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2012年海淀区高三数学查漏补缺试题

时间:2015-01-27


海淀数学查漏补缺题
说明:查漏补缺题是在海淀 的四次统练基础上的补充,题目以中档题为主,部分题目是弥补知识的漏洞, 部分是弥补方法的漏洞,还 有一些是新的变式题,请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用. 最后阶 段的复习,在做好保温工作的前提下,指导学生加强反思,梳理典型问题的方法,站在学科高度建 立知识之间的联系,融会贯通,以进一步提升学生的分析、解决问题的能力

为重点. 1、已知原命题: “若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1” ,则原命题与其否命题的真假情况是( ) A.原命题为真,否命题为假 B.原命题为假,否命题为真 C.原与否均为真命题 D.原与题均为假命题 2、在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数 y = x , y = 则函数 y = x
y
2

x , y = x 2 , y = x3 , y = x- 1 的部分图象,

的图象通过的阴影区域是(
y


y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. 3、若直线 ?
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B.

C.

D. )

? x ? 3t , ? x ? 3cos ? , ( t 为参数)与圆 ? ( ? 为参数)相切,则 b ? ( ? y ? 1 ? 4t , ? y ? b ? 3sin ? ,
B
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A ?4或6
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?6或4

C

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?1或9
)A.

D ?9或1
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4、若 sin ?

?? ? 3 ? x ? ? ,则 sin 2 x 的值为( ?4 ? 5

19 25

B.

16 25

C.

14 25

D.

7 25

5、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当 x∈(0,1]时, f ( x) ? cos x ,设 a ? f (0.5)

b ? f ( 2)

c ? f ( 3) ,则 a,b,c 大小关系是(

) A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>b>a

x 6、设集合 A = {( x, y ) y = a } , B ? ( x, y ) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1? . 若 A ? B ,则正实数 a 的取值范围是

?

A. [0, ]
x

1 e

B. [ ,e] )

1 e

C. (1,e2 ]
y

D. [e, ??)
y y

7、函数 f ( x) ? e ? x2 的图象是(

y

1 O 1 x

1 O 1 x

1 O 1 x

1 O 1 x

A. 8、若 ( x ?
2

B. )
[来源:Z_xx_k.Com]

C.

D.

1 5 ) 的展开式中不含 x ? (? ? R) 的项,则 ? 的值可能为( x A. ? 5 B. 1 C. 7 D. 2

9、函数 y = sin x - 2sin x sin( x +

) 的图象的对称轴是 3 10、设曲线的极坐标方程为 sin 2? ? 1 ,则其直角坐标方程为

2

?

. .

11、以原点为顶点,以 x 轴正半轴为始边的角 ? 的终边与直线 y ? 2 x ? 1 垂直,则 cos? ? ____________. 12、 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) , 其中 ? ?

值为_________,此时, ? =____________.

? ? ? .若 f (? ) ? f ( x) ? f ( ) 对任意 x ? R 恒成立, 则正数 ? 的最小 ? 6 3
2

13、在区间 ?? 1,1? 上随机的取两个数 a , b ,使得方程 bx ? 2ax ? 1 ? 0 有两个实根的概率为_______. 14、从 54 张扑克牌中抽出一张,抽到的扑克牌为梅花的概率为________, 抽到的扑克牌为 K 的条件下恰好是梅 花的概率为_________. 15、已知向量 a , b 满足: | a |? 1, | b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 ; | 2a ? b |? .
[来源:学&科&网]

16、某单位员工按年龄分为老、中、青三组,其人数之比为 1:5:3,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量 为 18 的样本,已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是

1 ,则该单位员工总数为________人。 28

17、将一张边长为 12cm 的纸片按如图 1 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折成一个 有底的正四棱锥模型,如图 2 放置.若正四棱锥的正视图是正三角形(如图 3) ,则四棱锥的体积是_______ cm 3 .
B A
45
o

15

o

图1

图2

图3

P

30

o

C

18、一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 处观测到灯塔 A, B 在一直线上,并与航线成 30°角.轮船沿航线 前进 600 米到达 C 处,此时观测到灯塔 A 在北偏西 45°方向,灯 塔 B 在北偏东 15°方向.则两灯塔之间的距 离是__________米. 19、已知点 P 为曲线 y = x 与 y ? a ln x(a ? 0) 的公共点,且两条曲线在点 P 处的切线重合,则 a =
2

.

2 0、如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别为

y ; 4 3 2 1 O A C

(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) ,则 f ( f (0)) ?
函数 f ( x) 的极值点是 ;

;函数 f ( x) 在 x ? 1 处 的导数 f ?(1) ?

?

6

0

f ( x)dx =



B 1 2 3 4 5 6

x

21、如图, AC 是⊙ O 的 一段劣弧,弦 CD 平分 ?ACB 交 AC 于点 D , BC 切 AC 于点
0 C ,延长弦 AD 交 BC 于点 B , (1)若 ?B ? 75 ,则 ?ADC ? _____

(2)若⊙ O 的半径长为

5 , CD ? 3 ,则 BD ? _______ 2

22、已知函数 f ( x) ? e? x sin x (其中 e = 2.718

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在 ? ?? , ?? ? 上的最大值与最小值.

23、某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关“年夜饭在哪吃”的调查,若年夜饭在家吃的称为“传统族” , 否则称为“前卫族” ,这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例如下: A 小区 比例 B 小区 比例 传统族 前卫族

1 2
传统族

1 2
前卫族

2 3
传统族

1 3

[来源:学科网]

C 小区 比例

前卫族

3 4

1 4

(Ⅰ)从 A , B , C 三个小区中各选一个家庭,求恰好有 2 个家庭是“传统族”的概率(用比例作为相应的概率); (Ⅱ)在 C 小区按上述比例选出的 20 户家庭中,任意抽取 3 户家庭,其中“前卫族”家庭的数 量记为 X,求 X 的分布列和期望 EX .

24、申请某种许可证,根据规定需要通过统一考试才能获得,且考试最多允许考四次. 设 X 表示一位申请者经过 考试的次数,据统计数据分析知 X 的概率分布如下:

X
P

1 0.1
[来源:学科网 ZXXK]

2

3 0.3

4 0.1

x

(Ⅰ) 求一位申请者所经过的平均考试次数; (Ⅱ) 已知每名 申请者参加 X 次考试需缴纳费用 Y ? 100 X ? 30 (单 位:元),求两位申请者所需费用的和小于 500 元的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, 4 位申请者中获得许可证的考 试费用低于 300 元的人数记为 ? ,求 ? 的分布列.

25、在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别是 a , b , c . 满足 2a cos C ? c cos A ? b . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A cos B + sin B 的最大值.

26、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n+1 = 3S n + 2 (n= 1, 2,3 (Ⅰ)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 an ; (Ⅲ)若数列 ?

).

{

}

? bn ? ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {bn }的前 n 项和为 Tn . ? an ?

27、已知抛物线 x ? y ,O 为坐标原点.(Ⅰ)过点 O 作两相互垂直的弦 OM , ON ,设 M 的横坐标为 m ,用 m 表
2
2 示 △ OMN 的面积,并求△ OMN 面积的最小值; (Ⅱ)过抛物线上一点 A ? 3,9 ? 引圆 x ? ? y ? 2 ? ? 1 的两 2

条切线 AB、AC ,分别交抛物线于点 B、C , 连接 BC ,求直线 BC 的斜率.

28、若圆 C 过点 M(0,1)且与直线 l : y ? ?1 相切,设圆心 C 的轨迹为曲线 E,A、B(A 在 y 轴的右侧)为曲 线 E 上的两点,点 P(0, t )(t ? 0) ,且满足 AB ? ? PB(? ? 1).(Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)若 t=6,直线 AB 的斜率为

1 ,过 A、B 两点的圆 N 与抛物线在点 A 处共同的切线,求 圆 N 的方程; (Ⅲ)分别过 A、B 作 2

曲线 E 的切线,两条切线交于点 Q ,若点 Q 恰好在直线 l 上,求证:t 与 QA ? QB 均为定值.

参考答案:
1.A 2.C 9. x ? 15. 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 13 .

?
4

?

? k? 2 5 2 5 (k ? Z) 10. y ? x 11. 或? 12. 2, ? 6 2 5 5
16. 解: 按分层抽样应该从老 年职工组中抽取 18 ?

2 3

14.

13 1 , 54 4

[来源:Zxxk.Com]

? , 2 7 3

1 ? 2 人,所以不妨设老年职工组共有 n 人, 9

2 C2 1 则甲乙二人均被抽到的概率为: 2 ? ,解得: n ? 8 ,所以该单位共有员工 8 ? 9 ? 72 人. C n 28

17.

64 6 3

18. 900 ? 300 3

19. 2e

20. 2 , ?2 , 2 , 12

21. 110°,

25 13

2 cos( x ? ) ?x ?x 4 . 22. (Ⅰ )解: f '( x) ? ?e sin x ? e cos x ? ex ? 令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? k? ? , k ? Z . 4 3? ? , 2k? + ), k Z 时, f '( x) ? 0 ; 因为当 x ? (2k? 4 4 ? 5? , 2 k? + ), k Z 时, f '( x) ? 0 , 当 x ? (2k? 4 4 3? ? ? 5? , 2k? + ), k Z ,单调递减区间是 (2k? + , 2k? + ), k Z . 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (2k? 4 4 4 4 ? 3? 3? ? ) 上单调递减,在 (? , ) 上单调递增,在 ( , ? ] 上单调递减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [ ?? , ? 4 4 4 4

?

? 2 ?? f (?? ) ? 0, f ( ) ? e 4 ? 0, 4 2

f (? ) ? 0, f (?

? 3? 2 34 )?? e ?0 4 2

? 2 ?? 2 34 4 e ,最小值为 ? e . 所以 f ( x) 在 [- ?, ?] 上的最大值为 2 2

当 x ? [?,

) 时, -

1 ? eπ

1 sin x 1 < x < x ex e e

7 3 π π 1 4 4 e >e > e> . 因为 π e

2,

2 1 sin x 1 1 所以 π < 2 ,即 x < x ? π π e e e e e4
综上所述, 当x=

2 3π 3π π 2 = 2 e- 4 , - 1 > - 2 e 4 ,即 sin x > - 2 e 4 . π eπ 2 ex 2 2 e4
3 2 -? ) 上取得最大值 f ( ) = e 4; 当 x = - ? 时,f ( x) 在 [- ?, + 4 4 2

?
4

时,f ( x) 在 [- ?, +
? 3 2 3 ?)= e4 . 4 2

?

)

上取得最小值 f (-

23. 解: (Ⅰ)记这 3 个家庭中恰好有 2 个家庭是传统族为事件 M.

P?M ? ?

1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

(Ⅱ) 在 C 小区选择的 20 户家庭中, “前卫族”家庭有 5 户,X 的可能取值为 0,1,2,3.则

P? X ? 0 ? ?

0 3 1 2 1 3 0 C5 C15 C5 C15 35 C52 C15 C5 C15 91 5 1 ; ; ; ; ? ? ? ? ? ? ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? P X ? 3 ? ? 3 3 3 3 228 76 38 114 C20 C20 C20 C 20

所以 X 的分布列为 X P
[来源:学科网]

0

1

2

3

35 5 76 38 91 35 5 1 57 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 228 76 38 114 76 0.1 ? x ? 0.1 ? 0.3 ? 1 . ? x ? 0 . 5 24. 解: (Ⅰ)由 X 的概率分布可得 .

91 228

1 114

E ( X ) ? 0.1 ?1 ? 0.5 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.1 ? 4 ? 2.4 . 所以一位申请者所经过的平均考试次数为 2.4 次.
(Ⅱ)设两位申请者均经过一次考试为事件 A ,有一位申请者经历 两次考试一位申请者经历一次考试为事件 B , 两位申请者经历两次考试为事件 C ,有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件 D .因为考试需 交费用 Y ? 100 X ? 30 ,两位申请者所需费用的和小于 500 元的事件为 A B C D .

P( A B C

D) ? 0.1? 0.1 ? 2 ? 0.1? 0.5 ? 0.5 ? 0.5 ? 2 ? 0.1? 0.3 ? 0.42
3 , ? 的可能取值为 0,1,2,3,4. 5

所以两位申请者所需费用的和小于 500 元的概率为 0.42. (Ⅲ)一位申 请者获得许可证的考试费用低于 300 元的概率为

16 96 ?2? 1 ? 3 ?? 2 ? , P(ξ ? 1) ? C4 , P(ξ ? 0) ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 5 ? 625 ? 5 ?? 5 ? 625

4

3

216 ? 3 ? ? 2 ? 216 3 ? 3? ? 2 ? , P(ξ ? 3) ? C4 P(ξ ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 5 ? ? 5 ? 625 ? 5 ? ? 5 ? 625
2 4

2

2

3

81 ? 3? . P(ξ ? 4) ? ? ? ? ? 5 ? 625
3 4

4

? 的分布列为

X
P

0

1

2

16 96 216 216 81 625 625 625 625 625 25. 解: (Ⅰ)由正弦定理及 2a cos C ? c cos A ? b 得, 2 sin A cos C ? sin C cos A ? sin B .
在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ,? A ? C ? ? ? B ,即 sin( A ? C ) ? sin B .

? 2 sin A cosC ? sin C cos A ? sin( A ? C) ? sin A cosC ? sin B ? sin A cosC ? sin B

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

C ? 0 又? 0 ? A ? ? , 0 ? C ? ? ,? sin A ? 0 .? cos C ? 0 . ? C ? ? s i nA c o s
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 C ?

?
2

.

?
2

,? A ? B ?

?
2

,即 B ?

?
2

? A.

? sin A cos B + sin B = cos 2 B + sin B = - sin 2 B + sin B + 1 = - (sin B ? 当 sin B =

? 5 1 ,即 B = 时, sin A cos B + sin B 取得最大值 . 6 4 2

? 1 2 5 ) + ,0< B < , 2 2 4

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

26. 证明: (Ⅰ)因为 Sn+ 1 = 3Sn + 2 , 所以 又 S1 + 1 = 3 , 所以

Sn+ 1 + 1 3Sn + 2 + 1 = = 3. Sn + 1 Sn + 1

{Sn + 1}是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ? 3n ?1, n ? N* .当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 .
n ?1 当 n > 1 时, an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 3n?1 (3 ? 1) ? 2 ? 3 .故 an ? 2 ? 3n?1 , n ? N* .

(Ⅲ)因为 数列 镲 睚 n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,

禳 镲 b 镲 an 镲 铪

所以

bn = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 . an

所以 bn = 2(2n - 1) 3n- 1 .

所以 Tn = 2创 1 30 + 2创 3 31 + 所以 3Tn = 2创 1 31 + 2创 3 32 + 所以 - 2Tn = 2 + 4? 31

+ 2(2n - 1) 3n- 1 . + 2(2n - 3) ?3n- 1 + 4?3n- 1 2(2n - 1) 3n .

4? 32

2(2n - 1) 3n
4.

= 2 + 2? 3n

6 - 2(2n - 1) ?3n

(4 - 4n) ?3n

所以 Tn = 2 + (2n - 2) 3n .
2 2 27. 解: (Ⅰ)设 M ( x1 , x1 ), N ( x2 , x2 ) .由 OM ^ ON 得 x1 x2 = - 1 .

因为 x1 = m, 所以 x2 = -

1 . 所以 OM = m

m2 + m4 , ON =

m2 + 1 . m4
1 时,△ OMN 面积取最小值 1.

所以 S?OMN =

1 1 1 1 OM ON = 2 + m2 + 2 ? 2 2 2 m 2

2 = 1 .所以 当 m =

2 2 (Ⅱ)设 B( x3 , x3 ), C( x4 , x4 ) ,直线 AB 的方程为 y - 9 = k1 ( x - 3) ,AC 的方程为 y - 9 = k2 ( x - 3) .
2 因为 直线 AB、AC 与圆 x ? ? y ? 2 ? ? 1 相切, 2

所以

3k1 - 7 1+ k
2 1

=

3k2 - 7 1+ k
2 2

2 = 1 . 所以 4k12 - 21k1 + 24 = 0, 4k2 - 21k2 + 24 = 0 .

2 所以 k1 , k2 是方程 4k - 21k + 24 = 0 的两根. 所以 k1 + k 2 =

21 . 4

由方程组 ? í

ì ? y = x2 , 2 得 x - k1 x - 9 + 3k1 = 0 .所以 x3 + 3 = k1 ,同理可得: x4 + 3 = k2 . ? ? ? y - 9 = k1 ( x - 3)
2 2 x4 - x3 3 = x4 + x3 = k1 + k2 - 6 = - . x4 - x3 4

所以 直线 BC 的斜率为

28. 解、 (Ⅰ)因为点 C 到定点 M 的距离等于到定直线 l 的距离,根据抛物线定义可知,点 C 的轨迹是以点 M 为 焦点,直线 l 为准线的抛物线,其方程为: x2 = 4 y . (Ⅱ)因为 t=6,直线 AB 的斜率为

1 1 ,所以直线 AB 的方程是 y = x + 6 . 2 2

ì 1 ? ? y = x + 6, ? 由í 得点 A ,B 的坐标分别是 (6,9),(- 4, 4) . 2 ? 2 ? ? ? x = 4y
1 1 x ,所以 抛物线 x2 = 4 y 在点 A 处切线的斜率为 ? 6 3 . 2 2 1 所以 直线 NA 的方程为 y = - x + 11 . 3 13 13 17 = - 2( x - 1) ,即 y = - 2 x + 由线段 AB 的中点 (1, ) 得线段 AB 的垂直平分线方程为 y . 2 2 2
因为 y ' =

ì ì 1 3 ? ? ? y = - x + 11, ? x= - , ? ? 3 23 ? ? 3 2 由í 得í 即 N (- , ) . ? 23 2 2 17 ? ? ? y= . y = - 2x + ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
所以 圆 C 的方程为 ( x +

3 2 23 2 3 23 2 125 ) + (y) = (- 4 + ) 2 + (4 ) = . 2 2 2 2 2

(Ⅲ)设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), Q(m, - 1) . 4 4

2 x12 x2 x2 +1 +1 +1 x x x = 1, 4 = 2 可 知 , x1 , x2 是 方 程 4 由 4 = 即 x2 - 2mx - 4 = 0 的 两 根 , 所 以 x1 - m 2 x2 - m 2 x- m 2

x1 + x2 = 2m, x1x2 = - 4 .
2 x2 x2 x12 - 1 - t 4 4 4 = 又因为 A,P,B 共线,所以 . 即 x1 x2 = - 4t . x2 - x1 x1

[来源:学|科|网]

所以 - 4t = - 4 . 即 t = 1 .

[来源:学_科_网]

所以 QA ?QB

( x1 - m,

x12 + 1) ?( x2 4

m,

2 2 x2 x 2 x 2 x 2 + x2 + 1) = x1 x2 - m( x1 + x2 ) + m2 + 1 2 + 1 +1 4 16 4

= - 4 - 2m 2 + m 2 + 1 +
所以 t 与 QA ? QB 均为定值.

4m 2 + 8 + 1= 0 . 4


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