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集合问题中的空集


中学 生数 学 ? 2 0 1 4年 1 2 月上 ? 第 5 0 3 期( 高中)  


碡 

琴  

肇 
础 
嚣 

江苏 省南 京市 宁海 中学 ( 2 1 0 0 2 4 )   汤池 武  集合 是 同学 们 进 入 高 中学 习 的 第 一 个 数

 
究 其 原 因 主 要 是 因 为 这 些 同 学 对 空 集 的 

学概念, 也 是 数 学 中 的基 本 概 念 , 在 集 合 的 学  习过 程 中 , 许 多 同学 对 空集 这 个 特 殊 集 合 的 理 
解往往不是很深刻 , 尤 其在一些解题过程 中,   由于对 空集 的不 理解 , 经 常会 漏 掉 空 集 这 种 特  殊情 况 , 从而导致错误. 本 文 主 要 是 探 究 在 实  际解 题过 程 中为 何漏 掉 空 集 的情 况 , 以及 在 实 
际解 题 过 程 中 应 该 注 意 哪 些 问 题 , 从 而 避 免 犯  同样 的错 误 .  

理解 不够 深 刻 , 对 集 合 的表 示 以 及 空集 的概 念 
没 有 理 解. 主要错误有两种 , 一 些 同 学 在 解 题 

; 臻 
{ 

过 程 中根 本 就没 有 考 虑 到 空集 这 种 情 况 , 其 本 

质 是对 空集 没有 印 象 ; 还 有 一 些 同 学可 能 知 道  空集 , 但 对 空 集 的理 解 有 所 偏 差 , 认 为 如 
N一{ zl 口 z一1 —0 } 这 样 形 式 的 集 合 就 肯 定 不  是 空集 , 导致 漏解 , 从 而产 生错 误.   实 际解 题 中我 们 应 该 这样 考 虑 , 就 可 以避 
免 错误 :  
‘ .

例 1   已知集 合 M 一 {  l  一1 —0 ) , N一   {  i   a x 一1 —0 } , 若 Mn   N— N, 则 实 数 a的 值 
为 多少 .  

。 M nN — N ,  
. 





N  三M ,  


这个 问 题 在 实 际 的解 题 过 程 中 有 很 多 同  学 只得 到 a 一 1这 个 错 误 答 案 , 其 错 误 解 法 如 
下 :  

一   . 一 综  N= = = { zI 口  一 1 —0 } ,  
- L j  

当a 一0时 , N一   满 足条件 ;  
1  

当a ≠0时 , N一{   ) ;  
“ 

M一 { zl z一 1 =0 } 一{ 1 } ,  
1  

一  
或 
者 
一  

又有

N  M ,  

N一{ z     l n z一 1 —0 } 一{   ) ,  
a 




’   M AN —N 。  
. 

‘ .

N  三M ,  


? . . 

1.  

a 



下 

.  

a一 ] .  

转 
第 
页 

( 上 接 第 7页)  

与系数 的关 系进 行 设 而 不 解 , 从 而 简 化 运算 解  题; ( 2 ) 利 用“ 点差法” 求 出与 交 点 、 斜 率 有 关 的 

剖 析  以 上两 种 解 法 出错 的 原 因都 在 于 

忽视 了 隐 含 条 件 “ 直线 z 与 双 曲 线 有 两 个 交 
点” , 故 应该 还 有 限 制 条 件 : △一4 k 。 ( 尼 一1 ) 。 一  
0 

式子 , 进而求解. 不 管 应 用 何 种 方 法 都 必 须 注 
意判 别 式 △ 的 限 制. 因为 对 于 圆 、 椭 圆 这 种 封 

4 ( 2 一忌   ) ( 一是   +2 k 一3 ) >0 , 得 <  O, 显 然 符 
厶 

闭 的曲 线 , 以其 内 部 一 点 为 中 点 的 弦 是 存 在  的, 而对 于双 曲线 , 这 样 的弦 就 不 一 定存 在 , 故 
求 出直线 的斜 率 忌值 后需用 判 别式 判定 此 时直  线是 否与 双 曲线 有 交点 .   ( 责审   粟 宇学)  

合 题设 的直 线 z 不存 在 .  

● 

追 本溯 源  关 于 交 点 问题 一 般 可 以 采 用  两种方 法 解 决 : ( 1 ) 联立方程组 , 消元 , 利 用 根 

网址 :  

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8 ? -  电 子   箱 :   @ 。   i   。   .   。 t .  

中 学 生数 学 ? 2 0 1 4年 1 2月上 ? 第5 0 3期 ( 高中 )  

( 上 接 第 8页 )  

不 完全 , 那 么这是 怎 么 回事 呢?  

这 种解 法 是从 子集 本 身 的 概 念 出 发 的 , 在  解 题过 程 中 只要 我 们 能 够 理 解 含参 数 。的 方  程n z一 1 =0是 什 么方 程 , 懂 得 讨 论 参 数 就 不  会 出现 漏 掉 空 集 的情 况 . 当然 , 还 有 一 种 方 法  是 从集 合 子集 个数 考虑 的 :  


其 实在 这 个 解 题 过 程 中 我 们 还 是 将 空 集 
遗 忘在 某 个角 落 , 因为 A   n   B一  , 所以 A和 B   中如果 有 一 个 是 空 集 那 就 显 然 成 立 了. 所 以,   在 解题 的过 程 中 , 我 们应 该分 两种情 况讨 论 :   当 B一{ . zI   +1 ≤ ≤2 m一1 } 一   时,  
即 m4 - l >2 m一 1 ,  

孑  



’   M nN — N ,  
N  三M ,  



. . 

所 以 m< 2显然满 足 条件 ;  
当 B一 { zl m4 - 1 ≤  ≤2 m一1 } ≠  时 ,  

‘ . . 

知 
毒 臻 

由于 M 一{ 1 ) ,  
。 . . 

I   Ml 一1 ,  

m4 - 1 ≤2 m一 1 ,  
m ≥ 2,  

又 。 . 。   N  M ,  




. 

M 的子集 有 2   一 2个 , 分 别 是  和 
  .

。 .

。 A nB— j 2 『 ,  
. 

{ 1 } ;  

‘ .

m4 - 1 >5 , 或 2 m~ 1 < 一2 .  
1  

当 N一   时, a = = = 0 ;当 N一 { 1 } 时, a 一1 ,  


‘ . 

< 一÷或  >4 .  
厶 


. .

a 一1 , 或者 a 一0 .  
‘ .

在这 种解 法 过 程 中, 我们 在 数 一 个 集 合 的 
子集 的 过 程 中 , 应 该从 子 集 里 不 含 元 素 ( 空 

.   m> 4 .  

综上 , m<2 , 或 m>4 .   在前 一种 解 题 过 程 中 由于 忘 记 了 空 集 从 

集) 、 含有 一个元 素 、 含 有 两个 元 素一 直 到 集 合  本 身依 次 来 数 . 需 要 牢 牢 掌 握 课 本 上 的 一 句  话: 空 集是 任何 集 合 的 子集 . 由于 N  M , 所 以  我们首 先 就应该 考 虑到集 合 N 可 能 为  , 从 而 
得到 n 一0 , 另外 一 种 情 况 解 得 n — l是 很 显 然  的, 也 是 不会遗 漏 的.   下面 我们 再来 看一 个例 子.   例 2   已知 集合 A一 {  I 一2 ≤ ≤ 5 ) , B一  
{  I m4 - 1 ≤ ≤ 2 m一 1 ) , 若 A nB一   , 求 实 数  的取值 范 围.  

而使得我们得 到的结果是错误 的, 其实, 导 致 
错 误 的原 因还是 对空 集 的理 解 不 够透 彻 , 考 虑  不 够周 全.   怎 样才 能避 免 我们不 犯这 样 的错误 呢 ?   在 实 际的 学 习过 程 中 , 我 们 必须 强 调 空 集  的特殊 性 以及 重要 性 , 举 一些 描 述 法 表示 空集  的例 子 , 如: { 3 2   l   z   一一1 ,  ∈1 1 } , { 3 2   l   5 < ≤ 3 }  
= =:  


牢 记 空 集 是 任 何 集 合 的子 集 、 空 集 和 任 

何 集合 的交集 是 空集 这 些 书 本 上 的结 论 . 在实 
际的解 题过 程 中 , 在 这个 集 合 没 有 确 定 到底 是 

有 些 同学 在解 题 的过 程 中首 先 利 用 数 轴 ,   画  两个 集合 的范 围.  
‘ . 

什 么集 合 的时 候 , 我 们 必 须首 先 考 虑 到 这个 集 
合 可 能 为 空集 , 这样就不会遗忘. 我 们 看 到 题  目中出现 或者 可 以得 到 形 如 N  M 这 样 一 个  集 合是 另 一个 集合 的子 集 , Mn   N一   等 这 样 

A nB一  ,  

从 而 得到 不等 式

1  

m+1 >5 ,  



2 m一 1 < 一2 ,  
厶 

I . . m< 一÷ , 或 m>4 .  
1  

的式 子 , 我 们 首 先 也 应 该 想 到空 集 , 然 后 再 去 
考虑其他情 况, 这 样 我 们 先考 虑 了 空 集 , 其 他 

这 种 解法 是否 对 呢?我 们 不妨 在 一  ≤ 
厶 

的情 况肯 定不 会 忘记 , 这 样 就不 会 产 生 漏解 的 
错 误 了.  

≤ 4范 围 内取 一个数来 验证 一下. 假 设 m一1 , 那 
么 B: { zI m4 - 1 ≤z ≤2 m~ 1 } 一{ zI   2 Gz - < ≤1 } 一  


( 责审   梁 宇? 挚)  

所 以 AnB一   成立 , 也就 是 说 这个 答 案 还 

Mi l k : z x s s . c b p t . c n k i . n e t

? ?

9 ? ?电 子   箱 :   @ 。   i   j 。   .   t .  


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