中学 生数 学 ? 2 0 1 4年 1 2 月上 ? 第 5 0 3 期( 高中)
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江苏 省南 京市 宁海 中学 ( 2 1 0 0 2 4 ) 汤池 武 集合 是 同学 们 进 入 高 中学 习 的 第 一 个 数
究 其 原 因 主 要 是 因 为 这 些 同 学 对 空 集 的
学概念, 也 是 数 学 中 的基 本 概 念 , 在 集 合 的 学 习过 程 中 , 许 多 同学 对 空集 这 个 特 殊 集 合 的 理
解往往不是很深刻 , 尤 其在一些解题过程 中, 由于对 空集 的不 理解 , 经 常会 漏 掉 空 集 这 种 特 殊情 况 , 从而导致错误. 本 文 主 要 是 探 究 在 实 际解 题过 程 中为 何漏 掉 空 集 的情 况 , 以及 在 实
际解 题 过 程 中 应 该 注 意 哪 些 问 题 , 从 而 避 免 犯 同样 的错 误 .
理解 不够 深 刻 , 对 集 合 的表 示 以 及 空集 的概 念
没 有 理 解. 主要错误有两种 , 一 些 同 学 在 解 题
; 臻
{
过 程 中根 本 就没 有 考 虑 到 空集 这 种 情 况 , 其 本
质 是对 空集 没有 印 象 ; 还 有 一 些 同 学可 能 知 道 空集 , 但 对 空 集 的理 解 有 所 偏 差 , 认 为 如
N一{ zl 口 z一1 —0 } 这 样 形 式 的 集 合 就 肯 定 不 是 空集 , 导致 漏解 , 从 而产 生错 误. 实 际解 题 中我 们 应 该 这样 考 虑 , 就 可 以避
免 错误 :
‘ .
例 1 已知集 合 M 一 { l 一1 —0 ) , N一 { i a x 一1 —0 } , 若 Mn N— N, 则 实 数 a的 值
为 多少 .
。 M nN — N ,
.
。
.
N 三M ,
.
这个 问 题 在 实 际 的解 题 过 程 中 有 很 多 同 学 只得 到 a 一 1这 个 错 误 答 案 , 其 错 误 解 法 如
下 :
一 . 一 综 N= = = { zI 口 一 1 —0 } ,
- L j
当a 一0时 , N一 满 足条件 ;
1
当a ≠0时 , N一{ ) ;
“
M一 { zl z一 1 =0 } 一{ 1 } ,
1
一
或
者
一
又有
N M ,
N一{ z l n z一 1 —0 } 一{ ) ,
a
‘
.
’ M AN —N 。
.
‘ .
N 三M ,
一
? . .
1.
a
‘
.
下
.
a一 ] .
转
第
页
( 上 接 第 7页)
与系数 的关 系进 行 设 而 不 解 , 从 而 简 化 运算 解 题; ( 2 ) 利 用“ 点差法” 求 出与 交 点 、 斜 率 有 关 的
剖 析 以 上两 种 解 法 出错 的 原 因都 在 于
忽视 了 隐 含 条 件 “ 直线 z 与 双 曲 线 有 两 个 交
点” , 故 应该 还 有 限 制 条 件 : △一4 k 。 ( 尼 一1 ) 。 一
0
式子 , 进而求解. 不 管 应 用 何 种 方 法 都 必 须 注
意判 别 式 △ 的 限 制. 因为 对 于 圆 、 椭 圆 这 种 封
4 ( 2 一忌 ) ( 一是 +2 k 一3 ) >0 , 得 < O, 显 然 符
厶
闭 的曲 线 , 以其 内 部 一 点 为 中 点 的 弦 是 存 在 的, 而对 于双 曲线 , 这 样 的弦 就 不 一 定存 在 , 故
求 出直线 的斜 率 忌值 后需用 判 别式 判定 此 时直 线是 否与 双 曲线 有 交点 . ( 责审 粟 宇学)
合 题设 的直 线 z 不存 在 .
●
追 本溯 源 关 于 交 点 问题 一 般 可 以 采 用 两种方 法 解 决 : ( 1 ) 联立方程组 , 消元 , 利 用 根
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中 学 生数 学 ? 2 0 1 4年 1 2月上 ? 第5 0 3期 ( 高中 )
( 上 接 第 8页 )
不 完全 , 那 么这是 怎 么 回事 呢?
这 种解 法 是从 子集 本 身 的 概 念 出 发 的 , 在 解 题过 程 中 只要 我 们 能 够 理 解 含参 数 。的 方 程n z一 1 =0是 什 么方 程 , 懂 得 讨 论 参 数 就 不 会 出现 漏 掉 空 集 的情 况 . 当然 , 还 有 一 种 方 法 是 从集 合 子集 个数 考虑 的 :
。
其 实在 这 个 解 题 过 程 中 我 们 还 是 将 空 集
遗 忘在 某 个角 落 , 因为 A n B一 , 所以 A和 B 中如果 有 一 个 是 空 集 那 就 显 然 成 立 了. 所 以, 在 解题 的过 程 中 , 我 们应 该分 两种情 况讨 论 : 当 B一{ . zI +1 ≤ ≤2 m一1 } 一 时,
即 m4 - l >2 m一 1 ,
孑
.
’ M nN — N ,
N 三M ,
‘
. .
所 以 m< 2显然满 足 条件 ;
当 B一 { zl m4 - 1 ≤ ≤2 m一1 } ≠ 时 ,
即
‘ . .
知
毒 臻
由于 M 一{ 1 ) ,
。 . .
I Ml 一1 ,
m4 - 1 ≤2 m一 1 ,
m ≥ 2,
又 。 . 。 N M ,
。
.
.
M 的子集 有 2 一 2个 , 分 别 是 和
.
。 .
。 A nB— j 2 『 ,
.
{ 1 } ;
‘ .
m4 - 1 >5 , 或 2 m~ 1 < 一2 .
1
当 N一 时, a = = = 0 ;当 N一 { 1 } 时, a 一1 ,
.
‘ .
< 一÷或 >4 .
厶
‘
. .
a 一1 , 或者 a 一0 .
‘ .
在这 种解 法 过 程 中, 我们 在 数 一 个 集 合 的
子集 的 过 程 中 , 应 该从 子 集 里 不 含 元 素 ( 空
. m> 4 .
综上 , m<2 , 或 m>4 . 在前 一种 解 题 过 程 中 由于 忘 记 了 空 集 从
集) 、 含有 一个元 素 、 含 有 两个 元 素一 直 到 集 合 本 身依 次 来 数 . 需 要 牢 牢 掌 握 课 本 上 的 一 句 话: 空 集是 任何 集 合 的 子集 . 由于 N M , 所 以 我们首 先 就应该 考 虑到集 合 N 可 能 为 , 从 而
得到 n 一0 , 另外 一 种 情 况 解 得 n — l是 很 显 然 的, 也 是 不会遗 漏 的. 下面 我们 再来 看一 个例 子. 例 2 已知 集合 A一 { I 一2 ≤ ≤ 5 ) , B一
{ I m4 - 1 ≤ ≤ 2 m一 1 ) , 若 A nB一 , 求 实 数 的取值 范 围.
而使得我们得 到的结果是错误 的, 其实, 导 致
错 误 的原 因还是 对空 集 的理 解 不 够透 彻 , 考 虑 不 够周 全. 怎 样才 能避 免 我们不 犯这 样 的错误 呢 ? 在 实 际的 学 习过 程 中 , 我 们 必须 强 调 空 集 的特殊 性 以及 重要 性 , 举 一些 描 述 法 表示 空集 的例 子 , 如: { 3 2 l z 一一1 , ∈1 1 } , { 3 2 l 5 < ≤ 3 }
= =:
.
牢 记 空 集 是 任 何 集 合 的子 集 、 空 集 和 任
何 集合 的交集 是 空集 这 些 书 本 上 的结 论 . 在实
际的解 题过 程 中 , 在 这个 集 合 没 有 确 定 到底 是
有 些 同学 在解 题 的过 程 中首 先 利 用 数 轴 , 画 两个 集合 的范 围.
‘ .
什 么集 合 的时 候 , 我 们 必 须首 先 考 虑 到 这个 集
合 可 能 为 空集 , 这样就不会遗忘. 我 们 看 到 题 目中出现 或者 可 以得 到 形 如 N M 这 样 一 个 集 合是 另 一个 集合 的子 集 , Mn N一 等 这 样
A nB一 ,
从 而 得到 不等 式
或
1
m+1 >5 ,
寸
2 m一 1 < 一2 ,
厶
I . . m< 一÷ , 或 m>4 .
1
的式 子 , 我 们 首 先 也 应 该 想 到空 集 , 然 后 再 去
考虑其他情 况, 这 样 我 们 先考 虑 了 空 集 , 其 他
这 种 解法 是否 对 呢?我 们 不妨 在 一 ≤
厶
的情 况肯 定不 会 忘记 , 这 样 就不 会 产 生 漏解 的
错 误 了.
≤ 4范 围 内取 一个数来 验证 一下. 假 设 m一1 , 那
么 B: { zI m4 - 1 ≤z ≤2 m~ 1 } 一{ zI 2 Gz - < ≤1 } 一
,
( 责审 梁 宇? 挚)
所 以 AnB一 成立 , 也就 是 说 这个 答 案 还
Mi l k : z x s s . c b p t . c n k i . n e t
? ?
9 ? ?电 子 箱 : @ 。 i j 。 . t .