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2015下学期期末驻马店八校联考理数答案


理数参考答案
一、选择题 1-5 ABDBC 二、填空题 13. x ? 6-10 BAACD 11-12 BC

8 5 且x ? ? 5 2

14.

2, 4 S

15. ?1

16.

2 2

三、解答题 17.(1

0 分)解: (Ⅰ)由频率分布直方图知第 1 组,第 2 组和第 3 组的频率分别是 0.02, 0.02 和 0.06, 则 m×(0.02+0.02+0.06)=20,解得 m=200. 由直方图可知,中位数 n 位于[70,80),则 0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5,解得 n=74.5. …4 分

(Ⅱ)设第 i 组的频率和频数分别为 pi 和 xi ,由图知, p1 =0.02,p2 =0.02,p3 =0.06,p4 =0.22,p5 =0.40,p6 =0.18,p7 =0.10, 则由 xi =200×pi ,可得 x1 =4,x2 =4,x3 =12,x4 =44,x5 =80,x6 =36,x7 =20, 故该校学生测试平均成绩是

x?

35 x1 ? 45 x2 ? 55 x3 ? 65 x4 ? 75 x5 ? 85 x6 ? 95 x7 ? 74 ? 74.5 , …9 分 200
…10 分

所以学校应该适当增加体育活动时间. 18.(12 分)

1

19.(12 分)解: (1)由题意得,抽出号码为 53 的组数为 3

......2 分 号码依次

因为 13 ? 20? (3 ? 1) ? 53,所以第 1 组抽出的号码应该为 13,抽出的 10 名学生 为:13,33,53,73,93,113,133,153,173,193 (2)这 10 名学生的平均成绩为: ......4 分

x?

1 (81 ? 70 ? 73 ? 76 ? 78 ? 79 ? 62 ? 65 ? 67 ? 59) ? 71 10

......6 分

故样本方差为:

1 [(81? 71) 2 ? (70 ? 71) 2 ? (73 ? 71) 2 ? (76 ? 71) 2 ? (78 ? 71) 2 ? (79 ? 71) 2 10 ...8 分 ? (62 ? 71) 2 ? (65 ? 71) 2 ? (67 ? 71) 2 ? (59 ? 71) 2 ] ? 52 S2 ?
(3)从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,共有如下 10 种不同的取法: (73,76) , (73,78) , (73,79) , (73,81) , (76,78) , (76,79) , (76,81) , (78,79) , (78,81) , (79,81). ......10 分 其中成绩之和不低于 154 分的有如下 7 种: (73,81) , (76,78) , (76,79) , 76,81) , (78,79) , (78,81) , (79,81). ......11 分 故被抽取到的两名学生成绩之和不低于 154 分的概率为: P ?
20.(12 分)解: (1)

7 10

......12 分
......1 分

a ? b ? cos? cos x ? sin ? sin x ? cos(? ? x)
......2 分

b ? c ? cos x sin ? ? sin x cos? ? sin( x ? ?) ?? ? x ?

? f ( x) ? (a ? b)cos x ? (b ? c)sin x ? cos(? ? x) cos x ? sin(? ? x)sin x
? cos(? ? x ? x) ? cos(2 x ? ? ) ,
即 ......4 分

f ( x) ? cos(2 x ? ? )



f ( ) ? cos( ? ? ) ? 1, 6 3
? ? ,∴ ? ?

?

?

而0 ??

?

3



......6 分

2

(2)由(1)得, 于是 g ( x ) 即 g ( x)

f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

),

1 ? ? cos(2( x ) ? ) , 2 3

? cos( x ? ) . 3

?

...... 9 分

?当2k? ? ? ? x ? 即2k? ?

?
3

? 2k?,

2? ? ? x ? 2k? ? ( k ? Z )时,g ( x )为增函数。 ......11 分 3 3

又? 0 ? x ?

?

2

,

则g ( x )的增区间为: [0,

?
3

]...... 12分

21.(12 分)化简得 f ( x) ? 2sin x ? a ? 3 (1) f (? x) ? ? f ( x) ? a ? ?3,? f ( x) ? 2sin x. f ( x) ?[?2, 2]. ......4 分 (2) f (? x) ? 2sin ? x(? ? 0), ?

?
2

? 2 k? ? ? x ? 2 k ? ?

?
2

, k ? z.

?

? 2 k? 2 k? ? ? ?x? ? . 2? ? ? 2w
?

? ? ? 3? 2

0

2? 3

? ? ? ? ?? ? 3 3 ? 2 由 ? 2? ? 0 ? ? ? 综上 0 ? ? ? . 4 4 ? 2? ? ? ? ? 3 2?
(3) | ? |?

? 2?

3? 2?

5? 2?

x

......8 分

?
2
2

, x ? R 时, 4 ? 4 sin(x ? ? ) sin(x ? ? ) ? 4 sin x ,
2

即 sin x ? sin x ? 1 ? sin ? 恒成立

(sin 2 x ? sin x ? 1) min ?
| ? |?

3 4
......12 分

? sin 2 ? ?

3 4

sin ? ? (?

3 3 , ) 2 2

? 2

?? ? (?

? ?

, ) 3 3

3

22.(12 分)解 : (1)

T ? kT , k ? Z 依题意可知: A ? 2, T ? ? , 4

y ? sin( 2 x ?

? ? ) 与 f(x)相差 ? k? , k ? Z , 3 4

所以 f ( x) ? A sin[ 2( x ?

?
4

? k? ) ?

?
3

] ? A cos( 2 x ?

?
3

)或

f ( x) ? A sin[ 2( x ?

?
4
?
3

? k? ) ?
).

?
3

] ? A cos( 2 x ?

4? ) (舍) , 3
………………3 分

故 f ( x ) ? 2 cos( 2 x ?

(2)因为 f (

x0 3 ? ? ? 3 ) ? ( x0 ? [? , ]) ,即 cos( x 0 ? ) ? , 3 4 2 2 2 2

因为 x 0 ?

?
3

? [?

? 5?
6 ,

? ? 3 3 ] ,又 cos(? ) ? ? ,y=cosx 在 [ ? ,0] 单调递增, 6 6 6 2 4

所以 x 0 ? 于是
cos(x0 ? ??

?

? ? 3 7 ? [0, ] ,所以 sin(x0 ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , 3 2 3 4 4
?
2? ? 2? ? 2? ? ) ? cos(x0 ? ) cos ? sin(x0 ? ) sin 3 3 3 3 3 3 21 ? 3 8

?
3

) ? cos(x0 ?

……7 分

3 1 7 3 ? ? ? ? 4 2 4 2

(3)因为 a ? ( f ( x ?
?
6

?

),1) , b ? (1, m cos x) , x ? (0, ) 6 2

?

a ? b ? 3 ? f (x ?

) ? m cos x ? 3 ? 2 cos 2 x ? m cos x ? 3 ? 4 cos 2 x ? m cos x ? 1 ,

2 于是 4 cos x ? m cos x ? 1 ? 0 ,得 m ? ?4 cos x ?

1 ? 对于 x ? (0, ) 恒成立, cos x 2
………………12 分

因为 ( ?4 cos x ?

1 ) max ? ?4 ,故 m ? ?4 . cos x
4


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