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人教版数学必修五知识点总结


新人教 A 版数学必修五知识要点总结

第一章 解三角形
1、内角和定理: (1)三角形三角和为 ? ,任意两角和与第三个角总互补,任意两半角 和与第三个角的半角总互余. (2)锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正 值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. 2、正弦定理:

a ? b ?

c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径) . sin A sin B sin C

(1)a : b : c ? sin A : sin B : sin C; (2)a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
(3) 解三角形:已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。
可求其它边和角 ?已知两角和任意一边, ? ,可求其它元素 ?已知两边和一边的对角
注意:已知两边一对角,求解三角形,若用正弦定理,则务必注意可能有两解.

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3、 余弦定理: (求边)b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?

? b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 或 (求角)?cos B ? 2ac ? a 2 ? b2 ? c 2 ?cosC ? ? 2ab ?

已知两边一角求第三边 ? ? . 已知三边求所有三个角 (注:常用余弦定理鉴定三角形的类型) ? ?已知两边和一边对角, 求其它 ?

?1 ? 2 ab sin C ?1 1 abc ? 4、三角形面积公式: S ? aha ? ? bc sin A ? . 2 4R ?2 ? 1 ac sin B ?2 ?
5、解三角形应用 (1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角;视线在水平线下方 的角叫俯角。 (2)从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。 (3)坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。 (4)解斜三角形应用题的一般步骤: 分析→建模→求解→检验

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第二章 数



1.数列的通项、数列的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前 n 项和公式的 关系: an ?

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1

(必要时请分类讨论) .

注意:an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ;an ? 2.等差数列 {an } 中: (1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

an an ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 . an ?1 an ? 2 a1

?d ? 0 ? 数列单调递增 ? ,可知d的取值为d ? R. ?d ? 0 ? 数列为常数列 ?d ? 0 ? 数列单调递减 ?
(2) an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d ; p ? q ? m ? n ? a p ? aq ? am ? an . (3) ? 1an ? ?2bn ?、 {kan } 也成等差数列. ? (4)在等差数列 {an } 中,若 am ? n, an ? m(m ? n), 则am?n ? 0. (5) a1 ? a2 ? ? ? am , ak ? ak ?1 ? ? ? ak ? m?1,? 仍成等差数列. (6)S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d S d ,S n ? n 2 ? (a1 ? )n ,an ? 2 n ?1 , ,S n ? na1 ? 。 2n ? 1 2 2 2 2
am S 2 m?1 ? . bm T2 m?1

? (7)若S n , Tn 分别为等差数列an ?, ?bn ? 的前项和,则两数列第 项之比 m

( )若?an ? 8 为等差数列,则其前 项和、中间 项和、后m项和Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m成等差数列。 m m

(9)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和; (10)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时,常考虑选用“中项 关系”转化求解. (11)判定数列是否是等差数列的主要方法有:定义法、中项法、通项法、和式法、图 像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式) .

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3.等比数列 {an } 中: (1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负) ,等比数列的首项、公比与等比 数列的单调性. (2) an ? a1q n ?1 ? am q n ? m ; p ? q ? m ? n ? bp ? bq ? bm ? bn . (3) {an }、 n } 成等比数列 {| an |} 、 a n , ? {b

? ? ? a1 ? 、 {ka } ?a b ?, ? a ? ? b
2

?

n

?

n

n n

? ? 成等比数列. ? n?
n

(4) a1 ? a2 ? ? ? am , ak ? ak ?1 ? ? ? ak ? m?1,? 成等比数列.

(q ? 1) ?na1 (q ? 1) ?na1 ? ? ?? a (5) S n ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) . a n (q ? 1) ?? 1 q ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q 1? q ? 1? q ?
特别: an ? bn ? (a ? b)(an?1 ? an?2b ? an?3b2 ? ?? abn?2 ? bn?1 ) .

(6)若?an ? 为等比数列,则其前 项和、中间 项和、后m项和Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m成等比数列。 m m

(7) “首大于 1”的正值递减等比数列中, n 项积的最大值是所有大于或等于 1 的项的 前 积;“首小于 1”的正值递增等比数列中,前 n 项积的最小值是所有小于或等于 1 的项的积; (8)有限等比数列中,若总项数为偶数,则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积; 若总项数为奇数,则“奇数项和”=“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和. (9)等比中项要么不存在,要么仅当实数 a , b 同号时存在,且必有一对 G ? ? ab . (10)判定是否是等比数列的方法:定义法、中项法、通项法、和式法。 4.等差数列与等比数列的联系 (1)如果数列 {an } 成等差数列,那么数列 { A n } ( A n 总有意义)必成等比数列. (2)如果数列 {an } 成等比数列,那么数列 {loga | an |}(a ? 0, a ? 1) 必成等差数列. (3)如果数列 {an } 既成等差又成等比,那么数列 {an } 是非零常数数列;但反之不成立。 (4) 如果两等差数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列, 5.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式(三种形式) , ②等比数列求和公式(三种形式) ,
a
a

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2 2 2 2 ③ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

2

6

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2 , 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 .
(2)分组求和法:常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. (3)倒序相加法; (4)错位相减法; (5)裂项相消法: ①

1 ?1? 1 , n(n ? 1) n n ? 1



1 ? 1 (1 ? 1 ) , n(n ? k ) k n n ? k

特别声明: ?运用等比数列求和公式, 务必检查公比与 1 的关系, 必要时分类讨论.

三、不等式
1. (1)求不等式的解集,务必用集合的形式表示;不等式解集的端点值往往是不等式对应 方程的根或不等式有意义范围的端点值. (2)解分式不等式 f ? x ? ? a?a ? 0? (移项通分,等价为分子分母相乘大于或小于 0) ; g ?x ? (3)含有两个绝对值的不等式(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化) ; (4)解含参不等式常分类等价转化,必要时需分类讨论.注意:按参数讨论,最后按参 数取值分别说明其解集,但若按未知数讨论,最后应求并集. 2.利用重要不等式 a ? b ? 2 ab 以及变式 ab ? ( a ? b ) 等求函数的最值时,务必注意 a,
2

2

b ? R ,且“等号成立”时的条件是积 ab 或和 a+b 其中之一应是定值(一正二定三相等) . 3. 常用不等式: a ? b ? a ? b ?
2 2

?

2

2

ab ?

2 (根据目标不等式左右的运算结构选用) 1?1 a b

a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号)
2 2 2

4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有:差比较法、商比较法、函数性质法、综合 法、分析法 5.含绝对值不等式的性质:

a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | .
6.不等式的恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B


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