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§9.2.2空间两直线的位置关系


§9.2空间两直线的位置关系 2.异面直线

公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a ? b, b ? c ? a ? c

概念

顺次连接不共面的四点 A,B,C,D所构 成的图形,叫做空间四边形.
A
B A
C

?

B


C

D
E

D F

?

等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行且方向相同,那么这两个角相等.

立体几何中,如果没有特别说明,一般我们说 两条直线是指不重合的两条直线. 平面内两条直线的位置关系有哪几种? 平行和相交两种 空间中有几种呢? C? D?
观察正方体 ABCD-A?B?C?D?, 棱 AA?与 BC 所在的两条直线 是否相交? 是否平行? 是否共面?
A? D A B B? C

“不共面”的认识
“不共面”就是“在不同平面内”吗?

不一定 不共面! “在不同平面内”的两条直线
“不共面”不是“在不同平面内”! ? D 棱AA?与棱CC ?所在的两条直 线“在不同平面内”, 但它们在同一平面AA?C ?C内.
A? D A B B? C

C?

?“不共面”means“不同在任何一个平面” or“异面”

概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

空间中两条直线的位置关系
位置关系
相交直线

共面情况 在同一平面内
在同一平面内

公共点 有且只有一个
没有 没有

平行直线

异面直线 不同在任何一个平面内

?两条相交直线与平行直线又叫共面直线.

概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

观察思考
①连接平面内一点与平面外一点的直线和这个 平面内不经过该点的任意直线是异面直线吗?
B

?

A

l

概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

观察思考
②与平面平行的直线和这个平面内与它不平 行的直线是异面直线吗?
a b

?

概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

观察思考
③分别在两个相交平面内的与交线交于不同 的点的两条直线是异面直线吗?
?
B

a
A l

β

b

概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
?
B A

B

a l b

a
A l

?

?

β

b

异面直线常常这样借助一个或两个平面的衬托 来画出.

1.在如图所示的是正方体 ABCD-A?B?C ?D?中, 哪些棱所在的直线与直线 BA?是异面直线?
解:与直线 BA?异面的 直线有: B?C?,AD,CC?, DC,D?C?,DD?.
A

D?
A? B? D B

C?

C

哪些棱所在的直线与直线 AB 是异面直线?

观察思考

β b l a α

(1)这些直线与直线a 的角度相同吗?

(2)如何来定义两条异面直线所成的角呢?

概念 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分 别引直线a′∥a , b′∥b. 直线a′和b′所成的锐角或直角 叫做异面直线a和b所成的角.
0?<α≤90?
b b' ? a b a' O? a'

?

? O

?

a

?为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上. 如线段的端点,线段的中点等. ?当两条异面直线a、b的夹角为直角时,称这两条异 面直线垂直,记作:a⊥b.

2.如图所示的是正方体 ABCD-A?B?C?D?中, (1) 求直线BA?与CC?所成的角的度数; (2) 哪些棱所在的直线与直线AA?垂直?
解:(1)因为BB?∥CC ?, D? 所以 ?B?BA?为异面直线 A? BA?与CC ?所成的角. 因此BA?与CC ?所成的角为45?; (2) 与直线AA?垂直的直线有 AB,BC,CD,DA,A?B?, B?C ?,C ?D?,D?A?.
D A B C?

B?

C

观察思考
① 求第一小题中的异面角度数你还有其他方法吗? ② “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”对吗 ?

已知ABCD-A?B?C ?D?是棱长为a的正方体 (1)求异面直线AA?与BC所成的角; (2)求异面直线BC?和AC所成的角.
D? A? B? D A B C?

求异面角 一般步骤怎样?
一 平移, 二 证明, 三 计算, 四 作答.

C

3.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2a,点E、F分别 是AB、CD的中点,EF= 23aa ,求AD和BC所成的角.
解: 取AC的中点M,连结EM、FM, 由中位线定理得 EM∥BC,EM=a, E FM∥AD,FM=a, ∴ ∠EMF是异面直线AD B
A

M

D
F C

和BC所成的角.
在△EMF中EM=FM=a,EF= 2 a , ∵EM2+FM2=EF2=2a2, ∴∠EMF=90?. 故AD和BC所成的角为90?

在空间四边形ABCD中,DA=BC, DA⊥BC, 点E、 F分别为DC、AB 的中点,求异面直线EF与DA 所 成的角.
D E M C

A
F B

?今天你学了哪些知识?
?哪些你认为值得注意?


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