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数列求和

时间:2016-06-20


专题

数列求和

[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载 体,考查数列求和的各种方法和技巧.

数列求和常用方法:
一、公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d; 2 2 (

2)等比数列的前 n 项和公式:

?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

二.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. 三、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以 相互抵消,从而求得其和. 四、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的,这个数列的前 n 项和可用错位相减法.

掌握三个核心考点
考点一 分组转化求和


已知数列{an}满足 a1=1,且 an=3an-1+2n 1(n≥2). (1)证明{an+2n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

【思路点拨】

an+2n (1)证明: =q(q 为非零常数)便可. an-1+2n-1

(2)求 an 的通项公式,分组求和求 Sn.

规律方法 1

分组转化法求和的常见类型

?1?若 an=bn± cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组 求和法求{an}的前 n 项和. ?2?通项公式为
? ?bn,n为奇数, an=? ? ?cn,n为偶数

的数列,其中数列{bn},

{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.

变式训练(1)已知数列{an}的通项为 ,Sn 为数列{an}的前 n 项的和,则 S20 等于( A.2 246 C.2 146 B.2 148 D.2 248

)

(2)若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1, 则数列 {an}的前 n 项和为( A.2 +n -1 C.2
n+ 1 n 2

) B.2
n+ 1 n

+n2-1

+n -2

2

D.2 +n-2

【解析】 (1)S20=a1+a2+a3+a4+?+a20=(a1+a3+a5+? +a19)+(a2+a4+a6+?+a20)=(1+3+5+?+19)+(21+22+23
10 ? 1 + 19 ? × 10 2 ? 1 - 2 ? 10 +?+2 )= + =100+211-2=2 146. 2 1-2

(2)Sn = (21 + 22 + 23 + ? + 2n) + [1 + 3 + 5 + ? + (2n - 1)] = 2?1-2n? n?1+2n-1? + =2n+1+n2-2. 2 1-2

【答案】

(1)C

(2)C

考点二

裂项相消法求和

(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
? ? 1 ? ? ? ?的前 (2)求数列 a ? ? 2n-1a2n+1? ?

n 项和.

【思路点拨】

(1)结合等差数列的求和公式列出关于首项

和公差的方程组求解;(2)裂项求和,但要注意裂项后的系数.

规律方法 2 1.本例第(2)问在求解时, 常因“裂项”错误, 导 致计算失误. 2.利用裂项相消法求和应注意以下两点 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面 剩两项,后面也剩两项; (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项 1 之差和系数之积与原通项相等. 如: 若{an}是等差数列, 则 = anan+1 1 ? 1 ? 1? 1 1? ?1 ? ?1 ? - - , = . ? ? ? a a a a d? 2 d + + anan+2 ? n ? n n 1? n 2?

常见的拆项公式
1 1 1 ? ? (1) n(n ? 1) n n ? 1

1 ? 1 1? ? 1 (2) = ?2n-1-2n+1? ? ?2n-1??2n+1? 2? ? (3) 1 n+ n+1

? n ?1 ? n

变式训练

已知等差数列{an}中,a2=8,S6=66.

(1)求数列{an}的通项公式 an; 2 (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+?+bn,求 Tn. ?n+1?an

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d,则

a2=a1+d=8, ? ? ? ?a1=6, 由题意得? 解之得? 6×5 ? ?d=2. S6=6a1+ d=66, ? 2 ? ∴an=6+(n-1)· 2=2n+4. 2 1 1 1 (2)bn= = = - , ?n+1?an ?n+1??n+2? n+1 n+2
? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ∴Tn=?2-3?+?3-4?+?+?n+1-n+2? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 n = - = , 2 n+2 2?n+2?

考点三

错位相减法求和

2n-1 已知 bn= n ,n∈N*. 2 求{bn}的前 n 项和 Tn.

变式训练 (2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,
a2 , a4 是方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的根。

(1) 求{an}的通项公式。
? 的前 n 项和。 (2) 求数列 ? ?2 ?
n

? an ?

自主体验
1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为
?Sn? Sn,则数列? n ?的前 ? ?

10 项的和为(

)

A.120 C.75

B.70 D.100

【解析】

n?3+2n+1? Sn ∵Sn= =n(n+2),∴ n =n+2. 2 10 项的和为:(1+2+?+10)+20=75.

?Sn? ∴数列? n ?前 ? ?

【答案】

C

2.数列{an}的通项公式是 an= 则 n 等于( A.9 C.10 )

1 n+ n+1

,前 n 项和为 9,

B.99 D.100

【解析】

∵an=

= n+1- n, n+ n+ 1

1

又 a1+a2+?+an =-(1- 2+ 2- 3+?+ n- n+1) = n+1-1=9, ∴n=99.

【答案】

B

3.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2 +?+a10=( A.15 ) B.12

C.-12
【解析】

D.-15
∵an=(-1)n(3n-2),

∴a1+a2+?+a10=(-1+4)+(-7+10)+?+(-25+ 28)=3×5=15. 【答案】 A

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数
? ? 1 ? ? ? 列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

100 项和为(

) 99 B. 101 101 D. 100

100 A. 101 99 C. 100

【解析】

设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.

∵a5=5,S5=15, a +4d=5, ? ? ? 1 ?a1=1, ∴? ∴? 5×?5-1? ? ?d=1, 5a1+ d=15, ? 2 ? ∴an=a1+(n-1)d=n. 1 1 1 1 ∴ = = - , n anan+1 n?n+1? n+ 1
? ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? ∴数列 a a 的前 100 项和为 1- + - +?+ - = ? ? 2 2 3 100 101 ? n n+1?

1 100 1- = . 101 101

【答案】

A

5.(2013· 辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an} 的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6= ________.
【解析】 因为 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,且数

1-26 列{an}是递增的等比数列, 所以 a1=1, a3=4, q=2, 所以 S6= 1-2 =63.

【答案】

63

6.(2013·重庆高考)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8= ________.
【解析】 借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数

列的公差后,再利用等差数列的求和公式直接求 S8. ∵a1,a2,a5 成等比数列, ∴a2 2=a1a5

∴(1+d)2=1×(4d+1), ∴d2-2d=0, ∵d≠0,∴d=2. 8×7 ∴S8=8×1+ ×2=64. 2
【答案】 64


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