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高中立体几何专题:线面角与线线角


本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 线面角与线线角 ? 1、异面直线所成的角: (1)范围: ? ? (0, ] ; (2)求法; 2 2、直线和平面所成的角: (1)定义: (2)范围: [0 ,90 ] ; (3)求法; 【典型例题】 例 1: (1)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是 A、 AC 1 1 ?

AD B、 D 1C1 ? AB C、 AC1 与 DC 成 45 角 ( )

D、 AC 1C 成 60 角 1 1与B
2 。 2

答案:D。解析:A1C1 与 AD 成 45°,D1C1 与 AB 平行,AC1 与 DC 所成角的正切为

(2)在正方体 AC1 中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与 A1B 成 300 角的平面的个数为 ( ) A、2 个 B、4 个 C、6 个 D、8 个 答案:B。解析:平面 A1ACC1,平面 BB1D1D,平面 ABC1D1,平面 A1D1CC1。 (3)正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 底面边长是 1,侧棱长是 2 ,则这个棱柱的侧 面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是 A.90? B.60? C.45? D.30? ( )

答案:B。解析将 BC1 平移到 E1F 即可。 ( 4 )在空间四边形 ABCD 中, AB ⊥ CD , BC ⊥ DA ,那么对角线 AC 与 BD 的位置关系 是 。 答案:AC⊥BD。解析:过 A 作 AH⊥平面 BCD,垂足为 H,因为 CD⊥AB,BC⊥AD,所以 CD⊥BH,BC⊥DH,故 H 为△BCD 的垂心,从而 BD⊥CH,可得 BD⊥AC。 (5)点 AB 到平面 ? 距离距离分别为 12,20,若斜线 AB 与 ? 成 30 0 的角,则 AB 的长等于__ ___. 答案:16 或 64。解析:分 A、B 在平面α 的同侧和异侧进行讨论。 例 3: 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是 AB=2, BC = 2 的矩形, 侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面 ABCD. (Ⅰ) 证明:BC⊥侧面 PAB; B (Ⅱ) 证明: 侧面 PAD⊥侧面 PAB; (Ⅲ) 求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小;
P A D C

答案: (Ⅰ)证: ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD, 且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, 在矩形 ABCD 中, BC⊥AB,.∴BC⊥侧面 PAB. (Ⅱ)证: 在矩形 ABCD 中, AD∥BC, BC⊥侧面 PAB, ∴AD⊥侧面 PAB. 又 AD ? 平面 PAD, ∴侧面 PAD⊥侧面 PAB. (Ⅲ)解: 在侧面 PAB 内, 过点 P 做 PE⊥AB, 垂足为 E, 连结 EC, ∵侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面 ABCD. 于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影. ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得 PE= 3 , EC= 3 .在 Rt△ PEC 中, ∠PCE=45°.

例 4 : 设 △ ABC 内 接 于 ⊙ O , 其 中 AB 为 ⊙ O 的 直 径 , PA ⊥ 平 面 ABC 。 如 图 5 cos ?ABC ? , PA : PB ? 4 : 3, 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小. 6 答案: 5 设PA ? 4 x, AB ? 3 x, 则PB ? 5 x, BC ? 3 x cos?ABC ? x 2 ? AB是?O的直径
? ?ACB ? 90? ,即BC ? AC 又 ? PA ? 面ABC,? PA ? BC ? BC ? 面PAC ? ?BPC是PB和面PAC所成的角 5x 1 在Rt?BPC中, sin ?BPC ? 2 ? ,? ?BPC ? 30? 5x 2 即直线PB和平面PAC所成的角为 30? 【练习】

1.设正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案:C 。解析:连 AC、BD 交于 O,连 OE,则 OE//SC.
1 3 ? 3 2 2 2 ? 1 ,? ?BEO ? 60? ? BE 2 ? 2, OB 2 ? , OE ? ,? cos?BEO ? 2 2 2 2 2? 2 ? 2 2?

2.如图,四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M 为 AB 的 中点,求: C (1)BC 与平面 SAB 所成的角; (2)SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。 解析: (1)∵SC⊥SB,SC⊥SA,∴SC⊥平面 SAB。 H 于是 SB 就是直线 BC 与平面 SAB 所成的角,为 60°。 S (2)联结 SM,CM,∵在 Rt△SAB 中,∠SBA=45° ∴SM⊥AB,∴AB⊥平面 SCM。 M 作 SH⊥CM 于 H,则 AB⊥SH,故 SH⊥平面 ABC, A 所以∠SCH 为 SC 与平面 ABC 所成的角。 2 设 SA=a,则 SB=a,SC= 3a ,SM= a。 2 1 在 Rt△CSM 中, CM ? SC 2 ? SM 2 ? 3a 2 ? a 2 , 2 2 a SM 7 7 sin ?SCH ? sin ?SCM ? ? 2 ? 。即 SC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 。 CM 7 7 7 a 2

B

9.A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2. (Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值. 答案: (Ⅰ)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°, AC=AD=2,AB=3, ∴△ABC≌△ABD,BC=BD. 取 CD 的中点 M,连 AM、BM,则 CD⊥AM,CD⊥BM. ∴CD⊥平面 ABM,于是 AB⊥BD. (Ⅱ)由 CD⊥平面 ABM,则平面 ABM⊥平面 BCD,这样∠ABM 是 AB 与平面 BCD 所成的 角. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,? BC ? AB2 ? AC2 ? AB ? AC ? 7 . 在△ACD 中,

AC=AD=2,∠CAD=60°,∴△ACD 是正三角形,AM= 3 . 在 Rt△BCM 中,BC= 7 ,CM=1,
2 2 2 ? BM ? 6 .? cos?ABM ? AB ? BM ? AM ? 6 .

2 AB ? BM

3

【练习】 1.垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ) A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 答案:D。解析:注意空间和平面中的位置关系的不同。 2.PA、PB、PC 是两两成 600 角的三条射线,则 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( ) 1 6 3 3 A. B. C. D. 2 3 3 2 P 答案:C。解析:可放入正四面中考虑。 7.已知∠ACB=900,且在平面α内,PC 与 CA、CB 所成角 ∠PCA=∠PCB=600,求 PC 与平面α所成角。
α A C B P

答案:解:如图过点 P 作 PH⊥平面 ABC 于 H, 过点 H 作 HD⊥AC 于 D,作 HE⊥BC 于 E,连 PD、PE,∴PD⊥AC,PE⊥BC, ∵∠PCA=∠PCB=600,∴Δ PCD≌Δ PCE,∴CD=CE,∴Δ HCD≌Δ HCE,
1 2 ∴HD=HE,∴CH 平分∠ACB,设 PC=a∴ CE ? a, CH ? a, 2 2
D C α E

A H B

∴∠PCH=450,即 PC 与平面α所成角为 450。

3.正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD 1 ,则动点 P 的轨迹 A、线段 B 1 C C、线段 BC 1 B、BB 1 的中点与 CC 1 中点连成的线段 D、CB 中点与 B 1 C 1 中点连成的线段 ( )

答案:A。解析:B1C⊥面 BD1C1,∴P 点轨迹为线段 B1C。 。

5.一个直角三角形的两条直角边长为 2 和 4,沿斜边高线折成直二面角,则两直角边所夹角的余弦 值为_____。 2 答案: 。解析:CD 为斜边上的高, 5 设 BD ? x, AB ? 2 2 ? 4 2 ? 2 5

x?

22 2 5

?

2 5

?

2 2 5 5? 5 5 AD ? 2 5 ? 5 8 5

? CD ? AB,? BD ? CD, AD ? CD
? ? ADB 为二面角的平面角,? ?ADB ?

?
2

? AB ? (

2 8 20 ? 320 2 85 5)2 ? ( 5)2 ? ? 5 5 25 5
22 ? 42 ? ( 2 85) 2 2 5 ? 2? 2? 4 5
2

? cos?ACB ?

6.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD, PD ? CD ? AD ? 1 AB , ∠ADC = 120? , ⑴求证:求异面直线 AD,PB 的所成角; ⑵若 AB 的中点为 E,求二面角 D-PC-E 的大小。

答案:⑴连 BD,∵∠ADC=120? ,AB∥CD,∴∠DAB=60? ,又 AD ? 1 AB ,∴ BD ? 3 AB
2
2

∴AD⊥BD,又∵PD⊥面 ABCD,∴PD⊥AD,∴AD⊥平面 PDB,∴AD⊥PB, 即异面直线 AD、PB 的所成角为 90°。 ⑵连 DE,由已知可得△DEC 为正三角形,取 DC 的中点 F,连 EF,则 EF⊥CD, ∵PD⊥面 ABCD,∴EF⊥PD,∴EF⊥面 PCD,过 F 作 FG⊥PC,连 EG, 则∠EGF 为二面角 D-PC-E 的平面角
1 CP ? PD 3 a ,在△PDC 中, PC ? 2a ,则 FG ? 2 设 CD=a,则 EF ? ? a 2 PC 2 2

∴ tan ?EGF ? EF ? 6 ∴ ?EGF ? arctan 6 (注:本题用空间向量做也可)
FG

7. 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a,A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上. (Ⅰ)求 AB 与侧面 AC1 所成的角; (Ⅱ)若 O 恰是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积.

答案: (Ⅰ)在△ABC 中, AB= 2a , BC=AC=a,∴△ABC 是等腰直角三角形, BC⊥AC, ∠CAB=45°, 又 BC⊥A1O,故 BC⊥侧面 AC1,AB 与侧面 AC1 所成角就是∠BAC=45°. (Ⅱ)由(Ⅰ)知四边形 B1BCC1 为矩形,? S B BCC ? a 2 .? A1O ? AC, O为AC 中点,
1 1

? A1O ?

3 3 2 a, S A1 ACC1 ? AC ? A1O ? a .作OE ? AB 于 2 2

E , 连 结 A1E , 则 AB ⊥ A1E. 在 Rt △ AOE 中 ,

2 2 14 ? AO ? a ,在 Rt△A1EO 中, A1 E ? A1O 2 ? OE 2 ? a. 4 2 4 7 2 ? S ABB1 A1 ? AB ? A1 E ? a . ? S 侧 ? ( 3 ? 2 ? 7 )a 2 . 2 OE ?

8.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底 面 ABC. 1 (Ⅰ)当 k= 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; 2 P (Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? 答案:(Ⅰ) ∵O、D 分别为 AC、PC 中点,? OD∥PA
又PA ? 平面PAB , ? OD∥平面PAB
A O B D

C

AB ? BC,OA ? OC,? OA ? OB ? OC,
又 OP ? 平面ABC ,? PA ? PB ? PC.

取BC中点E,连结PE,则BC ? 平面POE , 作OF ? PE于F,连结DF,则OF ? 平面PBC

? ?ODF 是OD与平面PBC所成的角.

又 OD∥PA ,

? PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ?ODF ,
OF ? OD 210 , 30
王新敞
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在Rt ?ODF中, sin ?ODF ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OF ? 平面PBC ,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影

∵D 是 PC 的中点,

若点 F 是 ?PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线,∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,
OB ? PC,? PC ? BD,? PB ? PC ,即 k ? 1
王新敞
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反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥,∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心

王新敞
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