nbhkdz.com冰点文库

高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(上)


经典易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 2 1.(典型例题)设全集 U=R,集合 M={x|x>1} ,P={x|x >1} ,则下列关系中正确的是 ( ) A.M=P B.P ? M C.M ? P D.CU M ? P=? [考场错解] D [专家把脉] 忽视集合 P 中,x<-1 部分. 2 [对症下药] C ∵x >1 ∴x>1 或 x<-1.故 M ? P. 2

.(典型例题)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ? P,b ? Q} ,若 P{0,2,5} ,Q= {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 [考场错解] A P 中元素与 Q 中元素之和共有 9 个. [专家把脉] 忽视元素的互异性,即和相等的只能算一个. [对症下药] B P 中元素分别与 Q 中元素相加和分别为 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个.
? 3.(典型例题)设 f(n)=2n+1(n ? N),P={l,2,3,4,5} ,Q={3,4,5,6,7},记 P ={n ? N|f(n) ? P} ,

? Q ={n ? N|f(n) ? ? ? ? ? 则( P ? CN Q ) ? ( Q ? CN P )等于 (

)

A. {0,3} C. {3,4,5} [考场错解] D

B. {1,7} D. {1,2,6,7} P ? CNQ={6,7} ? CNP={1,2} .Q .故选 D.

? [专家把脉] 未理解集合 P 的意义.

[对症下药]

? ? ? ? ? B ∵ P ={1,3,5} Q ={3,5,7} .? .∴ P ? CN Q ={1}. P ? CN Q ={7} .故选 B.

4.(典型例题)设 A、B 为两个集合,下列四个命题: ①A B ? 对任意 x ? A,有 x ? B;②A B ? A ? B=?;③A B ? A B;④A B ? 存在 x ? A,

使得 x ? B.其

中真命题的序号是_____. [考场错解] ∵A B,即 A 不是 B 的子集,对于 x ? A,有 x ? B;A ? B=?,故①②④正确. [专家把脉] 对集合的概念理解不清.∵A B,即 A 不是 B 的子集,但是 A,B 可以有公共部分,即存 在 x ? A,使得 x ? B.不是对任意 x ? A,有 x ? B,故④正确. “A B”是“任意 x ? A,有 x ? B”的必要 非充分条件.②同①. [对症下药] 画出集合 A,B 的文氏图或举例 A={1,2} ,B={2,3,4} ,故①、②均不成立,③A{1, 2,3} ,B={1,2},∴A B 但 B ? A,故也错.只有④正确,符合集合定义.故填④ 5.(典型例题Ⅰ)设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是 ( ) A. IA) ? B=I (C B.(CIA) ? (CIB)=I C.A ? (CIB)=? D.(CIA) ? (CIB)= CIB [考场错解] 因为集合 A 与 B 的补集的交集为 A,B 的交集的补集.故选 D. [专家把脉] 对集合 A,B,I 满足 A ? B ? I 的条件,即集合之间包含关系理解不清. [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图. 从图中可观察 A、C、D 均正确,只有 B 不成立.或运用特例法,如 A={1,2,3} ,B={1,2,3.4} ,I= {1,2,3,4,5} .逐个检验只有 B 错误. 专家会诊

1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的 集合{x|x ? P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重视发挥图示法的作用,充 分运用数形结合(数轴,坐标系,文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题,直观地 解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A ? B,则 有 A=? 或 A ? ? 两种可能,此时应分类讨论. 考场思维训练 1 全集 U=R,集合 M={1,2,3,4},集合 N= ? x | x ?
? ? ? 1 ? ,则 M ? (CUN)等于 2 ?1 ?

(

)

A.{4} C.{2,3,4}

B.{3,4} D. {1,2,3,4}
? ? ? ?, 得N ? x | x ? 2 ? 1, CUN= x | x ? 2 ? 1 ,? M ? (CU N ) ? ?3,4? 2 ? 1? 1

答案:B 解析:由 N= ? x | x ?

?

?

?

?

(

答 xo ? M ? xo ? 3m ? 1, yo ? N ,? yo ? 3n ? 2,? x0 yo ? (3m ? 1)(3n ? 2) ? 9mn ? 6m ? 3n ? 2 ? 3(3mn ? 2m ? n) ? 2 ? N .故选C. 3 设 M={x|x4a,a∈R},N={y|y=3 ,x∈R},则 A.M∩N=? B.M=N C. M ? N D. M ? N 答案:B
x

2 设集合 M={x|x=3m+1,m∈Z},N=y|y{=3n+2,n∈Z},若 x0∈M,y0∈N,则 x0y0 与集合 M,N 的关系是 ) A.x0y0∈M B.x0y0 ? MMM C.x0y0∈N D.x0y0 ? N 案 : C 解 析 : ∵ ( )

解析:M= x | x ? 4a , a ? R ? M ? ?x | x ? 0? ? ?y | y ? 0? ? N.

?

?

选B

4 已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a、b∈A 且 a≠b},则 B 的子集的个数是 A.4 B.8 C.16 D.15 2 答案:解析: ? B ? ?0,6?, 它的子集的个数为 2 =4。
5 2

(

)

5 设集合 M={(x,y)|x=(y+3)?|y-1|+(y+3),- ≤y≤3} ,若(a,b)∈M,且对 M 中的其他元素(c, d),总有 c≥a,则 a=_____. 答案:解析:依题可知,本题等价于求函数不胜数 x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 ? ? y ? 3时的最小值. (1) 当 ? ? y ? 1时, x ? ( y ? 3)(1 ? y) ? ( y ? 3) ? ? y 2 ? y ? 6 ? ?( y ? )2 ? 1 ≤
2

5 2

5 2

1 2

25 5 9 , 所以y ? ? 时, xmin ? . 4 2 4

y
3 2
2


9 4 9 4

3
5 2


9 4 9 4



x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y +3y=(y+ ) - , 所以当y ? 1时, xmin ? 4.而4 ? ,因此当y ? ? 时, x有最小值 ,即a ? . 命题角度 2 集合与不等式 1.(典型例题)集合 A= ?x | ?
? ? x ?1 ? 0 ? ,B={x|x-b|<a=,若“a=1”是“A∩B≠?”的充分条件,则 b x ?1 ?

的取值范围是 ( ) A.-2≤b<2 B.-2<b≤2 C.-3<b<-1 D.-2<b<2 [考场错解] A 当 a=l 时,A={x|-1<x<1=且 B={x|b-1<x<b+1=.A∩B≠?.b-1<1 且 b+1≥-1. 故-2≤b<2.∴只有 A 符合. [专家把脉] A∩B≠? 时,在点-1 和 1 处是空心点,故不含等于.

[对症下药] D 当 a=1 时,A={x|-1<x<1=.B={x|b-1<x<b+1=.此时 A∩B≠? 的充要条件是 b-1 <1 且 b+1>-1.即-2<b<2.故只有 D 符合. 2.(典型例题)(1)设集合 A={x|4x-1≥9,x∈R},B={x| [考场错解] [专家把脉] [对症下药] {x|x≤-3 或 x≥ }. ∵
x ≥0∴x(x+3)≥0.而此时 x+3≠0.故不含 x=-3. x?3 5 2 5 2 5 2 x ≥0,x∈R},则 A∩B=_____. x?3

A={x|x≤-3 或 x≥ }.B={x|x-3 或 x≥0}.∴A∩B=≤-3 或 x≥ }.
2x ? a x2 ? 2

3.(典型例题)已知 f(x)=

(x∈R)在区间[-1,1]上为增函数.

(1)求实数 a 的值所组成的集合 A; (2)设关于 x 的方程 f(x)=
1 2 的两根为 x1,x2,试问:是否存在实数 m,使得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任 x

意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [考场错解]
2

(1)因为 f(x)=

2x ? a x2 ? 2

(x∈R),所以 f(x)=

? 2 x 2 ? 2ax ? 4 ( x 2 ? 2) 2

,依题意 f(x)≥0 在[-1,1]上恒

成立,即 2x -2ax-4≤0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,a∈R;当 0<x≤1 时,a≥x大值为-1,得 a≥-1,当-1≤x<0 时 x交集). (2)方程 f(x)=
2

2 2 2 恒成立,又 y=x- 在(0,1)上单调递增,所以 y=x- 的最 x x x

2 恒成立,由上知 a≤1.综上:a∈R(注意应对所求出的 a 的范围求 x

1 2 变形为 x -ax-2=0,|x1-x2|= a2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x1-x2|= a2 ? 8 的取大值为 3, x
2

m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立等价于 m +tm+1≥3 在 t∈[-1,1]恒成立,当 m=0 时, 显然不成立,当 m>0 时,t≥ 以 1≤
2 ? m2 ,解得 m≤-2. m
2

2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 恒成立,所以-1≥ ,解得 m≥2;当 m<0 时,t≤ 恒成立,所 m m m

综上:故不存在实数 m,使得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立. [专家把脉] (1)讨论 x 求参数的范围,最后应求参数的交集而不是并集.因为 x∈[-1,1]时,f(x) ≥0 恒成立.(2)注意对求出的 m 的值范围求并集而不是交集. [对症下药]
2

(1)因为 f(x)=

2x ? a x2 ? 2

(x∈R),所以 f′(x)=

? 2 x 2 ? 2ax ? 4 ( x 2 ? 2) 2

,依题意 f′(x)≥0 在[-1,1]

上恒成立,即 2x -2ax-4≤0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,a∈R;当 0<x≤1 时,a≥x大值为-1,得 a≥-1;当-1≤x<0 时 a≤x围求交集). (2)方法 1:方程 f(x)=
2

2 2 2 恒成立,又 y=x- 在(0,1)上单调递增,所以 y=x- 的最 x x x

2 恒成立,由上知 a≤1.综上≤a≤1(注意应对所求出的 a 的范 x

1 2 变形为 x -ax-2=0,|x1-x2|= a2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x1-x2|= a2 ? 8 的最 x
2

大值为 3,m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立等价于 m +tm+1≥3 在 t∈[- 1,1]恒成立,

当 m=0 时,显然不成立,当 m>0 时,t≥ 恒成立,所以 1<
2 ? m2 ,解得 m≤-2. m
2

2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 恒成立,所以-1≥ ,解得 m≥2;当 m<0 时,t≤ m m m

综上:存在实数 m,使得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,m 的取值范围是 {m|m≥2 或 m≤-}2(注意对求出的 m 的取值范围求并集). 方法 2:方程 f(x)=
2

1 2 变形为 x -ax-2=0,|x1-x2|= a2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x1-x2|= a2 ? 8 的最大值 x
2

为 3,m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立等价于 m +tm+1≥3 在 t∈[-1,1]恒成立,令 2 2 2 g(t)=tm+m -2,有 g(-1)=m +m-2≥0,g(1)=m -m-2≥0,解得{m|m≥2 或 m≤-2}.(注意对求出的 m 的取值 范围求交集). 专家会诊 讨论参数 a 的范围时,对各种情况得出的参数 a 的范围,要分清是“或”还是“且”的关系,是“或” 只能求并集,是“且”则求交集. 考场思维训练 2 1 设[x]表示不超过 x 的最大整数,则不等式[x] -5[x]+6≤0 的解集为 ( ) A.(2,3) B.[2,3] C.[2,4] D.[2,4] 2 答案:C 解析:由[x] -5[x]+6≤0,解得 2≤[x] ≤3,由[x]的定义知 2≤x<4 所选 C. 2 已知不等式|x-m|<1 成立的充分非必要条件是 ? x ? A. ?? , ? ? 3 2?
4 1 ? ?
1 C. ? ? ?,? ? ? ? ? 2?
1 3 1 ,则实数 m 的取值范围是 2

(

)

B. ?? , ? ? 2 3?
1 4 ? ?

D. ? ,?? ? ? ?
4 ?3 ?
1 3 , 1 2

? ?m ? 1 ? 答案:B 解析:因不等式|x-m|<1 等价于 m-1<x<m+1,依题意有 ? ? ?m ? 1 ? ? ?

??

1 4 ? m ? , 所以选B. 2 3

3 设 A、B 是两个集合,定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B}.若 M={x|x+1≤2},N={x|x=sinα |α ∈等 R},则 M-N 等于 ( ) A.[-3,1] B.[-3,0] C.[0,1] D. [-3,0] 答案:B 4 已知集合 A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0=, B={x|
x ? 2a x ? (a 2 ? 1) ? 0 }.

(1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围. 解析: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B ? ( 4,5). ( 2 ) ∵ B= ( 2a,a +1 ) , 当 a<
2

?2a ? 3a ? 1 1 1 ? 时A ? (3a ? 1,2)要使B ? A, 必须? 2 , 此时a ? ?1;当a ? 时, A ? ? , 使 3 3 ?a ? 1 ? 2 ?

?2 a ? 2 1 ? B ? A的a不存在;当a ? 时, A ? (2,3a ? 1) 要使 B ? A, 必须? 2 , 此时1 ≤a≤3. 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1 ?

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3] ? | ?1 |

命题角度 3 集合的应用 1. (典型例题)ω 是正实数, Sω ={θ |f(x)=cos[ω (x+θ )]是奇函数}, 设 若对每个实数 a,Sω ∩(a,a+1) 的元素不超过 2 个,且有 a 使 Sω ∩(a,a+1)含 2 个元素,则ω 的取值范围是_____. [考场错解] (π ,2π ) [专家把脉] ∵a 使 Sω ∩(a,a+1)含两个元素,如果
2?

?

>1 时,则超过 2 个元素,注意区间端点.
2?

[对症下药] 由 Sω ∩(a,a+1)的元素不超过两个,∴周期 a+1)含两个元素,∴
2?

?

? <1.∴ω >π 又∵有 a 使 Sω ∩(a,

1 2

?

周期≥1.∴ω ≤2π .故ω ∈(π ,2π ).
x (x∈R),区间 M=[a,b](a<b),集合 N={y|y=f(x),x∈M},则使 M=N 1? | x |

2.(典型例题)设函数 f(x)=成立的实数对(a,b)有 ( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个 [考场错解]

)

D ∵y=f(x)是奇函数,不妨设 x>0.f(x)=-1+
? ?b

1 ,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数,即 x ?1

y=f(x) 在 [a , b] 上 为 减 函 数 , ∴ y=f(x) 的 值 域 为 ? , ? ,∴N∈ ?1? | b | 1? | a | ?
? ?b ?a ? , ? ? 1? | b | 1? | a | ? ?

?a ?

∵M=N,∴M ? N∴a≥ [专家把脉] 两层含义.

?b ?a ,且 b≤ ,故有无数组解. 1? | b | 1? | a |

错误地理解了 M=N,只是 M ? N,忽视了 M=N, 包含 M ? N 和 N ? M

? ?? 1 ? [对症下药]∵f(x)= ? ? ?? 1 ? ? ?

1 ( x ? 0) x ?1 , ∵y=f(x)在[a, b]上为减函数 1 ( x ? 0) x ?1

∴y=f(x)的值域为 ?

? ?b ?a ? , ? 1? | b | 1? | a | ? ?

∵N={y|y=f(x)},∴N 表示 f(x)的值域-b
?b ? ?a ? 1? | b | ∴M=N,∴ ? ? a ? b ,而已知 a<b,∴满足题意的 a、b 不存在,故选 A. ? ?b ? ? a ? 1? | a | ?

3.(典型例题)记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=1g[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为 B. x ?1

(1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. [考场错解] (1)由 2x?3 ≥0,得 x<-1 或 x≥1.∴A={x|x<-1 或 x≥1} x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) ∵B ? A ∴2a>1 或 a+1≤-1 ∴a> 或 a≤-2 又∵a<1∴a≤-2 或 <a<1
1 2 1 2

[专家把脉] 利用集合的包含关系时,忽视了端点的讨论. [对症下药] (1)由 2x?3 ≥0,得 x<-1 或 x≥1. x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a≤-2,而 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时,实数 a 的范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. 专家会诊 集合与不等式、集合与函数、集合与方程等,都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意 知识的融会贯通.有时要用到分类讨论,数形结合的思想. 考场思维训练 2 2 1 已知集合 A={x|(a -a)x+1=0,x∈R},B={x|ax -x+1=0,x∈R},若 A∪B=?,则 a 的值为 ( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.0 或 4 答案:B 解析:AUB=?,∴A= ? 且 B=?,由 A=? 得 a=0 或 1;由 B=? 得 a>0 且△<0,解得 a> ,? a ? 1. 2 设集合 P={3, 5}, 4, Q={4, 6, 5, 7}定义 P※Q={(a, b)|a∈p, b∈Q, P※Q 中元素的个数为 则 A.3 B.4 C.7 D.12 答案:D 3 已知关于 x 的不等式 (1)a=4 时,求集合 M; 答案:(1)当 a=4 时,原不等式可化为
4x ? 5 x2 ? 4
5 5 5 ? 0 ,即 4( x ? )(x ? 2) ? 0,? x ? (??,?2) ? ( ,2),故M为(??,?2) ? ( ,2). 4 4 4 1 4 1 2 1 2 1 2

(

)

ax ? 5 x2 ? a

? 0 的解集为 M.

(2)若 3∈M 且 5 ? M,求实数 a 的取值范围. 答案:由 3 ? M得 由 5 ? M得
5a ? 5 52 ? a 3a ? 5 3 ?a
2

? 0,? a ? 9或a ?

5 , 3

① ②
5 3

? 0,?1 ? a ? 25,
5 3

由①、②得 1 ? a ? , 或9 ? a ? 25.因此a的取值范围是[1, ) ? (9,25). 命题角度 4 简易逻辑 1.(典型例题)对任意实数 a、b、c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;③“a>b”是 “a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [考场错解] D [专家把脉] 忽视①中 c=0 的情况,③中 a,b 小于 0 的情况. [对症下药] B ①中 c=0 时,非必要条件;③中 0>a>b 时,非充分条件,②④正确. 2.(典型例题)给出下列三个命题 ①若 a≥b>-1,则
a b ? 1? a 1? b n 2
2 2

②若正整数 m 和 n 满足 m≤n,则 m(n ? m) ?
2 2

③设 P(x1,y1)为圆 O1:x +y =9 上任一点,圆 O2 以 Q(a,b)为圆心且半径为 1.当(a-x1) +(b-y1) =1 时, 圆 O1 与圆 O2 相切 其中假命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

[考场错解] A 2 2 [专家把脉] ③中(a-x1) +(b-y1) =1 时,即圆 O2 与 O1 上任一点距离为 1,并不一定相切. [对症下药] B 3.(典型例题)设原命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d” ,则它的逆否命题 是( ) A.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 且 c≠d B.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d C.若 a+c≠b+d,则 a,b,c,d 不是实数,且 a≠b,c≠d D.以上全不对 [考场错解] A [专家把脉] 没有分清“且”的否定是“或”“或”的否定是“且”. , [对症下药] B 逆否命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d” . x 4.(典型例题)已知 c>0,设 P:函数 y=c 在 R 上单调递减;Q:不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围. [考场错解] 由函数 y=c 在 R 上单调递减, 0<c<1;∵x+|x-2c|= ? 得
x

?2 x ? 2c, x ? 2c , 所以函数 y=x+|x-2c| ?2c, x ? 2c
1 2

在 R 上的最小值为 2c,因为不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,所以 2c>1,得 c> . 如果 P 真,得 0<c<1,如果 Q 真,则 c> . 所以 c 的取值范围是(0,+∞). [专家把脉] 将 P 和 Q 有且仅有一个正确,错误理解成 P 正确或 Q 正确. [对症下药] 由函数 y=c 在 R 上单调递减,得 0<c<1;∵x+|x-2c|= ?
x

1 2

?2 x ? 2c, x ? 2c , 所以函数 y=x+|x-2c| ?2c, x ? 2c
1 2

在 R 上的最小值为 2c,因为不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,所以 2c>1,得 c> . 如果 P 真 Q 假,则 0<c≤ ;如果 Q 真 P 假,则 c≥1. 所以 c 的取值范围是(0,
1 )∪[1,+∞] 2 1 2

专家会诊 1.在判断一个结论是否正确时,若正面不好判断,可以先假设它不成立,再推出矛盾,这就是正难则 反. 2.求解范围的题目,要正确使用逻辑连结词, “且”对应的是集合的交集, “或”对应的是集合的并集. 考场思维训练 ? ? 2 1 已知条件 P:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x ,则 p 是 q 的 ( ) A.充要条件 B.充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ┒ ┒ 答案:B解析:p:x<-3 或 x>1,q:2<x<3,则 q 是 p 的充分但不必要条件,故 p 是 q 的充分但不必要条件。 2 x 2 已知命题 p:函数 log0.5(x +2x+a)的值域为 R,命题 q:函数 y=-(5-2a) 是减函数.若 p 或 q 为真命 题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 2 1.答案:解析:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x +2x+a 的判别式 △=4-4a≥0,从而 a≤1;命题 q 为真时,5-2a>1? a<2. 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选C.

3 如果命题 P:?∈{ ? },命题 Q:? ? { ?},那么下列结论不正确的是 ( ) A.“P 或 Q”为真 B. 且 Q”为假 “P C. “非 P”为假 D. “非 Q”为假 答案:B 2 4 已知在 x 的不等式 0<x -4<6x-13a 的解集中,有且只有两个整数,求实数 a 的取值范围. 答 案 : 解 析 : 原 不 等 式 等 价
? 9 12 ? x ? 2或x ? ?2 , 令f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 13a, 画出f ( x)的函数图象,由已知可得f (4) ? 0 f (5) ? 0, 解得 ? a ? . ? 2 13 13 ? x ? 6 x ? 4 ? 13a ? 0 ?



5 已知命题 p: 方程 a x +ax-2=0 在[-1, 1]上有解; 命题 q: 只有一个实数 x 满足不等式 x +2ax+2a≤0, 若命题“p 或 q 是假命题,求 a 的取值范围. 答 案 : 解 析 : 由 a x +ax-2=0, 得 ( ax+2 ) (ax-1)=0, 显 然 a ≠ 0 x ? [?1,1],故 |
2 2

2 2

2

∴ x= ? 或x ?

2 a

1 ∵ a

2 1 2 2 |? 1或 | |? 1,? a |? 1 “只有一个实数满足 x +2ax+2a≤0”.即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一 | a a

个交点, 2 ∴△=4a -8a=0, ∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q 为真命题”时“|a|≥1 或 a=0” ∵命题“p 或 q”为假命 题∴a 的取值范围为 ?a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1? 命题角度 5 充要条件
1 2

1.(典型例题)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 [考场错解] A B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

(

)

[专家把脉] 当两直线垂直时,A1A2+B1B2=0,m -4+3m(m+2)=0,即 m= 或 m=-2;故不是充分必要条件. [对症下药] B 当 m= 时两直线垂直.两直线垂直时 m= 或 m=-2,故选 B. 2.(典型例题)设定义域为 R 的函数 f(x)= ?
?| lg | x ? 1 ||, x ? 1 2 . ,则关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 有 7 个 0, x ? 1 ?
1 2 1 2

1 2

不同实数解的充要条件是 ( ) A.b<0 且 c>0 B.b>0 且 c<0 C.b<0 且 c=0 D.b≥0 且 c=0 2 [考场错解] B △=b -4ac.当 c<0 时,△>0.故 f(x)有两个不同实根,∴x 有 7 个不同根. [专家把脉] ∵f(x)的根为正时,x 有 4 个不同实根.应考虑 f(x)的根的正负. [对症下药] C 当 x=1 时 f(x)=0,∴c=0. 2 2 当 x≠1 时,f(x)=|1g|x-1||, (x)+bf(x)+c=1g |x-1|+b|1g|x-1||=0. |1g|x-1||(1g|x-1|+b)=0, ∴f 即, ∴1g|x-1|=0 或 1g|x-1|=-b,∴x=2 或 x=0 或 1g|x-1|=-b①∴b<0.①式有 4 个不同实根故 c=0 且 b<0, 恰有 7 个不同实根 3.(典型例题)若非空集合 M ? N,则 a∈M 或 a∈N 是 a∈(M∩N)的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] a∈(M∩N)的意思是 a∈M 且 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 不能推出 a∈(M∩N),同样 a∈(M ∩N)也不能推出 a∈M 或 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 是 a∈(M∩N)的既不充分也不必要条件,所以选 D. [专家把脉] “或”与“且”理解错误,逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别,a∈M 或 a∈N 包 括三种:a∈M 但 a ? N;a∈N 但 a ? M;a∈M 且 a∈N.所以 a∈(M∩N)可以推得 a∈M 或 a∈N.

[对症下药] a∈(M∩N)的意思是 a∈M 且 a∈N, a∈M 或 a∈N 包括三种: 而 a∈M 但 a ? N; a∈N 但 a ? M; a∈M 且 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 不能推出 a∈(M∩N);a∈(M∩N)可以推得 a∈M 或 a∈N.所以选 B. 2 2 4.(典型例题)设命题 p:关于 x 的不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集相同;命题 q:
a1 b1 c1 ,则命题 p 是命题 g 的 ? ? a2 b2 c2

(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] 因为
a1 b1 c1 2 2 , 所以不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 是等价的不等式, 解集相同, ? ? a2 b2 c2
2 2

所以 q 能推出 p 而不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x + b2x+c2>0 的解集相同不能得出 [专家把脉]
2

a1 b1 c1 ,所以选 B. ? ? a2 b2 c2

因为
2

a1 b1 c1 2 2 若 a1 与 a2 的符号不同,这时 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集不相 ? ? a2 b2 c2 a1 b1 c1 =-1,但它们的解集不相同,所以 q 不能推出 P. ? ? a2 b2 c2

同,如-x +3x-2>0 与 x -3x+2>0,尽管 [对症下药] 因为

a1 b1 c1 2 2 ,若 a1 与 a2 的符号不同,这时 alx +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集不 ? ? a2 b2 c2
2 2

相同,所以 q 不能推出 p;不等式 x +x+3>0 与 x +1> 0 的解集相同,但

a1 b1 c ? ? 1 ,所以 p 不能推出 q, a2 b2 c2

所以选 D. 专家会诊 (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念:当“若 p 则 q”形式的命题为真时,就记作 p ? q 称 p 是 q 的充分条件,同时称 q 是 p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义词语: “等价于”“当且仅当” , , “必须并且只需”“??,反之也真”等. , (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又 是概念所具有的性质. (4)从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A、B 互为充要条依. (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即 条件的必要性). 考场思维训练 1 设 ab、是非零向量,则使 a?b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 ( ) A.a=b B.a⊥b C.a∥b D.a=λ b(>0) 答案:C解析:由 a?b=|a| |b|可得 a∥b;但 a∥b, a?b=±|a| |b|, 故使 a?b=|a| |b| 成立的一个必 要充分条件是:a∥b.故选C. 2 若条件甲:平面α 内任一直线平行于平面β ,条件乙:平面α ∥平面β ,则条件甲是条件乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:C 解析:甲乙可以互推。选C. 3.已知函数 f(x)=ax+b(0≤x<1),则 a+2b>0 是 f(x)>0 在[0,1]上恒成立的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 答案:B 解析:∵f(x)>0 在[0,1]上恒成立? a+2b>0,但 a+2b>0 推不出 f(x)>0 在[0,1]上恒 成立。 4 命题 A:|x-1|<3,命题 B:(x+2)(x+a)<0,若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.[4,+∞] C.(-∞,-4) D.(-∞,-4) 答案:C 探究开放题预测 预测角度 1 集合的运算 1.设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P ? Q ? I,若含 P、Q 的一个运算表达式,使运算结果为空集,则 这个运算表达式可以是_______;如果推广到三个,即 P ? Q ? R ? I,使运算结果为空集,则这个运算表达 式可以是_______.(只要求写出一个表达式). [解题思路] 画出集合 P、Q、I 的文氏图就可以看出三个集合之间的关系,从它们的关系中构造集合 表达式,使之运算结果为空集. [解答] 画出集合 P、Q、I 的文氏图,可得满足 P ? Q ? I,含 P、Q 的一个运算表达式,使运算结果为 空集的表达式可以是 P∩(CIQ);同理满足 P ? Q ? R ? I,使运算结果为空集的表达式可以是(P∩Q)∩(CIR), 或(P∩Q) ∩(CIR).答案不唯一. 2 2 2.设 A={(x,y)|y -x-1=0},B={(x,y)|4x +2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、b∈N, 使得(A∪B)∩C=?,证明此结论. [解题思路] 由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到 b、 k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值. [解答] ∵(A∪B) ∩C=?, ∴A∩C=? 且 B∩C=? ∵? ?
?y2 ? x ?1 ? y ? kx ? b ?
2 2 2

∴k x +(2bk-1)x+b -1=0 ∵A∩C=? 2 2 2 ∴△1=(2bk-1) -4k (b -1)<0 2 2 2 ∴4k -4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b -16>0,即 b >1 ∴? ?
?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? b
2



∴4x +(2-2k)x+(5+2b)=0 ∴B∩C=?, 2 ∴△2(1-k) -4(5-2b)<0 2 ∴k -2k+8b-19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 ②
?4k 2 ? 8k ? 1 ? 0, 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由△1<0 和△2<0 组成的不等式组,得 ? ? ?k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ?

∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B) ∩C=?. 预测角度 2 逻辑在集合中的运用

1.已知不等式: ①|x+3|>|2x|;②

x?2 x 2 ? 3x ? 2

? 1 ;③2x +mx-1<0.

2

(1) 若同时满足①、②的 x 也满足③,求 m 的取值范围; (2) 若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,求 m 的取值范围. [解题思路] (1)若同时满足①、②的 x 也满足③,即求出不等式①、②的交集是③的解集的子集;第 (2)问,若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,即满足③的 x 满足①、②的并集. [解答] (1)由|x+3|>| 2x|得-1<x<3,由
x?2 x ? 3x ? 2
2

? 1 得 0≤x<1 或 2<x≤4,同时满足①、②的集
13

合 A=[0,1] ∪(2,3).满足③的集合为 B,因为 B ? A,所以 f(3)≤0,且 f(0)<0,故 m≤- . 7 (2)方法 1:∵B ? (-1,3) ∪[0,1] ∪(2,4),∴B ? (-1,4),即方程 2x +mx-1<0 的两根在(-1,4) 内,由根的分布可得31 ≤m<1. 4
2

方法 2:若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,即求同时不满足①、②的集合的补集. ①的解集{x|x≤-1 或 x≥3},②的解集{x|x<0 或 1≤x≤2 或 x>4=. 2 ①∩②={x|x≤-1 或 x>4},补集为(-1,4),即方程 2x +mx-1<0 的两根在(-1,4)内,由根的分布可 得31 ≤m<1. 4
2 2 2 2

2.集合 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|log2(x -5x+8)=1},C={x|x +2x-8=0},求当 a 取什么实数时,A∩B ? 和 A∩C=? 同时成立. [解题思路] 求出集合 B,C.由 A∩B ?,即 A∩B≠?,从而求 a.,由 A∩C=?,来检验. 2 2 2 [解答] log2(x -5x+8)=1,由此得 x -5x+8=2,∴B={2,3}.由 x +2x-8=0,∴C={2,-4},又 A∩C=?, 2 2 ∴2 和-4 都不是关于 x 的方程 x -ax+a -19=0 的解,而 A∩B ?,即 A∩B≠?, 2 2 ∴3 是关于 x 的方程 x -ax+a -19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时, A={2, 得 3}, A∩二{2}, 这与 A∩C=? 不符合, 所以 a=5(舍去); a=-2 时, 当 可以求得 A={3, -5},符合 A∩C=?,A∩B ?,∴a=-2. 预测角度 3 集合的工具性 1.已知{an}是等差数列,d 为公差且不为零,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项和为 Sn,设集合 A={(an,
Sn 1 2 2 * )|n∈N },B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R},试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正 n 4

确,请举例说明. (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 中至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠?. [解题思路] (1)要证明这些点都在同一条直线上;即证任意两点的斜率相等;(2)A∩B 中至多有一 个元素;集合 A,B 所表示的曲线至多有一个交点;(3)当 a1≠0 时,集合 A,B 所表示的曲线一定有交点. [解答](1)an=a1+(n-1)d, ∵ k An A n?1 ? k An A n?1 = , ∴这些点都在同一条直线上. (2)方法 1(几何法):集合 A 表示的点在直线 y= x+ a1 上,集合 B 表示的点在双曲线 x -y =1 上, 由数形结合可知, a1≠O 时, 当 直线 y= x+ a1 与双曲线 x -y =1 只有一个交点, a1=0 时, 当 直线 y= x+ a1
1 2 1 2 1 4
2 2

Sn n ?1 =a1+d,An=[a1+(n-1)d,a1+ d] n 2

1 2

1 2

1 2

1 4

2

2

1 2

1 2

与双曲线 x -y =1 无交点. 故 A∩B 中至多有一个元素; 方法 2(代数法):集合 A 表示的点在直线 y= x+ a1 上,集合 B 表示的点在双曲线 x -y =1 上,将
2 y= x+ a1 代入方程 x -y =1,化成关于 x 的方程 2a1x+ a1 +4=0,当 a1=0 时,x 无解,当 a1≠0 时,x 有

1 4

2

2

1 2

1 2

1 4

2

2

1 2

1 2

1 4

2

2

惟一解.故 A∩B 中至多有一个元素; (3)由(2)可知, a1≠0 时, 当 直线 y= x+ a1 与双曲线 x -y =1 只有一个交点, A∩B 中有一个元素. 故 一定有 A∩B≠?. 2.设 M 是满足下列两个条件的函数 f(x)的集合:①f(x)的定义域是[-1,1];②若 x1,x2∈[-1,1], 则|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.试问: 2 (1)定义在[-1,1]上的函数 g(x)=x +3x+2005 是否属于集合 M?并说明理由; (2)定义在[-1,1]上的函数 h(x)=4sinx+2006 是否属于集合 M?并说明理由. [解题思路] 判断函数 g(x)与 h(x)的集合是否属于集合 M, 即证明函数 g(x)与 h(x)是否满足下列两个 条件①f(x)的定义域是[-1,1];②若 x1,x2∈[-1,1],则 |f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|. [解答]
2 2 (1)|g(x1)-g(x2)|=| x1 +3x1- x 2 -3x2|=|x1-x2||x1+x2+3|,∵-2≤x1+x2≤2,即 1≤x1+x2 +3≤5,

1 2

1 2

1 4

2

2

∴|x1+x2+3 |≤5,|g(x1)-g(x2)|≤5|x1-x2|,不符合条件②.故不属于 M; (2)|h(x1)-h(x2)|=|4sinx1-4sinx2|=4|sinx1-sinx2|≤4|x1-x2|,故属于 M; 3.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体 的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都 赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? [解题思路] 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. [解答] 赞成 A 的人数为 50? =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合为
3 5

U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为 人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+(
x +1)=50,解得 x=21. 3 x +1,赞成 A 而不赞成 B 的 3

所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. 预测角度 4 真假命题的判断 ? 1.已知 p、q 为命题,命题“ (p 或 q)”为假命题,则 ( ) A.p 真且 q 真 B.p 假且 q 假 C.p,q 中至少有一真 D.p,q 中至少有一假 ? ? ? [解题思路] 利用 p 与 p 一真一假,得 p 或 q 为真命题,或将“ (p 或 q)”为假命题转化为“ p ? 且 q”为假命题. ? [解答] 由已知“ (p 或 q)”为假命题,得 p 或 q 为真命题,根据真值表,得 p、q 中至少有一真; ? ? ? ? ? 或由“ (p 或 q)”为假命题,得“ p 且 q”为假命题,所以 p、 q 中至少有一假,得 p、q 中至少有 一真.所以本题答案是 C. 2.已知 p:|1x ?1 2 2 ≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0),若﹂p 是﹂q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取 3

值范围. [解题思路] 利用等价命题先进行命题的等价转化, 搞清晰命题中条件与结论的关系, 再去解不等式, 找解集间的包含关系,进而使问题解决. [解答] 由题意知: 命题:若﹂P 是﹂q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是 q 的充分不必要条件. p:|12

x ?1 x ?1 x ?1 |≤2 ? -2≤ -1≤2 ? -1≤ ≤3 ? -2≤x≤10 3 3 3
2

q:x -2x+1-m ≤0 ? [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 * ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴不等式|1x ?1 2 2 |≤2 的解集是 x -2x+1-m ≤0(m>0)解集的子集. 3

又∵m>0 ∴不等式*的解集为 1-m≤x≤1+m ∴?
?1 ? m ? ?2 ?m ? 1 ∴m≥9, ?? ?1 ? m ? 10 ?m ? 9

∴实数 m 的取值范围是[9,+∞]. 预测角度 5 充要条件的应用 1.设符合命题 p 的所有元素组成集合 A,符合命题 q 的所有元素组成集合 B,已知 q 的充分不必要 条件是 p,则 集合 A、B 的关系是 ( ) A.A ? B B.A B C.B A D.A=B [解题思路] 由 q 的充分不必要条件是 p,可得 p 可推 q,但 q 不能推 p,再利用充要条件与集合之 间的关系可求解. [解答] 由 q 的充分不必要条件是 p,可得 P 可推 q,但 q 不能推 p,所以 A 中的元素都是 B 中的元 素,B 中至少有一个元素不是 A 中的元素,所以 A B,所以选 B. 2.0<a≤ 是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用二次函数的对称轴与单调区间的关系求解. [解答] 若 0<a≤ , 则函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 为开口向上的二次函数, 且对称轴为 x=
2

1 5

2

(

)

1 5

2

2 ? 2a 1 = -1 2a a 1 5

∈[4,+∞],由二次函数的图像知函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数,所以 0<a≤ 是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的充分条件;反过来若 a=0,函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 为 2 f(x)=-2x+3,它在 R 上为减函数,所以在(-∞,4)上为减函数,即 a=0 符合函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在 (∞,4)上为减函数,但 0 (0, ),所以 0<a≤ 不是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的必 要条件.所以选 A. 考点高分解题综合训练 1 设全集为 I,P∩T=(CIP)∪s,则 A.T∪S=I B.P=T=S C.T=I D.P∪(CIS)=I
1 5 1 5
2 2 2

(

)

答案:A 解析:利用韦恩图可判断。 2 2 已知 A={x|2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则 A∩B= ( ) A.(-3,-2)∪(1,+∞) B.(-3,-2)∪[1,2] C.[-3,-2]∪(1,2) D.(-∞,-3)∪(1,2) 2 答案:C 解析:由|2x+1|>3,得 x>1 或 x<-2,由 x +x-6≤0 得-3≤x≤2, ∴ A ? B ? [?3,?2) ? (1,2], 故选C. 3 已知命题“非空集合 M 中至少有一个元素是集合 N 中的元素”是假命题,下列命题: (1)M 中的元素都不是集合 N 中的元素 (2)M 中的元素都是集合 N 中的元素 (3)M 中的元素至多有一个元素是集合 N 中的元素 (4)N 中的元素都不是集合 M 中的元素 其中正确的命题个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C 3个 D.4 个 答案:B 解析: “非空集合M中至少有一个元素是集合N中的元素”是假命题,则它的否命题:M中的元 素都不是集合N中的元素是真命题.故只有(1)正确。选A。 4 已知 a>b>0,全集 U=R,集合 M={x|b<x<
a?b },N={x| ab <x<a=,P={x|b<x≤ ab },则 P,M, 2

N 满足的关系是 ( ) A.P=M∪N. B.P=M∪N. C.P=M∩(CUN). D.P=(CUM)∩N. 答案:C 解析:取 a=4,b=2,画出数轴可判断选 C. 2 2 5 命题 P:如果 x +2x+1-a <0,那么-1+a<x<-1;命题 q:a<1,那么 q 是 p 的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由命题 p 真,可得 a<0, 而由 a<0? q:a<1,所以 p 是 q 充分不必要条件,q 是 p 的必要不 充分条件,故选 A. 6 已知α 、β 是不同的两个平面,直线 a ? α ,直线 b ? β . 命题 p:a 与 b 无公共点;命题 q:α ∥β ,则 p 是 q 的 ( )条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案:B 解析:考查线线、线面、面面的位置关系。 7 命题 p:若 a,b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件. 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1)∪[3,+∞],则 A.“p 或 q”为假 C.p 真 q 假 B. 且 q”为真 “p D.p 假 q 真 ( )

答案:D 解析:命题 p:由|a|+|b|>1 ? |a+b|≯1∴命题 p 是假,命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2中 | x ? 1 | ≥2, ∴ x≥3 或 x≤1, ∴命题 q 为真。 8 两个集合 A 与 B 之差记作“A/B” ,定义为:A/B={x|x∈A,且 x ? B},如果集合 A={x|log2x<1,x ∈R},集合 B={x|x-2|<1,x∈R},那么 A/B 等于 ( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥3} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1} 答案:D 解析:求出 A、B 后,按题中定义运算。 9 设集合 A={1,2,3,4,5}共有 K 个子集,记子集 Ai 的元素之和为 Si(i=1,2,?,k),则 S1+S2+? +Sk=_________. 答案: 解析: 240 设单元素集合之和为 T1=1+2+3+4+5=15, 二元集合之和为 T2=4T1, 同理 T3=6T1, 4=4T1, 5=T1, T T

S1+S2+ ? +S5=T1+T2+T3+T4+T5=240. 2 10 二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x 3 y 6 2 0
2

1 4

0 6

1 6

2 4

3 4 0 6

则 ax +bx+c>0 的解集是__________. 答案:(-∞,-2) ?(3,?? ) 解析:取三点代入函数中解出不等式即可。 11 每天早晨,李强要做完以下几件事,再去公司上班: 起床穿衣 8 分钟; 洗脸刷牙 5 分钟; 煮早饭 t 分钟; 吃早饭 7 分钟; 听广播 15 分钟; 整理房间 6 分钟. 若 李强做完这些事最快需要 30 分钟,那么煮早饭的时间 t 最多为_______分钟. 答案:15 解析:起床穿衣 8 分钟;煮早饭 t 分钟;吃早饭 7 分钟;这三项不能同时做.洗脸刷牙 5 分钟; 与听广播 15 分钟;整理房间 6 分钟;都可同时做.若李强做完这此事最快需要 30 分钟,那么煮早饭的时 间 t 最多为 30 分钟. 12 设全集 U=R,(Ⅰ)解关于 x 的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R);(Ⅱ)记 A 为(1)中不等式的解集,集合 B={x|sin(π x? ? )+ 3 cos(π x- )=0}.若(CUA)∩B 恰有 3 个元素,求 a 的取值范围. 3 3

答案: 解析: (1)由|x-1|+a-1>0 得|x-1|>1-a,当 a>1 时, 解集是 R; a≤1 时, 当 解集是 ?x | x ? a或x ? 2 ? a?.(2) 当 a>1 时
?
3



CUA=?
?
3


?
3


?
3

a
? ?
3 3



1





CUA= ?x | a ? x | 2 ? a?,因sin(?x ? ) ? 3 cos(?x ? ) ? 2[sin(?x ? ) cos ? cos(nx ? ) sin ] ? 2 sin ?x, 由 sinnx=0 得 x=k∈ Z,∴B=Z 当(CuA)?B 恰有 3 个元素时,a 应满足
?a ? 1 ? ?a ? 2 ? a ? 3, ?? 1 ? a ? 0 ? ? ?1 ? a ? 0.
2 2

13 已知三个集合 E={x|x -3x+2=0},F={x|x -ax+(a-1)=0},G={x|x2-bx+2=0},问:同时满 2 足 F E, G ? E 的实数 a 和 b 是否存在?若存在.求出 a、b 所有值的集合;若不存在,请说明理由. 答 案 : 解 析 : E , ?1,2?
? ? F= ? , a,?1?,由F? E, a ? 1 ? 1,2. ? a ? 2,3.由G? E, ? ? b2 ? 8 ? 0或?b2 ? 8 ? 0, 且1 ? G或2 ? G, 解得 ? 2 2 ? b ? 2 2或b ? 3. 1

综上所述, a ? 2 、3 且-2 2 ? b ? 2 2或b ? 3. 14 已知椭圆方程
x2 a2 ? y2 b2

+=1(a>b>0),A(m,0)为椭圆外一定点,过 A 作直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,

且有 AP ? ? AQ ,Q 关于 x 轴的对称点为 B,x 轴

上一点 C,当 l 变化时,求点 C 在 BP 上的充要条件. 答 案 : 解 析 : 连 结 AB , 因 为 B 、 Q
| ??? |?| ??? |,又 ? ?
AQ AB

关 于

x

轴 对 称 , 所 以

| ??? | ? ??? ?
AB AP

?

??? ?
PC

CB

, 所以 ??? ? ? ???, 设P( x1, y1),Q( x2 y2 ), ?
PC CB

C(xo,O),则 B(x2,-y2),可得 y1= ?y2 , x1 ? m ? ? ( x2 ? m), xo ? x1 ? ? ( x2 ? xo ) 又
2 x1

a

2

?

2 y1

b

2

? 1,

2 x2

a

2

?

2 y2

b

2

? 1, 所以有

( x1 ? ?x2 )(x1 ? ?x2 ) a2

? ?2 ? 1

将(1)代入(2)中得 xo ? 标为 (
a2 ,0). m

a2 a2 所以 C 在 BP 上的充要条件是 C 的坐 , 所以C的坐标为( ,0) 由于上述解题过程可逆, m m

考点-2 函数 (一) 函数的定义域和值域 函数单调性的应用 函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 经典易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域
? f ( x) ? g ( x) ? 1. (典型例题)对定义域 Df、 g 的函数 y=f(x), D y=g(x), 规定: 函数 h(x)= ? f ( x) ? ? ? g ( x) ? 当x ? D f 且x ? D g 当x ? D f 且x ? D g 当x ? D f 且x ? D g

(1)若函数 f(x)=

1 2 ,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域. [ 考 场 错 解 ] (1) ∵ f(x) 的 定 义 域 Df 为 (- ∞ , 1) ∪ (1 , + ∞ ) , g(x) 的 定 义 域 Dg 为 R. ∴
? x2 ? ? x ?1 ? 1 h(x)= ? ? x ?1 ?1 ? ? x ? ( ?? ,1) ? (1,?? ) ( x ? 1) ( x ? 1)

(2)当 x≠1 时,h(x)=

1 1 x2 =x-1+ +2≥4.或 h(x)= ∈(-∞,0)∪(0,+∞). ∴h(x)的值域 x ?1 x ?1 x ?1

为(4,+∞),当 x=1 时,h(x)=1.综合,得 h(x)的值域为{1}∪[4,+∞]. [专家把脉] 以上解答有两处错误:一是当 x∈Df 但 x ? Dg 时,应是空集而不是 x≠1.二是求 h(x)的 值域时,由 x≠1 求 h(x)=x-1+ [对症下药]
? x2 h(x)= ? x ? 1 , ? ?1, ?
1 +2 的值域应分 x>1 和 x<1 两种情况的讨论. x ?1

(1)∵f(x)的定义域 Df=(-∞,1)∪(1,+∞)?g(x)的定义域是 Dg=(-∞,+∞).所以,
x ? (?? ,1) ? (1,?? ). x ? 1.

(2)当 x≠1 时,h(x)=

x2 1 x2 ?1 ?1 = =x-1+ +2. x ?1 x ?1 x ?1

若 x>1,则 x-1>0,∴h(x)≥2 ( x ? 1) 当且仅当 x=2 时等号成立.

1 +2=4. x ?1

若 x<1,则 x-1<0.∴h(x)=-[-(x-1)当 x=1 时,h(x)=1.

1 ]+2≤-2+2=0.当且仅当 x=0 时等号成立. x ?1

综上,得 h(x)的值域为(-∞,0)∪{1}∪[4,+∞]. 2.(典型例题)记函数 f(x)= 2 ?
x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为 B. x ?1

(1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. [考场错解] (1)由 2x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. x?3 x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0 得(x-a-1)(x-2a)<0 当 a=1 时,B=? .∴B ? A. 当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1), ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1.即 a≥ 或 a≤-2 而 a≤1,∴ ≤a≤1 或 a≤-2. 故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. [专家把脉] 由函数的概念知函数的定义域为非空集合,所以错解中 a=1 时 B= ?,说明函数不存在, 因此 a=1 不适合. [对症下药] (1)由 2x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0, x?3 x ?1
1 2

1 2

1 2

∴x<-1 或 x≥1.即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. (2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0, 当 a=1 时,B= ?,∵定义域为非空集合,∴a≠1.当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1),∵B ? A,∴2a ≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a ≤-2.而 a<1,∴ ≤a≤1 或 a≤-2,
1 2 1 2

故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. 3.(典型例题)记函数 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 1 ? (1) 集合 M,N; (2) 集合 M∩N.M∪N. [考场错解] ?. (2)∴M∩N=?.M∪N={x|x> }. [专家把脉] 质,应先移项化为 然是错误的. [对症下药] (1)由 2x-3>0,得 x> .∴M={x|x> }.由 13 2 3 2 3 2

1 2

2 的定义域为集合 N.求 ?1

(1)由 2x-3>0 解得 x> .∴M={x|x> }.由 1-

3 2

3 2

2 ≥0 得 x-1≤x-3∴-1≤-3.∴N= x ?1

求集合 N 时解不等式 1-

2 ≥0 两边同乘以(x-1)不等号不改变方向,不符合不等式性 x ?1

f ( x) ≥0 的形式再转化为有理不等式,求解,另外定义域不可能为非空集合.∴N=? 显 g ( x)

?( x ? 3)(x ? 1) ? 0 2 x ?3 ≥0 得 ?0?? x ?1 x ?1 ?x ? 1

∴x≥3 或 x<1.∴N={x|x≥3 或 x<1}.

(2)∴M∩N={x|x> }∩{x|x≥3 或 x>1}={x|x≥3}. M∪N={x|x> }∪{x|x≥3 或 x>1}={x|x> 或 x<1}. 4.(典型例题)若集合 M={y|y=2 },P={y|y= x ? 1 },则 M∩P 等于 A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} [考场错解] 选 A 或 B [专家把脉] 集. [对症下药] 错误地认为是求函数 y=2 和 y= x ? 1 的定义域的交集.实际上是求两函数的值域的交
-x -x

3 2

3 2

3 2

(

)

∵集合中的代表元素为 y,∴两集合表示两函数的值域,又∴M={y|y=2 }={y|y>0},

-x

P={y|y= x ? 1 }={y|y≥0}.∴M∩P={y|y>0},故选 C. 专家会诊 1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围,必须对字母酌取值情况进 行讨论,特别注意定义域不能 为空集。2.求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用. 考场思维训练 x 1 若函数 y=lg(4-a?2 )的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 ( )

A.(0,+∞) C.(-∞,2)

B.(0,2) D.(-∞,0)
4 2
x

答案:D 解析:∵4-a ? 2x ? 0的解集为R ? a ?

在R上恒成立.

4 2x

? 0,? a ? 0.

2 已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为 ( ) A.[-4,1] B.[0,5] C.[-4,1]∪[0,5] D.[-2,3] 答案:D 解析:f(x-2)的图象是把 f(x)的图象向右平移 2 个单位.因此 f(x-2)的值域不变. 2 3 已知函数 f(x)=lg(x -2mx+m+2) (1)若该函数的定义域为 R,试求实数 m 的取值范围. 2 答案:解析:(1)由题设,得不等式 x -2mx+m+2>0 对一切实数 x 恒成立, 2 ∴△=(-2m) -4(m+2)<0,解得-1<m<2. (2)若该函数的值域为 R,试求实数 m 的取值范围. 2 答案:由题设,得不等式△=(-2m) -4(m+2) ≥0 解得 m≤1 或 m≥2. 4
2 已知函数 f(x)=log3 mx ? 8x ? n 的定义域为 R,值域为[0,2],求实数 m,n 的值.

x2 ?1

2 mx2 ? 8x ? n 答 案 : 解 析 : ∵ f(x)=log3 mx ? 8x ? n 的 值 域 是 [0 , 2]. ∴ u=g(x)= 的 值 域 为 [1 , 9]. 由 2 2

x ?1

x ?1

u=

mx ? 8x ? n
2

x ?1
2
2

得 (u-m) -8x+(u-n)=0. ∵ x ? R,当u ? m ? 0时, ? ? (?8)2 ? 4(u ? m)(u ? n) ? 0. 当 u-m=0 时上式仍成 x

2

立,即有 u -(m+n)u+(mn-16) ≤0. ∴关于 u 的方程 u -(m+n)u+mn-16=0 有两根 1 和 9,由韦达定理得 ?
2

?m ? n ? 1 ? 9 解得 m=n=5.即为所求。 ?mn ? 16 ? 1? 9

命题角度 2 函数单调性的应用 2 x 1.(典型例题Ⅱ)已知 a≥0,且函数 f(x)=(x -2ax)e 在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.

[考场错解] ∵f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1, 1]上是单调函数, f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立.即 x 2 e [x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∵e >0,g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. 即? ?
? 2(1 ? a ) ? 2(1 ? a) ? ? ?1 ? ?1 2 或△=4(1-a) +8a<0 或 ? 2 2 ? ? g ( ?1) ? 0 ? g (1) ? 0. ? ?

x

2

x

x

2

解得:a∈?. 故 f(x)在[-1,1]上不可能为单调函数. [专家把脉] 上面解答认为 f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数,其实 f(x)还有可能为单调减 函数,因此应令 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 x x 2 [对症下药] f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] ∵f(x)在[-1,1]上是单调函数. (1)若 f(x)在[-1,1]上是单调递增函数. x 2 x 则 f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立,即 e [x +2(1-a)x-2a]≥0 在[-1,1]上恒成立.∵e >0.∴ g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立,则有 ?
2

?a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? ?1 2 或△=4(1-a) +8a<0 或 ? ? g (1) ? 0 ? g (?1) ? 0

解得,a∈?. (2)若 f(x)在[-1,1]上是单调递减函数, 则 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∴e [x +2(1-a)x-2a]≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∵e >0.∴h(x)=x +2(1-a)x-2a≤0 在[-1,1]上恒成立. 则有 ?
?h(?1) ? 0 ??1 ? 0 3 ?? ?a ? . 4 ?h(1) ? 0 ?3 ? 4a ? 0
3 4

∴当 a∈[ ,+∞]时,f(x)在[-1,1]上是单调函数. 2.(典型例题)已知函数 f(x)=a +
x

x?2 (a>1) x ?1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [考场错解] (1)设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=a +
x2

x2 ? 2 x ?2 x ? 2 x1 ? 2 x2 x1 >0. ? a x1 ? 1 ? a -a + 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数. (2)设 x0 为方程 f(x)=0 的负数根,则有 a + ∵x0≠-1,∴当-1<x0<0 时,0<x0+1<1.
x0

x0 ? 2 3 x0 2 ? x 0 =0.即 a = =-1+ , x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



1 3 3 x0 >3,-1+ >2,而 <a <1 a 1 ? x0 1 ? x0

与①矛盾.

∴原方程没有负数根. [专家把脉] 第(1)问错在用定义证明函数单调性时,没有真正地证明 f(x2)>f(x1).而只是象征性地 令 f(x2)-f(x1)>0 这是许多学生解这类题的一个通病.第(2)问错在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件, 因而除了上述证明外,还需证明 x0<-1 时,方程也没有负根. [对症下药] (1) 设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=a +
x2

x2 ? 2 x ?2 = ? a x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

a -a +

x2

x1

x2 ? 2 x1 ? 2 x1 x2-x1 3( x2 ? x1 ) ( x ? 1)(x2 ? 2) ? ( x1 ? 2)(x2 ? 1) x1 x2-x1 =a (a -1)+ 1 =a (a )+ . ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)(x1 ? 1) ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

∵x2-x1>0,又 a>1, x2-x1 ∴a >1.而-1<x1<x2.∴x1+1>0,x2+1>0. ∴f(x2)-f(x1)>0 ∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)设 x0 为方程 f(x)=0 的负数根,则有 a + 显然 x0≠-1, 当 0>x0>-1 时, 1>x0+1>0, 的解. 当 x0<-1 时.x0+1<0
3 3 x0 <0,-1+ <-1,而 a >0 矛盾.即不存在 x0<-1 的解. 1 ? x0 1 ? x0
3 x0

x0 ? 2 3 ? (1 ? x0 ) 3 x0 2 ? x0 =0.即 a = . ? ? -1+ x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

1 3 3 xO >3, -1+ >2. 而 <a <1. 这是不可能的, 即不存在 0>x0>-1 a 1 ? x0 1 ? x0

3.(典型例题)若函数 f(x)=l0ga(x -ax)(a>0 且 a≠1)在区间(- ,0)内单调递增,则 a 的取值范围 是 (
1 4 9 4

1 2

) B.[ ,1] D.(1,- ) A 当 a∈(0,1)时,要使 f(x)=loga(x -ax)在区间(- ,0)上单调递增.∴x -ax>0 在
1 2
3 3

A.[ ,1] C.[ ,+∞] [考场错解]
1 2

3 4

9 4

1 2

3

(- ,0)上恒成立,∴(- ) + a≥0 a≥ .综合得 a∈[ ,1].当 a>1 时,x -ax>0 在(- ,0)上不可能 成立.

1 2

1 4

1 4

3

1 2

[专家把脉] 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断,而只是考虑函数的定义域,这样的 答案肯定是错误的. 3 [对症下药] 设 ? (x)=x -ax 当 0<a<1 时,依题意,(x)在(- ,0)上单调递减且 ? (x)在(- ,0)上大于 0. ∵ ? ′(x)=3x -a.即 ? ′(x)≤0 在(- ,0)上恒成立 ? a≥3x 在(- ,0)上恒成立. ∵x∈(- ,0)∴3x ∈(0, ). ∴a≥ .此时 ? (x)>0.∴ ≤a<1. 当 a>1 时, ? (x)在(- ,0)上单调递增, ∴ ? ′(x)=3x -a≥0 在(- ,0)上恒成立. ∴a≤3x 在(- ,0)上恒成立.
2 2 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

2

3 4

3 4

3 4

1 2

1 2

1 2

又 3x ∈(0, )?∴a≤0 与 a>1 矛盾. ∴a 的取值范围是[ ,1]. 故选 B. 专家会诊 1.讨论函数单调性必须在定义域内进行,因此讨论函数的单调性必须求函数定义域. 2.函数的单调性是对区间而言的,如果 f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是增(减)函数,不能说 f(x) 在(a,b)∪(c,d)上一定是增(减)函数.
3 4

2

3 4

3.设函数 y=f(u),u=g(x)都是单调函数,那么复合函数 y=f[g(x)]在其定义域上也是单调函数.若 y=f(u)与 u=g(x)的单调性相同,则复合函数 y=f[g(x)]是增函数;若 y=f(u),u=g(x)的单调性相反,则复 合函数 y=f[g(x)]是减函数.列出下表以助记忆. y=f(u ) ↗ ↗ ↘ ↘ u=g(x ) ↗ ↘ ↘ ↗ y=f[g(x )] ↗ ↘ ↗ ↘

上述规律可概括为“同性则增,异性则减” . 考场思维训练 1 函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x)<f(x+1)那么 ( A.f(x)是增函数 B.f(x)没有单调减区间 C.f(x)可能存在单调增区间,也可能不存在单调减区间 D.f(x)没有单调增区间 C 解析:根据函数单调性定义进行判断. 2
2

)

函数 y= log 1 (x -3x+2)的单调增区间是_______.单调递减区间是_________.
2

解析:(-∞,1),(2,+ ∞)根据复合函数单调性法则进行求解。 3 如果函数 f(x)的定义域为 R,对于任意实数 a,b 满足 f(a+b)=f(a)?f(b). * (1)设 f(1)=k(k≠0),试求 f(n)(n∈N ) 答 案 : 解 (1)
? f (n ? 1) ? f (n) ? f (1),?



f (n ? 1) ? f (1) ? k ? 0. ? ? f (n)?是以k为首项, k为公比的等比数例,? f (n) ? f (1) ? [ f (1)]n?1 ? k n .(n ? ??) f (n)

(2) 设当 x<0 时,f(x)>1,试解不等式 f(x+5)> 答案:(2)对任意的

1 . f ( x)

x x x x ? R, f ( x) ? f ( ? ) ? f 2 ( ) ? 0, 假定存在xo ? R, 使f ( xo ) ? 0, 则取x ? 0, 有f ( x) ? f ( x ? xo ? xo ) ? f ( x ? xo ) ? f ( xo ) ? 0.这与已知相矛盾则f ( 2 2 2 ? 0, 于是对任意x ? R, 必有f ( x) ? 0.

∵f(0)=f(0+0)=f2(0)≠0. ∴f(0)=1, 设 x1<x2, 则 x1-x2<0 则 f(x1-x2)>1,又∵f(x2)>0. ∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2) ?f(x2)>f(x2). ∴f(x)为 R 上的减函数,解不等式 f(x+5)>
1 f ( x)

∵f(x)>0, ∴不等式等价于 f(x+5) ?f(x)>1.即 f(2x+5)>f(0),又∵f(x)为减函数,∴2x+5<0.
5 解得不等式的解集为 ?x | x ? ? ? ? ? ? 2?
2

4

是否存在实数 a,使函数 f(x)=loga(ax -x)在区间[2,4]上是减函数?
1 2 1 ) ? 当 a>1 时,要使 f(x)在区间[2,4]上是减函数,则有: 2a 4a

1.答案:解析:设 ? (x)=ax2-x=a ( x ?
? ?1 ?a ? ?4 ? ? ?? ? 2a ?? (4) ? 0 ?a ? ? ? ? 1 8 ? a ?? 1 4

当 0<a<1 时,要使 f(x)在[2,4]上是减函数,则有 ? ?

? 1 ?a ? ?2 ? ?? ? 2a ?? (2) ? 0 ?a ? ? ? ?

1 4 1 2

?a ?

1 . 2



1 ? a ?1. 2 1 2

综合,得存在实数 a,且 a 的范围为 ( ,1).

命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用 1. (典型例题)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2), x∈[3, 当 4]时,f(x)=x-2. 则 A.f(sin )<f(cos ) C.f(sin1)<f(cos1)
1 2 1 2

(

)

B.f(sin

? ? )>f(cos ) 3 3
3 2

D.f(sin )<f(cos )

3 2

[考场错解] A 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期.设 x∈[-1,0]知 x+4∈[3,4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数 又 f(x)为偶函数.∴f(x)=f(-x) ∴x∈[0, 1]时,f(x)=x+2, f(x)在[0, 即 1]上也是增函数. 又∵sin <cos
1 2 1 1 1 ? f(sin )<f(cos ). 2 2 2

[专家把脉] 上面解答错在由 f(x)=f(-x)得 f(x)=x+2 这一步上, 导致错误的原因主要是对偶函数图像 不熟悉. [对症下药] C 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1,0],知 x+4∈[3,4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数.

又∵f(x)为偶函数,∴f(x)的图像关于 y 轴对称. ∴f(x)在[0,1]上是减函数. A:sin <cos B:sin
1 2 1 1 1 ? f(sin )>f(cos ) 2 2 2

? ? ? 2 >cos ? f(sin )>f(cos ). 3 3 3 3

C:sin1>cos1 ? f(sin1)<f(cos1). 故正确答案 C. 2.(典型例题)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x) <0 的 x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) [考场错解] C f(-x)=f(x)<0=f(2).∴x>2 或 x<-2. [专家把脉] 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反. 错误地认为 f(x)在[0,+∞]上仍 是减函数,导致答案选错. [对症下药] D ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x)<0.f(|x|)<f(2).又∵f(x)在(∞,0)上是减函数,∴f(x)在[0,+∞]上是增函数,|x|<2 ? -2<x<2.选 D. 3 . ( 典 型 例 题 ) 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y=f(x) 的 图 像 关 于 直 线 x= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______ [考场错解] 称. ∴f(x)=f(1-x) ∴f(-x)+f(-x+1)=0. ∴f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0. ∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) [专家把脉] 上面解答忽视了奇函数性质的运用.即 f(x)在 x=0 处有定义 ? f(0)=0. [对症下药] 填 0 依题意 f(-x)=-f(x).f(x)=f(1-x).∴f(-x)=-f(1-x) 即 f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.又∵f(x)在 x=0 处有定义,∴f(0)=0∴ f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4.(典型例题)设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7] 上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论. [考场错解] 依题意 f(x)=f(4-x). f(x)=f(14-x). ∴f(4-x)=f(14-x), ∴f(x)=f(x+10)∴f(x)是以 10 为周期的函数,f(3)=0.∴f(-3)=f(7)=0. ∴f(3)=f(-3)=-f(3).∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由(1)知 f(x)是周期为 10 的周期函数,又 f(3)=f(1)=0,∴f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]上有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 401 个解.[-2005,0]上有 401 个解,所以函数丁 y=f(x)在[-2005,2005]上有 802 个解. [专家把脉] (1)对题意理解错误,题设中“在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0”说明除了 f(1)、 f(3)等于 0 外再不可能有 f(7)=0. (2)因 f(x)在 R 上既不是奇函数, 又不是偶函数. 不能认为 x∈[0, 10], 填-f(0) ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).又 f(x)的图像关于 x= 对
1 2 1 对称,则 2

[-10,0]上各有两个解,则认为在[0,2005]与在[-2005,0]上解的个数相同是错误的,并且 f(x)=0 在[0, 2005]上解的个数不是 401 个,而是 402 个. [对症下药] 由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数丁 y=f(x)的对称轴为 x=2 和 x=7. 从而知函数 y=f(x)不是奇函数. 由?
? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) 从而知 f(x)是周期为 10 的 ?? ? f(4-x)=f(14-x) ? f(x)=f(x+10). ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

周期函数. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)=f(-3)≠0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数. (2)由(1)知 f(x)是以周期为 10 的周期函数. ∴f(1)=f(11)=?=f(2001)=0 f(3)=f(13)=?=f(2003)=0 f(x)=0 在[0,2005]上共有 402 个解.同理可求得 f(x)=0 在[-2005,0]上共有 400 个解. ∴f(x)=0 在[-2005,2005]上有 802 个解. 专家会诊 1.函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断有时需要将函数进行化简. 2.要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性,要充分利用 f(x)与 f(-x)之间的转化关系和图像的 对称性解决有关问题. 3.解题中要注意以下性质的灵活运用. (1)f(x)为偶函数 ? f(x)=f(-x)=f(|x|). (2)若奇函数 f(x)的定义域包含 0,则 f(0)=0. 考场思维训练 1 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 g(x)是奇函数,已知 g(x)=f(x-1),若 g(-1)=2006,则 f(2006)的 值为 ( ) A.2005 B.-2005 C.-2006 D.2006 答案:D 解 析 : 由 题 设 条 件 易 得 f(x+4)=f(x), ∴ f(2006)=f(2). 又 f(-2)=g(-1)=2006. ∴

f(2006)=2006. 2 函数 f(x)=lg(1+x ),g(x)= ?0, | x |? 1, ?
2

? x ? 2, x ? ?1, h( x) =tan2x 中________是偶函数. ?? x ? 2, x ? 1, ?

答案:解析:f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。 2 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x 恒满足 f(x+2)=-f(x). x∈[0, 当 2]时, f(x)=2x+x . (1)求证:f(x)是周期函数; 答案:解析:(1)f(x+2)=-f(-x), ∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)是周期为 4 的周期函数。 (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; 答案:当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x. 又当 x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又 f(x)是周期为 4 的周期函数。 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 因而求得 x∈[2,4] 时 f(x)=x2-6x+8. (3) 计算:(0+)f(1)+f(2)+?+f(2004) 答案:f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又 f(x)是周期为 4 的周期函数。 ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0. 又 f(2004)=f(0)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+ …+f(2004)=0. 4 设 a、b∈R,且 a≠2 定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg
1 ? ax 是奇函数,求 b 的取值范围. 1 ? 2x

? f (? x) ? ? f ( x) 1 ? ax ? (?b ? x ? b) 是奇函数,等价于,对任意 x∈(-b,b)都有: ?1 ? 2ax 答案:解析:f(x)=lg 1 ? 2x ? 1 ? 2x ? 0 ?

① ②

① 式即为 lg 代入(2)得
1 2

1 ? ax 1 ? 2x ? lg . 即 a2x2=4x2.此式对任意 x∈(-b,b)都成立相当于 a2=4, ∵a≠2, ∴a=-2. 1 ? 2x 1 ? ax

1 ? 2x 1 ? 2x
1 2

?0
1 2 1 2 1 2

即 ? ? x ? .此式对任意x ? (?b, b)都成立相当于 ? ? ?b ? b ? 所以得b的取值范围为(0, ]. 命题角度 4 反函数的概念和性质的应用 2 1.(典型例题)函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 ( ) A.a∈(-∞,1) B.a∈[2,+∞] C.a∈[1,2] D.a∈(-∞,1)∪[2,+∞] [考场错解] 选 A 或 B ∵a∈(-∞,1]∴f(x)在区间[1,2]上是增函数.∴f(x)存在反函数.当 a∈ [2,+∞).对称轴 x=a 在区间[1,2]的右侧,∴f(x)在 [1,2]上是减函数.∴f(x)存在反函数. [专家把脉] 上面解答只能说明 A 或 B 是 f(x)存在反函数的充分条件,并不是充要条件. [对症下药] ∵一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单调函数. ∴对称轴 x=a 不应在(1,2)内,∴a≤1 或 a≥2.故选 C. 2.(典型例题Ⅰ)y= 2x ? x 2 (1≤x≤2)的反函数是 A.y=1+ 1 ? x 2 (-1≤x≤1) B.y=1+ 1 ? x 2 (0≤x≤1) C.y=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤1) ( )

D.y=1- 1 ? x 2 (0≤x≤1) [考场错解]
2

C ∵y =2x-x . ∴(x-1) =1-y . ∴x-1=- 1 ? y 2 , ∴x=1- 1 ? y 2 . y 对换得 y=1- 1 ? x 2 x、

2

2

2

2

又 1-x ≥0.∴-1≤x≤1.因而 f(x)的反函数为 y=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤1). [专家把脉] 上面解答有两处错误(一)∵1≤x≤2,∴x-1≥0.由(x-1) =1-y 开方取“正号”而不是取 “负号” ;(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到,而不是由反函数解析式确定. [对症下药] B 由 y=
2 x ? x 2 ? (x-1) =1-y . ∴ x ∈ [1 , 2]x-1 ∈ [0 , + ∞ ] . ∴
2 2 2 2

x-1= 1 ? y 2 ? =1+ 1 ? y 2 .x、y 对换得 y=1+ 1 ? x 2

又∵y= 2x ? x 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 (1≤x≤2).∴0≤y≤1

即原函数值域为[0,1].所以反函数为 y=1- 1 ? x 2 (0≤x≤1).选 B. 3.(典型例题)设 f (x)是函数 f(x)= (a -a )(a>1)的反函数,则使 f (x)>1 成立的 x 的取值范围 为 ( A.( C.(
2
-1

1 2

x

-x

-1

)
a ?1 ,+∞) 2a a2 ?1 ,a) 2a

B.(-∞,

a2 ?1 ) 2a

D.(a,+∞) C ∵ y=
1 2
-1

[考场错解]

(a -a ) , ∴ a -2y ? a -1=0 . a =
-1

x

-x

2x

x

x

2y ? 2 y2 ?1 2

=y+

y2 ?1 . ∴

x=loga(y+ y 2 ? 1 ),x、y 对换.∴f (x)=loga(x+ x 2 ? 1 )(x∈R)又∵f (x)>1,∴loga(x+ x 2 ? 1 )>1 ? x + x ? 1 >a.
2

?x ? a a2 ?1 ? x ? 1 >a-x ? ? a 2 ? 1 ∴ 2a <x<a.选 C. ?x ? 2a ?
2

[专家把脉]

上面解答错在最后解不等式 x 2 ? 1 >a-x,这一步,因为 x+ x 2 ? 1 >a-x 应等价于

?a ? x ? 0 ? ? a 2 ? 1 或 a≤x.错解中只有前面—个不等式组.答案显然错了. ?x ? 2a ?

[对症下药]

A
-1

解法 1

∵ y=

2y ? 2 y2 ?1 1 x -x 2x x x (a -a ) ? a -2y ? a -1=0 , a = =y+ 2 2
-1

y2 ?1 ∴

x=loga(y+ y 2 ? 1 ).∴f (x)=loga(x+ x 2 ? 1 )(x∈R).∵f (x)>1
?a ? x ? 0 ∴loga(x+ 32 ? 1 )>1 ? x+ x 2 ? 1 >a ? x 2 ? 1 >a-x ? ? 2 ? 或a ? x ? 0 ? a2 ?1 <x<+∞. 2a

? x ? 1 ? (a ? x) ?

2

解法 2:利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系.原题等价于 x>1 时,f(x)= (a -a )的值域,∴ f(x)= (a -a )在 R 上单调递增.∴f(x)> (a1 2
x -x

1 2

x

-x

1 2

1 a2 ?1 )= .选 A. a 2a
-1 -1

4.(典型例题)设函数 f(x)的图像关于点(1,2)对称,且存在反函数 f (x),f(4)=0,f (4)=________. -1 [考场错解] 填 0 ∵y=f(x)的图像关于点(1,2)对称,又∵f(4)=0,∴f(0)=4,∴f (4)=0

[专家把脉] 上面解答错在由图像过点(4,0)得到图像过点(4,0)上,因为 f(x)图像关于点(1,2) 对称不是关于 y=x 对称,因此应找出图像过点(-2,4)是关键. [对症下药] 填-2. 解法 1 ∵f(4)=0,∴f(x)的图像过点(4,0).又∵f(x)的图像关于点(1,2)对称,∴f(x)的图像过 -1 点 (2-4,4-0)即(-2,4).∴f(-2)=4.∴f (4)=-2. 解法 2 设 y=f(x)上任一点 P(x、y)关于点(1,2)对称的点为 P′(2-x,4-y).依题意 4-y=f(2-x), -1 ∴4-f(x)=f(2-x) ? f(x)+f(2-x)=4.令 x=4.∴f(4) +f(-2)=4.又 f(4)=0,∴f(-2)=4.∴f (4)=-2. 专家会诊 -1 1.求反函数时必须注意:(1)由原解析式解出 x=f (y),如求出的 x 不唯一,要根据条件中 x 的范围决 定取舍,只能取一个;(2)要求反函数的定义域,即原函数的值域. 2.分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成. -1 3.若点(a,b)在原函数 y=f(x)的图像上,则(b,a)在反函数 y=f (x)的图像上. 考场思维训练 2 1 函数 y=3x -1(-1≤x<0)的反函数是 ( ) A.y= 1 ? log 3 x (x≥ ) B.y=- 1 ? log 3 x (x≥ ) C.y= 1 ? log 3 x ( <x≤1) D.y=- 1 ? log 3 x ( <x≤1) 答案:D 解析:由 y=3x2-1 得 x2-1=log3y ∵-1≤x<0, ∴x=- log3 x ? 1, xy互换得y ? ? log3 x ? 1,
? ?1 ? x ? 0,? ?1 ? x 2 ? 1 ? 0,? 1 1 ? 3x 2 ? 1 ? 1.故原函数的反函数为 : y ? ? 1 ? log3 x ( ? x ? 1)选D. 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3

2 (典型例题)定义在 R 上的函数 y=f(x)为周期函数,最小正周期为 T,若函数 y=f(x),x∈(0,T)时 E -1 有反函数 y=f ,x∈D.则函数 y=f(x),x∈(2T,3T)的反函数为 ( ) -1 A.y=f (x),x∈D -1 B.y=f (x-2T),x∈D -1 C.y=f (x+2T),x∈D -1 D.y=f (x)+2T.x∈D 答案:D 解析:∵x∈(2T,3T), ∴x-2T=(0,T).又∵f(x)的周期为 2T,y=f(x)=f(x-2T). ∴ x-2T=f-1(y)+2T,x,y 互换,得 y=f-1(x)+2T.当 x∈(2T,3T)的反函数为 y=f-1(x)+2T,x∈D. 3 已知 f(x)=
a?x -1 的反函数.f (x)的图像的对称中心是(-1,3),求实数 a 的值. x ? a ?1

答案: 解析: ∵f(x)=-1从而 a=2.

1 的对称中心是 (a+1,-1) -1(x)的对称中心是 ∴f (-1,a+1) ∴a+1=3, , x ? (a ? 1)

探究开放题预测 预测角度 1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式

1.已知定义域为[0,1)的函数 f(x)同时满足①对任意 x∈[0,1],总有 f(x)≥0;②f(1)=1;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)求 f(0)的值; (2)求函数 f(x)的最大值. [解题思路] (1)令 x1=x2=0 可得答案(2),先证 f(x)在[0,1]上是单调函数,再求其最大值. [解答] (1)令 x1=x2=0,由条件①得 f(0)≥0,由条件③得 f(0)≤0.故 f(0)=0. (2)任取 0≤x1≤x2≤1,可知 x2-x1∈(0,1),则 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x).又∵x1- x2∈(0, 1), ∴f(x2-x1)≥0. ∴f(x)≥f(x1) ∴f(x)在[0, 1]上是增函数, 于是当 0≤x≤1 时, f(x)≤f(1)=1. 有 ∴ 当 x=1 时,[f(x)]max=1.即 f(x)的最大值为 1. 2.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,k 是正常数,且对任意的 x∈(0,+∞),恒有 f[f(x)]=kx 成 立. (1) 若 f(x)是(0,+∞)上的增函数,且 k=1,求证:f(x)=x. (2)对于任意的 x1、x2∈(0,+∞),当 x2>x1 时,有 f(x2)-f(x1)>x2-x1 成立,如果 k=2,证明: < < . [解题思路] (1)用反证法证明;(2)用反证法先证 f(x)>x,再运用函数单调性进行放缩. [解答] (1)假设 f(x)>x ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(f(x)]=x. ∴f(x)>f[f(x)]. ∴x>f(x)这与假设矛盾.∴f(x)>x 不可能成立 同理可证 f(x)<x 也是不可能成立的. 综合,得 f(x)=x. (2)先证 f(x)>x,假设存在 x0∈(0,+∞),使得 f(x0)≤x0,若 f(x0)=x0,则 f[f(x0)]=f(x0).即 2x0= f(x0)=x0,∴x0 矛盾;若 f(x0)<x0,由条件可知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(x0)>0. ∴f[f(x0)]<f(x0),即 2x0<f(x0). ∴2x0<x0 ? x0<0 矛盾,∴f(x)>x 因此,f{f[f(x)]}-f[f(x)]>f[f(x)]-f(x)>f(x)-x. 即 2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x 解得 <
4 3 f ( x) 3 < . x 2 3 2 4 3 f ( x) x

预测角度 2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 1.设 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数.当 x∈[-1,0]时,f(x)=g(2-x),且当 x∈[2,3]时, 3 g(x)=2a(x-2)-4(x-2) , (1)求 f(x)的表达式; (2)是否存在正实数 a(a>6),使函数 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上,若存在,求出正实数 a 的 值;若不存在,请说明理由. [解题思路] (1)运用函数奇偶性和条件 f(x)=g(2-x)可求得 f(x)的解析式. (2)利用导数可求得 f(x) 的最大值.令最大值等于 12 可知是否存在正实数 a. [解答] (1)当 x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3] 3 3 f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x) =4x -2ax 3 得 f(x)=4x -2ax(x∈[-1,0]) ∵y=f(x)在[-1,1]上是偶函数 3 ∴当 x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=-4x +2ax ∴f(x)= ? ?
?4 x 3 ? 2ax ?? 4 x ? 2ax ?
3

? 1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1.

(2)命题条件等价于[f(x)]max=12,因为 f(x)为偶函数,所以只需考虑 0≤x≤1 的情况. 2 求导 f′(x)=-12x +2a(0≤x≤1,a>6), 由 f′(x)=0 得 x= ∵
a a 或 x=(舍). 6 6

a >1,当 0≤x≤1 时 6

f′(x)>0,f(x)在[0,1]上单调递增,

∴[f(x)]max=f(1)=12,∴a=8. 综上,存在 a=8 使得 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上. 2.函数 y=f(x)是偶函数,且是周期为 2 的周期函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1.在 y=f(x)的图像上 有两点 A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点 C 的坐标为(0,a),(其中 a>2),求 △ABC 面积的最大值. [解题思路] 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出 f(x)在[0,1]和[1,2]时的解析式,再利用图象 设出 A、b 的坐标,然后以 A、B 的纵坐标作为自变量建立面积函数关系,借助函数关系式即可求得 S△ABC 的最大值. [解答] ∵f(x)是以 2 为周期的周期函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1. ∴当 x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1. 又 ∵ f(x) 是 偶 函 数 , ∴ 当 x ∈ [-1 , 0] 时 , f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1 ; 当 x ∈ [1 , 2] 时.f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3. 设 A、 的纵坐标为 t(1≤t≤2), B 并设 A 在 B 的左边, A、 的横坐标分别为 3-t、 则|AB|=(t+1)-(3 则 B t+1, -t)=2t-2,∴△ABC 的面积 S= (2t-2)(a-t)=-t +(a+1)t-a=-(t∴当 < 当
3 2 a ?1 a 2 ? 2a ? 1 ≤2 即 2<a≤3 时,S 有最大值 . 2 4

1 2

2

a ? 1 2 (a ? 1) 2 )+ -a. 2 4

a ?1 >2,即 a>3 时,函数 S 在[1,2]上单调递增,∴S 有最大值 S(2)=a-2. 2

预测角度 3 反函数与函数性质的综合 1.在 R 上的递减函数 f(x)满足:当且仅当 x∈M ? R+函数值 f(x)的集合为[0,2]且 f( )=1;又对 M 中的任意 x1、x2 都有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2). (1)求证: ∈M,而
1 4 1 ? M; 8
-1 -1 -1 -1

1 2

(2)证明:f(x)在 M 上的反函数 f (x)满足 f (x1)?f (x2)=f (x1+x2). (3)解不等式 f (x2+x)?f (x+2)≤ (x∈[0,2]). [解题思路] 由给定的函数性质,证明自变量 x 是属于还是不属于集合",最后利用反函数的概念、 性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式. [解答] 2], ∴ ∈M, 又∵f( )=f( ? )=f( )+f( )=1+2=3 ? [0,2].∴ ? M. (2)证明:∵f(x)在 M 上递减,∴f(x)在 M 上有反函数 f (x),x∈[0,2]. -1 -1 任取 x1、x2∈[0,2],设 y1=f (x1),y2=f (x2). ∴x1=f(y1),x2=f(y2)(y1,y2∈M)
-1 -1 -1

1 4

(1)证明:∵ ∈M,又 = ? ,f( )=1.∴f( )=f( ? )=f( )+f( )=1+1=2∈[0,

1 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 8

1 2

1 4

1 2

1 4

1 8

∵x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1?y2),∴y1?y2=f (x1+x2) -1 -1 -1 -1 -1 又 y1?y2=f (x1)?f (x2),∴f (x1)?f (x2)=f (x1+x2). -1 (3)∵f(x)在 M 上递减,∴f (x)在[0,2]上也递减, ∴f (x2+x)?f (x+2)≤ 等价于 f (x +x+x+2)≤f (2).
?0 ? x 2 ? x ? 2, ?? 2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1 ? ? ? ?x?0. ∴ ?0 ? x ? 2 ? 2, ? ?? 2 ? x ? 0 ? 2 ? x ? ?2或0 ? x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 ? 2. ? ?
-1 -1

-1

1 4

-1

2

-1

故不等式的解集为{x|x=0}. x 2.已知奇函数 f(x),偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a (a>0 且 a≠1). (1) 求证:f(2x)=2f(x)?g(x) (2) 设 f(x)的反函数为 f (x),当 a= a -1 时,试比较 f [g(x)]与-1 的大小,并证明你的结论. (3) 若 a>1,n∈N 且 n≥2,比较 f(n)与 nf(1)的大小,并证明你的结论. x [解题思路] 先根据函数 f(x)?g(x)的奇偶性和 f(x)+g(x)=a 可解出 f(x)?g(x).再借助基本不等式 和叠加法证明后两小题. x [解答] (1)f(x)+g(x)=a , -x x 又 f(-x)+g(-x)=a ,而 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴-f(x)+g(x)=a , ∴f(x)=
a x ? a ?x a x ? a ?x ,g(x)= . 2 2 a x ? a ?x a x ? a ? x a 2 x ? a ?2 x 1 ? = = f(2x) 2 2 2 4
* -1 -1

∴f(x)?g(x)=

(2)∵0<a= 2 -1<1. ∴f(x)= f(-1)= ∵g(x)=
-1

a x ? a ?x 是(-∞,+∞)上的减函数,则其反函数也是减函数,又由于 2

( 2 ? 1) ?1 ? ( 2 ? 1) =1. 2
2 a x ? a ?x ≥ =1=f(-1) 2 2

∴f [g(x)]≤-1. (3)f(n)-nf(1)=
1 2

(a -a )-

n

-n

1 2

n(a-a )=

-1

1 2

(a-a )[a +a +

-1

n-1

n-3

?

+a

-(n-3)

+a

-(n-1)

]-

1 1 -1 -1 n-1 n-3 -(n-3) -(n-1) n(a-a )= (a-a )[a +a +?+a +a -n] 2 2

当 a>1 时,a-a >0 n-1 -(n-1) a +a >2 n-3 -n(n-3) a +a >2 ?? n-1 n-3 -(n-1) -(n-3) ∴a +a +?+a +a >0 ∴f(n)-nf(1)>0,即 f(n) >nf(1) 考点高分解题综合训练 1 函数 f(x)=x+ x 2 ? 1 ,则其反函数的定义域是 ( )

-1

A.(-∞,-1)∪[1,+∞) B.[1,+∞)

C.[-1,0] D.[-1,0]∪(1,+∞) 答案:D 解析:反函数的定义域即为原函数的值域,x2-1≥0?x≥1 或 x≤-1,当 x≥1 时,函数 f(x) 是单调递增函数,此时值域为(1,+∞)当 x≤-1 时,f(x)=x+ x2 ? 1 ? 时值域为[-1,0],故值域为[-1,0]∪(1,+ ∞), 从而选 D.
1 x ? x2 ? 1

为单调递减函数,此

2 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4).当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 x1+x2<4 且 (x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值为 ( ) A.可能为 0 B.恒大于 0 C.恒小于 0 D.可正可负 答案:C 解析:不妨设 x1<x2,则 x1<2<x2,且 x1+x2<4,由 f(-x)=-f(x+4)可知,函数 f(x) 的图象关于 点(2,0)成中心对称,函数在(2,+∞)上单调递增,∴f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0, 故选 C. 3 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x<0 时, 当 f(x)=( ) , 那么 f(x)=( ) , 那么 f (0)+f (-8) ( ) B.-3
1 2
x

1 2

x

-1

-1

的值为 A.2

C.3

D.-2

? 1 x ( x ? 0) ?( 2 ) ? , 故f ?1 (0) ? 0 答案:C 解析:f(x)= ?0 ( x ? 0) ? x ? ? 2 ( x ? 0) ? ?

f-1(-8)=3.故选 C. 4. B 解析:① ?x? 的值域为[0,1];②③正确;④错误 4 符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π ]=3,[-1.08]=-2,定义函数{x}=x-[x],那么下列命题 中正确的个数是 ( ) ①函数{x}的定义域为 R,值域为[0,1]; ②方程{x}=有无数解; ③函数{x}是周期函数; ④函数{x}是增函数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:C 解析:∵f(x)的周期为 3,∴f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即 5
2a ? 3 2 ? ?1.解得 ? 1<a< .故选 C. a ?1 3 2a ? 3 ,则 a ?1

设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)=
2 3

( )

A.a<

B.a< 且 a≠-1

2 3

C.-1<a<

2 3

D.m> 或 m<-1

2 3

答案:D 解析:因为函数 y=f(x)为偶函数,所以 y=f(1-x)=f(x-1),它的图可由 y=f(x)的图向右平移 1 个 单位得到,故对称轴为 x=1,且在(4,6)内是增函数,故选 D。 6 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个单调递增区间是(3,5),则函数 y=f(1-x) A.图像的对称轴为 x=-1,且在(2,4)内是增函数 B.图像的对称轴为 x=1,且在(2,4)内是减函数 C.图像的对称轴为 x=0,且在(4,6)内是增函数 D.图像的对称轴为 x=1,且在(4,6)内是增函数 ( )

答案:解析:[-1,3]由 x2-2x-8≥0?x≤-2 或 x≥4.由 1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1<x<a+1,又由 A ∩B=?,故 ? 7
?a ? 1 ? ?2, ?a ? ?1 解得? 即 ? 1 ? a ? 3. ?a ? 1 ? 4, ?a ? 3,
1 1? | x ? a |

函数 f(x)= x 2 ? 2 x ? 8 的定义域为 A,g(x)=

的定义域为 B,且 A∩B=? ,则实数 a 的取值

范围是_________ 答案:解析:[-1,3]由 x2-2x-8≥0?x≤-2 或 x≥4.由 1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1<x<a+1,又由 A ∩B=?,故 ? 8
?a ? 1 ? ?2, ?a ? ?1 解得? 即 ? 1 ? a ? 3. a ? 1 ? 4, ? ?a ? 3,
-1

已 知 y=f (x) 是 函 数 f(x)= ?

?x ? 1,?1 ? x ? 0. -1 的 反 函 数 , 则 函 数 g(x)=f(x)+f (x) 的 表 达 式 是 ?? x,0 ? x ? 1.

g(x)=________ 2.答案:解析: ?
?x ? 1, f ?1( x) ? ? ?? x,
?1?, ?1, 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1.

0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 0. ??1, ?1, 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1.
2

故 f ( x) ? f ?1( x) ? ? 9

已知函数 f(x)在定义域上是减函数,且 f(a-1)>f(1-a ).求 a 的取值范围;

?? 1 ? a ? 1 ? 1 ? ? 答案:解析:由牺件可得 ?? 1 ? a 2 ? 1 ? 1, ? ?a ? 1 ? 1 ? a 2 . ?

解得0 ? a ? 1.

10 若 f(x)满足:在(0,+∞)上 f(xy)=f(x)+f(y),且对 x>1,f(x)>0 恒成立,求证:f(x)存在反函 数 f (x)并比较 f
-1 -1

a?b 1 -1 -1 [f (a)+f (b)]的大小. 2 与 2

答案:解析:∵f(x,y)=f(x)+f(x) ∴f(x)=f ( ? y) ? f ( ) ? f ( y).? f ( ) ? f ( x) ? f ( y). 设 0<x1<x2,则
x2 x ? 1, 有f ( x2 ) ? f ( x1 ? f ( 2 ) ? 0 xc1 x1

x y

x y

x y

∴f(x1)<f(x2)从而 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则有 f(x)存在反函数。 令 f(x)=uf(y)=u,则 f-1(u)=x,f-1(u)=y. ∴u+v=f[f-1(u)]+f-1[f-1(u)]=f[f-1(u)?f-1(u)]

∴f-1(u+v)=f-1(u) ?f1-(v), ∴f-1(x)=[f-1 ( 2 ) ]2∴
1 ?1 1? a b ? a b a b a?b [ f (a) ? f ?1(b)] ? ? f ?1( )]2 ? [ f ?1( )]2 ? ? f ?1( ) ? f ?1( ) ? f ?1( ? ) ? f ?1( ). 2 2? 2 2 ? 2 2 2 2 2

x

故 f ?1(

a?b 1 ) ? [ f ?1(a) ? f ?1(b)]. 2 2

11 已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|x2-14x+24≤0},x1t∈R,且 A ? B. (1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b-a. 若 A 的区间“长度”为 3,试求 t 的值. (2)某个函数 f(x)的值域是 B,且 f(x)∈A 的概率不小于 0.6,试确定 t 的取值范围. 12 集合 A 是由适 合以下性质的函数 f(x)组成的,对任的 x≥0,f(x)∈[-2,4],有 f(x)在[0,+∞]上是增函数. (1)试判断 f1(x)=-2 及 f2(x)=4-6?()(x≥0)是否在集合 A 中?若不在集合 A 中,试说明理由; 答案:解析: (1)log2t-2=3?t=32; (2) 对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的 x≥D 总成 立?证明你的结论. 答案:B=[2,12],由题意及概率的意义得 12
log 2 t ? 2 ? 0.6 ? 8 ? log 2 t ? 12 ? 28 ? t ? 212. 即 t∈[256,4096]. 12 ? 2

集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)组成的,对任意的 x≥0,f(x)∈[-2,4],有 f(x)在[0,+8]上 地增函数。
1 2
x

(1) 试判断 f1(x)= x -2 及 f2(x)=4-6? ) (x≥0)是否在集合 A 中?若不在集合 A 中,试说明理 ( 由; 答案:解析: (1)函数 f1(x)= x ? 2 不在集合 A 中,这是因为当 x=49>0,f1(49)=5>4,不满足条件 f2(x)=4-6 ( ) x 在集合 A 中。 (2)对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的 x≥D 总成 立?证明你的结论? 答案:∵ f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=4-6
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) x ? 4 ? 6 ? ( ) x ? 2 ? 8 ? 12( ) x ?1 ? 6 ? ( ) x [2 ? ? 1 ? ( )2 ] ? 6( ) x (? ) ? 0. ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意 x 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2

≥0 总成立.
x 2 ? ax ? x 1 2 (x>0).

13

已知函数 f(x)=

(1)写出函数 f(x)的单调区间,并指出在每一个单调区间内,函数是递增的还是递减的.(不必证明) 答案:f(x)=x ?
1 2 2 ? a在(0, ]上递减, 在[ ,??)上递增. 2x 2 2

(2)若不等式 f(x)>0 对于 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; 答案:f(x)>0 即 a>- ( x ? 由(1)的结论知当 x ?
1 ) 恒成立,∴a> 2x [ ?( x ? 1 )]max, 2x

2 1 时[?( x ? )]max ? ? 2故a ? ? 2 . 2 2x

(3)若 f(x)(x≥1)的反函数 f (x),试求 f (a+ ). 答案:根据反函数的意义,令 x ?
3

-1

-1

9 4

1 9 1 9 ? a ? a ? , 得4 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0, 解得x ? (舍去).或x ? 2. ? f ?1(a ? ) ? 2. 2x 4 4 4

14 已知函数 f(x)=x +ax+b 定义在区间[-1,1]上,且 f(0)=f(1),又 P(x1,y1),q(x2,y2)是其图像 上任意两点(x1≠x2). (1)求证:f(x)的图像关于点(0,b)成中心对称图形; 答案:∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得 a=-1. ∴f(x)=x3-x+b 的图象可由 y=x3-x 的图象向上(或向下) 平移 b(或-b )个单位得到.又 y=x3-x 是奇函数,其图象关于原点成中心对称图形,∴f(x) 的图象 关于点(0,b)成中心对称图形。 (2)设直线 PQ 的斜率为 k,求证:|k|<2. 答案:∵点 P(x1,y1),Q(x2y2)在 f(x)=x3-x+b 的图象上, ∴k=
3 3 y1 ? y2 ( x1 ? x1 ? b) ? ( x2 ? x2 ? b) 2 2 ? ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1. x1 ? x2 x1 ? x2

2 2 2 2 2 2 又 x1x2 ? [?1,1]x1 ? x2 ,? 0 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 3, 从而 ? 1 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 ? 2,?| k |?| x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 |? 2.

(3)若 0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1. 答案:∵0≤x1<x2≤1,且|y1-y2|=2|x1-x2|=-2(x1-x2)+2 ①+②得 2|y1-y2|<2.故|y1-y2|<1. 考点-3 函数 (二) 二次函数的图象和性质的应用 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 函数的应用 二次函数闭区间上的最值的问题 三个“二次”的综合问题 含参数的对数函数与不等式的综合问题 经典易错 会诊 命题角度 1 二次函数的图象和性质的应用 2 1.(典型例题)已知向量 a=(x ,x+1),b=(1-x,t)若函数 f(x)=ab 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的 取值范围. 2 3 2 2 [考场错解] 依定义 f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t,则 f′(x)=-3x -2x+t. 2 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上恒有 f′≥0 ? t>3x -2x 在区间(-1,1)上恒成立.设 g(x)= 3x -2x=3(x- ) - ,∴当 x= 时,[g(x)]min=∴t≥- 即 t 的取值范围是[- ,+∞]. [专家把脉] 上面解答由 t≥3x -2x 在区间(-1,1)上恒成立得 t 大于或等于 3x -2x 的最小值是错误 2 的.因为若 t≥[g(x)]min 只能说存在一个 x 的值能使 t≥3x -2x 成立,但不能保证 x 在(-1,1)上的每一个 2 值都能使 t≥3x -2x 成立.因而 t 应大于或等于 g(x)在(-1,1)上的最大值. 2 3 2 2 [对症下药] 解法 1:依定义 f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t.则 f′(x)=-3x +2x+t(-1,1)上是增函
2 2 2



1 3

2

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

数,则 f′(x)=-3x +2x+t≥0 在 (-1,1)上恒成立,即 t≥3x -2x 在(-1,1)上恒成立. 设 g(x)=3x -2x=3(x- ) - .∵对称轴为 x= .∴g(x)<g(-1)=5. 因而要 t≥g(x)在(-1,1)上恒成立. ∴t≥5.即 t 的取值范围是[5,+∞]. 2 3 2 解法 2:依定义 f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x2+tx+t,f′(x)=-3x +2x+t, 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上恒有 f′(x)≥0,∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线. ∴当且仅当 ?
? f ?(1) ? t ? 1 ? 0 ? t≥5 时,f′(x)在(-1,1)上满足 f′(x)>0.即 f(x)在(-1,1)上是增 ? f ?(?1) ? t ? 5 ? 0
2

2

2

1 3

2

1 3

1 3

函数. 故 t 的取值范围是[5,+∞]. 2.(典型例题)已知函数 f(x)=ax- x 的最大值不大于 ,又当 x∈ ? , ? 时,f(x)≥ . ?4 2? 2 6 8 ? ?
3
2

1

1 1

1

(1)求 a 的值; (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n ∈N ,证明:an<
3 2
2

1 2

*

1 . n ?1
2

[考场错解] 第(1)问,∵f(x)=ax- x =- (x- a) + ∴
1 a2 2 ≤ ,即 a ≤1 ? -1≤a≤1 6 6

3 2

1 3

a2 . 6


1

又当 x∈ ? , ? 时,f(x)≥ , f(x) ≥ 在 ? , ? 上恒成立 ? ≤f(x)在 ? , ? 上的最小值为 f( ) 即 ?4 2? ?4 2? ?4 2? 8 8 8 4 ? ? ? ? ? ?
1 1
1

1 1

1

1 1

1

∴f( )≥ .即 ?
7 8

1 4

1 8

a 4

3 1 7 ? ?a≥ . 32 8 8



综合,①,②知 ≤a≤1.
a 1 1 1 1 [专家把脉] 上面解答错在 f(x)在 ? , ? 的最小值的计算上,由①得-1≤a≤1.∴ ∈(- , ), ? ?

?4 2?

3

3

3

∴对称轴 x=

a 1 1 1 离端点 较远,因此,f(x)的最小值应是 f( ).而不是 f( ). 3 2 2 4

[对症下药]

(1)由于 f(x)=ax- x =- (x-

3 2

2

3 2

a 2 a2 )+ 2 6

∴f(x)的最大值为
1 1

1 a2 a2 2 .∴ ≤ ,即 a ≤1.∴-1≤a≤1 6 6 6
1 1

又 x∈ ? , ? 时,f(x)≥ ,即 f(x)≥ 在 ? , ? 上恒成立.∴ ≤[f(x)]min.由①得-1≤a≤1.∴?4 2? ?4 2? 8 8 8 3 ? ? ? ?
1 1
1
1

≤a≤ .∴f(x)在 ? , ? 上的最小值为 f( )= - .∴- ≥ .解得 a≥1 ?4 2? 2 8 2 8 3 2 ? ?
1

1 1

1

a

3

a

3



由①,②得 a=1. (2)(i)当 n=1 时,0<a1< ,不等式 0<an< 故 n=2 时,不等式也成立. (ⅱ)假设 n=k(k≥2)时,不等式 0<ak< 上 为 增 函 数 , 所 以 0<ak<
1 3 2 1 1 成立,因为 f(x)=x- x 的对称轴 x= 知 f(x)在[0, ] k ?1 2 3 3 1 k ?1
1 2

1 1 2 1 成立.因 f(x)>0,x∈(0, ),所以 0<a2=f(a1)≤ < . n ?1 6 3 3



1 3



0<f(ak)<f(

1 k ?1

)







0<ak+1<

1 3 1 1 1 1 k ?4 1 - ? . ? ? ? ? ? 2 2 k ?1 2 k ? 2 k ? 2 k ? 2 2(k ? 1) (k ? 2) k ? 2 (k ? 1)

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任何 n∈N ,不等式 an<
*

1 成立. n ?1

3.(典型例题Ⅰ)已知函数 f(x)的二项式系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解 (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 2 [考场错解] (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0). 2 2 ∵ f(x)+2x=ax +(b+2)x+c>0 的 解 集 . 为 (1 , 3) , ∴ 1 、 3 是 方 程 ax +(b+2)x+c=0 的 两 根 , ∴
? b?2 ?? a ? 1 ? 3 ? 4 ?b ? ?4a ? 2 ? ?? ? ?c ? 3a. ? a ? 1? 3 ? 3 ?c ?

∴f(x)=ax -(2+4a)x+3a ① 2 由方程 f(x)+6a=0 得 ax -(2+4a)x+9a=0 ② ∵方程②有两个相等的根,∴△=[-(2+4a)] -4a?9a=0 即 5a -4a-1=0,解得 a=1 或 a=- . ∴f(x)的解析式为 f(x)=x -6x+9 或 f(x)=(2)由 f(x)=ax -(2+4a)x+3a=a(x令2 2 2 2

2

1 5

1 2 6 3 x - x- . 5 5 5

1 ? 2 a 2 a 2 ? 4a ? 1 a 2 ? 4a ? 1 )可得 f(x)的最大值为. a a a

a 2 ? 4a ? 1 >0 ? a(a+2+ 3 )(a+2- 3 )<0 a

解得 0<-2- 3 或-2+ 3 <a<0. 故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3 )∪(-2+ 3 ,0). [专家把脉] 上面解答由 f(x)+2x>0 的解集为(1, 忽视了隐含条件 a<0. 3). 所以(1)应舍去 a=1. 另
a 2 ? 4a ? 1 ,从而很不容易求得 a 的范围. a

外第(2)问若没有 a<0 这个条件,也不能说 f(x)的最大值是-

[对症下药] (1) ∵ f(x)+2x > 0 的 解 集 为 (1 , 3), ∴ f(x)+2=a(x-1)(x-3) 且 a<0 , 因 而 2 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax -(2+4a)x+3a ① 2 由方程 f(x)+6a=0 得 ax -(2+4a)x+9a=0 ② 因为方程②有两个相等的根,∴△=[-(2+4a)] -4a?9a=0.即 5a -4a-1=0,解得 a=1 或 a=- . 由于 a<0,舍去 a=1.将 a=- 代入①得 f(x)的解析式为 f(x)=(2)由 f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a(x? a 2 ? 4a ? 1 ?? ?0 , ? a ? a ? 0. ?
2 2 2

1 5

1 5

1 2 6 3 x - x- . 5 5 5

1 ? 2 a 2 a 2 ? 4a ? 1 a 2 ? 4a ? 1 )及 a<0,可得 f(x)的最大值为.由 2 a a

解得 a<-2- 3 或-2+ 3 <a<0.

专家会诊 利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况,还可以讨论二次函 数在闭区间上的最值.对于根的分布问题,一般需从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负;

③对称轴 x=-

b 与区间端点的关系.另外,对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间 2a

的相对位置确定二次函数的单调性进行求解. 考场思维训练 2 1 若函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 f(1+x)=f(-x),则下面不等关系成立的是 A.f(2)>f(0)>f(-2) B.f(-2)>f(2)>(0) C.f(0)>f(-2)>f(2) D. f(-2)>f(0)>f(2) 答案:B 解析:由 f(1+x)=f(-x)得 f(x)的对称轴 x= f(-2)>f(2)>f(0).

(

)

1 ∵b=-1. ∴f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. ∴ 2

2 若函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围是__________. 答案:[1,2]解析:y=(x+1)2+2 是以直线 x=1 为对称轴开口向上、其最小值为 2 的抛物线,又∵f(0)3. 结合图象易得,2≥m≥1. ∴m 的取值范围是[1,2]. 3 设函数 f(x)=ax +bx+1(1,b∈R). (1)若 f(-1)=0,则对任意实数均有 f(x)≥0 成立,求 f(x)的表达式. 答案:解析: (1)∵f(-1)=0?a-b+1=0?b=a+1,又∵对任意实数均有 f(x) ≥0 成立,
?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 1 ? ? ?? ?? ?? 2 2 ?? ? b ? 4 a ? 0 ?(a ? 1) ? 4a ? 0 ?b ? 2. ? ?
2

2

∴f(x)=x2+2x+1. (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx 是单调递增,求实数 k 的取值范围. 答案: g(x)=xf(x)-kx=x(x2+2x+1)-kx=x3+2x2+(1-k)x,g′(x)=3x2+4x+1-k≥0 在 [-2,2]上恒成立?g′(x)在[-2,2]上的最小值 g′(x)(- ) ? 0,? k ? ? . )
2 3 1 3

4

已知二次函数 f(x)=(lga)x +2x+4lga 的最大值为 3,求 a 的值.
1 2 1 ) ? ? 4 lg a 由已知,f(x)有最大值 3,∴lga<0 并且 lg a lg a

2

答案:解析:原函数式可化为 f(x)=lga ( x ?
? 1 ? 4 lg a ? 3. lg a

整理得 4(lga)2-3lga-1=0 解得 lga=1,lga= . ? lg a ? 0.故取 lg a ? ? ? a ? 10

1 4

1 4.

?

1 4

?

4 1000 . 10

命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 |lnx| 1.(典型例题)函数 y=e -|x-1|的图像大致是 ( ) [考场错解] 选 A 或 B 或 C |lnx| [专家把脉] 选 A,主要是化简函数 y=e -|x-1|不注意分 x≥1 和 x<1 两种情况讨论,选 B,主要 是化简时错误地认为当,x<1 时,e
|lnx|

-|x-1|=-

1 .选 C,主要时当 x≥1 时化简错误. x

[对症下药]

D ∵f(x)=e

|lnx|

-|x-1|= ? ?
2

?

1 ? 1, ( x ? 1) 作出其图像即可 x ?1, ( x ? 1) ? x?

2. (典型例题)在 y=2 , y=log2x, , y=x y=cos2x 这四个函数中, 0<x1<x2<1, f ? 当 使 ?

x

? x1 ? x2 ? 2

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?> ? 2 ?

恒成立的函数的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [考场错解] C [专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误. 由题设条件知 F(x)在(0, 1)上是凸函数, 认为 y=log2x 和 y=cos2x 在(0,1)上是凸函数.其实 y=cos2x 在(0, [对症下药] B 根据条件,当 0<x1<x2<1,使 f ? ?
x 2

? ? )是凸函数,在( ,1)是凹函数. 4 4
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立知 f(x)在(0,1)上是凸 ?> ? 2 ?

? x1 ? x2 ? 2

函数,因此只有 y=log2x 适合.y=2 和 y=x 在(0,1)上是函数.y=cos2x 在(0, 1)是凹函数,故选 B. 3.(典型例题)若函数 f(x)=loga(2x +x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, 增区间为 (
1 4
2

? ? )是凸函数,但在( , 4 4

1 )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递 2

) B.(- ,+∞) D.(-∞,- )
1 2 1 4

A.(-∞,- ) C.(0,+∞)

[考场错解] 选 A 或 C [专家把脉] 选 A,求 f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误;选 C,求复合函数的单调区 间时没有注意内、外层函数均递减时,原函数才是增函数.事实上 (0,+∞)是 f(x)的递减区间. [对症下药]
1 2

D ∵f(x)=loga(2x +x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,若 a>1,则由 f(x)>0
2

2

1 2

x> 或 x<-1.与题设矛盾.∴0<a<1.设 ? (x)= 2x +x=2(x+ ) - . ? (x)>0 ? x>0 或 x<- )内是增函数.
1 2

1 4

2

1 8

1 .∴f(x)在(-∞, 2

4.(典型例题)已知函数 f(x)=ln(e +a)(a>0) -1 (1)求函数 y=f(x)的反函数 y=f (x)及 f(x)的导数 f′(x). f-1 (2)假设对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)].不等式|m- (x)|lnf′(x)<0 成立.求实数 m 的取值范围. x y -1 x x [考场错解] (1)由 y=f(x)=ln(e +a)得 x=ln(e -a).∴f (x)=ln(e -a)(x>lna),f′(x)=[ln(e +a)]′ =
ex e x ? a. ex e x ? a.
x

x

(2)由|m-f (x)|+ln[f′(x)]<0 得-ln 恒成立.设 h(x)=ln(e -a)+ln
x x

-1

+ln(e -a)<m<ln(e -a)+ln
ex
x

x

x

ex e x ? a.

在(ln(3a),ln(4a))上

ex e ? a.
x

. S(x)=-ln

e ? a.

+ln(e -a).即 m<[h(x)]mni.且 m>[S(x)]max
4 3 8 3

∵S(x), h(x)=ln(e -a)+ln(1+ [S(x)]max=ln(3a)-ln =ln(
5 4

a e
x

)在[ln(3a), ln(4a)]上是增函数. ∴[h(x)]min=ln(2a)+ln =ln( a).

12 a) 5

∴ln(

12 8 a)<m<ln( a). 5 3

[专家把脉] 错在第(2)问 h(x),S(x)在(ln(3a),ln(4a))上是增函数没有根据. 应用定义法或导数法 判定后才能用这一结论. [对症下药] (1)由 y=f(x)=ln(e +a)得 x=ln(e -a)∴y=f (x)=ln(e -a)(x>lna),f′(x)=
-1 x y -1 x

ex e ? a.
x

.

(2)解法 1 由|m-f (x)|+ln(f′(x))<0 得-ln ln(4a)]恒有
x

ex e ? a.
x

+ln(e -a)<m<ln(e -a)+ln. 即对于 x∈[ln(3a),

x

x

e (e ? a)
x x

e ?a
x

<em<

(e ) ? a
x 2

2

ex



设 t=e ,u(t)=

t (t ? a) t 2 ? a2 m ,v(t)= ,于是不等式①化为 u(t)<e <v(t),t∈[3a,4a] t?a t

当 t1<t2,t1,t2∈[3a,4a]时 u(t2)-u(t1)= v(t2)-v(t1)=
t 2 (t 2 ? a) t1 (t1 ? a ) (t 2 ? t1 )[t1t 2 ? a (t1 ? t 2 ) ? a 2 ] = >0. (t1 ? a )(t 2 ? a ) t1 ? a t2 ? a
2 2 t 2 ? a t1 ? a t1t 2 (t 2 ? t1 ) ? a 2 (t 2 ? t1 ) (t1 ? t 2 )(t1t 2 ? a 2 ) = = >0 t1t 2 t1t 2 t2 t1

∴u(t),v(t)在[3a,4a]上是增函数. 因此,当 t∈[3a,4a]时,u(t)的最大值为 u(4a)= 立,当且仅当 u(4a)<e <v(3a). 即
12 12 8 m 8 a<e < a,于是,得 ln a<m<ln( a). 5 5 3 5
-1 m

12 8 a,v(t)的最小值为 v(3a)= a,而不等式②成 5 3

解法 2 由|m-f (x)|+ln(f′(x))<0 得 x x x x ln(e -a)-ln(e +a)+x<m<ln(e -a)+ln(e +a)-x. x x 设 ? (x)=ln(e -a)-ln(e +a)+x, r(x)=ln(e -a)+ln(e +a)-x, 于是原不等式对于 x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于 ? (x)<m<r(x). 由 ? ′(x)=
x x x



e
x

x

e ?a
x

?
x

e
x

x

e ?a

+1, r ?( x) ?

e
x

x

e ?a

?

e
x

x

e ?a

-1.

注意到 0<e -a<e <e +a,故有 ? ′(x)>0,r′(x)>0,从而可知 ? (x)与 r(x)均在[ln(3a),h(4a)]上单 调递增,因此不等式③成立,当且仅当
? (ln(4a))<m<r(ln(3a)),即 ln(
12 8 a)<m<ln( a). 5 3

专家会诊 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时,首先要弄清复合函数的构成,然后转转化为基 本初等函数的单调性加以解决,注意不可忽视定义域,忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作 用. 考场思维训练 1
1 x 2-x (e +e )(x<1)(其中 e 为自然对数的底数),则 2e 3 3 -1 1 -1 -1 1 -1 A.f ( )<f ( 2 ) B.f ( )>f ( 2 ) 2 2 3 3 -1 -1 -1 -1 C.f ( 2 )<f (2) D.f ( 2 )>f (2)

已知函数 f(x)=

(

)

答案: D 解析:

f(x)=
1 x e2 (e ? x )(x ? 1)令e x ? t , 则t ? (0, e)上是减函数, 则f ( x) ? 1且在(?? ,1)上是减函数,由于反函数的两个函数在各自的定义域上单调性相同, 2e e 3 ? f ?1( x)在[1,?? ]上是减函数. ? f ?1( ) ? f ?1(2).选D. 2

2 A.

已知 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为
1 4

x

(

)

B.

1 2

C.2

D.4

答案: B 解析:f(x)=ax+loga(x+1)是单调递增 (减)函数. (∵y=ax 与 y=loga(x+1)单调性相同).且在[0, 1]的最值分别在端点处取得,最值之和:f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, ∴loga2+1=0, ∴a= . ? 选 B. 3 对于 0<a<1,给出下列四个不等式
1 ) a 1 2

(

)
1 ) a

①loga(1+a)<loga(1+

②loga(1+a)>loga(1+

③a < a

1+a

1?

1 a

④a > a

1+a

1?

1 a

其中成立的是 ( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 答案: D 解析:
? 0 ? a ? 1,? a ? 1 ?
? 1 1 1 x ,?1 ? a ? 1 ? .而y ? loga 与y ? a x均为减函数. ? loga (1 ? a) ? loga (1 ? ), a1?a ? a1 a . 选 D。 a a a 1

4

已知函数 f(x)=loga[(

1 -2)x+1]在区间[1,2]上恒为正,求实数 a 的取值范围. a

答案:在区间[1,2]上使 f(x)>0 恒成立。 解析: (1)当 a>1 时,只要 ( ? 2) x ? 1 ? 1. 即 ( ? 2) x ? 0. ? x ? [1,2],? ? 2 ? 0,? a ?
1 a 1 a 1 a 1 与 1 矛盾. 2 1 a

(2)当 0<a<1 时,设 g(x)= ( ? 2) x ? 1. 只要 0<g(x)<1. ① a= 时,g(x)=1f(x)=0 不能使 f(x)恒为正。 ② 当 0<a< 时, ? 2 ? 0, g ( x)是增函数, 只要? 当
1 2 1 2

1 a

?g (1) ? 0 1 1 , 解得 ? a ? 1与0 ? a ? 矛盾. g () ? 1 2 2 ? 1 2 1 2 解得 ? a ? .综上所述 : ? a ? . 2 3 2 3

?g (2) ? 0 1 1 ? a ? 1时, ( ? 2) ? 0.g ( x)是减函数, 只要? 2 a ?g (1) ? 1,

命题角度 3 函数的应用 2 1.(典型例题)某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x , 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 ( )

A.45.606 B.45.6 C.46.8 D.46.806 2 [考场错解] D 设甲地销售 x 轴,则乙地销售 15-x 辆.总利润 L=L1+L2=5.06x-0.15x +2(15-x)= -0.15x +3.06x+30=-O.15(x∴当 x=
2

51 2 ) +46.806 5

51 时,获得最大利润 46.806 万元.故选 D. 5

[专家把脉]

上面解答中 x=

51 51 不为整数,在实际问题中是不可能的,因此 x 应根据抛物线取与 x= 5 5

接近的整数才符合题意. 2 [对症下药] B 设甲地销售 x 辆.则乙地销售(15-x)辆,则总利润 L=L1+L2=5.06x-0.15x +2(15-x)= 2 2 * -0.15x +3.06x+30=-0.15(x-10.2) +46.806. 根据二次函数图像和 x∈N ,∴当 x=10 时,获得最大 2 利润 L=-0.15?10 +3.06?10+30=45.6 万元.选 B. 2.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥 补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函 数关系 x=2000 t ,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元(以下称 S 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 W(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量. 2 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额 y=0.002t .在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的 前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 S 是多少? [ 考 场 错 解 ] (1) 因 为 赔 付 价 格 为 S 元 / 吨 , 所 以 乙 方 的 实 际 利 润 为 :
? W=2000 t -St=(2000-S t )=S(2000- t )≤S? ? ? t ? 2000 ? t ? 6 ? =10003S. 当且仅当 t =2000- t .即 t=10 (吨) ? 2 ? ?
2

时.W 取得最大值. (2)设甲方净收入为 v 元,则 2 6 v=St-0.002t ,将 t=10 代入上式 6 12 6 3 v=10 S-10 ?0.002=10 (S-2?10 ). ∵v 在(0,+∞)上是增函数.即 S 越大,v 越大,故甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求 的赔付价格 S 是任意大的数字. [专家把脉] 上面解答主要在第(1)问求 w 的最值时, 变形出了错误, 即由 w=2000 t -St=S t (2000- t ) 正确的变形为 w=2000 t -St=S t (
2000 - t ).这一步出错导致后面结果都是错误的. S

[对症下药] (1)解法 1 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为:W=2000-St ∵W=2000 t -St=S t ( 时,W 取得最大值. ∴乙方取得最大年利润的年产量 t=(
1000 2 ) 吨. S

2000 - t )≤S ( S

t?

2 2000 ? t 1000 2 2000 1000 2 S ) =( ) 当且仅当 t = - t 即 t=( ) 2 S S S

解法 2 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为 W=2000 t -St. ∴W=2000 t -St=-S( t 1000 2 1000 2 )+ S S

∴当 t=(

1000 2 ) 时,w 取得最大值. S 1000 2 ) (吨) S

∴乙方取得最大年利润的年产量 t=(

解法 3 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为:w=2000 t -St. 由 w′=
1000 t

-S=

1000 ? S t t

,令 w′=0 得 t=t0=(

1000 2 ) . t<t0 时, 当 w′>0; t>t0 时, 当 w′<0.所以 t=t0 S 1000 2 ) 吨. S

时 w 取得最大值.因此乙方取得最大年利润的年产量 t0=( (3) 设甲方净收入为 v 元,则 2 v=St-0.002t . 将 t=( v=

1000 2 ) 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格 S 之间的函数关系式 S

1000 2 2 ? 10003 . S S4

又 v′=-

10003 S2

?

8 ? 10003 S5

?

10002 (8000 ? S 3 ) S5

-令 v′=0 得 S=20,当 S<20 时,v′>0;当 S>20 时,v′<0,

∴S=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 S=20(元/吨)时,获得最大净收入. 3.(典型例题)某段城铁线路上依次有 A,B,C 三站,AB=5km,BC=3km 在列车运行时刻表上,规定列 车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行时,假设列车 从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm/h,匀速行驶,列车从 A 站到达某站的 时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围. [考场错解] (1)列车在 B、C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是| -7|和| -11| (2)由于列车在 B、C 两站的误差之和不超过 2 分钟,所以| -7|+| -11|≤2(*) 当 0<v≤ 时,(*)式变形为 -y+ -11≤2 解得
5 7 13 5 ≤v≤ . 20 7 8 5 8 时,(*)式变形为 7- + -11≤2, 11 v v 8 . 11 5 7 5 v 8 v 5 v 8 v 5 v 8 v

当 <v≤
5 7

解得 <v≤ 当 v> 解得

8 5 8 时,(*)式变形为 7- +11- ≤2. 11 v v

8 13 <v≤ . 11 16 13 13 , ]. 20 16

综上所述,v 的取值范围[

[专家把脉] 上述解答错在单位不统一, 应将速度 v(km/h)化为 v(60km/分). 由于一开始出现错误, 导致后面结果全是错误的.

[对症下药]

(1)列车在 B、C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是[

300 480 -7]和[ -11] v v

(2)由于列车在 B、C 两站的误差之和不超过 2 分钟,∴| 当 0<v≤
300 300 480 时,(*)式变形为 -7+ -11≤2, 7 v v 300 . 7

300 480 -7|+| -11|≤2(*) v v

解得 39≤v≤ 当

300 480 300 480 <v≤ ,(*)式变形为 7+ -11≤2, 7 11 v v 300 480 <v≤ 7 v 480 300 480 时,(*)式变形为 7+11≤2, 11 v v 480 195 <v≤ , 11 4 195 ] 4

解得

当 v> 解得

综上所述,v 的取值范围是[39,

4.(典型例题)某人在一山坡 P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔.如 图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖直线 OC,塔高 BC=80(米),山 高 OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直 线 l 上,l 与水平地面的夹角为α ,tanα = .试问,此人距山崖的水平 距离多远时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)? [考场错解] 如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0),B(0,220),C(0,300) 直线 l 的方程为 y=(x-200)tanα ,即 y= 设此人距山崖的水平距离为 x,则 P(x,
x ? 200 ? 300 x ? 800 x ? 640 , kPB= kPC= 2 = . 2x 2x x
x ? 200 . 2 x ? 200 )(x>200),由经过两点的直线的斜率公式 2
1 2

由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得:
k k ∠BPC= PB? PC ? 1 ? k PB k PC 160 64 x 2x ? x ? 800 x ? 640 x 2 ? 288 x ? 160 ? 640 1? ? 2x 2x

tan

设 u=
2

64 x x ? 288x ? 160 ? 640
2

.( x ? 200).

∴ux -(288u-64)x+160?640u=0 ① ∵u≠0 2 2 ∵x∈R.△=(288u-64) -4?160?640u ≥0. 解得 u≤2. 当 u=2 时,x=320.即此人距山崖 320 米时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. [专家把脉] 上述解答过程中利用 x∈R 由判别式法求 u 的最大值是错误 的, 因为 x>200, 即由判别式求得 u 的最大值, 还必须检验方程①的根在(200,

+∞)内. [对症下药]

如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0),B(0,220),C(0,300).
x ? 200 . 2 x ? 200 )(x>200).由经过两点的直线的斜率公式 2

直线 l 的方程为 y=(x-200)tanα ,即 y= 设此人距山崖的水平距离为 x,则 P(x,
x ? 200 ? 300 x ? 800 kPC= 2 , ? x 2x x ? 200 ? 220 x ? 640 kPB= 2 . ? x 2x

由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan∠BPC=
k PB ? k PC ? 1 ? k PB ? k PC 2x 64 x 64 = ? ( x ? 200). x ? 800 x ? 640 x 2 ? 288x ? 160 ? 640 160 ? 640 1? ? x? ? 288 2x 2x x
160 ? 640 ? 288 达到最小.由均值不等式 x

要使 tan∠BPC 达到最大,只须 x+ x+

160 ? 640 ? 288 ≥2 160 ? 640 ? 288 , x 160 ? 640 时上式取得等号.故当 x=320 时 tan∠BPC 最大. x

当且仅当 x=

由此实际问题知,0<∠BPC<

? ,所以 tan∠BPC 最大时,∠BPC 最大,故当此人距山崖水平距离为 320 2

米时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. 5.(典型例题)某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 件需要增加 投入 0.25 万元,市场对此产品的需要量为 500 件,销售收入为函数为 R(x)=5x是产品售出的数量(单位:百件). (1)把利润表示为年产量的函数 f(x). (2)年产量是多少时,当年公司所得利润最大? (3)年产量是多少时,当年公司不亏本?(取 21.5625 =4.65). [考场错解] f(x)=5xx2 2 x2 (0≤x≤5),其中 x 2

(1)设年产量为 x(百件),所以 (0.5+0.25x)
1 2 21.5625 (x-4.75) + 2 2

(2)f(x)=-

∴当 x=4.75(百件)时 [f(x)]max= ?21.5625=10.78125(万元) (3)∵f(x)≥0,∴ 本. [专家把脉] 上述解答忽视了 “市场对产品的需要量为 500 件” 条件, 事实上, 当产品生产量超过 500
1 2 21.5625 (x-4.75) + ≥0,解得 0.1≤x≤9.4 ∴年产量 10 件到 940 件之间不亏 2 2 1 2

件时,市场销售最多只能是 500 件,事实上,因此,这时不能用 R(x)=5x[对症下药] (1)设年产量 x(百件),所以

x2 表示收入,而是 R(5). 2

? x2 ?5 x ? ? (0.5 ? 0.25 x), (0 ? x ? 5) f(x)= ? 2 ?12 ? 0.25x, ( x ? 1) ?

(2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-5x-

x2 2 21.5625 1 (0.5+0.25x)=- (x-4.75) + 2 2 2
1 2

∴当 x=4.75(百件)时,[f(x)]max= ?21.5625(万元) 当 x>5 时,f(x)=12-0.25x<12-1.25< ?21.5625 ∴x=4.75 时,[f(x)]max= ?21.5625 即年产量是 475 件时,当年公司所得利润最大. (3)当 0≤x≤5 时,由 f(x)≥0, - (x-4.75) +
1 2
2

1 2

1 2

?0.1 ? x ? 9.4 21.5625 ≥0 ? ? 2 ?0 ? x ? 5

∴0.1≤x≤5. (ⅱ)当 x>5 时,12-0.25x≥0 ? 5<x<48. 综合得 0.1≤x≤48. 即生产量在 10 件到 4800 件不亏本. 专家会诊 与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题,也可涉及角 度、面积、体积、造价的最优化问题,解答这类问题的关键是建立相关函数的解析式,然后应用函数知识 加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去,看是否符合实际问题. 考场思维训练 1 把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值 是 ( ) A.
3 2 3 cm 2

B.4cm

2

2 C.3 2 cm

D.2 3 cm

2

答案: D 解析: S= ( )2 sin 60. ? (
1 x 2 3 1 12 ? x 2 2 3 2 3 3 ) sin 60. ? ( x ? 12x ? 72) ? [(x ? 6)2 ? 36],? x ? 6时, Smin ? ? 36 ? 2 3. 2 3 36 18 18

2 将一张 2mx6m 的硬钢板按图纸的要求进行操作,沿线裁去阴影部分,把剩余部分按要求焊接成一 个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦), 3 设水箱的高为 xm,容积为 ym ). (1)求 y 关于 x 的函数关系式; 答案:依题意,长方体水箱长
6 ? 2x ? (3 ? x)m.宽为(2 ? 2 x)m.高为xm. 2

故水箱容积 y=(3-x)(2-2x)·x,

又 ? ?2 ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1. ?
?x ? 0 ?

?3 ? x ? 0,

∴y 关于 x 的函数关系式为 y=2x(1-x)(3-x),(0<x<1). (2)如何设计 x 的大小,可使得水箱装的水最多? 答案: y=2x3-8x2+6x,y =6x2-16x+6, 令 y′=0 得 x ?


4? 7 4? 7 4? 7 .? (?10,1), ? (1,??). 3 3 3

?当0 ? x ?

4? 7 4? 7 4? 7 时, y ′>0;当 ? x ? 1时, y′ ? 0,?当x ? 时, y取最大值. 3 3 3

因此把水箱的高设计成

4? 7 m 时,水箱装的水最多。 3

3 (典型例题)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车 每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? 答案:当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出车辆数为 所以,这时租出了 88 辆车。 (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 答案:设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为 f(x)= f ( x) ? (100 ?
x ? 3000 x ? 3000 x2 1 ) ? ( x ? 150) ? ? 50 ? ? 162x ? 21000 ? ? ( x ? 4050)2 ? 307050 50 50 50 50
3600 ? 3000 ? 12, 50

所以,当 x=4050 时 f(x)最大, 最大值为 f(4050)=307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 307050. 4 某车间有工人 30 人,现有生产任务:加工 A 型零件 100 个,B 型零件 50 个.在单位时间内,每个 工人若加工 A 型零件能完成 10 个,若加工 B 型零件能完成 7 个.问这 30 名工人应如何分组,才能使任务完成得最快? 答案: 设加工 A 型零件的一组工人数为 x, 解: 则加工 B 型零件的另一组工人数为 30-x。 由题意加工 100 个 A 型零件所需的时间为 p(x)=
100 . 10 x

加工 50 个 B 型零件所需的时间为
q ( x) ? 50 . 7(30 ? x)

令 p(x)=q(x);
100 50 1 ? 解得x ? 17 . 10 x 7?30 ? x ? 2

当 x> 时q?x ? ? p?x ? ;
1 2

当 0<x<17 时,p(x)>q(x). 当 0<x<17 时,p(x)>q(x).
?10 ? x 1 ? x ? 17. ? ? y ( x) ? ? ? 50 18 ? x ? 30. ? 7(30 ? x) ?
1 2

1 2

考虑到人数必须是整数,分别考虑 p(17)和 q(18),p(17)=

100 50 ? 0.588, q(18) ? ? 0.595, 10 ? 17 7 ? 12

即 p(17)<q(18). 所以加工 A 型零件组的工人数应是 17 人,加工 B 型零件组的工人应是 13 人完成任务最快。 5 (典型例题)如图,在直线 y=0 和 y=a(a>0)之间表示的是一条河流,河流的一侧河岸(x 轴)是一条 公路,公路上的公交车站 P(x,0)随时都有公交车来往.家住 A(0,a)的某学生在位于公路上 B(2a,0)处 的学校就读,每天早晨学生都要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上公交车站,再乘公交车去学校,或 者直接乘船渡河到达公路上 B(2a,0)处的学校.已知船速为 v0(v0>0),车速为 2v0(水流速度忽略不计). (Ⅰ)设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上的站 P(x,0),再乘公交车去学校,请用 x 来表示他所 用的时间 t; 答案:设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上的车站 P(x,0),再乘公交车去学校,则他所用的时间 t=f(x)=
a2 ? x2 uo ? 2a ? x (0 ? x ? 2a). 2uo

(Ⅱ)若
5 =2.236)

a ≤x≤a,请问该学生选择哪种上学方式更加节约时间,并说明理由.(取 2 =1.414, 2

答案:若该学生选择先乘船渡河到达公路上的车站 p(x,0),再乘公交车去学校,则他所用的时间为
t ? f ( x) ? a 2 ? x 2 2a ? x ? ? uo 2uo a 2a ? a2 ? a2 2 ? ( 2 ? 3) a . ? uo 2u0 4 uo

直接乘船渡河到达公路上 B(2a,0)处的学校所用的时间
t ? f (a) ? a 2 ? ( 2a ) 2 a ? 5 . uo uo

因为 ( 2 ? )

3 a a ,所以该学生选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间. ? 5 4 uo uo

答:该同这选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间。 探究开放题预测 预测角度 1 二次函数闭区间上的最值的问题 1.已知函数 f(x)=ax +(2a-1)x+1 在[- ,2]上的最大值为 3,求实数 a 的值. [解题思路] 根据 f(x)的最大值可能产生在抛物线段的端点或顶点处,分别令 f(- )=3.f(2)=3 和
3 2
2

3 2

f(

1 ? 2a ) =3,再一一检验后决定取舍 a 的值. 2a

[解答] f(x)=a(x+ (1)令 f(-

2a ? 1 2 (2a ? 1) 2 ) +1. 2a 4a

2a ? 1 (2a ? 1) 2 1 1 )=[f(x)]max=3 ? 1 ? ? 3 ? a ? ? .有f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3, 2a 4a 2 2

3 1 ? ?2 ? [? ,2],? a ? ? 舍去. 2 2

(2)令 f(- )=[f(x)]max=3,∴a=- . 有 f(x)= ( x ? ) 2 ?
2 3 7 4 73 7 2 3 2 ,? ? ? ? ,? f (? )最大. ? a ? ? , 符合题意. 24 4 3 2 3 1 2 1 2 x ? 1. 2

3 2

3 2

(3)令 f(2)=3 ? a ? .有f ( x) ?

∴[f(x)]max=f(2)=3.符合题意. 综上:a=- 或 a= . 2.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-x . (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 a、b(a≠b)使 f(x)在[a,b]上的值域为[ , ],若存在,求 a 和 b,若不存在,说 明理由. [解题思路] (1)运用奇函数性质可求出 f(x)在 x≤0 上的解析式; (2)利用已知[a,b],[ , ]得
1 1 b a 1 1 b a
2

3 2

1 2

a、b 的符号,再运用二次函数在区间上的单调性列出 a、b 的方程组可解得 a、b 的值. 2 2 [解答] (1)设 x<0,则-x>0,由当 x≥0 时,f(x)=2x-x 且 f(x)为奇函数,得 f(-x)=-2x-x , 2 2 ∴f(x)=-f(-x)=-(-2x-x )=2x+x ∴f(x) ? ?
?2 x ? x 2 , ( x ? 0) ?2 x ? x 2 , ( x ? 0) ?

(2) ? 1

?a ? b ?a ? b ?a ? b ? ? ? 1 ? ? 1 1 ? 0 ? ? b ? a ? 0 ? ab ? 0. ?b ? a ?a ? b ? ab ? ? ?
2 2

① 由 0<a<b,∵(f)=2x-x =-(x-1) +1≤1, 又∵f(x)在[a,b]上值域为[ , ],∴
1 1 b a 1 ≤1,即 a≥1, a

? ? f (a) ? 即 1≤a<b,而 f(x)=-(x-1) +1 在[1,b] 上为减函数.因此: ? ? ? f (b) ? ? ?
2

1 ? 1 2a ? a 2 ? ? a ? a 由? ? 可知 a、b 为方程 1 ? 1 2 2b ? b ? b ? b ?

2x-x =
3 2

2

1 x
3 2


2


2

















x -2x +1=0,(x -x )-(x -1)=0,(x-1)(x -x-1)=0,x1=1,x2=

1? 5 1? 5 1? 5 ,x3= (舍) ,∴a=1,b= . 2 2 2

②若 a<b<0,∵f(x)=2x+x =(x+1) -1≥-1.又∵f(x)为[a,b]上值域为[ , ],∴ ≥-1,即 b≤-1,
1 ? 1 ? f (a) ? a , ? 即 a<b≤-1.而 f(x)=(x+1) -1 在[a,-1]上为减函数, 因此 ? ? f ( 1 ) ? b. ? b ?
2

2

2

1 1 b a

1 b

由2a ? a 2 ?

1 1 及2b ? b 2 ? 可知 a、 a b

b

为 方 程

2x+x =

2

1 x

的 两 根 , 将 此 方 程 化 为

x +2x -1=0 ? (x+1)(x -x-1)=0

3

2

2



x1=-1,x2=-

1? 5 1? 5 1? 5 ,x3= (舍),∴a=,b=-1. 2 2 2
1 1 b a

综合①,②知存在实数 a,b,使 f(x)在[a,b]上的值域为[ , ],有 a=1,b=
2

1? 5 1? 5 或 a=-1 或 b. 2 2

3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c∈R,且满足 a>b>c,f(1)=0. (1)证明:函数 f(x)与 g(x)的图像交于不同的两点 A、B; (2)若函数 F(x)=f(x)-g(x)在[2,3]上的最小值为 9,最大值为 21,试求 a、b 的值. (3)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围. [解题思路](1)证△>0;(2)利用二次函数的单调性求解;(3)将|A1B1|的长度表示为 次函数数闭区间上的最值求解. [解答] (1)由 g(x)=-bx 与 f(x)=ax +bx+c 得 ax +2bx+c=0.∵f(1)=a+b+c=0,a>b>c∴a>0,c<0,从 2 而△=b -4ac>0,即函数 f(x)与 g(x)的图像交于不同的两点.
b a
2 2 2

c 的函数,利用二 a

(2)c=-a-b,a>b>c.即 a>c=-a-b,得 2a>-b, -<2.知 F(x)=ax +2bx+c=a(x+

b 2 b2 ) +c- . 在[2,3]上为 a a

增函数.∴[f(x)]max=F(3)=8a+5b =21,[F(x)]min=F(2)=3a+3b=9,解得 a=2,b=1.
2b ? ?x ? x ? ? a , c 1 2 3 2 ? 1 2 (3)设方程 F(x)=ax +2bx+c=0 的两根为 x1、x2,得 ? |A1B1|2=(x1+x2) -4x1x2=4[( ? ) + ] 4 a 2 c ?x ? x ? . ? 1 2 a ?
2

由 a>b>c,b=-a-c,得 a>-a-c>c,∴

1 c ∈(-2, ) 2 a

设|A1B1| =h(

2

1 1 c c 1 2 3 c c )=4[( ? ) + ]的对称轴为 x=- ,h=( )在 ∈(-2, )上是减函数. 4 2 2 a a 2 a a

∴|A1B1| ∈(3,12),得|A1B1|∈( 3 ,2 3 ). 预测角度 2 三个“二次”的综合问题

2

1.已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R,且 a>0),设方程 f(x)=x 的两个实根为 x1 和 x2, (1)如果 x1<2<x2<4,且函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证:x0>-1. (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求 b 的取值范围. [解题思路] (1)由二次函数的图像找出方程 f(x)=x 的两根 x1、x2 满足 x1<2<x2<4 的充要条件.从而求 出 x0=1 b 的范围即可.(2)由 x1?x2= >0 知 x1,x2 同号,故对较小根 x1 分 0<x1<2 和-2<x1<0 两种情况讨论 2a a

2

可求得 b 的取值范围. [解答] (1) 设 g(x)=f(x)-x=ax +(b-1)x+1 , 且 a>0 , 由 x1<2<x2<4 得 g(2)<0 且 g(4)>0 即
2

?4a ? 2b ? 1 ? 0 3 1 3 1 1 3 b 1 故 x0= ? b ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? 4a ? b ? ? 2a,由 ? 4a ? ? 2a, 得a ? ,? 2 ? ?? ? 1? ? 1 2 4 2 8 8a 2a 4a 2a ?16a ? 4b ? 3 ? 0 4 4? 8

(2)由 g(x)=ax +(b-1)x+1=0 知 x1x2=

2

1 >0,∴x1,x2 同号, a

① 若 0<x1<2,则 x2-x1=2,即 x2=x1+2>2 ∴ g(2)=4a+2b-1 < 0 , 又 |x2-x1|= 2 (b ? 1)2 ? 1 <3-2b,解得 b< . ②若-2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2,∴g(-2)<0 即 4a-2b+3<0.同理可求得 b> . 故 b 的取值范围是(-∞,
2

(b ? 1)2 a
2

?

4 =4, 得 2a+1= (b ? 1)2 ? 1 (a > 0, 负 根 舍 去 ) , 代 入 上 式 得 a

1 4

7 4

1 7 )∪( +∞). 4 4

2.设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ①当 x∈R,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x; ②当 x∈(0,2)时,f(x)≤ (
x ?1 2 ) ; 2

③f(x)在 R 上的最小值为 0. (1)求 f(x)的表达式; (2)求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈就有 f(x+t)≤x 恒成立. [解题思路] (1)本小题是利用二次函数的概念,性质求出其解析式.(2)本小题涉及到两个参变量 t 与 m 的讨论,可利用二次不等式在闭区间上恒成立的解题思路求解. [解答] (1)方法一 因为 f(x-4)=f(2-x), 所以函数 f(x)的图像关于 x=-1 对称. 所以b =-1, b=2a, 2a

由条件③,x=-1 时,丁 y=0 得 a-b+c=0. 由①得,f(1)≥1,由条件②,得 f(1)≤1,所以 f(1)=1 即 a+b+c=1. 即 a+b+c=1.
?b ? 2a ? 1 1 1 1 1 ? ∴   ? b ? c ? 0, 解得a ? c ? , b ? . ∴f(x)= x 2 ? x ? . ?a 4 2 4 4 2 ? ?a ? b ? c ? 1, ?

方法二 ∵f(x-4)=f(2-x),x∈R, ∴函数 f(x)的图像的对称轴为 x=-1.

由条件③,f(x)在 R 上的最小值为 0, 2 可知, 函数 f(x)的图像是开口向上, 顶点位于点(-1, 0)的抛物线, 故不妨设 f(x)=a(x+1) , (a>0). 由 条件①f(x)≥x,x∈R,当 x=1 时 f(1)≥1. 由条件②,f(x)≤ (
x ?1 2 ) x∈(0,2),当 x=1 时,有 f(1)≤1. 2

∴f(1)=1,从而 a= .? f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? x ? . 方法三 同解法 1,可判断 f(x)图像的对称轴为 x=-1,且 f(-1)=0.∴b=2a,a-b+c=0.即 b=2a,c=a, 2 故 f(x)=ax +2ax+a 由条件①,f(x)≥x 对一切 x∈R 恒成立. 即 ax +(2a-1)x+a≥0,x∈R 恒成立.? ? ?
2

1 4

1 4

1 4

1 2

1 4

?a ? 0 ?? ? (2a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 ?

?a?

x ?1 2 1 ) ,x∈(0,2) .由条件②,f(x)≤ ( 2 4

令(a- )x +(2a- )x+(a- )由上 a ? 故a ? ? 0,有?

1 4

2

1 2

1 4

1 4

1 4

?F(0) ? 0 1 1 1 1 1 ? a ? . ? a ? .? f ( x ) ? x 2 ? x ? . 4 4 2 4 4 ?F(2) ? 0
2

(2)方法一 假设存在 t,只要 x∈[1,m]就有 f(x+t≤x,即 f(x+t)-x≤0,x +2(t-1)x+(t+1)2≤0 对 一切 x∈[1,m]恒成立. 2 2 不妨设 G(x)=x +2(t-1)x+(t+1) 则对 x∈[1,m],都有 G(x)≤0, 故?
??4 ? t ? 0 ?G(1) ? 0, ? ?? 2 2 ?G(m) ? 0 ?t ? (2 ? 2m)t ? (m ? 1) ? 0 ?
2 2

设 h(t)=t +(2+2m)t+(m-1) 即在区间[-4, 0]上存在实数 t, h(t)≤0 成立. 使 由图像得, h(-4)≤0 ? 1<m ≤9. ∴m 的最大值为 9. 方法二 因为抛物线 y= ?(x+1) 的开口向上,y=f(x+t)的图像,可由 y=f(x)的图像平移 t 个单位得 到, 要在[1, m]上, y=f(x+t)的图像在 y=x 的图像下方, m 最大, 1、 应是关于 x 的方程 且 则 m ③的两个根. 由 x=1 代入③式,得 t=0 或 t=-4. 由 t=0 时,代入③式,得 x1=x2=1. 当 t=-4 时,代入③式,得 x1=1 或 x2=9. ∴m=9. 验证,当 t=-4 时,对任意 x∈[1,9]恒有 f(x-4)≤x ∴m 的最大值为 9. 2 3.已知 f(x)=ax +2bx+4c(a、b、c∈R) (1)当 a≠0 时,若函数 f(x)的图像与直线 y=±x 均无公共点,求证:4ac-b2> . (2)若 a+c=0,f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- 求证:
3 4 1 4 1 2 (x+t+1) =x 4 1 4
2

2 3

1 2

b ≤2. a

(3)当 b=4,c= 时,对于给定负数 a,有一个最大正数 M(a)使得 x∈[0,M(a)]时都有|f(x)|≤5,问 a 为何值时,M(a)最大,并求出这个最大值 M(a)证明你的结论. (4)若 f(x)同时满足下列条件①a>0;②当|x|≤2 时,有|f(x)|≤2;③当|x|≤1 时,f(x)最大值为 2,

求 f(x)的解析式. [解题思路] (1)利用△<0 证明;(2)用反证法证明;(3)借助二次函数图像进行分类讨论.(4)利用不 等式性质推出-2≤f(0)≤-2 得 f(0)=-2,再借助最值可求得 a,b,c 值. 2 2 [解答] (1)∵f(x)的图像与 y=x 是公共点 △=(2b-1) -16ac=4b -16bc+1-4b<0 同理由 f(x)的图像与 y=-x 公共点得 4b -16ac+1+4b<0 二式相加得 4ac-a > (2)若 a=0,则 c=0,∴f(x)=2bx [f(x)]max=4|b|= [f(x)]min-4|b|= ∴a≠0,则若|
2 3 2 3
2 2

1 4

b |>2 a

∴区间[-2,2]在对称轴 x=-

b 的左侧式右侧 a

∴f(x)在[-2,2]上是单调函数 [f(x)]max=4|b|=
2 3 1 2

[f(x)]min=-4|b|= ∴
b ≤2 a

也是不可能的

(3)f(x)=a(x+

4 2 16 ) +3a a 16 a

∵a<0∴[f(x)]max=3∴当 3-

16 4 >5,即-8<a<0 此时 0<M(a)<a a
2

∴M(a)是方程 ax +8x+3=5 较小根 M(a)= ∴3? 8 ? 64 ? 8a 2 2 1 ? ? ? 2a 4 2 16 ? 2a ? 4

16 4 ≤5 即 a≤-8,此时 M(a)>5 a
2

∴M(a)是方程 ax +8x+3=-5 的较大根 M(a)=
?
? 8 ? 64 ? 8a ? 2a 4 4 ? 2a ? 2 ? 4 2a ? 2 ? 5 ?1 2

5 ?1 5 ?1 1 ? 因此当且仅当 a=-8 时,M(a)取最大值 2 2 2

(4)f(x)=2ax+2b ∵a>0 ∴[f′(x)]max=2a+2b=2 ∴a+b=1 -2≤f(0)=4c=4a+4b+4c-4(a+b)=f(2)-4≤2-4=-2 ∴4c=-2.∴c=又|f(x)|≤2 ∴f(x)=-2=f(0) ∴f(x)在 x=0 处取到最小值且 0∈[-2,2] ∴2b ? 0 ∴b=0 2a 1 2

从而 a=1∴f(x)=x -2. 含参数的对数函数与不等式的综合问题

2

预测角度 3

1.已知函数 f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在 y=f(x)图像上运动时,点 P(

x ? t ?1 ,2y)在函数 y=g(x) 2

的图像上运动. (1)求 y=g(x)的解析式; (2)当 t=4,且 x∈[0,1]时,求 g(x)-f(x)的最小值; (3)若在 x∈[0,1]时恒有 g(x)>f(x)成立,求 t 的取值范围. [解题思路] (1)用相关点法; (2)设 F(x)=g(x)-f(x)用基本不等式可求得 F(x)的最小值. (3)先由 g(x) >f(x)转化为一元二次不等式在 x∈[0,1]上恒成立,然后利用二次函数图像和性质可求得参数 t 的取值 范围. [解答] (1)令 x′=
? x ? 2 x? ? t ? 1 y? x ? t ?1 ,? =log2(2x′+t). ,y′=2y, 点(x, y)在 y=g(x); 图像上, ? 则? y? 2 2 y? ? 2 ?

即 y′=2log2(2x′+t) ∴g(x)=2log2(2x+t). (2)当 t=4 时,g(x)=2log2(2x+4). ∴F(x)=g(x)-f(x)=2log2(2x+4)log2(x+1)=log2 (2x ? 4) =log2[4(x+1)+
2

x ?1

4 +8]≥4. x ?1

当且仅当 4(x+1)=

4 时,即 x=0 时,[f(x)]min=4. x ?1
2 2

(3)由 g(x)>f(x),即 2log2(2x+t)>log2(x+1),在 x∈[0,1]时恒成立,即 ? (x)=4x +4(t-1)x+t -1>0 在[0,1]上恒成立.即 ? ?
4t ? 1 ? 4t ? 1 ? 4t ? 1 ? ? ? 0 ?0 ? ? ?1 17 17 ?? 或? 即 1<t≤ 或 t> 8 8 或? 8 8 8 ?? (0) ? 0 ?? ? 0 ?? (1) ? 1 ? ? ?

综合,得 t>1. 即满足条件 t 的取值范围是(1,+∞) x -1 -1 2.设函数 f(x)=a +3a(a>0 且 a≠1)的反函数为 y=f (x),已知函数 y=g(x)的图像与函数 y=f (x)的 图像关于点(a,0)对称. (1)求函数 y=g(x)的解析式; -1 (2)是否存在实数 a,使当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f (x)-g(-x)|≤1 成立?若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,说明理由. -1 [解题思路] (1)先求反函数 f (x)再用相关点法可求得 y=g(x)的解析式;(2)可将原不等式转化为一 元二次不等式在[a+2,a+3]上恒成立,利用二次函数图像和性质可判断是否存在实数 a. x -1 [解答] 由 f(x)=a +3a 易得 f (x)=loga(x-3a) 由题设的点对称可得 -1 g(a+x)+f (a-x)=0 则 g(x)=-loga(-x-a)(x<-a) (2)假设存在适合题意的实数 a -1 2 2 则|f (x)-g(-x)|=loga(x-3a)+loga(x-a)|=|loga(x -4ax+3a )|≤1. 2 2 即-1≤loga(x -4ax+3a )≤1 (x>3a) 又∵x∈(a+2,a+3),∴应有 a+2>3a, ∴0<a<1,从而 a+2>2a. 2 2 2 2 ∴函数 h(x)=x -4ax+3a 在[a+2,a+3]上为增函数,函数 H(x)=loga(x -4ax+3a )在[a+2,a+3]上为减 函数,从而:[H(x)]max=H(a+2)=loga(4-4a) [H(x)]min=H(a+3)=loga(9-6a) 于是目标不等式等价于

?0 ? a ? 1, ? ?log a (9 ? 6a) ?log (4 ? 4a) ? 1, ? a

① ② ③

解得 0<a≤

9 ? 57 12 9 ? 57 -1 )可使当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f (x)-g(-x)|≤1 成立. 12

综上可知,存在实数 a∈(0, 考点高分解题综合训练 1

若不等式 3x2-logax<0 的解集为{x|0<x< =的非空子集,则实数 a 的取值范围是
1 ,1] 27 1 ) 27

1 3

(

)

A.[

B.(

1 ,1) 27 1 ) 27 1 1 3 3 1 1 ,故 ? a ? 1. 27 27

C.(0,

D.(0,
2

答案: A 解析:作出 y=3x ,y=logax 的图象知 0<a<1.当 y=logax 过点 ( , )时, a ? 2 已知 f(x)=
e x ? e? x ,则下列正确的是 2

(

)

A.奇函数,在 R 上为增函数 B.偶函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

答案: A 解析:∵函数 f(x)=
2 2

e x ? e? x e? x ? e x 是增函数, 且f (? x) ? ? ? f ( x).? f ( x)是奇函数. 2 2

3 若不等式 x +2x+a≥-y -2y 对任意实数 x、y 都成立,则实数 a 的取值范围是 A.a≥0 B.a≥1 C.a≥2 D.a≥3

(

)

答案: C 解析:原不等式即为 a≥2-[x+1]2+(y+1)2]恒成立,只需 a 大于或等于 2-[(x+1)2+(y+1)2] 的最大值为 2,即 a≥2. 4 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于
2 4

(

)

A.

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

答案: A 解析:f(x)=logax(0<a<1)在[a,2a]上是减函数, ∴f(x)max=logaa=1,f(x)min=loga2a=1+loga2. ∴3(1+loga2)=1. ∴a= 5 若函数 f(x)的图像可由函数 y=lg(x+1)的图像绕坐标原点 O 逆时针旋转
-x

2 . 4

? 得到, f(x)等于( 则 2

)

A.10 -1 -x C.1-10

B.10 -1 x D.1-10
1x ) -1. 10

x

答案: A 解析:用图象易知 f(x)= ( 6 A.

若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1].则 a 等于
1 3

(

)

B. 2

C.

2 2

D.2

答案: D 解析:(1)若 a>1 时值域为[0,loga2], ∴loga2=1?a=2. 当 0<a<1 时,值域为[loga2,0], ∴不合题意舍去,综合得 a=2 7 函数 f(x)=
1 1 ? ex

的定义域是_________.
x x x

答案:(-∞,0)解析:依题意有 1-e >0,e <1?e <0. ∴定义域为(-∞,0). 8 把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题. 若函数 f(x)=3+log2x 的图像与 g(x)的图像关于__________对称,则函数 g(x)=__________. (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形). x x-3 答案:解析:如①x 轴,-3-log2 ;②y 轴,3+log2(-x)③原点,-3-log2(-x).④y=x,2 9 若函数 f(x)=loga(x -ax+3)在区间(-∞,
a 2 a2 ],由 3 4 ?
2

a )上是减函数,求 a 的取值范围. 2

答案: 解析: f(x)=loga[x- )2 ? 3 ? 且底数 a>1,∴a∈(1,2 3 ).

a2 a 2 ? 0, 得 ? 2 3 ? a ? 2 3 , 且(??, ) 上 loga(x -ax+3)是减函数, 4 2

10 设函数 f(x)=x +2bx+c(c<b<1),f(1)=0.且方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0.

2

答案:解(1)f(1)=0?1+2b+c=0?b=
2

?1 ? c c ?1 1 ? 1 ? ?3 ? c ? ? , ① ,又 c<b<1,故 c<2 2 3
2 2

方程 f(x)+1=0 有实根,即 x +2bx+c+1=0 有实根,故△=4b -4(c+1) ≥0,即(c+1) -4(c+1) ≥0,解得 c≥3 或 ≤-1② 又 c<b<1,综合①②-3<c≤-1, 又由 b= ?
c ?1 知 b≥0. 2

(2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以说明. 2 2 答案: f(x)=x +2bx+c=x -(c+1)x+c=(x-c)(x-1). f(m)=-1<0. ∴c<m<1.得 c-4<m-4<-3<c. ∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0. ∴f(m-4)的符号为正. 2 11 已知函数 f(x)=|x-a|,g(x)=x +2ax+1(a 为正常数)且函数 f(x)与 g(x)的图像在 y 轴上的截距相 等. (1)求 a 的值; 答案:由题意 f(0)=g(0), ∴|a|=1,又 a>0, ∴a=1. (2)求函数 f(x)+g(x)的单调增区间. 答案: f(x)+g(x)=|x-1|+x +2x+1 当事人 x≥1 时 f(x)+g(x)=x +3x= ( x ? ) 当 x<1 时,f(x)+g(x)=x +x+2= ( x ? )2 ? , 它在[? ,1)上单调递增. 综上单调递增区间为 [? ,?? ). 12 已知 f(x)=ax +bx+c,其中 a∈N,b,c∈Z. (1)若 b>2a,在[-1,1]上是否存在 x 使得|f(x|>b 成立. 答案: b>2a,得 ? 由
b ? ?1 ,则 f(x)在[-1,1]上递增且 b>0,由|f(x)|>b,得 f(x)>b 或 f(x)<-b.假设 x 存在, 2a
2 2 2 2

3 2

2

?

9 4 它在[1,+ ∞]上单调递增.

1 2

7 4

1 2

1 2

则必有 f(1)>b 或 f(-1)<-b,即 a+b+c>b 或 a-b+c<-b,则 a+c<0 或 a+c>0, 即 a+c≠0. 故当 a+c=0 时,符合题设条件的 x 不存在; 当 a+c≠0 时,符合题设条件的 x 必存在 (2)当方程 f(x)-x=0 的根在(0,1)内时,试求 a 的最小值. 2 答案:设 g(x)=f(x)-x=0 的两根为 x1,x2.则 g(x)=a(x-x1)(x-x2),由于 g(0).g(1)=a x1x2(1-x1)(1-x2)≤ a
2

(

x1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x2 2 1 2 )( ) ? a . 2 2 16 1 2 1 2 a . 16

其中,当 x1=x2= 上述等号成立, 则, g (0).g (1) ?

由于方程的根在(0,1)间,则 g(0)>0,g(1)>0.又已知 a,b,c 为整数,则 g(0)=c≥1.g(1)=a+b-1+c≥1. 则
1 2 a ? g (0) g (1) ? 1.即a 2 ? 16(a ? ?),则a ? 4, 经检验, a的最小值为4. 16

13 校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤烧开水 每吨开水费用 S 元,用电 炉烧开水每吨开水费用为 P 元,S=5m+0.8n+5,P=10.8n+20 66 ? n .其中 m 为每吨煤的价格,n 为每百度 电的价格;如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用,则用煤烧水;否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数; 答案:解(1)由题意知:S=P,可得 m=2n+4 66 ? n ? 1(0 ? n ? 66) (2)已知现在每百度电价不低于 50 元,那么当每吨煤的最高价不超过多少元时可以选择用煤?

答案:当 S≤P,可得 m≤2n+4 66 ? n ? 1 ? ?2( 66 ? n ? 1)2 ? 133 ∵n≥50
? 66 ? n ? [0,4] ? 66 ? n ? 1时取最大值

2n+4 66 ? n ? 1 的取值区间为[115,133] ∴m 的最大值为 133 即每吨煤的最高价不超过 133 元时,选择用煤. 14 设 f(x)=
21 1? x ? lg (-1<x<1). 11x ? 12 1? x

(1)求证:该函数在其定义域内是减函数. 答案:令 h(x)=
21 1? x , p( x) ? lg , 11x ? 12 1? x

易证 h(x)在(-1,1)上是减函数且 p(x)在(-1,1)上也是减函数,证明略. (2)设 h(x)=
21 解方程 f(x)-h(x)=-1. 11x ? 12
2 -1

如果函数 g(x)=lg(ax +2f (0)x+1)的值域为全体实数,试求实数 a 的取值范围. 答案:由 f(x)-h(x)=-1,得 lg x=
9 21 1? x 1? x 9 21 要使 ? lg ? 0.由于f ( x)为减函数, 故只能找到一个b, 使得f (b) ? 0, 考虑lg ? ?1时, 经验证恰好x ? 时, ? 1, 11 11x ? 12 1? x 1? x 11 11x ? 12 1? x ? ?1, 解得 1? x

而 lg

1? x 9 ? ?1.故f ?1(0) ? . 1? x 11
2 -1

要 使 g(x)=lg(ax +2f )(0)x+1) 的 值 域 为 全 体 实 数 , 有 (i)a=0 时 显 然 成 立 ,(ii)a ≠ 0, 则
?a ? 0 9 81 即4[ f ?1 (0)]2 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? ( ) 2 .数a的取值范围是(0, ]. ? 且? ? 0, 11 121 ?

考点-4 数 列 数列的概念 等差数列 等比数列 差与等比数列的综合 数列与解析几何、函数、不等式的综合 数列的应用 数列的概念 等差数列与等比数列 数列的通项与前 n 项和 递推数列与不等式的证明 有关数列的综合性问题 数列的实际应用 数列与图形 经典易错题会诊 命题角度 1 数列的概念 1. (典型例题)已知数列 n} {a 满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1,(n≥2),{an} 则 的通项 an=_________. [考场错解] ∵ an=a1+2a2+3a3+ ? +(n-1)an-1 , ∴ an-1=a1+2a2+3a3+ ? +(n-2)an-2 , 两 式 相 减 得 an-an-1=(n-1)an-1,∴an=nan-1.由此类推: an-1=(n-1)an-2,?a2=2a1,由叠乘法可得 an= [专家把脉] 矛盾. [对症下药]
n! 2 1 2

在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑 n 的范围.当 n=1 时,a1= 与已知 a1=1,

∵n≥2 时,an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1① 当 n≥3 时,an-1=a1+2a2+3a3+?+(n-2)?an-2②

①-②得 an-an-1=(n-1)?an-1∴当 n≥3 时, ?a2=
n! a2,∵a2=a1=1 2

an a a a a =n,∵an= n ? n?1 ?.? 4 ? 3 ? a2 =n???4?3 .. an?1 an?1 an ?2 a3 a2

?1 ? n! n! ∴当 n≥2 时,an= . 当 n=1 时,a1=1 故 an= ? ? 2 ?2 ? ?

(n ? 1) (n ? 2).

2.(典型例题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= ________. [考场错解]∵Sn= ∴a1=2. [专家把脉]

a1(3n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是 2

a1(3n ? 1) a1(1 ? 3n ) 4-1 = ,∴此数列是等比数列,首项是 a1,公比是 3,由 a4=a1?3 , 2 1? 3

此题不知数列{an}的类型,并不能套用等比数列的公式.而答案一致是巧合.
a1 a 4 3 (3 -1)- 1 (3 -1)=54,解得 a1=2. 2 2
n-1

[对症下药]∵a4=S4-S3=

3.(典型例题)已知数列{an}满足 a1=1,an=3 +an-1(n≥2). (1)求 a2,a3; (2)求通项 an 的表达式. 2 n-1 n-1 [考场错解] (1)∵a1=1,∴a2=3+1=4,a3=3 +4=13. (2)由已知 an=3 +an-1,即 an-an-1=3 n-1 n-1 即 an 成等差数列,公差 d=3 .故 an=1+(n-1)?3 . n-1 n-1 [专家把脉] (2)问中 an-an-1=3 ,3 不是常数,它是一个变量,故不符合等差数列的定义. 2 [对症下药] (1)∵a1=1,∴a2=4,a3=3 +4=13. (2)由已知 an-an-1=3 ,故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=3 +3 +?+3+1=
n-1 n-1 n-2

3n ? 1 . 2

4. (典型例题Ⅲ)等差数列 n} a1+a2+a3=-24, 18+a19+a20=78, {a 中, a 则此数列前 20 项和等于 ( ) A.160 B.180 C. 200 D.220 [考场错解] 由通项公式 an=a1+(n+1)d.将 a2,a3,a18,a19,a20 都表示成 a1 和 d.求 a1、d,再利用等差 数列求和,选 C. [专家把脉] 此方法同样可求得解.但解法大繁,花费时间多,计算量大故而出错,应运用数列的性 质求解就简易得多. [对症下药] B 由公式 m+n=2P ? am+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解.由 a1+a2+a3=-24,可得: 3a2=-24 由 a18+a19+a20=78,可得:3a19=78 即 a2=-8,a19=26 又∵S20=
20(a1 ? a20 ) =10(a2+a19)=180 2

2.(典型例题)若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是 ( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 [考场错解] na1+ ∵a2004+a2003>0,即 2a1+2002d+2003d>0,(a1+2002d)(a1+2003d)<0,要使 Sn>0.即使

n(n ? 1) d>0.这样很难求出 a1,d.从而求出最大的自然数 n.故而判断 a2003>0,a2004<0,所以前 2003 项 2

为正,从第 2004 项起为负,由等差数列的 n 项和的对称性使 Sn>0.故而取 n=4005 使 Sn>0. [专家把脉] 此题运用等差数列前 n 项的性质及图象中应注意.a2003>0,a2004<0. 且忽视了这两项的 大小. [对症下药] B ∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,且{an}为等差数列 ∴{an}表示首项为正数,公

差为负数的单调递减等差数列,且 a2003 是绝对值最小的正数,a2004 是绝对值最大的负数(第一个负数),且 |a2003|>|a2004|∴在等差数列{an}中,a2003+a2004=a1+a4006>0,S4006= 自然数 n 是 4006. 3.(典型例题)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若首项 a1= ,公差 d=1,求满足 Sk2=(Sk) 的正整数 k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an} ;使得对于一切正整数中 k 都有 Sk2=(Sk) 成立.
? ? [考场错解] (1)当 a1= ,d=1 时,Sn= n +n,由 Sk2=(Sk) 得 k +k = ? k 2 ? k ? ,即 k=0 或 k=4. ∴k
2

4006(a1 ? a4006 ) >0 2

∴使 Sn>0 成立的最大

3 2

2

3 2

1 2

2

2

1 2

4

2

1 ?2

2

?

≠0.故 k=4. ( Ⅱ ) 由 对 一 切 正 整 数 k 都 有 Sk2=(Sk)2 成 立 . 即 k a1+
2

k (k ? 1) k 2 (k 2 ? 1) 2 d ) 即 d=(ka1+ 2 2
2 ?a1 ? a1 ? 0, ? ? 故 ?a1d ? 0, 求得 a1=0 或 1, ?d ? 0 ? ?

d 2 2 d2 2 2 2 (a1- a1 )k -adk2(k-1)+ k (k -1)k (k-1) =0 对—切正整数 k 恒成立. 2 4
2

d=0 ∴等差数列 an={0,0,0,?} ,或 an={1,1,1,?} . [专家把脉] (Ⅱ)中解法定对一切正整数 k 都成立. 而不是一切实数. 故而考虑取 k 的特值也均成立. [对症下药] ( Ⅰ ) 当 a1=
3 n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 2 d ? n? ? n ? n. 由 Sk2=(Sk) , 得 ,d=1 时 , Sn=na1+ 2 2 2 2 2

1 1 4 2 1 2 2 3 ( k ? 1) k +k =( k +k) ,即 k 4 =0.又 k≠0,所以 k=4. 2 2

(Ⅱ)设数列{an}的公差为 d,则在 Sk2=(Sk) 中分别取 k=1,2,得
2 ?a ? a1 , (1) 2 ? ?S1 ? ( S1) , ? 1 即? ? 4?3 2 ?1 2 d ? (2a1 ? d ) .(2) ?S4 ? ( S2 )2 . ?4a1 ? ? 2 2 ?

2

由(1)得 a1=0 或 a1=1. 当 a1=0 时,代入(2)得 d=0 或 d=6.若 a1=0,d=0,则 an=0,sn=0,从而 Sk2=(Sk) 2 2 成立;若 a1=0,d=6,则 an=6(n-1),由 S3=18, 3) =324,S9=216 知 S9≠(S3) ,故所得数列不符合题意.当 a1=1 (S 2 2 时,代入(2)得 4+6b=(2+d) 解得 d=0 或 d=2.若 a1=1,d=0,则 an=1,Sn=n,从而 Sk2=(Sk) 成立;若 a1=1,d=2, 2 2 则 an=2n-1,Sn=1+3+?+(2n-1)=n ,从而 Sk2=(Sk) 成立.综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列:①{an}: an=0,即 0,0,0,?;②{an}:an=1,即 1,1,1,?;③{an}:an=2n-1,即 1,3,5,?. 4.(典型例题)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1= an?(4-an),n ? N. (1)证明 an<an+1<2,n∈N. n (2)求数列{an}的通项公式 a . [考场错解] 2 ° 假 用数学归纳法证明: (1)1°当 n=1 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= ,∴a0<a1<2,命题正确. 设 n=k 时 有 ak-1 < ak < 2. 则 n=k+1 时 ,
1 2 3 2 1 2

2

ak-ak+1=

1 1 1 1 ak-1(4-ak-1)- ak(4-ak)=2(ak-1-ak)- (ak-1-ak)(ak-1+ak)= (ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而 ak-1-ak <0. 2 2 2 2 1 2 1 2
2

4-ak-1-ak>0,∴ak-ak-1<0.又 ak-1= ak(4-ak)= [4-(ak-2) ]<2.∴n=k+1 时命题正确.由 1°、2°知, 对一切 n∈N 时有 an<an+1<2. (2)an+1= an(4-an)=
1 2 1 1 1 1+2+? 2 2 2 [-(an-2) +4].∴2(an+1-2)=-(an-2) ∴an+1-2= (an-2) 令 bn=an-2,∴bn=-( ) 2 2 2

+2n-1

? b12n 又∵b1=a1-2=- .∴bn=-( )

1 2

1 2

2n+2n-1

.即 an=2-( )

1 2

2n+2n-1

.

[专家把脉]

在(Ⅱ)问中求 bn 的通项时,运用叠代法.最后到 b0 而不是 b1.
1 2 3 2

[对症下药](Ⅰ)同上,方法二:用数学归纳法证明:1°当 n=1 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= ,∴0<a0 <a1<2;2°假设 n=k 时有 ak-1<ak<2 成立,令 f(x)=
1 2 1 2 1 x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增,所以由假 2 1 ?2(4-2),也即当 x=k+1 时 2

设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2),即 ak-1(4-ak-1)< ak(4-ak) 成立,所以对一切 n∈N,有 ak<ak+1<2 (2)下面来求数列的通项:an+1= bn=-

ak<ak+1<2

1 1 2 2 an(4-an)= [-(an-2) +4],所以 2(an+1-2)=-(an-2) 令 bn=an-2,则 2 2
2

1 2 1 1 2 1 1 2 b2 1 1 2 1+2+ ? +2n-1 2n n n-1 b ,又 bn=-1,所以 b =-( )2 , 即 bn ?1 =- (bn ? 2 ) =- ?( ) n ?1 ?=-( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2
2n-1

an=2+bn=2-( )

专家会诊 1.要善于运用等差数列的性质: “若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq” ;等差数列前 n 项和符合二次函数特征. 借助二次函数性质进 行数形结合法解等差数列问题. 2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题. 考场思维训练 1 在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 答案: C 分析:略。 2 等差数列{an}中,若其前 n 项的和 Sn= A.Sm+n>4 B.Sm+n< C.Sm+n=4 D.-4<Sm+n<-2 答案: B 分析:略。
2 2 3 数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 a10=1, a9 ? a15 .

1 3

(

)

m n * ,前 m 项的和 Sm= (m≠n,m,n∈N ),则 n m

( )

(Ⅰ)求{an}的通项公式; 答案:由已知 a1+9d=1



2 2 2 2 因为 a 9 ? a15 , 所以a9 ? a15 ? 0,即(a9 ? a15 )(a9 ? a15 ) ? 0,

因为 d≠0,所以 a9+a15=0,即 a1+11d=0 由①②解得 a1 ?
n 所以an ? 6 ? . 2 11 1 ,d ? ? . 2 2



(Ⅱ)求 S 的最大值; 答案:解 an=6n ? 0, 得 n≤12, 2

所以,数列{an}前 11,12 和最大,

S11 ? S12 ? 12 ?

11 12 ? 11 1 ? ? (? ) ? 33 2 2 2

(Ⅲ)将 Sn 表示成关于 an 的函数. 答案:由 a n ? 6 ? 得n ? 12 ? 2a, 又, Sn ? 4 在数列{an}中 a1= ,a2=
1 3

n 2

? n2 ? 23n ? (12 ? 2an )2 ? 23(12 ? 2an ) 2 1 , 所以, Sn ? ? ?an ? an ? 33 4 4 2

5 ,且 log2(3a2-a1)?log(3an+1-an),是公差为-1 的等差数列,又 18 1 3

2a2-a1,2a3-a2,?,2an+1-an,?是等比数列,公比为 q,|q|<1,这个等比数列的所有项之和等于 . (1)求数列{an}的通项公式; 答案:设 bn=log2(3an+1-an),因为{ bn}是等差数列,d=-1.b1

=log2(3a2-a1)=log2 (3 ? 5 ? 1 ) ? log 2 1 ? ?1于是b11 ? ?1 ? (n ? 1)(?1) ? ?n.
18 3 3
-n

即 log2(3an+1-a)=-n,所以 3an+1-an=2


5 1 2 ? ? . 18 3 9

设 cn=2an+1-an,{cn}是等比数列,公比为 q,|q|<1,c1=2a2-a1=2 ? 由
a1 1 1 2 1 2 1 ? 解得q ? .于是cn ? .( )n?1 ? .( )n ,即 1? q 3 3 9 3 3 3
2 1 n .( ) . 3 3 1 2 1 3

2an ?1 ? an ?



由①,②解得 an ? 2[( )n ? ( )n ](n ? ??). (2)计算
lim (a1+a2+?+an). n??

答案: lim(a1+a2+…+an)
1 1 1 1 ? ? 1 1 ? 2 lim ?( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n )? 2 3 2 3 2 3 ? ? n?? 1 1 1 1? ? 1 1 ? 2 lim ?( ? 2 ? ? ? n ) ? ? 2 ? ? n ? 2 2 3 3 2 3 ? ? n?? 1 ? 2.(1 ? ) ? 1. 2

5 已知数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn. (1)求证:点 P1(1,
S1 S Sn ),P2(2, 2 ),?Pn(n, )在同一条直线 l1 上; 1 2 n

1. 答案:因为等差数列{an}的公差 d≠0, 所以
Sk ? ka1 ? k (k ? 1)d Sk k ?1 , ? a1 ? d. 2 k 2

Sk S1 k ?1 ? (a1 ? d ) ? a1 1 k 1 ? 2 当 k ? 2(k ? ??)时, ? d (d是常数),即kp1 pk 是常数(k ? 2,3?, n). k ?1 k ?1 2

所以 P2,P3,…,Pn 都在过点 P1(1,a)且斜率为常数

d 的直线 l1 上. 2

(2)过点 Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直线 l1、l2,设 l1 与 l2 的夹角为θ ,求证:tanθ ≤

2 4

答案:直线 l2 的方程为 y-a1=d(x-),直线 l2 的斜率为 d.
d 1 2 ? |d| ? tanθ= ? 2 d 2 2?d 1? d ? 2 |d |?|d | d?

1
2

?

2 ?|d | |d|

2 . 4

当且仅当

2 ?| d |,即 | d |? 2时等号成立. |d|

命题角度 3

等比数列
n?2 S n (n=1,2,3?).证明: n

1.(典型例题Ⅲ)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,aa+1= (Ⅰ)数列{
Sn }是等比数列; n

(Ⅱ)Sn+1=4an. [考场错解] (Ⅰ)已知 a1=1,an+1= 即
n?2 Sn ,∴a2=3S1=3,∴S2=4 n

a3= ?S2=2?4=8.∴S3=1+3+8=12.

4 2

Sn S1 S S ? 1, 2 ? 2, 3 ? 4 .故{ }是公比为 2 的等比数列. n 1 2 3 Sn ?1 S S =4? n ?1 , 于是 Sn+1=4(n+1)? n ?1 , =4an.又 a2=3.S2=a1+a2=4,因此对于任意正整数 n≥ n ?1 n ?1 n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1,都有 Sn+1=4an. [专家把脉] (Ⅰ)中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明. (Ⅱ)中运用前推一项必 须使 n≥2. [ 对 症 下 药 ] ( Ⅰ ) ∵ an+1=Sn+1-Sn,an+1=
n?2 Sn, ∴ (n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 整 理 得 nSn+1=2(n+1)=Sn, 所 以 n

Sn ?1 Sn Sn =2 故{ }是以 2 为公比的等比数列. n ?1 n n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

Sn ?1 S S =4? n ?1 , (n2).于是 Sn+1=4(n+1)? n ?1 , =4an(n≥2).又 a2=3S1=3, n ?1 n ?1 n ?1

故 S1=a1+a2=4.因此

对于任意整数 n≥1,都有 Sn+1=4an. 2.(典型例题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N ). (Ⅰ) 求 a1,a2; (Ⅱ)求证数列{an}是等比数列. [考场错解] (Ⅰ)S1= (a1-1),得 a1=- ,S2= (a2-1),即 a1+a2= (a2-1),得 a2= . (Ⅱ)an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),得 [专家把脉]
1 3 1 3 1 1 an 1 ? ? ,所以{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列. 2 2 an ?1 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 4 1 3
*

在利用 an=Sn-Sn-1 公式时,应考虑 n≥2 时才能成立.
1 3 1 3 1 2 1 3 1 3 1 4

[对症下药] (Ⅰ)由 S1= (a1-1), 得 a1= (a1-1),∴a1=- .又 S2= (a2-1),即 a1+a2= (a2-1),得 a2= . (Ⅱ)当 n>1 时,an=SnSn-1= (an-1)- (an-1-1),得
1 3 1 3 1 1 1 an =- ,所以{an}是首项为- ,公比为- 的等比数 2 2 2 an?1

列. 3.(典型例题)等比数列的四个数之和为 16,中间两个数之和为 5,则该数列的公比 q 的取值为 ( )

A. B.

1 或4 4 1 5 41 ? 33 或 4 8

C. 4 或1 4

33 ? 5 41 8 5 41 ? 33 33 ? 5 41 或 8 8
?a 4 ? 16?(1), 1 1 a a 3 设这四个数为 3 , ,aq,aq .由题意得 ? a 由①得 a= ? ,代入②得 q= ? 或 ? 2 2 ? aq ? 5?(2), q q ? ?q
2

D. 4 或 或

[考场错解]
1 4

q = ? 2.q = 或 q =4,故所求的 公比为 或 4.故应选 A. [专家把脉] 上述解答设等比数列的公比为 q 是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而 题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象. [对症下药]设这四个数为 a,aq,aq ,aq ,则 ? ?
2 3 2

2

2

1 4

?a ? qa ? aq 2 ? aq3 ? 16, 1 5 41 ? 33 33 ? 5 41 或. 解之得q ? 4或 或 2 4 8 8 ?aq ? aq ? 5, ?

因此,应选 D.
?1 ? an 1 4.(典型例题)设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an+1= ? 2 ? 4 ?a ? 1 ? n 4 ? n为偶数 1 , 记bn ? a2n ?1 ? , n ? 1,2,3,? 4 n为奇数

(Ⅰ)求 a2,a3; (Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求
lim (b1+b2+b3+?+bn). n??
1 4 1 4

[考场错解] (Ⅰ)a2=a1+ =a+ ,a3= a2= a ;
a 1 2n ?1? 1 bn ?1 4 ? a2n ? 1 . (Ⅱ)bn+1=a2n+1- . ? 1 a2n ?2 4 4 bn a2n ?1 ? 4
lim lim (Ⅲ)求 (b1+b2+b3+?+bn)= n?? n??
b1 (1 ?
1 ) a? 4 ? 4 (a ? 1 ) ? 4 a ? 1 . 4 n = b1 ? 1 1 1 3 4 3 3 1? 1? 1? 4 4 4

1 2

1 2

1 8

1

[专家把脉]在求证 bn 是等比数列是时, 不能得出
an? 2 1 ? . an 4
1 4 1 4 1 2

a2 n a 1 式子中,an 中 n 为偶数时, n ?1 ? a2 n ? 2 an 2

是连续两项,并

[对症下药] (Ⅰ)a2=a1+ =a+ ,a3= a2= a+ ; (Ⅱ) ∵ a4=a3+
1 4

1 2

1 8

=

1 2

a+

3 8

,





a5=

1 2

a4=

1 4

a+

3 16

,





b1=a1- =a- ,b2=a3- = (a- ),b3=a5- = (a- ),猜想:{bn}是公比为 的等比数列. 证明如下:因为 bn+1=a2n+1- = a2n- = (a2n-1- )= bn,(n∈N )所以{bn}是首项为 a- ,公比为 的等比 数列.
lim lim (Ⅲ)求 (b1+b2+b3+?+bn)= n?? n??

1 4

1 4

1 4

1 2

1 4

1 4

1 4

1 4

1 2

1 4

1 2

1 4

1 2

1 4

1 2

*

1 4

1 2

b1 (1 ?

) 2 n ? b1 ? 2( a ? 1 ). 1 1 4 1? 1? 2 2

1

专家会诊 1.证明等比数列时应运用定义证
an?1 a 为非 0 常数,而不能 n (此时 n≥2). an an?1
2

2.等比数列中 q 可以取负值.不能设公比为 q . 3.会运用等比数列性质,“若 m+n=p+k,则 am?an=ap?ak”. 考场思维训练 1 试在无穷等比数列 , , 的数列),使它所有项的和为
1 2 1 4

1 ,?中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列 8
1 4

,则此子数列的通项公式为_______. 答案: an= ( )n ; 分析:略。 2 已知等比数列{an}的首项为 8,Sn 是其前 n 项的和,某同学经计算得 S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发 现了其中一个数算错了,则该数为( ) A.S1 B. S2 C.S3 D.S4 答案: C 分析:略。 3 已知数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠-1),用 S n ? m 表示这个数列的第 n 项到第 m 项共 m-n+1 项的 和.(Ⅰ)计算 S1?3 , S4?6 , S7?9 ,并证明它们仍成等比数列; 答案: S1→3=a1(1+q+q ),S4→6=a1q3(1+q+q ), 6 S7→9=a1q (1+q+q ),因为
2 2 2

1 8

S7?9 S4?6 ? ? q3 , 所以S1?3S4?6S7?9成等比数列. S4?6 S1?3

(Ⅱ)受上面(Ⅰ)的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明. 答案:一般地

Sn ?n ? m S p ? p ? m Sr ?r ? m (2 P ? r ? n且mnpr均为整数)也成等比数列, Sn ?n ? m ? a1 q n ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? q m ), S p ? p ? m ? a1q p ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m Sr ?r ? m ? a1q r ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m ), S p? p ? m Sr ?r ? m ? ? q p ? n (2 p ? r ? n),所以Sn ?n ? m S p ? p ? m Sr ? r ? m成等比数列. S p? p ? m Sn?n ? m
1 2
n+1 * *

4 已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+( ) (n∈N ),数列{bn}对任何 n∈N 都有 bn=an+1(1)求证{bn}为等比数列; 答案: bn+1=an+2 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? ( 1 )n?2 ? 1 ? 1 an ? ( 1 )n?1? ? 1 (an?1 ? 1 an ) ? 1 bn ? ?
2 3 2 2 ?3 2 ? 3 2 3

5 6

1 3

1 an. 2

若 bn=0,则 an+1= an ? an ? an ? ( )n?1

1 2

1 2

1 3

1 2

1 ? an ? 3 ? ( )n 2

? a1 ?

3 b 1 , 不满足条件故 n?1 ? ,即{bn}为等比数列 2 bn 3
1 2 1 3 1 2 1 2 1 9

b1=a2- a1 ? a1 ? ( )2 ? a1 ?
1 ? bn ? ( ) n ?1 3

(2)求{bn}的通项公式; (3)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 答案: an+1 ? 1 an ? bn ? ( 1 )n ?1
2 3

lim S n x??

.

又 an+1= an ? ( )n ?1
1 1 1 1 ? an ? ( )n ?1 ? an ? ( )n ?1 3 2 2 3 1 1 ? an ? 3.( )n ? 2.( )n 2 3

1 3

1 2

SN=3 ? ? ? ? ? ? ( )n ? ? ? ? ? ? ? ? ( )n ? ?2 4 8 2 ? 2 ? 3 9 27 3 ? ? ? ? ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1? 1 ? 1? 1 ? 1 ? ( )n ? 1 ? ( )n ? 2? 2 ? 3? 3 ? ? ? = 3. ? 2. 1 1 1? 1? 2 3

= ( )n ? 3.( )n ? 2 ? lim Sn=2 x→∞ 5 已知数列{an}的首项为 a1=2,前 n 项和为 Sn,且对任意的正整数 n,an 都是 3Sn-4 与 2- Sn-1 的等差中项 (n≥2).(1)求证:数列{an}是 等比数列,并求通项 an; 答案:当 n≥2 时,2an=3Sn-4+2 ? Sn?1,即2(Sn ? Sn ?1) ? 3Sn ? 4 ? 2 ? Sn ?1得到Sn ? Sn ?1 ? 2, 又 a1 ? 2, 则有a2 ? 1, 而
1 2

1 3

1 2

5 2

5 2

5 2

1 2

an?1 Sn?1 ? Sn 1 a2 1 1 1 ? ? , ? , 所以数列?an ?是公比为 的等比数列, 得an ? n?2. an Sn ? Sn?1 2 a1 2 2 a

(2)证明 (log2Sn+log2Sn+2)<log2Sn+1; 答案:由 an ?
Sn Sn ? 2 ? (4 ? ( Sn ?1) 2 ? (4 ?

1 2n ? 2
1

, 得Sn ? 4 ?
1 2
n

1 2n ? 2

,
1 1 2
2 n ? 2.

2

n?2

)(4 ?

) ? 16 ? 5( 2 1 2n ? 2 )?

n?2

)?(

)

1 2n ? 2

)2 ? 16 ? 4(

1 22n ? 2.

1 ? Sn Sn ? 2 ? (Sn ?1)2 (log2 Sn ? log 2 Sn ? 2 ) ? log 2 Sn ?1. ] 2

(3)若 bn=

4 4 2 -1,cn=log2( ) ,Tn、Rn 分别为{bn}和{cn}的前 n 项和.问:是否存在正整数 n,使得 Tn>Rn,若存 an an

在,请求出所有 n 的值,若不存在请说明理由. 答案: bn ? 2n ? 1, cn ? 2n,?Tn ? 2n?1 ? n ? 2, Rn ? n2 ? n, 当 n=1、2、3 时,Tn<Rn.当 n=4、5 时 TN>Rn.
D 2 n?1 n D 2 当n ? 6时,2n?1 ? (1 ? 1)n?1 ? Cn?1 ? C1?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? Cn?1 ? 1 ? (Cn?1 ? C1?1 ? Cn?1) ? n2 ? 3n ? 4 ? n2 ? 2n ? 2. n n

即 2n?1 ? n ? 2 ? n2 ? n. Tn ? Rn . 命题角度 4

? n ? 4, n ? ?

等差与等比数列的综合
1 2
n-1

1.(典型例题)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a[2-( ) ]-b[2-(n+1)( ) ](n=1,2,?),其中 a,b 是非零 常数,则存在数列{xn}、{yn}使得( ) A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 B.an=xn+yn,其中{xn}和{yn}都为等差数列 C.an=xn?yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 D.an=xn?yn,其中{xn}和{yn}都为等比数列 [考场错解]∵a[2-( ) ]=xn, b[2-(n-1)( ) ]=yn,又∵xn,yn 成等比数列,故选 D. [专家把脉]应从数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式入手,而不能从形式上主观判断. [ 对 症 下 药 ] C. an=Sn-Sn-1=a[2+( ) ]-b[2-(n+1)?( ) ]-a[2+( ) ]+b[2-n( ) ]=(bn-b-a)?( )
1 2
n-1

1 2

n-1

1 2

n-1

1 2

n-1

a1=S1=3a
n-1

1 2

n+1

1 2

n-2

1 2

n-2

1 2

∵{( ) }为等

1 2

n-1

比数列,{bn-a-b}为等差数列. 2.(典型例题)已知数列{an}是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,a1,2a7,3a4 成 等差数列. (Ⅰ) 证明 12S3,S6,S12-S6 成等比数列; (Ⅱ)求和 Tn=a1+2a4+3a7+?+na3n-2. [考场错解] (Ⅰ)由 a1,2a7,3a4 成等差数列.得 4a7=a1+3a4,4aq =a+3aq .从而可求 q =- ,或 q =1.当 q =- 时,
3 6 3 3

1 4

3

1 4

1 1 1 S6 S ?S S S ?S 6 3 6 = , 12 6 =q = .故 12S3,S6,S12-S6 成等比数列.当 q =1 时, 6 = , 12 6 =q =1. 16 12S3 16 S6 12S3 6 S6

故 12S3,S6,S12-S6 不成等比数列. [专家把脉]本题条件中已规定 q≠1.故应将 q=1 时舍去. 6 3 3 3 [对症下药](Ⅰ)证明:由 a1,2a7,3a4 成等差数列.得 4a7=a1+3a4,即 4aq =a+3aq .变形得(4q +1)(q -1)=0, 所以 q =- 或 q =1(舍去)由
a1 (1 ? q 6 ) 1? q a1 (1 ? q12 ) 1? q
3

1 4

3

1? q 1 S ? S6 S 1 S6 S S ?S 6 6 ? ? , 12 ? 1 ? 1+q -1=q = = = 12 ? 1 ? , 得 6 = 12 6 . 所 以 3 12 16 S6 16 12S3 S6 12S3 S6 12a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q 6 ) 1? q 1? q
3

12S3,S6,S12-S6 成等比数列. ( Ⅱ )





:Tn=a1+2a4+3a7+?+na3a-2=a+2aq +3aq +?+naq

3

6

3(n-2)

,



Tn=a+2?(- )a+3?(- ) a+?+n?(- ) a.
1 4
3

1 4

1 4

2

1 4

n-1


1 4
3

①?(- ) a 得:- Tn=- a+2?(- ) a+3?(- ) a+?+n?(- ) a ① ②
? ? 1 ?n ? a ?1 ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? 1? 1? ?? ? ? 4?

1 4

1 4

1 4

2

1 4

n

② 有 :

5 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n Tn=a+(- )a+(- ) a+(- ) a+?(- ) a-n?(- ) a= 4 4 4 4 4 4 4 5
4 5 1 4 1 n 16 ? 16 4 ? a ? ? ? n ? ?(- ) a. 4 25 ? 25 5 ?

-n?(- ) a

1 4

n

= a-( +n)?(- ) a.所以 Tn=

n

3.(典型例题)如图,△OBC 的三个顶点坐标分别为(0,0)(1,0)(0,2) 、 、 , 设 P1 为线段 BC 的中点,P2 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的中点,对于每一个正 整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐标为(xn,yn) (Ⅰ)求 a1,a2,a3 及 an; (Ⅱ)证明 yn+4=1yn * ,n∈N , 4
*

,an= yn+yn+1+yn+2.

1 2

(Ⅲ)若记 bn=y4n+4-y4n,n∈N ,证明{bn}是等比数列. [考场错解](1)∵y1=y2=y4=1,y3= ,y5= ,可求得 a1=a2=a3=2,由此类推可求得 an=2 (Ⅱ)将 yn+yn+1+yn+2=2 同除以 2,得 yn+4=
1 2 1 2

3 4

y4 yn ?1 ? yn ? 2 , ∴yn+4=1. 4 2

b (Ⅲ)bn+1=y4n+8-y4n+4=- 1 (y4n+4-y4n)=- 1 bn.∴ n ?1 =- 1 .故{bn}是等比数列.
4 4

bn

4

[专家把脉]第(Ⅰ)问题运用不完全归纳法求出 an 的通项.理由不充分,第(Ⅲ)问中
bn ?1 b =- 1 .要考虑 b1 是否为 0.即 n ?1 有意义才更完整. bn bn 4

[对症下药] (Ⅰ)因为 y1=y2=y4=1,y3= yn+3=
yn ? yn ?1 . 2

3 1 ,y5= ,所以 a1=a2=a3=2.又由题意可知 4 2

∴an+1= yn+1+yn+2+yn+3= yn+1+yn+2+
1 2

1 2

1 2

yn ? yn ?1 1 * = yn+yn+1+yn+2=an,∴{an}为常数列.∴an=a1=2,n∈N . 2 2 y yn ?1 ? yn ? 2 y ?y =1,又∵yn+4= n?1 n? 2 ,∴yn+4=1- n . 4 2 2

(Ⅱ)将等式 yn+yn+1+yn+2=2 两边除以 2,得 1 yn+
4

(Ⅲ)∵bn+1=y4n+8-y4n+4= ?1 ? ?
?

y4n?4 ? ? y ? 1 1 bn,又∵b1=y8-y4=- 1 ≠0,∴{bn}是公比为 ? - ?1 ? 4n ? =- (y4n+4-y4n)=4 ? ? 4 ? 4 4 4

- 1 的等比数列.
4

4.(典型例题)在等差数列{an}中,公差 d≠0,a2 是 a1 与 a4 的等比中项.已知数列 a1,a3, ak1 , ak 2 ,?,akn,? 成等比数列,求数列{kn}的通项 kn.
2 [考场错解]∵an=a1+(n-1)d, a2 =a1?a4

∴(a1+d) =a1(a1+3d).∴d=a1,∴an=nd.a1=d.a3=3d.∴ ∴
ak n ?1 ak n ?

2

a3 =3=q.∴ akn ? knd . akn ?1 ? kn ?1d . d1

k n ?1 n-1 n-1 =q=3.∴{kn}是公比为 3 的等比数列.∴kn=1?3 =3 . kn

[专家把脉]错因在把 k1 当作数列{an}的首项.k1=1.而实际上 k1=9.
2 [对症下药]依题设得 an=a1+(n-1)d, a2 =a1a4,∴(a1+d) =a1(a1+3d),整理得 d =a1d, ∵d≠0,∴d=a1,得
2 2

an=nd,所以,由已知得 d,3d,k1d,k2d,?kndn?是等比数列.由 d≠0,所以数列 1,3,k1,k2,?kn,? 也是等比 数 列 , 首 项 为 1, 公 比 为 q=
n-1 n+1

3 =3, 由 此 得 k1=9. 等 比 数 列 {kn} 的 首 项 k1=9, 公 比 q=3, 所 以 1
n+1

kn=9?q =3 (n=1,2,3,?),即得到数列{kn}的通项 kn=3 . 专家会诊 1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律. 2.等比数列中应注意考虑公比等于 1 的特殊情况,等比数列中的公差为 0 的特殊情况在解题时往往被 忽视. 3 在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处. 考场思维训练 1 已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn, 则满足不等式|Sn-n-6|< 整数 n 是 ( ) A.5 B.6 答案: C 设
1 的最小 125

C.7

D.8

1 1 1 ? ? 3(an ?1 ? ? ) ? ?(an ? ? ),则? ? ?1,? 3(an ?1 ? 1) ? ?(an ? 1)1),? ?an ? 1?是以8为首项,? 为公比的等比数列,? an ? 8(? )n ?1 ? 1, Sn ? 6?1 ? (? )n ? ? 3 3 3 ? ? 可化为3n ? 750, 最小整数n是7.

2 已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b;等比数列{bn}的首项为 b,公比为 a,其中 a,b∈N ,且 a1<b1<a2 <b2<a3. (Ⅰ)求 a 的值;
? a ? a ? b ? ab ? a ? 2b, a, b ? ? ? , ? ?a ? ? ?? ?a ? ? ?
+

+

答案: ?a ? b ? ab,

?? ?ab ? a ? 2b.

b , b ?1 2b b ?1

1 ? ?a ? 1 ? b ? 1 , ?a ? 1 ? ?? ?? ? a ? 2或a ? 3(a ? 3时不合题意舍去).故a ? 2. ?a ? 4. ?a ? 2 ? 2 . ? b ?1 ?
+

(Ⅱ)若对于任意 n∈N ,总存在 m∈N ,使 am+3=bn,求 b 的值; 答案: am ? 2 ? (m ? 1)b, bn ? b ? 2n?1,由am ? 3 ? bn , 可得5 ? (m ? 1)b ? b. 2n?1, 即 b(2 -m+1)=5,∴b=5. + (Ⅲ)在(Ⅱ)中,记{cn}是所有{an}中满足 am+3=b,m∈N 的项从小到大依次组成的数列,又记 Sn 为{cn} + 的前 n 项和,Sn≥Tn(n∈N ). . n-1 答案:由(2)知 an=5n-3,bn=5 2 ,
n-1

? am ? bn ? 3 ? 5 ? 2n ?1 ? 3, ? Cn ? 5.2n ?1 ? 3, 1 n(5n ? 1). 2 ? S1 ? T1 ? 2, S 2 ? T2 ? 9. 当n ? 3时, ? S n ? 5(2n ? 1) ? 3n, Tn ? 1 2 1 n ? n ? 1] 2 2 1 2 1 ? 5[(1 ? 1) n ? n ? n ? 1] 2 2 1 1 2 3 ? 5[1 ? C1 ? Cn ? Cn ? ?) ? n 2 ? n ? 1] n 2 2 n(n ? 1) 1 2 1 ? 5[1 ? n ? ? n ? n ? 1] ? 0. 2 2 2 ? S n ? Tn .综合以上, 便得Sn ? Tn (n ? ? ? ). S n ? Tn ? 5[2n ?

3 设函数 f(x)=ax +bx+c 的图像是以(2,0)为顶点且过点(1,1)的抛物线;数列{an}是以 d 为公差 的等差数列,且 a1=f(d-1), a3=f(d+1);数列{bn}是以 q(q>0)为公比的等比数列, b1=f( 且 式; 2 答案:解设 f(x)=a(x-2)
1 1 -1),b3=f( +1). 求数列{an}{bn}的通项公 q q

2

∵过点(1,1),∴f(x)=(x-2)

2

a1 ? f (d ? 1) ? (d ? 3) 2 , a3 ? f (d ? 1) ? (d ? 1) 2 a3 ? a1 ? 2d , (d ? 1) 2 ? (d ? 3) 2 ? 2d得d ? 4 又a1 ? (d ? 3)3 ? 1 ? an ? 4n ? 3 1 1 1 b1 ? f ( ? 1) ? ( ? 3) 2 , b3 ? f ( ? 1) q q q 1 ?1 1 b3 3 q ? ( ? 1) 2 : ? q2 ( ) 2 ? q 2 q ? 0, 得q ? , 1 q b1 3 ?3 q 1 3 又b1 ? ( ? 3) 2 ? (3 ? 3 ) 2 ? bn ? (3 ? 3 ) 2 ( ) n ?1 q 3

4 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 和 数 列 {an} 满 足 下 列 条 件 ,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,?),a2 ≠ a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,?)其中 a 为常数,k 为非零常数. + (1)令 bn=aa+1-an(n∈N ),证明:数列{bn}是等比数列; 答案:证明:由 b1 ? a2 ? a1 ? 0, 可得b2 ? a3 ? a2 ? f (a2 ) ? f (a1) ? k (a2 ? a1) ? 0.
由数学归纳法可证bn ? an ?1 ? an ? 0(n ? ??) 由题设条件,当n ? 2时 bn an ?1 f (an ) ? f (an ?1) k (an ? an ?1) ? ? ? ?k bn ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 因此, 数列{bn }是一个公比为k的等比数列

(2)求数列{an}的通项公式; n-1 n-1 答案:解;由(1)知,bn=k b1=k (a2-a1)(n∈N) 当 k≠1 时,b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)
1 ? k n?1 (n ? 2) 1? k

当 k=1 时,b1+b2+?+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n≥2). 而 b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ ?+(an-an-1)=an-a1 (n≥2) 所以,当 k≠1 时 an-a1=(a2-a1)
1 ? k n?1 (n ? 2) . 1? k

上式对 n=1 也成立.所以,数列{an}的通项公式为
an ? a ? ( f (a) ? a) 1 ? k n ?1 (n ? ??)当k ? 1时an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1) (n ? 2). 1? k

上式对 n=1 也成立,所以,数列{an}的通项公式为 an=a+(n+1)(f(a)-a) (n∈N?) (3)当|k|<1 时,求
lim an . n??
? ? ? 1 ? k n ?1 ? f (a) ? a ? ? a? 1? k ? 1? k ?

答案:解:当|k|<1 时

liman=lim ?a ? ( f (a) ? a)

n→∞n→∞ * 5 设实数 a≠0,数列{an}是首项为 a,公比为-a 的等比数列,记 bn=anlg|an|(n∈N ),Sn=b1+b2+?+bn,求 证:当 a≠-1 时,对任意自然数 n 都有 Sn= 答案:解: an ? a1qn?1 ? a(?a)n?1 ? (?1)n?1an .
? bn ? an lg | an |? (?1)n?1an lg | (?1)n?1an |? (?1)n?1na2 lg | a | ? Sn ? a lg | a | ?2a2 lg | a | ?3a2 lg | a | ?? ? (?1)n?2 (n ? 1)an?1 lg | a | ?(?1)n?1nan lg | a |
? [a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? (?1) n ? 2 (n ? 1)a n ?1 ? (?1)n ?1 na n ] lg | a | 记S ? a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? (?1) n ? 2 (n ? 1)a n ?1 ? (?1) n ?1 na n

a lg | a | (1 ? a)
2

[1+(-1) (1+n+na)a ]

n+1

n



aS=a a2 ? 2a2 ? ? ? (?1)n?3 (n ? 2)an?1 ? (?1)n?2 (n ? 1)an ? (?1)n?1nan?1 ② ①+②得 (1 ? a)S ? a ? a2 ? a3 ? ? ? (?1)n?2 an?1 ? (?1)n?2 an ? (?1)n?1nan?1 ∵a≠-1, ∴(1+a)S=
?S ?
a ? ( ?1) n ?1 a n ?1 ? ( ?1) n ?1 n.a n ?1 1 ? (1 ? a )
.



a ? (?1) n ?1 a n ?1 ? (1 ? a) ? (?1) n ?1 n.a n ?1 (1 ? a) 2 (?1)n ?1 a n ?1 (1 ? a) 2

? S ? a ? (1 ? n ? na) ? ?

a[1 ? (1 ? n ? na)(?1)n ?1 a n ]

(1 ? a) 2 a lg | a | ? Sn ? [1 ? (?1)n ?1(1 ? n ? na)a n ] (1 ? a) 2

命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 1. (典型例题) 已知定义在 R 上的函数 f(x)和数列{an}满足下列条件: 1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,?),a2 a ≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,?),其中 a 为常数,k 为非零常数. * (Ⅰ)令 bn=aa+1-an(n∈N ),证明数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)当|k|<1 时,求
lim an . n??

[考场错解](Ⅰ)证明:由 b1=a2-a1 ≠0,可得:b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.由数学归纳法可证

bn=an+1-an≠0(n∈N ).由题设条件,当 n≥2 时 故数列{bn}是公比为 k 的等比数列. ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知

*

bn a ?a f (an ) ? f (an?1) k (an ? an?1) =k ? n?1 n ? ? bn?1 an ? an?1 an ? an?1 an ? an?1

bn=k (a2-a1)(n ∈ N )b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)

n-1

*

1 ? k n ?1 1? k

.

(n ≥ 2)



b1+b2+?+bn-1=a2-a1+a3-a2+?+an-an-1=an-a1(n≥2) ∴an-a1=(a2-a1)
1 ? k n ?1 (n≥2) 1? k 1 ? k n ?1 * * (n∈N )∴an=a+(n-1)[f(a)-a](n∈N ) 1? k

故 an=a[f(a)-a] (Ⅲ)当|k|<1 时
lim an n??

=

lim n??

? f (a) ? a 1 ? k n ?1 ? ?a ? ( f [a] ? a) ? =a+ 1? k 1? k ? ? ? ?

2.(典型例题)如图,直线 l1:y=kx+1-k(k≠0,k≠ ? )与 l2 相交于点 P.直线 l1 与 x 轴交于点 P1,过点 P1 作 x 轴的垂线交于直线 l2 于点 Q1,过点 Q1 作 y 轴的垂线交 直线 l1 于点 P2,过点 P2 作 x 轴的垂线交直线 l2 于点 Q2,?这样一直作下去,可得到 一系列点 P1,Q1,P2,Q2,?点 Pn(n=1,2,?)的横坐标构成数列{xn}. (Ⅰ)证明 xn+1-1=
1 * (xn-1),(n∈N ); 2k

1 2

(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式; (Ⅲ)比较 2|PPn| 与 4k |PP1| +5 的大小. [ 考 场 错 解 ] 证 明 : 设 点 Pn 的 坐 标 是 ( xn,yn ) , 由 已 知 条 件 得 点 Qn 、 Pn+1 的 坐 标 分 别 是 :
1 1 1 1 1 1? ? 1 1? ? 得 x n ? = kxn+1+1-k.所以 (xn-1) n+1-1).即 xn+1-1= =k(x ? x n , x n ? ?, ? a n?1 , x n ? ? .由 Pn+1 在直线 l1 上, 2 2 2k 2 2 2? ? 2 2? ?
2 2 2

(xn-1),n∈N . (Ⅱ)由 (Ⅰ) 知 ∈N . [专家把脉] (Ⅱ)问中对于 xn+1-1= [对症下药](Ⅰ)同错解中(Ⅰ). (Ⅱ)解法:由题设知 x1=11 1 1 ,x1-1=- ≠0,又由(Ⅰ)知 xn+1-1= (xn-1), 所 k k 2k 1 1 1 n-1 的等比数列.从而 xn-1=- ?( ) ,即 xn=1-2 2k k 2k 1 (xn-1)先应考虑 xn-1 能否为 0,继而可求. 2k
*

*

x n?1 ? 1 1 1 1 1 n , 故{xn-1}是等比数列, 且首项 x1-1=- , 公比为 .从而求得 xn=1-2?( ) ,n ? 2k k 2k 2k xn ?1

以数列{xn-1}是首项为 x1-1,公比为 ?(
1 n * ) ,n∈N . 2k

(Ⅲ)解法:由 ? ?

? y ? kx ? 1 ? k , 2 2 2 1 1 得点 P 的坐标为(1,1).所以 2|PPn| =2(xn-1) +2(kxn+1-k-1) =8? ?y ? 2 x ? 2 , ?

(

1 2n 1 2n-2 1 2 2 2 2 2 2 ) +2(2 ) ,4k |PP1| +5=4k [(1- -1) (0-1) ]+5=4k +9. 2k 2k k 1 2 1 2 1 2 1 2 |<1,所以 2|PPn| 2k

(i)当|k|> ,即 k<- 或 k> 时,4k |PP1| +5>1+9=10.D 而此时 0<| <8?1+2=10,故 2|PPn| <4k |PP1| +5. (ii)当 0<|k|< ,即 k∈(- ,0)∪(0, )时,4k |PP | +5<1+9=10.而此时| >8?1+2=10.故 2|PPn| >4k |PP1| +5. 3.(典型例题)已知函数 f(x)= Sn=b1+b2+?+bn(n∈N ). (Ⅰ)用数学归纳法证明 bn≤
( 3 ? 1) n 2 n?1
* 2 2 2 2 2 2

2

2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2 |>1,所以 2|PPN| 2k

x?3 ( x ? ?1). 设数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足 bn=|an- 3 |, x ?1



(Ⅱ)证明 Sn<

2 3 . 3
5 2 2 ,an+1= (n≥2),∴a2=2,a3= ,a4=2.?∴an ≥ 3 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1

[考场错解](Ⅰ)bn=|an- 3 |,又∵an=1+

1.bn=

2 a n?1 ? 1

?2? 3 ?

2 2 a n?2 ? 1 ?3

? 2 ? 3 =?由叠代法.bn≤

( 3 ? 1) n 2 n?1

.

( 3 ? 1) 2 2 ( 3 ? 1) n (Ⅱ)Sn=b1+b2+?+bn<( 3 -1)+ ??? ? ( 3 ? 1) ? 2 2 n ?1

1? (

3 ?1 n ) 2 3 2 < . 3 3 ?1 1? 2

[专家把脉]运用叠代法时并不能化简成

( 3 ? 1) n 2 n?1

.

[对症下药](Ⅰ)证明:当 x≥0 时,f(x)=1+ 证明不等式 bn≤
( 3 ? 1) n 2 n?1

2 * ≥1.因为 a1=1,所以 an≥1(n∈N ).下面用数学归纳法 x ?1

.

(1)当 n=1 时,b1= 3 -1,不等式成立, (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 bk ≤
( 3 ? 1) a k ? 3 1 ? ak

( 3 ? 1) k 2 k ?1

.那么

bk-1=|ak+1- 3 |=

?

( 3 ? 1) ? ?1 3 ?1 .所以,当 n=k+1 时,不等式也成立.根据(1)和(2) , bk ? 2 2k

可知不等式对任意 n∈N 都成立. ( Ⅱ ) 证 明 : 由 ( Ⅰ ) 知 , bn ≤
1? (

*

( 3 ? 1) n 2 n?1

. 所 以

Sn=b1+b2+ ? +bn ≤

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n ( 3 -1)+ ??? ? ( 3 ? 1) ? 2 2 n ?1

3 ?1 ) 1 2 2 * 2 ? 3 .故对任意 n∈N ,Sn< 3. <( 3 -1) ? 3 3 ?1 3 3 ?1 1? 1? 2 2

[专家会诊] 函数、数列、解析几何三者的综合,展示了知识的交汇性,方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函 数与数列的联系,即数列是一种特殊函数,以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不 等式的综合更显出问题的综合性. 考场思维训练 1 设函数 y=f(x)
2x 2 ? 2
x

= (OP ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 图像上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),若 OP 1

1 2

1 2

(1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个值; 答
(1)因为, ??? ? ?
OP


x1 x2



1 2 2 y ? y2 1 ( ?? ? ? ?? ?),所以P为P P2的中点, 则x1 ? x2 ? 1 y1 ? y2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? ? x2 ? 1, 所以y p ? 1 ? 1 OP1 OP2 2 2 2 2 ? 2 2 ? 2

(2)若 Sn=f(

1 2 3 * )+f( )+f( )+?+f(1),n∈N ,求 Sn; n n n

答案:由(1)知 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? f ( x1) ? f ( x2 ) ? 1 f (1) ? 2 ? 2 而 Sn ? f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( n ? 1) ? f ( n )
n n n n n Sn ? f ( n ?1 n?2 n?3 1 n )? f( )? f( ) ??? f ( ) ? f ( ) n n n n n

两式相加,得 2Sn ? (n ? 1) ?1 ? 2(2 ? 2 ) ? n ? 3 ? 2 2 , 所以 Sn ? n ? 3 ? 2 2 (3)记 Tn 为数列 ? ? 取值范围. 答案:由(2)有 Sn ? 2 ?
n?3 n?4 1 4 1 ? ? 1 , Sn?1 ? 2 ? . ? ? 4? ? ? 2 2 (Sn ? 2 )(Sn?1 ? 2 ) (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4? ?
? ? * ? ? 的前 n 项和,若 Tn<a?(Sn+2+ 2 )对一切 n∈N 都成立,试求 a 的 ? ( S n ? 2 )(S n ?1 ? 2 ) ? ? ? 1

? 1 ? 1 1 Tn ? 4 ? ? ??? ? (n ? 3)(n ? 4) ? ?4?5 5? 6 1 1 ? n ?1 1 1 1 ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ?? n?3 n?4? n?4 ?4 5 5 6 由题意得 : Tn ? a ? ( Sn ? 2 ? 2 ) 因为S n ? 2 ? 2 ? 0, 所以a ? Tn Sn ? 2 ? 2 ? 2n 2 ? (n ? 4)(n ? 5) n ? 20 ? 9 n

设备 g (n ) ? n ?

20 , 易证g (n)在[2 5 ,? ? ?]上是增函数, 在[0,2 5 ]上是减函数, n

而g (4) ? 9, g (5) ? 9, 所以g (n)的最小值为9, 于是

2 1 1 ? , 所以a ? 20 9 n? ?9 9 n

2 已知一次函数 f(x)的图像关于直线 x-y=0 对称的图像为 C,且 f(-1)=0,若点(n+1, 在曲线 C 上,并有 a1=a2=1. (1)求曲线 C 的方程; 答案:设 f(x)=kx+b(k≠0),则曲线 C 的方程为 f ?1( x) ? ( x ? b).
? f (?1) ? 0,? ?k ? b ? 0 (1) an ? 1 a 又点(n ? 1, (n ? ??),在曲线C上,? (2, 2 ) an a1 即(2,1)在曲线上. 1 ? 1 ? ( 2 ? b) k
1 k

a n?1 * (n∈N ) an

(2)

由①②得:k=b=1

∴C:x-y-1=0.

(2)求数列{an}的通项公式;
点(n ? 1), ? ? an ?1 (n ? ??)在曲线C上, an

答案:

an ?1 ? n, 而an ? 1. an a2 a3 a ? ? n ? 1 ? 2 ? 3?(n ? 1), a1 a2 an ?1

? an ? (n ? 1)!

(3)设 Sn= 答案:

an a1 a 2 ? ??? , 若 Sn>M 恒成立,求实数 M 的取值范围. 2! 3! (n ? 1)!

an (n ? 1)! 1 1 1 ? ? ? ? . (n ? 1)! (n ? 1)! n(n ? 1) n n ? 1

? Sn ? 1 ?

1 1 关于n单调递增,? Sn ? S1 ? . n ?1 2 1 故 ? Sn ? M恒成立, 则M ? (?? , ) 2
k +

3 过 P(1,0)做曲线 C:y=y (x∈)(0,∞),k∈N k>1)的切线,切点为 Q1,设 Q1 在 x 轴上的投影为 P1, 又过 P1 做曲线 C 的切线, 切点为 Q2, Q2 在 x 轴上的投影为 P2, 设 ?依次下去得到一系列点 Q1, 2, 3, Q Q ? Qn 的横坐标为 an.求证: (Ⅰ)数列{an}是等比数列;
k k 答案: y′=kx ,若切点是 Qn(an,a k ),则切线方程为y ? an ? kan ?1( x ? an ). n
k-1

当 n=1 时,切线过点 P(1,0)
k k 即0 ? a1 ? ka1 ? a (1 ? a1 ).得a1 ?

k . k ?1 an k ? . an ?1 k ? 1

k k 当n ? 1时, 切线过点Pn ?1 (an ?1,0)即0 ? an ? kan ?1 (an ?1 ? an ).得

? 数列{an }是首项为 ? an ? ( k n ) . k ?1

k k , 公比为 的等比数列. k ?1 k ?1

(Ⅱ)an≥1+ 答案: an ? (

n k ?1

k n 1 n 1 1 2 1 n 1 n 0 2 n 0 ) ? (1 ? ) ? Cn ? C1 ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ? Cn ? C1 ? 1? . n n k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

(Ⅲ)

?a
i ?1

n

i
i

? k 2 ? k (注:

?)
n

(Ⅲ) 答
Sn ?

?a
i ?a

n

i
i

? k 2 ? k (注:

?a ? a ? a
i 1 i ?1

2

? ? ? an ).







1 2 n ?1 n k ?1 1 1 1 n ?1 n k ?1 1 1 1 1 n ? ? ?? ? ,则 Sn ? ? ? ? ?? ? .两式相减(1 ? ) Sn ? ? ? ? ?? ? a1 a2 an an k a1 a2 a3 an an ? 1 k a1 a2 a3 an an?1

?

1 1 1 1 ? ? ??? a1 a2 a3 an k ?1 k ?1 n [1 ? ( ) )] k ?1 n k k ? (k ? 1)[1 ? ( ) ]. k ?1 k 1? k 1 Sn ? k ? 1. ? k

1 ? Sn ? k

? k ? ? ? , k ? 1,?

i ?1ai i
2

?a

n

i

? k 2 ? k.

4 在 xOy 平面上有一系列点 P(x1,y1) 2(x2,y2),?Pn(xn,yn),?对每个正整数 n,点 Pn 位于函数 y=x (x ,P 1 ≥0)的图象上。以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴都相切,且圆 Pn 与圆 Pn+1 又彼此相外切。若 x1=1,且

xn+1<xn(n=1,2,3?). 求证:数列|
1 |是等差数列; xn

设圆 Pn 的面积为 Sn,Tn= S1 + S 2 + S3 +? S n ,求证 Tn<

3 π . 2

2 答案:记圆 Pn 的半径为 rn,由条件知,yn= xn , yn ? rn ,| Pn Pn?1 |? rn ? rn?1.




1 1 ? ? 2. xn?1 xn

2 2 ( xn ? xn?1)2 ? ( yn ? yn?1)2 ? rn ? rn?1 ? yn ? yn?1, ( xn ? xn?1)2 ? 4 yn yn?1 ? 4 xn ? xn?1,因为xn?1 ? xn , 所以xn ? xn?1 ? 2 xn ? xn?1,

所以数列{

1 }是等差数列,公差为2. xn

(2)由(1)知,

1 1 2 4 2 2 2 2 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, xn ? , Sn ? ?rn ? ?xn所以Tn ? ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn xn 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ],因为n ? 2时, ? ? ( ? ),所以1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? 2 3 2 (2n ? 1)2 (2n ? 1)2 (2n ? 3)(2n ? 1) 2 2n ? 3 2n ? 1 3 5 (2n ? 1)2 1 1 1 1 1 3 3 ??? ( ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? , 所以Tn ? ?. 2 2n ? 3 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2 ? ? [1 ? 32 ? 52 ???

1

1

5.f(x)=ln(2-x)+ax 在开区间(0,1)内是增函数 求实数 a 的取值范围 答案: f′(x)=1 ? a, 2? x

由于 f′(x)在(0,1)内是增函数
1 ? a ? 0在x ? (0,1)时成立 2? x 1 1 1 ?a ? ? 恒成立, 而x ? (0,1)时,? ? ( ,1) x?2 x?2 2 ? a ? 1即为所求 ? f ( x) ? 0,即 ?

若数列|an|满足 a1 ? (0,1),an+1=ln(2-an)+an(n ? N ),证明 0<an<an+1<1 答案:由题意知当事人 n=1 时,a1∈(0,1),假设当 n=k 当时,有 ak∈(0,1) 则当 n=k+1 时有 ak+1=ln(2-ak)+ak>0 且 ak+1=ln(2-ak)+ak<1 (由(1)知 f(x)=ln(2-x)+x 在(0,1)上是增函数) ∴n=k+1 时命题成立,故 0<an<1,n∈N ? 又∵an+1-an=ln(2-an)>0, ∴0<an<an+1<1 + 若数列|b1|满足 b1 ? (0,1),bn+1=2 ln(2-bn)+bn(n ? N ),问数列|bn|是否单调? 答案:数列{bn}不具有单调性 令 b1 ? , 则b2 ? 2 ln(2 ? b1) ? b1 ? 2 ln(2 ? ) ?
? b2 ? b1, 又 ?1b2 ? 2,0 ? 2 ? b21 ? ln(2 ? b2 ) ? 0 ? b3 ? 2 ln(2 ? b2 ) ? b2 ? b2 ,由此表明数列{bn }没有单调性.
1 2 1 2 1 9 1 ? ln ? ? (1,2) 2 4 2

+

6. 在直角坐标平面上有一点列 P1 1,y1) 2(x2,y2)?Pn(xn,yn)?对一切正整数 n, Pn 位于函数 y=2x+ (x ,P 点 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以- 为首项,-1 为公差的等数列|xn|. 求点 Pn 的坐标;
5 2

13 4

答案:

5 3 xn ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2

13 5 ? ?3n ? 4 4 3 5 ? Pn (?n ? ,?3n ? ) 2 4 ? yn ? 3. xn ?

(2)设抛物线列 c1 ,c2 ,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn, 且过点 Dn(0,n +1),记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 kn 求: 答案:∵cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn. ∴Cn 设的方程为:
y ? a( x ? 2n ? 3 2 12n ? 5 ) ? , 2 4
2

1 1 1 ? ? ?? . k1k 2 k1k 2 kn ?1k n

把Dn (0, n 2 ? 1)代入上式, 得a ? 1,? cn的方程为 : y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1.

kn ? y? |x ?0 ? 2n ? 3,?
? ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) xn?1dn (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? [ ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] k1k2 k2k3 kn ?1kn 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
+

(3)设 S={x|x=2xnn ? N ,n≥1},T={y|y=4yn,n≥1},等差数列{an}的任一项 an ? S ? T,其中 a1 是 S ? T 中最大数,-265<a10<-125,求{an}的通项公式。 答案: S={x}x=-(2n+3),n∈N,n≥1), T={y}y=-(12n+5),n∈N,n≥1}={y}y=-2(6n+1)-3,n∈N,n≥1} ∴S∩T=T,T 中最大数 a1=-17. 设{an}公差为 d,则 a10=-17+9d∈(-256,-125), 由此得 ?
248 ? d ? ?12, 9

又∵a n∈T∴d=-12m(m∈N ? ) 命题角度 6 数列的应用 2 1.(典型例题)某企业 20 典型例题)若 an=n +An,且数列{an}为递增数列,则实数的取值范围是 ____________. [考场错解] ∵(n,an)(n ? N )是函数 f(x)=x +λ x 图象上的点,且数列{an}为递增数列,只需+ 2

? ≤ 2

1,即λ ≥-2,∴λ 的取值范围是[-2,+∞]. [专家把脉] 忽视了数列的离散型特征.数列{an}为递增数列,只要求满足 a1<a2<?<an<? [对症下药]
3 2

∵数列{an}是递增数列,且 an=n +λ n,其对称轴 x=-

2

A 既可以不超过直线 x=1,也可以 2

在 1<x< 之间,故-

A 3 < ,即λ >-3. ∴λ 的取值范围是(-3,+∞).(答案不唯一,λ >-3 的所有实数均 2 2

可). 4.(典型例题)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生 + 能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N ,且 x1>0.不考虑其他因 2 素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 Xn 成正比,死亡量与 x n 成正比,这些比例系数依次为正常 数 a,b,C, (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) + (Ⅲ)设 a=2,c=1,为保证对任意 x1∈(0,2),都有 xn>0,n∈N ,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?

证明你的结论. 2 2 [考场错解] (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx n (axn,bxn,cx n 分别为繁殖量、捕捞量,死亡量) + (Ⅱ)xn=x1(n∈N ).由(Ⅰ)式得 xn(a-b-cxn)=0. ∴x1=
a?b c

(Ⅲ)∵x1 ∈(0,2).a=2.c=1.∴0<2-b<2 0<b<2. 故 b 最大值为 2. [专家把脉] (Ⅲ)问中使用了第(Ⅱ)问的结论,而第(Ⅲ)中并不一定每年年初鱼群的总量不变. 2 [对症下药] (1)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为 cx n,因 2 * * 此 xx+1- xn=axn-bxn-cx n,n∈N .(*) 即 xn+1=xn(a-b+1- cxn),n∈N .(答案:) * (Ⅱ)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1,n∈N ,从而由(*)式得 xn(a-b-cxn)恒等于 0,n ∈ N ,所以 a-b-cx1=0.即 x1=
*

a ?b a ?b . 因为 x1>0,所以 a>b.猜测:当且仅当 a>b,且 x1= 时,每年年初 c c

鱼群的总量保持不变. * * * (Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0, n∈N , xn+1=xn(3-b-xn), 由 n∈N , 0<xn<3-b, 知 n∈N , 特别地, 0<x1<3 -b. 有 即 0<b<3-x1.而 x1∈(0,2),所以 b∈(0,1],由此猜测 b 的最大允许值是 1.下证,当 x1∈(0,2),b=1 时, * 都有 xn∈(0,2),n∈N ①当 n=1 时,结论显然成 立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0,2),则当 n =k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0.又因为 xk+1=xk(2* xk)=-(xk-1)2+l≤1<2,所以 xk+1∈(0,2),故当 n=k+1 时结论也成立.由①、②可知,对于任意的 n∈N , * 都有 xn∈(0,2).综上所述,为保证对任意 x1∈(0,2),都有 xn>0,n∈N ,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1. 5.(典型例题)假设某市:2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在 今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面 积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 2 [考场错解] (1){an}是等差数列 an 是中低价房面积.a1=250,d=50.∴Sn=25n +225n 由 25n2+ 225n ≥4750. 即 n≥10. n 2 (2)设几年后新建住房面积 S 为:400(1+8%) . 85%<25n +225n. [专家把脉] (2)问中应是第几年的中低价房的面积而不是累计面积. [对症下药] (1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中 a1=250,d=50,则 Sn= 250n+
n(n ? 1) 2 ?50=25n +225n, 2

令 25n +225n≥4750,即 n +9n-190≥0,而 n 是正整数,∴n≥10.到

2

2

2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. 设 新 建 住 房 面 积 形 成 数 列 {bn} , 由 题 意 可 知 {bn} 是 等 比 数 列 , 其 中 b1=400 , q=1 . 08 , 则 n-1 n-1 bn=400?(1.08) ?0.85.由题意可知 an>0.85bn,有 250+ (n-1)?50>400?(1.08) ?0.85.由计算 器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6.到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积 的比例首次大于 85%. 考场思维训练 1. 将正整数排成下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l 12 13 14 15 16 ?? 其中排在第 i 行第 j 列的数若记为 aji,则数表中的 2005 应记为___________.
69 答案: a45 . 解析:略.

2.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,?,依 次类推,每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块,如果到第九层恰好砖块用完,那么一共用了 _______块砖. 答 案 : 1022 解 析 : 由 题 意 知 第 九 层 为
x9 ? 0快, 则有xn ? 2( xn?1 ? 1),第八层a8 ? 2, a7 ? 6, a6 ? 14, a5 ? 30, a4 ? 62, a3 ? 1 , a22? 2 ,6 1 5 5 ,4 1 a ? ? 一共用了a9 ? a8 ? a7 ? ? ? a1 ? 1 (快) 0 2 2 0

3.

已知一列非零向量 an 满足:
1 2

a1=(x1,y1),an=(xn,yn)= =(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2) (1)证明:{|an|}是等比数列; 答案: ?|?? ? ? a |
n

1 2 ( xn?1 ? yn?1)2 ? ( xn?1 ? yn?1)2 ? 2 2

2 2 xn?1 ? yn?1 ?

2 ?? ?(n ? 2) ? |an ?1| 2

?

??? ?
|an |

?? ? ?
|an ?1 |

?

2 2 2 , 且 ??? ? x1 ? y1 ? 0 |a1 | 2 2 的等比数列; 2

? {| an |}是比公为

(2)求向量 an-1 与 an 的夹角;(n≥2)
1 (2) an ?1.an ? ( xn ?1, yn ?1 ) ? ( xn ?1 ? yn ?1 ? yn ?1 ) 2 1 2 1 2 ( xn ?1 ? yn ?1 ) ? | an ?1 |2 2 2 答案: 1 | an ?1 |2 1 | an ?1 | 2 ? cos ? an , an ?1 ?? 2 ? ? | an | ? | an ?1 | 2 | an | 2 ?? an , an ?1 ?

?
4

(3)设 a1=(1,2),把 a1,a2,?an,?中所有与 a1 共线的向量按原来的顺序排成一列,记为 b1,b2,? bn。?令 OBn=b1+b2+?+bn,O 为坐标原点,求点列{Bn}的极限点 B 的坐标.(注:若点坐标为(tn,sn),且 limtn=t,limsn=s,则称点 B(t,s)为点列的极限点.) 答案:由(2)知相邻两向量的来角为 , 而4.
4

?

?
4

??

∴每相隔 4 个向量的两个向量必共线,且方向相反, ∴与向量 a1 共线的向量为:{a1,a5,a9,a13,?}={b1,b2,b3,b4,?} ∴bn= a4n ?3 ? a1.(? )n ?1 ? (? )n ?1( x1, y1) ? (? )n ?1(1,2)
? 设 OB =(tn,sn)则
n

1 4

1 4

1 4

1 1 ? (? )n 1 1 2 1 n ?1 4 ? 4 [1 ? (? 1 ) n ] tn ? [1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? (? ) ] ? 1 4 4 4 5 4 1 ? (? ) 4 4 1 8 n ? lim t n ?? ? ,lim s ? 2 ? ? . n ?? 1 5 1 ? (? ) 5 4

∴点列{Bn}的极限点 B 的坐标为( , ). 4.在一次人才招聘会上,有 A,B 两家公司分别开出他们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元:B 公司允诺第一年月工资为 2000 元,以后每年月工资在

4 5

8 5

上一年的月工资基础上递增 5%。设某人年初被 A,B 两家公司同时录取,试问: (1) 若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? 答案:此人在 A、B 公司第 n 年的工资分别为: an=1 500+230?(n-1)(n∈N+). ; n-1 bn=2000(1+5%) (n∈N+) (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素),该 人应该选择哪家公司,为什么? 答案:若该在 A 公司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(a1+a2+?+an)≈304 200 元.若该人在 B 公 司连续工作 10 年,则他的工资收入总量为 12(b1+b2+?+bn)≈301 869 元.因为在 A 公司收入的总量高些, 因此该人应该选择 A 公司. (3)在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到 1 元)并说明理由 10 18 (已知数据 1.05 =1.629,log1.05 2.3≈17.1,1.05 =2.407) 答案: 问题等价于求 cn=an-bn=1 270+230n-2000?1. n-1(n∈N+)的最大值, 05 当≥2 时,n-cn-1=230-100?1. n-2 c 05 n-1 n-2 当 cn-cn-1>0,即 230-100?1.05 > 0 时,1.05 <2.3 得 n<19.1 因此,当 2≤n≤19 时,cn-1<Cn;于 是当 n≥20 时,Cn<Cn-1.∴C19-b19≈857 元即在 A 公司工作比在 A 公司工作的月工资收入最多可以多 827 元, 5.某县位于沙漠地带, 人与自然长期进行着顽强的斗争, 2001 年底全县的绿化率已达 30%。 2002 到 从 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化 面积的 4%又被沙化. (1)设全县面积为 1,2001 年底绿化面积为 a1=
3 3 ,经过 n 年绿化总面积为 an+1.求证 an+1= 10 10

答案:证明:由已知可得 an 确定后,an+1 表示如下: an+1=an?(1-4%)+(1-an),16%即 an+1=80%an+16%= an ?
4 5 4 25

(2)至少需要多少年(年取整数,lg=0.3010)的努力,才能使全县的绿化率达到 60%? 答案:解:由 an+1= an ?
1 4 2 5 ? 5 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 可得:an+1- ? (an- )= ( )2 (an ?1 ? ) ? ? ? ( )n (a1 ? ) 5 5 25 5 5 5 5 5 3 5 1 4 2 5 4 3 1 4 ? .即 ? ( )n ?1 5 5 2 5

故有 an+1=- ( )n ? ,若 an+1≥ ,则有- ( )n ?

两边同时取对数可得-lg2≥(n-1)(2lg2-1g5)=(n-1)(31g2-1) 故 n≥
lg 2 +1>4,故使得上式成立的最小 n∈N*为 5,故最少需要经过 5 年的努力,才能使全县的绿 1 ? 3 lg 2

化率达到 60%. 探究开放题预测 预测角度 1 数列的概念 1.定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常数,那么这个数列叫 做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为 ________,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为________. [解题思路] 由等和数列的定义可求得 a2、a3、a4?由此类推可求出 a18,以及 Sn.
?5 ? n, n为偶数 由已知得:a1=2,a2=3,a3=2,a4=3,?易得 a18=3,sn= ? 2 ? ?

[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测5

如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 [原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测5 暂无评价|0人阅读|0次...

【书稿】高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(下)

高中数学总复习经典易错题会诊 与 试题预测 (下) 目 录 考点 1 集合与简易逻辑 经典易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 命题角度 2 集合与不等式 命题...

[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测14

函数的连续性 经典易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 1. (典型例题)已知 a>0,数列{an}满足 a1=a,an+1=a+ 1 ,n=1,2,?. an (Ⅰ)已知数列{an}极限...

高中语文总复习 经典易错题会诊与命题角度预测角度--仿...

高中语文总复习 经典易错题会诊与命题角度预测角度--仿用句式 隐藏>> 考点11 ...(2)陈景润不表现自己, 哪能摘下数学皇冠上的明珠? (3)袁隆平不表现自己,哪...

高中数学经典易错题会诊与试题预测11

高中数学经典易错题会诊与... 26页 免费 高中数学总复习经典易错题... 44页...高中数学经典易错题会诊与试题预测(十一) 高中数学经典易错题会诊与试题预测(十一...

高中数学经典易错题会诊与试题预测12

高中数学经典易错题会诊与试题预测(十二) 高中数学经典易错题会诊与试题预测(十二) 经典易错题会诊与试题预测考点 12 排列、组合、 排列、组合、二项式定理 ? 正确...

高中语文总复习 经典易错题会诊与命题角度预测角度 考...

高中数学总复习经典易错题... 237页 2财富值 经典易错题会诊与试题预测... ...提醒 您带上雨伞。大理具体天气情况是?? 专家会诊 1.首先应该分析所给内容之间...

高中数学经典易错题会诊与试题预测14

高中数学经典易错题会诊与... 26页 免费 高中数学总复习经典易错题... 44页...高中数学经典易错题会诊与试题预测(十四) 高中数学经典易错题会诊与试题预测(十四...

高中数学经典易错题会诊与试题预测09

高中数学经典易错题会诊与... 26页 免费 高中数学总复习经典易错题... 44页...高中数学经典易错题会诊与试题预测( 高中数学经典易错题会诊与试题预测(九) 经典...

高中数学经典易错题会诊与试题预测13

高中数学总复习经典易错题... 44页 20财富值 高中数学经典易错题会诊与... ...高中数学经典易错题会诊与试题预测(十三) 高中数学经典易错题会诊与试题预测(十三...