集合问题中的空集
中学 生数 学 ? ２ ０ １ ４年 １ ２ 月上 ? 第 ５ ０ ３ 期（ 高中）
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江苏 省南 京市 宁海 中学 （ ２ １ ０ ０ ２ ４ ） 汤池 武 集合 是 同学 们 进 入 高 中学 习 的 第 一 个 数
究 其 原 因 主 要 是 因 为 这 些 同 学 对 空 集 的
学概念， 也 是 数 学 中 的基 本 概 念 ， 在 集 合 的 学 习过 程 中 ， 许 多 同学 对 空集 这 个 特 殊 集 合 的 理
解往往不是很深刻 ， 尤 其在一些解题过程 中， 由于对 空集 的不 理解 ， 经 常会 漏 掉 空 集 这 种 特 殊情 况 ， 从而导致错误． 本 文 主 要 是 探 究 在 实 际解 题过 程 中为 何漏 掉 空 集 的情 况 ， 以及 在 实
际解 题 过 程 中 应 该 注 意 哪 些 问 题 ， 从 而 避 免 犯 同样 的错 误 ．
理解 不够 深 刻 ， 对 集 合 的表 示 以 及 空集 的概 念
没 有 理 解． 主要错误有两种 ， 一 些 同 学 在 解 题
； 臻
｛
过 程 中根 本 就没 有 考 虑 到 空集 这 种 情 况 ， 其 本
质 是对 空集 没有 印 象 ； 还 有 一 些 同 学可 能 知 道 空集 ， 但 对 空 集 的理 解 有 所 偏 差 ， 认 为 如
Ｎ一｛ ｚｌ 口 ｚ一１ —０ ｝ 这 样 形 式 的 集 合 就 肯 定 不 是 空集 ， 导致 漏解 ， 从 而产 生错 误． 实 际解 题 中我 们 应 该 这样 考 虑 ， 就 可 以避
免 错误 ：
‘ ．
例 １ 已知集 合 Ｍ 一 ｛ ｌ 一１ —０ ） ， Ｎ一 ｛ ｉ ａ ｘ 一１ —０ ｝ ， 若 Ｍｎ Ｎ— Ｎ， 则 实 数 ａ的 值
为 多少 ．
。 Ｍ ｎＮ — Ｎ ，
．
。
．
Ｎ 三Ｍ ，
．
这个 问 题 在 实 际 的解 题 过 程 中 有 很 多 同 学 只得 到 ａ 一 １这 个 错 误 答 案 ， 其 错 误 解 法 如
下 ：
一 ． 一 综 Ｎ＝ ＝ ＝ ｛ ｚＩ 口 一 １ —０ ｝ ，
－ Ｌ ｊ
当ａ 一０时 ， Ｎ一 满 足条件 ；
１
当ａ ≠０时 ， Ｎ一｛ ） ；
“
Ｍ一 ｛ ｚｌ ｚ一 １ ＝０ ｝ 一｛ １ ｝ ，
１
一
或
者
一
又有
Ｎ Ｍ ，
Ｎ一｛ ｚ ｌ ｎ ｚ一 １ —０ ｝ 一｛ ） ，
ａ
‘
．
’ Ｍ ＡＮ —Ｎ 。
．
‘ ．
Ｎ 三Ｍ ，
一
? ． ．
１．
ａ
‘
．
下
．
ａ一 ］ ．
转
第
页
（ 上 接 第 ７页）
与系数 的关 系进 行 设 而 不 解 ， 从 而 简 化 运算 解 题； （ ２ ） 利 用“ 点差法” 求 出与 交 点 、 斜 率 有 关 的
剖 析 以 上两 种 解 法 出错 的 原 因都 在 于
忽视 了 隐 含 条 件 “ 直线 ｚ 与 双 曲 线 有 两 个 交
点” ， 故 应该 还 有 限 制 条 件 ： △一４ ｋ 。 （ 尼 一１ ） 。 一
０
式子 ， 进而求解． 不 管 应 用 何 种 方 法 都 必 须 注
意判 别 式 △ 的 限 制． 因为 对 于 圆 、 椭 圆 这 种 封
４ （ ２ 一忌 ） （ 一是 ＋２ ｋ 一３ ） ＞０ ， 得 ＜ Ｏ， 显 然 符
厶
闭 的曲 线 ， 以其 内 部 一 点 为 中 点 的 弦 是 存 在 的， 而对 于双 曲线 ， 这 样 的弦 就 不 一 定存 在 ， 故
求 出直线 的斜 率 忌值 后需用 判 别式 判定 此 时直 线是 否与 双 曲线 有 交点 ． （ 责审 粟 宇学）
合 题设 的直 线 ｚ 不存 在 ．
●
追 本溯 源 关 于 交 点 问题 一 般 可 以 采 用 两种方 法 解 决 ： （ １ ） 联立方程组 ， 消元 ， 利 用 根
网址 ：
． ｔ ． ｉ ． 。 ｔ
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８ ? － 电 子 箱 ： ＠ 。 ｉ 。 ． 。 ｔ ．
中 学 生数 学 ? ２ ０ １ ４年 １ ２月上 ? 第５ ０ ３期 （ 高中 ）
（ 上 接 第 ８页 ）
不 完全 ， 那 么这是 怎 么 回事 呢？
这 种解 法 是从 子集 本 身 的 概 念 出 发 的 ， 在 解 题过 程 中 只要 我 们 能 够 理 解 含参 数 。的 方 程ｎ ｚ一 １ ＝０是 什 么方 程 ， 懂 得 讨 论 参 数 就 不 会 出现 漏 掉 空 集 的情 况 ． 当然 ， 还 有 一 种 方 法 是 从集 合 子集 个数 考虑 的 ：
。
其 实在 这 个 解 题 过 程 中 我 们 还 是 将 空 集
遗 忘在 某 个角 落 ， 因为 Ａ ｎ Ｂ一 ， 所以 Ａ和 Ｂ 中如果 有 一 个 是 空 集 那 就 显 然 成 立 了． 所 以， 在 解题 的过 程 中 ， 我 们应 该分 两种情 况讨 论 ： 当 Ｂ一｛ ． ｚＩ ＋１ ≤ ≤２ ｍ一１ ｝ 一 时，
即 ｍ４ － ｌ ＞２ ｍ一 １ ，
孑
．
’ Ｍ ｎＮ — Ｎ ，
Ｎ 三Ｍ ，
‘
． ．
所 以 ｍ＜ ２显然满 足 条件 ；
当 Ｂ一 ｛ ｚｌ ｍ４ － １ ≤ ≤２ ｍ一１ ｝ ≠ 时 ，
即
‘ ． ．
知
毒 臻
由于 Ｍ 一｛ １ ） ，
。 ． ．
Ｉ Ｍｌ 一１ ，
ｍ４ － １ ≤２ ｍ一 １ ，
ｍ ≥ ２，
又 。 ． 。 Ｎ Ｍ ，
。
．
．
Ｍ 的子集 有 ２ 一 ２个 ， 分 别 是 和
．
。 ．
。 Ａ ｎＢ— ｊ ２ 『 ，
．
｛ １ ｝ ；
‘ ．
ｍ４ － １ ＞５ ， 或 ２ ｍ～ １ ＜ 一２ ．
１
当 Ｎ一 时， ａ ＝ ＝ ＝ ０ ；当 Ｎ一 ｛ １ ｝ 时， ａ 一１ ，
．
‘ ．
＜ 一÷或 ＞４ ．
厶
‘
． ．
ａ 一１ ， 或者 ａ 一０ ．
‘ ．
在这 种解 法 过 程 中， 我们 在 数 一 个 集 合 的
子集 的 过 程 中 ， 应 该从 子 集 里 不 含 元 素 （ 空
． ｍ＞ ４ ．
综上 ， ｍ＜２ ， 或 ｍ＞４ ． 在前 一种 解 题 过 程 中 由于 忘 记 了 空 集 从
集） 、 含有 一个元 素 、 含 有 两个 元 素一 直 到 集 合 本 身依 次 来 数 ． 需 要 牢 牢 掌 握 课 本 上 的 一 句 话： 空 集是 任何 集 合 的 子集 ． 由于 Ｎ Ｍ ， 所 以 我们首 先 就应该 考 虑到集 合 Ｎ 可 能 为 ， 从 而
得到 ｎ 一０ ， 另外 一 种 情 况 解 得 ｎ — ｌ是 很 显 然 的， 也 是 不会遗 漏 的． 下面 我们 再来 看一 个例 子． 例 ２ 已知 集合 Ａ一 ｛ Ｉ 一２ ≤ ≤ ５ ） ， Ｂ一
｛ Ｉ ｍ４ － １ ≤ ≤ ２ ｍ一 １ ） ， 若 Ａ ｎＢ一 ， 求 实 数 的取值 范 围．
而使得我们得 到的结果是错误 的， 其实， 导 致
错 误 的原 因还是 对空 集 的理 解 不 够透 彻 ， 考 虑 不 够周 全． 怎 样才 能避 免 我们不 犯这 样 的错误 呢 ？ 在 实 际的 学 习过 程 中 ， 我 们 必须 强 调 空 集 的特殊 性 以及 重要 性 ， 举 一些 描 述 法 表示 空集 的例 子 ， 如： ｛ ３ ２ ｌ ｚ 一一１ ， ∈１ １ ｝ ， ｛ ３ ２ ｌ ５ ＜ ≤ ３ ｝
＝ ＝：
．
牢 记 空 集 是 任 何 集 合 的子 集 、 空 集 和 任
何 集合 的交集 是 空集 这 些 书 本 上 的结 论 ． 在实
际的解 题过 程 中 ， 在 这个 集 合 没 有 确 定 到底 是
有 些 同学 在解 题 的过 程 中首 先 利 用 数 轴 ， 画 两个 集合 的范 围．
‘ ．
什 么集 合 的时 候 ， 我 们 必 须首 先 考 虑 到 这个 集
合 可 能 为 空集 ， 这样就不会遗忘． 我 们 看 到 题 目中出现 或者 可 以得 到 形 如 Ｎ Ｍ 这 样 一 个 集 合是 另 一个 集合 的子 集 ， Ｍｎ Ｎ一 等 这 样
Ａ ｎＢ一 ，
从 而 得到 不等 式
或
１
ｍ＋１ ＞５ ，
寸
２ ｍ一 １ ＜ 一２ ，
厶
Ｉ ． ． ｍ＜ 一÷ ， 或 ｍ＞４ ．
１
的式 子 ， 我 们 首 先 也 应 该 想 到空 集 ， 然 后 再 去
考虑其他情 况， 这 样 我 们 先考 虑 了 空 集 ， 其 他
这 种 解法 是否 对 呢？我 们 不妨 在 一 ≤
厶
的情 况肯 定不 会 忘记 ， 这 样 就不 会 产 生 漏解 的
错 误 了．
≤ ４范 围 内取 一个数来 验证 一下． 假 设 ｍ一１ ， 那
么 Ｂ： ｛ ｚＩ ｍ４ － １ ≤ｚ ≤２ ｍ～ １ ｝ 一｛ ｚＩ ２ Ｇｚ － ＜ ≤１ ｝ 一
，
（ 责审 梁 宇? 挚）
所 以 ＡｎＢ一 成立 ， 也就 是 说 这个 答 案 还
Ｍｉ ｌ ｋ ： ｚ ｘ ｓ ｓ ． ｃ ｂ ｐ ｔ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ
? ?
９ ? ?电 子 箱 ： ＠ 。 ｉ ｊ 。 ． ｔ ．
