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高中数学


Kj
1、直接观察法

函 数 值 域 求 法

对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

1 的值域 x 1 解:? x ≠0 ,? ≠0 x
例 1 求函数 y = 例2 求函数 y = 3 -

显然函数的值域是: ( -∞,0 )∪(0 ,+∞) 。

r />x 的值域。

解:? 2 、配方法

x ≥0

?-

x ≤0

3-

x ≤3

故函数的值域是:[ -∞,3 ]

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2

例 1、求函数 y= x -2x+5,x ? [-1,2]的值域。 解:将函数配方得:y=(x-1) +4, ? x ? [-1,2], 由二次函数的性质可知:
2

当 x = 1 时,y min = 4

当 x = - 1,时 y max = 8

故函数的值域是:[ 4 ,8 ]

例 2、求函数 y ? 2x ? 3 ? 4x ? 13 的值域。 解: y ?

1 1 4 x ? 6 ? 2 4 x ? 13 ? ?4 x ? 13? ? 2 4 x ? 13 ? 7 2 2 2 7 1 7 4 x ? 13 ? 1 ? 3 ,所以 y ? ,故所求函数值域为[ ,+∞]。 = 2 2 2

?

? ?

?

?

?

例 3、求 y ? 2?log2 2x? ? 6 log2 x ? 6 ? 2?log2 x ? 2? ? 2 。
2 2

解:………所以当 x ? 3 、判别式法

1 时, y 有最小值-2。故所求函数值域为[-2,+∞) 。 4

2

1? x ? x2 例 1 求函数 y = 的值域。 1? x2
解:原函数化为关 x 的一元二次方程(y-1 ) x +(y - 1 )x= 0 (1)当 y≠1 时, x ? R ,△ = (-1) -4(y-1)(y-1) ≥0
2
2

解得:

1 3 ≤y≤ 2 2
1 3 , ] 2 2
故函数的值域为[

(2)当 y=1,时 ,x = 0,而 1 ? [

1 3 , ] 2 2

例 2 求函数 y=x+ x(2 ? x) 的值域。

1

解:两边平方整理得:2 x 2 -2(y+1)x+y =0

2

(1)

? x ? R,? △=4(y+1) 2 -8y≥0
解得:1- 2 ≤y≤1+ 2 但此时的函数的定义域由 x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。 由△≥0,仅保证关于 x 的方程:2 x 2 -2(y+1)x+y =0 在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2] 上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 [
2

1 3 , ]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 2 2

? 0≤x≤2,? y=x+ x(2 ? x) ≥0, ?

y

min

=0,y=1+ 2 代入方程(1) ,解得: x1 =

2 ? 2 ? 24 2 2 ? 2 ? 24 2 时,原函数 ? [0,2],即当 x1 = 2 2

的值域为:[0,1+ 2 ]。 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分 剔除。 4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例1 求函数 y=

3x ? 4 值域。 5x ? 6 4 ? 6y 4 ? 6y 则其反函数为:y = 5x ? 3 5y ? 3
故所求函数的值域为: (- ∞,

解:由原函数式可得:x =

其定义域为:x ≠

3 5

3 ) 5

5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 例 1 求函数 y =

ex ?1 的值域。 ex ?1
x

解:由原函数式可得: e =

y ?1 y ?1

? e x >0,?

y ?1 >0 解得:- 1<y<1。 y ?1
cos x 的值域。 sin x ? 3
2

故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例 2 求函数 y =

解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y

可化为:

y 2 ? 1 sinx(x+β )=3y

即 sinx(x+β )=

3y y2 ?1 3y y2 ?1
≤1

∵x∈R,∴sinx(x+β )∈[-1,1]。即-1≤

解得:-

2 2 ≤y≤ 4 4

故函数的值域为[-

2 2 , ]。 4 4

6 、函数单调性法 例 1 求函数 y =

2

x ?5

? log 3

x ?1

(2≤x≤10)的值域

解:令 y 1 =

2

x ?5

, y2 =

log

3

x ? 1 ,则 y 1 , y 2 在[ 2, 10 ]上都是增函数。

所以 y= y 1 + y 2 在[ 2 ,10 ]上是增函数。 当 x = 2 时,y min = 2 +
?3

log

3

2 ?1 =

1 8

当 x = 10 时, y max = 2 +

5

log

3

9 =33。

故所求函数的值域为:[ 例 2 求函数 y=

1 ,33]。 8

x ? 1 - x ? 1 的值域。

解:原函数可化为: y=

2 x ?1 ? x ?1

令 y1 =

x ? 1 , y2 =

x ? 1 ,显然 y 1 , y 2 在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以 y= y 1 + y 2 在[1,+∞)
所以当 x = 1 时,y=y 1 + y 2 有最小值 2 ,原函数有

上也为无上界的增函数。 最大值

2 2

=

2。

显然 y>0,故原函数的值域为( 0 , 2 ]。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元 法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例 1、求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。 解:由 1 ? 2 x ? 0 ,得 x ?

1 。令 1 ? 2 x ? t ?t ? 0? 2

3

得x ?

1 1? t2 1? t 2 1 2 ? t ? ? ?t ? 1? ? 1 ,因为 t ? 0 ,所以 y ? 。故所 ,于是 y ? 2 2 2 2

1 求函数值域为[-∞, ]。 2 例 2、求函数 y ? x 1 ? x 2 ? x 2 的值域。 解:设 x ? sin ? ? ? ?

? ?

??

? ,则 2?

1 1 1 2 ? ?? y ? sin ? cos? ? sin 2 ? ? sin 2? ? ?1 ? cos2? ? ? ? sin? 2? ? ? 。 2 2 2 2 4? ?
所以

?1 ? 2 1 ? 2 ? 1? 2 1? 2 , ,故所求函数值域为 ? ? y? ?。 2 ? 2 2 ? 2
x ? 1 的值域。
2

例 3 求函数 y = x +

解:令 x-1=t, (t≥0)则 x= t +1
2 ∵y= t +t+1= (t ? ) +
2

1 2

3 ,又 t≥0,由二次函数的性质可知 4

当 t=0 时,y min = 1, 当 t →0 时,y →+∞。 故函数的值域为[ 1 ,+∞) 。
2 例 4 求函数 y =x+2+ 1 ? ( x ? 1) 的值域

解:因 1- ( x ? 1) ≥0 ,即 ( x ? 1) ≤1
2 2

故可令 x+1=cosβ ,β ∈[ 0 ,∏] 。 ∴y=cosβ +1+ 1 ? cos2 B =sinβ +cosβ +1 +1 ∵0≤β ≤∏,0 ≤β +∏/4≤5∏/4 ∴ = 2 sin(β +∏/ 4 )

2 ≤sin(β +∏/4)≤1 2

∴ 0 ≤ 2 sin(β +∏/4)+1≤1+ 2 。 故所求函数的值域为[0,1+ 2 ]。 例 5 求函数 y=

x3 ? x 的值域 x 4 ? 2x 2 ? 1

4

解:原函数可变形为:y=-

2x 1? x2 1 ? ? 2 1? x2 1? x2

可令 x=tgβ ,则有

2x 1? x2 =sin2 β , =cos2β 1? x2 1? x2

1 1 sin2β ? cos2β = - sin4β 2 4 1 当 β = k∏/2-∏/8 时, y max = 。 4 1 当 β = k∏/2+∏/8 时,y min = 4
∴y=而此时 tgβ 有意义。 故所求函数的值域为[-

1 1 , ] 。 4 4

例 6 求函数 y=(sinx+1) (cosx+1) ,x∈[-∏/12∏/2]的值域。 解:y=(sinx+1) (cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx= y =

1 2 ( t -1) 2

1 1 2 ( t -1)+t+1= (t ? 1) 2 2 2

由 t=sinx+cosx= 2 sin(x+∏/4)且 x∈[- ∏/12,∏/2] 可得:

2 ≤t≤ 2 2
3 3 2 2 + 2 ,当 t= 时,y= + 2 4 2 2 3 3 2 + , + 2] 。 4 2 2

∴当 t= 2 时, y max =

故所求函数的值域为[

例 7 求函数 y=x+4+ 5 ? x 2 的值域 解:由 5-x≥0 ,可得∣x∣≤ 5 故可令 x = 5 cosβ ,β ∈[0,∏] y= 5 cosβ +4+ 5 sinβ = 10 sin(β +∏/4)+ 4 ∵ 0 ≤β ≤∏, ∴ ∏/4≤β +∏/4≤5∏/4 当 β =∏/4 时, y max =4+ 10 ,当 β =∏时,y min =4- 5 。 故所求函数的值域为:[4- 5 ,4+ 10 ]。

5

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结 合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例 1 求函数 y=

(x?2)

2

+

(x?8)

2

的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点 P(x )到定点 A(2 ) ,B(- 8 )间的距离之和。 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例2 求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13 +
2

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2

解:原函数可变形为:y=

(x?3) ? (0?2)

+

(x?2) ? (0?1)
2

2

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2) ,B(-2 ,-1 )的距离之和, 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min =∣AB∣=

(3?2) ? (2?1)
2

2

= 43 ,

故所求函数的值域为[ 43 ,+∞) 。 例 3 求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13 2

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2

解:将函数变形为:y=

(x?3) ? (0?2)

-

(x?2) ? (0?1)
2

2

6

上式可看成定点 A (3, 2) 到点 P (x, 0 ) 的距离与定点 B (-2, 1) 到点 P (x, 0) 的距离之差。 即: y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P?,则构成△ABP?,根据三角形两边 之差小于第三边, 有 ∣∣AP?∣-∣BP?∣∣<∣AB∣= 即:- 26 <y< 26 (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时, 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣=

(3?2) ? (2?1)
2

2

=

26

26 。
综上所述,可知函数的值域为: (- 26 ,- 26 ]。 注:由例 17,18

可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A,B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点 A ,B 在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: ( 3 ,2 ) , (- 2 ,- 1 ) ,在 x 轴的同侧; 例 18 的 A,B 两点坐标分别为: ( 3 ,2 ) , (2 ,- 1 ) ,在 x 轴的同侧。 9 、不等式法 利用基本不等式 a+b≥2 ab ,a+b+c≥3 3 abc (a,b,c∈

R

?

) ,求函数的最值,其题型特征解析式

是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 1 求函 y=(sinx +1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域 解:原函数变形为: y=(

sin

2

x + cos x )+1/ sin x +1/ cos x
2

2

2

2

= 1+ = 3+ ≥3

csc

x + sec x
2 3

2

tg

2

x + ctg x
2

tg x ctg

2

x + 2

7

=5 当且仅当 tgx=ctgx,即当 x=k∏±∏/4 时(k∈z) ,等号成立。 故原函数的值域为:[ 5,+∞) 。 例 2 求函数 y=2sinxsin2x 的值域 解:y=2sinxsinxcosx =4

sin
2

2

x cosx
2

y

2

=16

sin x cos
2 2

4

x
2

=8

sin x sin sin sin

x (2-2 sin x )
2

≤8(

x + sin x +2x + sin x +22

sin sin

2

x)
3

=8[(

2

2

x )/3]

=

64 27

当且当

sin

2

x =2-2 sin x ,即当 sin x =时,等号成立。

2

2



y

2



64 8 3 8 3 ,可得:≤y≤ 27 9 9

故原函数的值域为:[10、利用直线斜率法 例 1、求函数 y ? 解:令

8 3 8 3 , ) 。 9 9

sin x 的值域。 2 cos x ? 3 u ? 2 cos x

v ? sin x


u2 ? v 2 ? 1 …………(1) ,原函数成为 v ? y?u ? 3? …………(2) 。 4

在平面直角坐标系 OUV 中, (1)表示一椭圆, (2)表示过点 P(-3,0) 、斜率为 y 的直 线,过 P 作椭圆(1)的两条切线 PM、PN 则 y 的取值范围即(2)的斜率的取值范围在 PM、 PN 两斜率之间。为此,以(2)代入(1) ,消去 v ,得

?1 ? 4 y ?u
2

2

? 24y 2u ? 36y 2 ? 4 ? 0

∴△= 24y 2

?

?

2

? 4 1 ? 4 y 2 36y 2 ? 4 ? 0 ,化简得 5 y 2 ? 1 ,故解得

?

??

?

8

?

? 5 5? 5 5 , ,所以所求函数的值域为 ? ? ? y? ? 5 5 ? 5 5 ?
cos x ? 2 的值域。 sin x ? 3 u ? sin x ? 3
v ? cos x ? 2

例 2、求函数 y ? 解:令

则 ?u ? 3? ? ?v ? 2? ? 1 …………(1) ,原函数成为 v ? yu …………(2) 。
2 2

在平面直角坐标系 OUV 中, (1)表示一个圆, (2)表示过原点 O,斜率为 y 的直线,过 点 O 作圆(1)的两条切线,则 y 的取值范围即(2)的斜率的取值范围在两切线斜率之间。 为此,以(2)代入(1) ,消去 v ,得

?y

2

? 1 u 2 ? 2?2 y ? 3?u ? 12 ? 0
2

?

∴△= 4?2 y ? 3? ? 4 ?12 y 2 ? 1 ? 0 ,解得

?

?

3? 3 3? 3 ,故所求函数的值域 ?y? 4 4

为?

?3 ? 3 3 ? 3 ? , ?。 4 4 ? ?

11、多种方法综合运用 例1 求函数 y=

x?2 的值域 x?3
2

解:令 t= x ? 2 (t≥0) ,则 x+3= t +1 (1) 当 t>0 时,y=

t

t

2

1 1 ≤ , 当且仅当 t=1,即 x=-1 时取等号 ?1 t ? 1/ t 2
=

所以 0<y≤

1 。 2 1 ]。 2

(2) 当 t=0 时,y=0。综上所述,函数的值域为:[0, 注:先换元,后用不等式法。 例 2 求函数 y=

1? x ? 2 x ? x ? x 1? 2 x ? x
4 2 4

2

3

4

的值域。

2 1 ? x x 解:y= + =( + ) 1? 2 x ? x 1? 2 x ? x 1? x 2 1 ? x
1? 2 x ? x
2 2 4

x? x
2

3

2

4

2

9

? 令 x=tg 2
∴y=

1? x 2 = x ?, ,则 ( ) cos 1? x 1? x 2
2 2

2

2

=

1 sin ? , 2

cos

1 1 2 ? + sin ? =- sin ? + sin ? +1 2 2
2

1 17 =- (sin ? ? ) + 4 16
∴当 sin ? =

1 17 时, y max = 。当 sin ? =-1 时,y min =-2。 4 16
都存在,故函数的值域为: [-2,

此时 tg

? 2

17 ] 。 16

注:此题先用换元法。后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。 例 3( 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 ) 、 解 : 先 求 导 数 , 得 y / ? 4x 3 ? 4x 令 y / = 0 即 4 x ? 4 x ? 0 解 得 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1
3

求 函 数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在 区 间 ?? 2,2?上 的 最 大 值 与 最 小 值 。

导 数 y / 的 正 负 以 及 f (?2) , f ( 2) 如 下 表 ( - 2, - 1) ( - 1, 0) + ( 0, 1) - ( 1, 2) + 13

X y
/

-2

-1 0

0 0 5

1 0 4

2

y

13

4

从 上 表 知 , 当 x ? ?2 时 , 函 数 有 最 大 值 13 , 当 x ? ?1 时 , 函 数 有 最 小 值 4 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

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