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谈高中数学向量教学应注意的问题

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谈高中数学向量教学应注意的问题 摘要: 《普通高中数学课程标准(实验) 》中,在必修课程中设置了平面向量 与空间向量的内容。 笔者了解到,相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向 量主要是作为解决几何问题的一种工具,以简化几何证明。因此,对于向量教学 的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用, 向量教学的重点放在用向量解几 何问题的技巧上。下面谈一谈向量教学中应注意的问题。 关键词:高中数学 向量教学 注意问题 一、注重向量的代数性质及其几何意义 向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。 运算是贯穿于中学 数学中的一条主线, 学生最先学习的运算是数的运算,向量的运算与数运算既有 联系又有区别。 例如,向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一 致的,都是 A×A→A 型的运算。但是,向量的加法运算的法则是三角形或平行 四边形法则, 这与数的加法运算的法则不同。向量的数乘运算不同于数的乘法运 算,它扩展了运算的对象与运算的类型,属于 A×B→B 型的运算。向量的数量 积运算也不同于数的乘法运算,它是 A×A→B 型的运算。 在向量的教学中, 应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特 定的结构,产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如,向量集 V 对于向量的加法(+)运算满足结合律、交换律、有零元(存在零向量) 、有负 元(每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量) ,这是构成交换群的基本性 质;V 中向量的加法、实数域 R 中的实数与向量的数乘运算满足数乘对向量加 法的分配律(λ(a+b)=λa+λb) 、数乘对数加法的分配律( (λ+γ)a=λa+γa) 、数 乘运算的结合律( (λγ)a=λ(γa) )等,这是构成线性空间的基本性质。在教学 中, 应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律,认识这些运算律对于研究 向量和运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。 在向量的教学中, 特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算 的区别与联系, 应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较,帮助学 生理解向量运算的意义及其运算律, 为进一步理解其他代数运算奠定基础。 例如, 对于数运算来说,0 是唯一的加法“零元”,1 是唯一的乘法“单位元”。对于向量 的加法运算来说,零向量 0 也是唯一的加法“零元”,对于任何向量 a,0+a=a。但 是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运算律: 对于任何向量 a, 0a=0,1a=a,0a=0。虽然也有单位向量的概念,但单位向量不是数量积运算的单 位元,即 ea≠a,而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点,则 所有单位向量构成一个单位圆(球) ;数的乘法运算满足结合律、消去律,即对 于任何数 a、b、c, (ab)c=a(bc) ,若 ab=ac,且 a≠0,则 b=c。对于向量的数 量积运算来说, (ab)c≠a(bc) 。这是因为,ab,bc 都是实数, (ab)c 是与 c 方 向相同或相反的向量,a(bc)是与 a 方向相同或相反的向量,而 a 与 c 不一定 共线,即使共线, (ab)c 与 a(bc)也不一定相等。若向量 a、b、c 是三个互相 垂直的非零向量,则 ab=ac=0,且 a≠0,但 b≠c。因此,向量的数量积运算不满 足结合律、消去律。在教学中,应让学生明确向量运算与数运算的这些区别,这 样才能对向量运算乃至代数运算有深入的认识。 在向量的教学中, 还应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的 几何意

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