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1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课件


第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

【知识梳理】 1.命题 判断真假 的陈述句叫做命题. 用语言、符号或式子表达的,可以_________ 判断为真 的语句叫做真命题,_________ 判断为假 的语句叫做假命 其中_________ 题.

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:

/>
若q,则p

若﹁p,则﹁q

若﹁q,则﹁p

逆否命题 否命题等 (2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_________, 逆命题 在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或 价于_______, 4.

3.充要条件

(1)相关概念: 充分 条件,q是p的_____ 必要 条件 若p?q,则p是q的_____
充分不必要 条件 p是q的___________ 必要不充分 条件 p是q的___________ 充要 条件 p是q的_____ 既不充分也不必要 条件 p是q的_________________ p p?q且q p p

q且q?p p?q q 且q p

(2)集合与充要条件: p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为B p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 真子集 A是B的_______ 真子集 B是A的_______

A=B ____
包含 A,B互不_____

【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:

①若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中
至少有一个为真;

②若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件;
③若p是q成立的充要条件,则可记为p?q; ④命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”. 其中是真命题的是( A.①②③ B.②③④ ) C.①③④ D.②④

【解析】选A.对于①,因为原命题等价于逆否命题,所以①是真 命题;对于②,由充分、必要条件的定义知②是真命题 ;对于③, 由充要条件的意义知,③是真命题;对于④,“若p,则q”的否命 题是“若p,则q”,所以④是假命题.

2.“x>2”是“x2>4”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.显然,若x>2,则x2>4,但反之不成立.故选A.

3.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命 题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 )

【解析】选D.原命题显然正确,其逆命题为:若x=y=0,则 x2+y2=0,显然也是真命题,由四种命题之间的关系知,其否命题、 逆否命题也都是真命题.

4.已知p:-4<k<0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则p是q成立的 ( )

A.充分不必要条件
C.充要条件

B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.-4<k<0?k<0,Δ=k2+4k<0,函数y=kx2-kx-1的值
恒为负,但反之不一定有-4<k<0,如k=0时,函数y=kx2-kx-1的

值恒为负,即p?q,而q

p.

5.(2014·嘉兴模拟)条件甲: ? ? 则甲是乙的( A.充要条件 C.必要而不充分条件 )

2 ? x ? y ? 4,

?0 ? xy ? 3,

条件乙: ? ?

0 ? x ? 1,

?2 ? y ? 3,

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.若甲成立,不妨令x=1.5,y=1.5,则乙不成立;反之,

若乙成立,则由不等式的性质知,甲成立.故甲是乙的必要而不
充分条件.

6.命题“若x2-2x-3>0,则x>3或x<-1”的逆否命题是_______ . 【解析】因为x>3或x<-1的否定是x≥-1且x≤3,即-1≤x≤3,所 以原命题的逆否命题是“若-1≤x≤3,则x2-2x-3≤0”. 答案:若-1≤x≤3,则x2-2x-3≤0

考点1

命题真假的判断与四种命题及其相互关系

【典例1】(1)(2013·天津高考改编)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 1 ,则其体积缩小到原来的 1 ;
2 8

②若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=
1 相切. 2

其中真命题的序号是(
A.①②③ B.①②

)
C.①③ D.②③

(2)命题“若α= ? ,则tanα=1”的逆否命题是(
? ,则tanα≠1 4 C.若tanα≠1,则α≠ ? 4 4

)

A.若α≠

B.若α= ? ,则tanα≠1
D.若tanα≠1,则α= ?
4 4

【解题视点】(1)命题①,用球的体积和半径的关系进行判断,
命题②,用向量的数量积进行判断,命题③,用直线和圆的位置

关系进行判断.
(2)逆否命题是把原命题的条件和结论分别否定 ,再交换位置即 可得.

【规范解答】(1)选C.命题①由球的体积公式可知,一个球的半 径缩小到原来的 1 ,则其体积缩小到原来的 1 ,正确;命题②由
2 8

a·b>0,知夹角属于 [0, ),即夹角为锐角或0,故该命题错误;命 题③圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d= 1 ? 2 ,与圆x2+y2= 1
2 2

? 2

2

的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确. (2)选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
? ”,故选C. 4

【规律方法】

1.书写否命题和逆否命题的注意事项
(1)一些常见词语及其否定表示: 词语 否定 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于

(2)否定的方法: 在根据原命题构造其否命题和逆否命题时 ,首先要把条件和结 论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.注意其中易混的关键词, 如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不 是,“不都是”指的是其中有些不是.

2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断 . (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断 .

【变式训练】(2014·宁波模拟)有以下命题: ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; ④“若A∩B=B,则A?B”的逆否命题. 其中真命题为( A.①② B.②③ ) C.④ D.①②③

【解析】选D.①中逆命题为:“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真 命题;②中否命题为:“面积不相等的三角形不是全等三角形”, 是真命题;③中原命题是真命题,所以它的逆否命题也是真命题; ④中原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.

【加固训练】命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否 命题是( )

A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 【解析】选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定

是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇
函数,则f(-x)不是奇函数”.

考点2

充分条件、必要条件的判断

高频考点 通 关

【考情】充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命 题的亮点.常以选择题、填空题的形式出现,作为一个重要载体, 考查的数学知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面,如函数、 不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.

【典例2】(1)(2013·北京高考)“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2013·陕西高考)设a,b为向量,则“|a?b|=|a||b|”是 “a∥b”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【解题视点】(1)先将φ=π代入,看曲线是否过原点,再求出过 原点时φ的值,进而判断充分必要条件. (2)根据充分条件、必要条件的判断方法进行推理判断 .

【规范解答】(1)选A.当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,过原 点,但是曲线过原点时,由sinφ=0得φ=kπ(k∈Z).故 “φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必 要条件.

(2)选C.设向量a与b的夹角为θ.由|a?b|=||a|?|b|cos θ|
=|a||b|,得|cos θ|=1,即cosθ=〒1,所以θ=0或π,能够推

得a∥b,显然,反之也能够成立.
故“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.

【通关锦囊】 重点题型 与三角相关的充 分必要条件的判 断 与解析几何相关 的充分必要条件 的判断 与不等式相关的 充分必要条件的 判断 与平面向量相关 的充分必要条件 的判断 破 解 策 略

熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角 函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决 该类问题的关键 首先理解点与曲线的位置关系,两直线的位 置关系,直线与曲线的位置关系,然后弄清题 意进行判断 可把不等式之间的关系转化为集合与集合之 间的关系,根据集合与充要条件之间的关系 进行判断 该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共 线、共面的条件,可把问题转化为有关向量 之间的推理

【特别提醒】解答充分条件、必要条件的判断题,必须从正、 逆两个方面进行判断.

【关注题型】 与立体几何相关 的充分必要条件 的判断

可把问题转化为线线、线面、面面之间位置
关系的判断及性质问题,由此进行恰当判断

【通关题组】 1.(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】选A.因为集合(1,2)是(-≦,2)的真子集,所以“1<x<2”

是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.

2.(2014·台州模拟)已知数列{an},那么“对任意的n∈N*,点

Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“{an}为等差数列”的(
A.充分而不必要条件

)

B.必要而不充分条件
C.充要条件

D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由“对?n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1”上得 an=2n+1,得{an}为等差数列,但{an}为等差数列,点Pn(n,an)不 一定在直线y=2x+1上,故选A.

3.(2013·浙江高考)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0, φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
? ”的( 2

)

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
? ? +kπ,k∈Z;φ= ?f(x)是 2 2 ? 奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要不充分条件. 2

【解析】选B.f(x)是奇函数?φ=

【加固训练】

1.(2011·江西高考)已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,
平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2,直线 l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3,那么“P1P2=P2P3”是 “d1=d2”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【解析】选C.如图所示,由于α2∥α3,同时被 第三个平面P1P3N所截,故有P2M∥P3N,再由平行 线分线段成比例易得, ?d1=d2.
P1P2 d1 ? ,因此P1P2=P2P3 P2 P3 d 2

2.(2014·海淀模拟)在四边形ABCD中,“?λ∈R,使得
AB ? ?DC,AD ? ?BC ”是“四边形ABCD为平行四边形”的(

)

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.若 AB ? ?DC,AD ? ?BC, 则 AB DC , AD BC ,即
AB DC,AD

所以四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边 BC,

形ABCD为平行四边形,则有AB∥DC,AD∥BC且AB=DC,AD=BC,

即 AB ? DC , AD ? BC ,此时λ=1,所以?λ∈R,使得
, AB ? ?DC,AD ? ?BC 成立,所以“?λ∈R,使得 AB ? ?DC
AD ? ?BC ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条

件,选C.

3.(2014·太原模拟)“m< 1 ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实
4

数解”的(

) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.必要不充分条件

【解析】选A.一元二次方程x2+x+m=0有实数解时m满足1-4m≥0,
即m≤
1 ,故m< 1 ?m≤ 1 ;反之不成立,所以“m< 1 ”是“一元 4 4 4 4

二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.

考点3

充分条件、必要条件的应用

【典例3】(1)(2014·金华模拟)若“0<x<1”是“(x-a)[x(a+2)]≤0”的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是( A.[-1,0] C.(-∞,0]∪[1,+∞) B.(-1,0) D.( -∞,-1)∪(0,+∞) )

(2)已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}. ①求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件. ②求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不 必要条件.

【解题视点】(1)把问题转化为集合之间的关系,列关于a的不 等式组求解. (2)①分充分性和必要性两个方面求解证明 . ②只要在①中求出的实数a的取值范围内找到一个值,破坏其中 的必要性即可.

【规范解答】(1)选A.由(x-a)[x-(a+2)]≤0,

得a≤x≤a+2,
由题意得(0,1)?[a,a+2].
?a ? 0, 所以 ? 得-1≤a≤0. ? a ? 2 ? 1,

(2)①由M∩P={x|5<x≤8},结合集合M,P可得-3≤a≤5.故-3≤

a≤5是M∩P={x|5<x≤8}的必要条件.下面证明这个条件也是充
分的.

证明:当-3≤a≤5时,集合P={x|a≤x≤8},集合M={x|x<-3或 x>5},故M∩P={x|5<x≤8}. 综上可知,-3≤a≤5是M∩P={x|5<x≤8}的充要条件. ②求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不 必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时 必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0,故 a=0是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.

【易错警示】关注端点值的取舍 解答本例(1)易出现选B的错误,出错的原因是题意理解不清,忽 视端点值的取值是否合适.

【规律方法】 1.求与充要条件有关的参数取值问题的方法 解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系 , 并由此列出关于参数的不等式(组)求解. 2.充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时 ,其基本

方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明的.这类
试题一般有两种设置格式.

(1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是A?B,必要性
是B?A.

(2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是
B?A,必要性是A?B. 提醒:在分充分性与必要性分别进行证明的试题中 ,需要分清充 分性是什么,必要性是什么;在一些问题中充分性和必要性可以 同时进行证明,即用等价转化法进行推理证明.

【变式训练】已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的 取值范围. (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的 取值范围.

【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,
所以P={x|-2≤x≤10},

(1)因为x∈P是x∈S的充要条件,所以P=S,
所以 ?
?1 ? m ? ?2, ?m ? 3, 所以 ? 这样的m不存在. ?1 ? m ? 10, ?m ? 9, ?1 ? m ? ?2, 所以m≤3. ?1 ? m ? 10,

(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S?P, 所以 ?

综上,可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.

【加固训练】

1.若φ=k是函数f(x)=cos(x+φ)(φ∈(0,π))为奇函数的充要
条件,则k= .

【解析】f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)?cos(-x+φ)=-cos(x+ φ)?cos(x-φ)=cos(π+x+φ)?x-φ=π+x+φ+2nπ或x-φ =-(π+x+φ)-2nπ(无解舍去),φ∈(0,π)?φ= ,即k= 答案: ?
2 ? 2 ? . 2

2.已知ab≠0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0,
则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

所以(a+b-1)[(a ? b ) 2 ? 3 b 2 ] =0,由ab≠0得
2 4

a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.

再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2
-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证. 综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

【易错误区1】充分条件、必要条件判断中的易错点

【典例】(2013·天津高考改编)设a,b∈R,且a≠0,则“(ab)a2<0”是“a<b”的( )

A.充分而不必要条件
C.充要条件

B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.因为a≠0,所以a2>0.
由(a-b)a2<0知,a-b<0,即a<b.

所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分条件.
反之①,因为a,b∈R,且a≠0②,所以a2>0.

因为a<b,即a-b<0,所以(a-b)a2<0.
所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的必要条件.

综上,应选C.

【误区警示】 1.易忽略①处,只考虑“(a-b)a2<0?a<b”是否成立,而忽略了 反推,从而误选A. 2.②处反推时,易忽略大前提,从而得“a<b?(a-b)a2<0”不成 立,从而误选A.

【规避策略】 1.判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推理论 证,缺一不可,最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断 . 2.进行正、反两个方面推理时,大前提都要参与推理,是推理的 条件.

【类题试解】(2012·浙江高考)设a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】选A.“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平 行”的充要条件是: 由 a ? 2 ? ?1 ,解得a=-2或1.
1 a ?1 4

故“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平 行”的充分不必要条件.


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