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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2-1-1 曲线与方程

时间:2013-09-16


成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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·选修2-1

本章概述

第二章 圆锥曲线与方程

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课程目标 1.了解曲线的方程和方程的曲线的概念,会用坐标法求 曲线的方程.了解圆锥曲线与二次方程的关系,了解圆锥曲线 的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用. 2.掌握椭圆的定义,椭圆标准方程的两种形式及其推导 过程. 3.能够根据条件确定椭圆的标准方程,会运用待定系数 法求椭圆的标准方程.

第二章 圆锥曲线与方程

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4.掌握椭圆的几何性质,掌握标准方程中的 a、b、c、e 的几何意义,以及 a、b、c、e 之间的相互关系. 5.了解双曲线的定义,并能根据双曲线定义恰当地选择 坐标系,建立及推导双曲线的标准方程. 6.会用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c,能根 据条件确定双曲线的标准方程. 7.使学生了解双曲线的几何性质,能够运用双曲线的标 准方程讨论它的几何性质,能够确定双曲线的形状特征.

第二章 圆锥曲线与方程

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8.了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程, 能根据条件确定抛物线的标准方程. 9.了解抛物线的几何性质,能运用抛物线的标准方程推 导出它的几何性质,同时掌握抛物线的简单画法. 10.通过抛物线四种不同形式标准方程的对比,培养学生 分析归纳能力.

第二章 圆锥曲线与方程

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11.通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的讨 论,加深曲线与方程关系的理解,同时提高分析问题和解决问 题的能力,培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想. 12.能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的 简单实际应用问题.

第二章 圆锥曲线与方程

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●学法探究 1.解析几何是数形结合的典范,通过学习本章要在必修 2 的基础上进一步体会坐标法在解决几何问题和实际问题中的 作用,体会“数形结合”思想,养成自觉运用数形结合方法解 决问题的习惯. 2.圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点,要明 确基本量 a、 c、 的相互关系、 b、 e 几何意义及一些概念的联系.

第二章 圆锥曲线与方程

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对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的 意识, “回归定义”是一种重要的解题策略. 如①在求轨迹中, 若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定 义,写出所求的轨迹方程;②涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的三角形(即焦点三角形)问题时,常用定义结合解三 角形的知识来解决;③在求有关抛物线的最值问题时,常利用 定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用 几何意义去解决.

第二章 圆锥曲线与方程

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3.求轨迹方程是解析几何的基本题型,通过学习要加深 对“直译法”、“坐标代入法”、“定义法”、“交轨法”、 “参数法”、“点差法”等基本方法的理解和运用.有些轨迹 问题中, 含有隐含条件, 也就是曲线上的点的坐标的取值范围, 要认真审题, 充分挖掘隐含条件, 找出动点所满足的几何关系.

第二章 圆锥曲线与方程

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4.圆锥曲线中最值求法有两种:(1)几何法:若题目中条件 与结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解 决.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现明确的函数关系, 则可建立目标函数,再求这个函数的最值. 5.直线与圆锥曲线的位置关系:①有关直线与圆锥曲线的 公共点的个数问题,应注意数形结合;②有关弦长问题,应注意 运用弦长公式及韦达定理; ③有关垂直问题, 要注意运用斜率关 系及韦达定理,简化运算.直线和圆锥曲线的位置关系,可转化 为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题,体现了方程的思想.

第二章 圆锥曲线与方程

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6.定点与定值问题的处理方法:(1)从特殊入手,求出定 点或定值,再证明这个点(值)与变量无关.(2)直接推理、计算, 并在计算过程消去变量,从而得到定点(定值).

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
2.1 曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 1 课时 曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第二章 2.1

第1课时

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课程目标解读

第二章 2.1

第1课时

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1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.理解曲线的方程和方程的曲线的意义.

第二章 2.1

第1课时

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课前自主预习

第二章 2.1

第1课时

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1.在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 f(x,y)=0 之间具有如下关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是 方程 f(x,y)=0 的解; (2)以方程 f(x, y)=0 的解(x, y)为坐标的点都在 曲线 C 上 . 那么,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线 ,方程 f(x,y) =0 叫做曲线 C 的方程 .

第二章 2.1

第1课时

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2.曲线 C 用集合的特征性质描述法,可描述为: {M(x,
y)|f(x,y)=0} .

3.已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,
?F?x,y?=0 ? y)=0.若求它们的交点,只需联立方程组? ?G?x,y?=0 ?

,求它

的 实数解 即可得到.

第二章 2.1

第1课时

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4.圆系方程,已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0,则方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2 +y2+D2x+E2y+F2)=0.当 λ≠-1 时,表示经过两个已知圆交点

的圆的方程 (不包括圆 C2),当 λ=-1 时,若两圆相交,表示两
圆的 公共弦的方程;若两圆相切,表示 两圆公切线的方程 .

第二章 2.1

第1课时

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重点难点展示

第二章 2.1

第1课时

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重点:曲线和方程的概念;确定曲线的方程. 难点:曲线与方程的关系;寻求动点所满足的几何条件.

第二章 2.1

第1课时

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学习要点点拨

第二章 2.1

第1课时

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1.坐标法:借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成 满足某条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满 足的方程 f(x,y)=0 表示曲线,通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质,这就叫坐标法. 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何, 解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.

第二章 2.1

第1课时

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2.在建立了直角坐标系之后,平面内的点与它的坐标即 有序实数对之间就建立了一一对应关系,那么对应于符合某种 条件的一切点,它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约 束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些 点的横坐标与纵坐标受怎样的约束条件的问题,两个变数 x、y 的方程 f(x,y)=0 就标志着横坐标 x 与纵坐标 y 之间所受的约 束,一般由已知条件列出等式,再将点的坐标代入这个等式, 就得到 x、y 的方程,于是符合某种条件的点的集合,就变换 到 x、y 的二元方程的解的集合,当然要求两集合之间有一一 对应的关系,也就是:
第二章 2.1 第1课时

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(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这样一来,一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点 的全体组成的曲线;二元方程所表示的 x、y 之间的关系,就 是以(x,y)为坐标的点所符合的条件.这样的方程就叫做曲线 的方程;反过来,这条曲线就叫做方程的曲线.

第二章 2.1

第1课时

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在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关 系(1)和(2)缺一不可, 而且两者是对曲线上的任意一点以及方程 的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设 A 是曲线 C 上的所有点组成的点集,B 是所有以方程 f(x,y)=0 的实数解 为坐标的点组成的点集.则由关系(1)可知 A?B,由关系(2)可 知 B?A;同时具有关系(1)和(2),就有 A=B.

第二章 2.1

第1课时

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3.根据曲线方程的意义,可以由两条曲线的方程,求出 这两条曲线的交点的坐标. 已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,y) =0, 则交点的坐标必须满足上面的两个方程.反之,如果(x0, y0)是上面两个方程的公共解,则以(x0,y0)为坐标的点必定是 两条曲线的交点.因此,求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标,只
?F?x,y?=0 ? 要求方程组? ?G?x,y?=0 ?

的实数解就可以得到.

第二章 2.1

第1课时

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4.曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上,用坐标 表示点,用方程表示曲线,通过研究方程的特征来研究曲线的 性质.

第二章 2.1

第1课时

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课堂典例讲练

第二章 2.1

第1课时

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思路方法技巧
命题方向 曲线与方程的概念

[例 1]

如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0, )

则以下说法正确的是(

A.曲线 l 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 l C.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点不在曲线 l 上 D.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 l 上
[答案] C
第二章 2.1 第1课时

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[分析] 断.

从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判

第二章 2.1

第1课时

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[解析]

直接法:原说法写成命题形式即“若点 M(x,y)

是曲线 l 上的点,则 M 点的坐标适合方程 F(x,y)=0”,其逆 否命题即“若 M 点的坐标不适合方程 F(x,y)=0,则 M 点不 在曲线 l 上”,故选 C. 特值法:作如图所示的曲线 l,考查 l 与方程 F(x,y)=x2 -1=0 的关系,显然 A、B、D 中的说法全不正确.∴选 C.

第二章 2.1

第1课时

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[点评]

本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法

——等价转换和特值法.其中特值法应引起重视,它的使用依 据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”,简言之,即 “多一点不行,少一点不可”.

第二章 2.1

第1课时

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说明过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 与方程|x|=2 之间的 关系.

第二章 2.1

第1课时

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[解析]

过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 是 x=2,而|x|=2

是直线 x=2 和 x=-2, 直线 l 上点的坐标都是方程|x|=2 的解, 但以方程|x|=2 的解为坐标的点不都在直线 l 上. 因此,方程|x|=2 不是直线 l 的方程. l 是方程|x|=2 的曲线的一部分.

第二章 2.1

第1课时

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命题方向

建模应用引路 求曲线的方程

[例 2]

已知圆 C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆 C 的弦

OP,求 OP 中点 Q 的轨迹方程. [分析] 关键是寻找 Q 点满足的几何条件,可以考虑圆

的几何性质,如 CQ⊥OP,还可考虑 Q 是 OP 的中点.

第二章 2.1

第1课时

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[解析]

解法一:(直接法)

如图,因为 Q 是 OP 的中点,所以∠OQC=90° . 设 Q(x,y),由题意,得 |OQ|2+|QC|2=|OC|2, 即 x2+y2+[x2+(y-3)2]=9, 32 9 所以 x +(y- ) = (去掉原点). 2 4
2

第二章 2.1

第1课时

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解法二:(定义法)

如图所示,因为 Q 是 OP 的中点,所以∠OQC=90° ,则 Q 32 9 在以 OC 为直径的圆上, Q 点的轨迹方程为 x +(y- ) = (去 故 2 4
2

掉原点).

第二章 2.1

第1课时

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解法三:(代入法) 设 P(x1,y1),Q(x,y),由题意得, x1 ? ?x= 2 , ? ?y=y1, 2 ?
?x =2x, ? 1 即? ?y1=2y. ?

又因为 x2+(y1-3)2=9, 1 3 所以 4x2+4(y-2)2=9, 32 9 即 x +(y-2) =4(去掉原点).
2

第二章 2.1

第1课时

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已知点 A(-1,0),B(1,0),则使得∠APB 为直角的动点 P 的轨迹方程为________.
[答案] x2+y2=1 (x≠± 1)

第二章 2.1

第1课时

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[解析]

如图,设 P(x,y),由条件知 AP⊥PB,

第二章 2.1

第1课时

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y ∴x≠± 1,kPA= , x+1 y kPB= , x-1 由 kPA·PB=-1 得, k y y · =-1, x+1 x-1 ∴x2+y2=1. ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=1(x≠± 1).

第二章 2.1

第1课时

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命题方向

探索延拓创新 方程的曲线

[例 3]

方程 x(x2+y2-1)=0 和 x2+(x2+y2-1)2=0 所 )

表示的图形是(

A.前后两者都是一条直线和一个圆 B.前后两者都是两点 C.前者是一条直线和一个圆,后者是两点 D.前者是两点,后者是一条直线和一个圆

[答案] C

第二章 2.1

第1课时

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[解析] x(x2+y2-1)=0?x=0 或 x2+y2=1 表示直线 x= 0 和圆 x2+y2=1. x +(x +y -1)
?x=0 ? ?? ?y=± 1 ?
2 2 2 2

?x=0 ? =0?? 2 2 ?x +y -1=0 ?

表示点(0,1)、(0,-1).

第二章 2.1

第1课时

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已知方程 x2+(y-1)2=10. (1)判断点 P(1,-2),Q( 2,3)是否在此方程表示的曲线 上; m (2)若点 M( 2 ,-m)在此方程表示的曲线上,求 m 的值. [分析] (1)只需判断点 P,Q 的坐标是否满足方程即可;

(2)M 在曲线 C 上,则 M 点的坐标满足 C 的方程,代入建立 m 的方程解之即可.

第二章 2.1

第1课时

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[解析]

(1)∵12+(-2-1)2=10,( 2)2+(3-1)2=6≠10,

∴点 P(1,-2)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上, 点 Q( 2,3)不在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上. m (2)∵点 M( , -m)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上, 2 m ∴x= 2 ,y=-m 适合上述方程,

第二章 2.1

第1课时

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m 即( 2 )2+(-m-1)2=10. 18 解之得 m=2 或 m=- 5 , 18 ∴m 的值为 2 或- 5 .

第二章 2.1

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名师辨误作答

[例 4] 程. [错解] x-y=0.

动点 P 到两坐标轴的距离相等,求 P 点的轨迹方

设 P(x,y),由条件知 y=x,∴P 点的轨迹方程为

[辨析] 点 P 到坐标轴的距离不一定就是点 P 的坐标,点 P(x,y)到 x 轴的距离为|y|,到 y 轴的距离为|x|.

第二章 2.1

第1课时

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[正解] 设 P(x,y),由条件知|x|=|y|,∴y2=x2,即 P 点 的轨迹方程为 x2-y2=0.

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方法规律总结

第二章 2.1

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1.说明曲线 C 是方程 F(x,y)=0 的曲线,方程 F(x,y) =0 是曲线 C 的方程时,必须严格考察纯粹性和完备性. 2.求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要先 建立坐标系, 建系时, 尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴, 或利用图形的对称性选轴,或使尽可能多的点落在轴上;求曲 线的方程与求轨迹是有区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方 程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即说出图 形的形状、位置等.

第二章 2.1

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3.判断点 P 是否在曲线 C 上,只需将点 P 的坐标代入 C 的方程,若成立,则 P 在 C 上,否则 P 不在 C 上.

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课堂巩固训练

第二章 2.1

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一、选择题 1.“以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是“曲线 C 的方程是 f(x,y)=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] B

)

第二章 2.1

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[解析]

根据曲线方程的概念“曲线 C 的方程是 f(x,y)

=0”包含“曲线 C 上的点的坐标都是这个方程 f(x,y)=0 的 解”和“以方程 f(x, y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”两 层含义.

第二章 2.1

第1课时

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2.方程 4x2-y2+6x-3y=0 表示的图形是( A.直线 2x-y=0 B.直线 2x+y+3=0 C.直线 2x-y=0 或直线 2x+y+3=0 D.直线 2x+y=0 和直线 2x-y+3=0
[答案] C

)

第二章 2.1

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[解析]

∵4x2-y2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=

(2x-y)(2x+y+3), ∴原方程表示两条直线 2x-y=0 和 2x+y+3=0.

第二章 2.1

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二、填空题 3.曲线 x2-xy-y2-3x+4y-4=0 与 x 轴的交点坐标是 ________.
[答案]
[解析]

(-1,0)和(4,0)
令 y=0,得 x2-3x-4=0,解得 x=-1 或 x=4.

故交点坐标为(-1,0)和(4,0).

第二章 2.1

第1课时

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4.方程(x+y-1) x-1=0 所表示的曲线是________.
[答案] x+y-1=0(x≥1)或 x=1
?x+y-1=0, ? 原方程等价于? ?x-1≥0, ?

[解析]

或 x=1.

即 x+y-1=0(x≥1)或 x=1.

第二章 2.1

第1课时

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三、解答题 5.下列方程各表示什么曲线,为什么? (1)x2+xy-x-y=0; (2)(x-2)2+ y2-4=0.

第二章 2.1

第1课时

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[解析]

(1)原方程等价于 x(x+y)-(x+y)=0?(x+y)(x-

1)=0?x+y=0 或 x-1=0.故原方程表示两条直线. (2)原方程等价于 x-2=0 且 y2-4=0,即 x=2 且 y=± 2. 故原方程表示两点(2,-2)和(2,2).

第二章 2.1

第1课时

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课后强化作业(点此链接)

第二章 2.1

第1课时


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