ? HP ? n ? 0 ?

,即

? 3x ? y ? 0 ? ? ?z ? 0 ?

,

令 x ? 3, 则 y ? ?3,

? n ? ( 3, ?3,0) 所以

? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3

3 所以直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值为 4
(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可

因为在直角三角形 PHA 中,

EH ? PE ? EA ?

1 PA ? 2 2 ,

在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4,

EF ?

1 PB ? 2 2

所以点 E 到四个点 P, O, C, F 的距离相等

18. (北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学)(本小题满分 13 分)

已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面ABCD ,且 PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值
P

E

A

D

B

C

【答案】(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)

第 27 页,共 42 页

P

E

A

D

O B C

证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO ?O 为 BD 中点,E 为 PD 中点, ∴EO//P B ?EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC, ∴ PB//平面 AE C.
P

E

A

D

B

C

(Ⅱ)证明: PA⊥平面 ABC D.

CD ? 平面 ABCD, ∴ PA ? CD 又?在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A , ∴CD ? 平面 PA D 又? CD ? 平面 PCD, ∴平面 PCD ? 平面 PAD
(Ⅲ)如图,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空 间直角坐标系
z P

E

A B C x

D y

第 28 页,共 42 页

由 PA=AB=2 可知 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1)

?PA ? 平面 ABCD,∴ AP 是平面 ABCD 的法向量, AP =(0, 0, 2).
设平面 AEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AE ? (0, 1, 1), AC ? (2, 2, 0) , 则?

?n ? AE ? 0, ? ?n ? AC ? 0. ?
? z ? ? y, ? ? x ? ? y.

即?

?0 ? y ? z ? 0, ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 0.



∴ 令 y ? ?1 ,则 n ? (1, ? 1, 1) ∴ cos ? AP, n ??

AP ? n | AP | ? | n |

?

2 2? 3
6 3

?

1 3

,

二面角 E ? AC ? D 的正弦值为

19. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

?BAC ? 90? ,
AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.
A1 C1

B1

A E B

C

【答案】(I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO
第 29 页,共 42 页

因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 ………………4 分 ………………2 分

(Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1(2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? ( ?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) , 因为 B1M ? C1E ,所以 B1M ? C1E ? 0 ,解得 m ? 1 ,所以 AM ? 1 (Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) ,

?????

???? ?

????? ???? ?

………………8 分

??? ?

???? ?

? 设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y , z ) ,

??? ? ? ? AE ? n ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? 则有 ? ???? ? ,得 ? , ?y ? z ? 0 ? AC1 ? n ? 0 ?

y ? ?1, 令 ? , n?( ? 1



x ? 1, z ? 1
1 , 1













,

………………10 分 ) ………………11 分 以

??? ? 因为 AC ? 平面 ABB1 A1 ,取平面 ABB1 A1 的法向量为 AC ? (0,2,0)


c

? ?A

? A ? ? |A

3 3

o

? C

?

………………13 分[来源:Zxxk.Com] 平 面

AEC1







ABB1 A1























3 3

………………14 分

20. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 已知正三角形 ACE 与平行四边形 ABCD 所在的平 )

面互相垂直. 又 ?ACD ? 90? ,且 CD ? 2, AC ? 2 ,点 O, F 分别为 AC, AD 的中点.
第 30 页,共 42 页

(I) 求证: CF ? DE (Ⅱ) 求二面角 O ? DE ? C 值.

E B O F A

C D

【答案】(I)因为在正三角形 ACE 中, O 为 AC 中点,

所以 EO ? AC 又平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? CF

2 2 , tan ?ODC ? 2 2 所以 ?FCO ? ?ODC ,所以 ?FCD ? ?ODC ? 90? , 即 CF ? DO ,又 DO ? OE ? O 所以 CF ? 平面 DOE ,所以 CF ? DE (Ⅱ)以 O 为坐标原点, OF , OA, OE 所在直线为坐标轴建立坐标系,
在 Rt?ACD 中, tan ?FCO ?

2 ,0,0), A(0,1,0), C (0, ?1,0), E (0,0,0 3) , D( 2, ?1,0) 2 ??? ? 2 由(I)得平面 DOE 的法向量为 CF ? ( ,1,0) 2 ? 设平面 DCE 的法向量为 n ? ( x, y , z )
则 O(0,0,0), F (

??? ? ??? ? 因为 CD ? ( 2,0,0), CE ? (0,1, 3),

??? ? ? ? ?CD ? n ? 0, ?x ? 0 ? ? 所以 ? ??? ? 解得 ? ,取 n ? (0,3, ? 3) ? ? y ? 3z ? 0 ?CE ? n ? 0, ? ?

? ??? ? 2 所以 cos ? n, CF ? = , 2
所以二面角 O ? DE ? C 的值为

π . 4

21. (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC

上, DE ? AB 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2)). (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.

第 31 页,共 42 页

A

E

P B E D C C B

D

图(1)

图(2)

【答案】 解: (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE ,DE ? PE,

? BE ? PE ? E , ?DE ? 平面 PEB,

? PB ? 平面PEB ,? BP ? DE;

(Ⅱ)?PE ? BE, PE ? DE, DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如 图), ?设 PE= a ,则 B(0,4- a ,0),D( a ,0,0),C(2,2- a ,0),P(0,0, a ), ??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2, 0) , 设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,
?? ? ?(4 ? a ) y ? az ? 0, 令 y ? 1, ? n ? (1,1, 4 ? a ) , ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

z

??? ? ? PD ? (a,0, ?a) ,

y x

?BC 与平面 PCD 所成角为 30°,
??? ? ? ? sin 30? ? cos PD, n

a ? (4 ? a ) 2a 2 ? 2 ? (4 ? a ) a2
2

?

1 4 4 , 解得: a = ,或 a =4(舍),所以,PE 的长为 2 5 5

22. (2013 北京东城高三二模数学理科) 如图,△ BCD 是等边三角形,

AB ? AD , ?BAD ? 90? ,将△ BCD

沿 BD 折叠到△ BC D 的位置,使得 AD ? C B .
' '

(Ⅰ)求证: AD ? AC ;
'

(Ⅱ)若 M , N 分别是 BD , C?B 的中点,求二面角 N ? AM ? B 的余弦值.

第 32 页,共 42 页

A

C
B

D

N A D M
C

B

【答案】(共 14 分)

(Ⅰ)证明:因为 ?BAD ? 90 所以 AD ? AB ,

?

又因为 C B ? AD ,且 AB ? C B ? B ,
'
'

所以 AD ? 平面 C AB ,
'

因为 AC ? 平面 C AB ,
' '

所以 AD ? AC .
'

(Ⅱ)因为△ BCD 是等边三角形,

AB ? AD , ?BAD ? 90? ,
不防设 AB ? 1,则 BC ? CD ? BD ? 又因为 M , N 分别为 BD , C B 的中点, 由此以 A 为原点, AB , AD , AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz .
'
'

2,

第 33 页,共 42 页

z C

N A D M B x y

则有 A(0,0,0) , B(1, 0, 0) , D(0,1,0) , C (0, 0,1) , M ( , , 0) , N ( , 0, ) . 所以 AM ? ( , , 0) , AN ? ( , 0, ) . 设平面 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) .

'

???? ?

1 1 2 2

????

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 ?1 ???? ? ? AM ? m ? 0 , ? 2 x ? 2 y ? 0, ? ? 则 ????? 即? 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 .所以 m ? (1, ?1, ?1) . ? AN ? m ? 0. ? 1 x ? 1 z ? 0. ? ?2 ? 2
又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0, 0,1) . 所以 cos ? m , n ??

m ? n ?1 3 ? ?? . m n 3 3

所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为

3 3

23. 2011 年高考 ( (北京理) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2, ?BAD ? 60? )

(Ⅰ)求证: BD ? 平面PAC (Ⅱ)若 PA ? AB ,求 PN 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.
【答案】 【命题立意】本题考查了空间的点、线、面的位置关系,线

P

线垂直、线面垂直的转化,会利用空间直角坐标计算空间角和空间 距离. 【解析】因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD , 又因为 PA ? 平面 ABCD,所以 PA ? BD , 所以 BD ? 平面 PAC (Ⅱ) 设 AC ? BD ? O . 因 为 ?BAD ? 60? , PA=AB=2, 所 以 BO=1,AO=CO= 3 .
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D C B

A

如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz , ??? ? ??? ? 则 P(0, 3, ?2), A(0, ? 3,0), B(1,0,0), C (0, 3,0) ,所以 PB ? (1, 3, ?2), AC ? (0,2 3,0) .

??? ???? ? PB?AC 6 6 ? = 设 PB 与 AC 所成的角为 ? ,则 cos ? ? ??? ???? = | PB | ? | AC| 2 2 ? 2 3 4

??? ? ??? (Ⅲ)由(Ⅱ)知 BC ? (?1, 3,0) .设 P(0, 3, t )(t ? 0) ,则 Bp ? (?1, ? 3, t ) . ? ?? ??? ?? ? ??? ?? ? 设平面 PBC 的法向量 m ? ( x, y, z ) ,则 BC ?m ? 0 , BP?m ? 0
? ?x ? 3y ? 0 ? 所以 ? ? ? x ? 3 y ? tz ? 0 ?

?? 6 6 ,所以 m ? (3, 3, ) t t ? 6 同理,平面 PDC 的法向量 n ? (?3, 3, ) , t ?? ? 36 因为平面 PBD ? 平面 PDC ,所以 m? ? 0 ,即 ?6 ? 2 ? 0 ,解得 t ? 6 . n t
令 y ? 3 ,则 x ? 3 , z ? 所以 PA ? 6

24. 2013 届北京市高考压轴卷理科数学) ( 如图所示,在棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD

为直角梯形, PA ? AD ? DC ? 2, AB ? 4 且 AB // CD , ?BAD ? 90 ,
?

(Ⅰ)求证: BC ? PC (Ⅱ)求 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中,AC= 2

2,

取 AB 中点 E,连接 CE, 则四边形 AECD 为正方形,

? AE=CE=2,又 BE=

则 ?ABC 为等腰直角三角形,

1 AB ? 2 , 2
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? AC ? BC , 又? PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD , ? PA ? BC ,由 AC ? PA ? A 得 BC ? 平面 PAC, ? PC ? 平面 PAC,所以 BC ? PC (Ⅱ)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 分别为 x, y, z 轴,
建立如图所示的坐标系.则 P (0,0,2) ,B(0,4,0), C(2,2,0),

BP ? (0,?4,2), BC ? (2,?2,0)
由(Ⅰ)知 BC 即为平面 PAC 的一个法向量,

cos ? BC , BP ??

BC ? BP | BC || BP |

?

10 , 5
10 5

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

25. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方

形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ? (Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ;

2 AD , E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2

(Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G , 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为

1 ?说明理由. 3

P D A F

E C

B

【答案】(Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F , ABCD 为正方形, F 为 AC 中点,

E 为 PC 中点.∴在 ?CPA 中, EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ∴ EF / /平面PAD

(Ⅱ)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD 所以 CD ? 平面 PAD . ∴ CD ? PA
又 PA ? PD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2
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即 PA ? PD 2 CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC ? PA ? 面 PDC 又 PA ? 面 PAB , ∴面 PAB ? 面 PDC (Ⅲ) 如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且 ?APD ?

?

平面PAD ? 平面ABCD ? AD , ∴ PO ? 平面ABCD ,
而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB ,又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?

2 AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? 1 . 2

以 O 为原点,直线 OA, OF , OP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,

z P D O A x G F B E C y

则有 A(1, 0, 0) , F (0,1, 0) , D(?1, 0, 0) , P(0, 0,1) . 若在 AB 上存在点 G , 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 设 G(1, a,0)(0 ? a ? 2) . 由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? (1, 0, ?1) . 设平面 PGD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .∵ DP ? (1, 0,1), GD ? (?2, ?a, 0) , ∴由 n ? DP ? 0, n ? GD ? 0 可得 ?

1 ,连结 PG, DG. 3

??? ?

?

??? ?

????

? ??? ?

? ????

?

x ? 0? y ? z ? 0

??2 ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0
2

,令 x ? 1 ,则 y ? ?

2 , z ? ?1 , a

? ??? ? ? ? ??? ? 2 n ? PA 故 n ? (1, ? , ?1) ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? a n PA

2? 2?

4 a2

?

2 2? 4 a2

?

1 1 ,解得, a ? . 2 3

所以,在线段 AB 上存在点 G (1, , 0) ,使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为
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1 2

1 3

26. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? ,

BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的
位置,使 A1 D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A1 BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

【答案】 (Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C

? 90?, DE // BC,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE ,? A1D ? BC.

BC ? CD, CD ? BC ? C ,? BC ? 面A1DC .

…………………………4 分

(Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系. ……………………5 分 z A1 D(2,0,0), E (2, 2,0), B(0,3,0), A1 (2,0, 4) . 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A1BC 的一个法向量, 因为 CB ? (0,3,0), CA1 ? (2,0, 4)

??? ?

????

x
E
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?3 y ? 0 所以 ? , ?2 x ? 4 z ? 0

D

C

y

B

令 x ? 2 ,得 y =0, z = ? 1 . 所以 n ? (2,0, ? 1) 为平面 A1BC 的一个法向量. 设 BE 与平面 A1BC 所成角为 ? . 则 sin ? = cos ? BE ? n ? ? ……………………7 分

??? ?

4 4 ? . 5? 5 5
4 . 5
…………………9 分[来源:Zxxk.Com]

所以 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 (Ⅲ)设 D( x,0,0) ,则 A1 ( x,0,6 ? x ),

A1B ? ( x -0) 2 ? (0-3) 2 ? (6-x -0) 2

? 2 x 2 -12 x ? 45
当 x =3 时, A1B 的最小值是 3 3 .

…………………12 分

即 D 为 AC 中点时, A1B 的长度最小,最小值为 3 3 .

…………………14 分

27. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数 学)如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平
D1

面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点。
A1

(Ⅰ)求证: BD1 //平面A1 DE (Ⅱ) 求证: D1 E ? A1 D ( Ⅲ ) 在 线 段 AB 上 是 否 存 在 点 M , 使 二 面 角

D C

A E B

D1 ? MC ? D 的大小为

? ?若存在,求出 AM 的长; 6

若不存在,请说明理由。

【答案】 (Ⅰ) 四边形ADD1 A1为正方形,O是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点,连接 OE 。

? EO为?ABD1 的中位线 ? EO // BD1 ……2 分
又? BD1 ? 平面A1 DE , OE ? 平面A1 DE
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? BD1 //平面A1 DE
(II) 正方形 ADD1 A1 中, A1 D ? AD1

……4 分

由已知可得: AB ? 平面ADD1 A1 , A1 D ? 平面ADD1 A1 …….6 分

? AB ? A1D , AB ? AD1 ? A
? A1 D ? 平面A1DE, D1E ? 平面AD1E

…….7 分

? A1 D ? D1 E
…….8 分 (Ⅲ)由题意可得: D1 D ? 平面ABCD ,以点 D 为原 点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
A1 D1 z

o D C

D(0,0,0), C (0,2,0), A1 (1,0,1), D1 (0,0,1) ,
………9 分 设 M (1, y 0 ,0)(0 ? y 0 ? 2)
x

y A E B

? MC ? (?1,2 ? y 0 ,0), D1C ? (0,2,?1)
设平面 D1 MC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) 则?

……10 分

?n1 ? MC ? 0 ? ?n1 ? D1C ? 0 ?
?? x ? y ( 2 ? y 0 ) ? 0 ?2 y ? z ? 0
……11 分

得 ?

取 y ? 1, 则n1 ? (2 ? y0 ,1,2) 是 平 面 D1 MC 的 一 个 法 向 量 , 而 平 面 MCD 的 一 个 法 向 量 为

n2 ? (0,0,1)
要使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 而 cos

……12 分

? 6

?
6

?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | 2 3 ? ? | n1 | ? | n2 | 2 (2 ? y 0 ) 2 ? 12 ? 2 2

解得: y 0 ? 2 ?

3 (0 ? y0 ? 2) 3
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当 AM = 2 ?

3 ? 时,二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 3 6

??? 13 分

28. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)

如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90 ,PD⊥平面 ABCD,AD =1,AB= 3 ,BC =4. (I)求证:BD⊥PC; (II)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; (Ⅲ)设点 E 在棱 PC 上, PE ? ? PC ,若 DE∥平面 PAB,求 ? 的值.

o

??? ?

??? ?

【答案】

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