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哈尔滨师大附中2012—2013学年度高三第二次月考数学(文)试题

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哈尔滨师大附中 2012—2013 学年度高三第二次月考

数学(文)试题
考试说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟. 2.答卷前,考生务必写好姓名、并将考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上. 3.将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上,第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4.考试结束,将答题纸和

答题卡一并交回,答案写在试卷上视为无效答案.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.下列各组中的两个集合 A 和 B ,表示同一集合的是 ( ) A. A ? ?? ?, B ? ?3 . 14159

?

B. A ? ?2 ,3?, B ?

?? 2 ,3 ??

C. A ? ?x ? 1 ? x ? 1, x ? N ?, B ? ?1?
2

D. A ? 1, 3 , ? , B ? ? ,1, ?

?

?

?

3

?
( )

2.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0 ,1? ,则 f ( x ) 的定义域为 A. ? ? 1, 0 ? B. ?? 1,1? C. ? 0 ,1 ? D. ?0 ,1?

3. a ? lo g 0 .3 4, b ? lo g 4 3, c ? 0 .3 ? 2 ,则 A. a ? c ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c





4.“ p 且 q 为真 ”是“ p 或 q 为真 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件





D. 既不充分也不必要条件

5.设函数 f ( x ) 对任意 x , y 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,且 f ( 2 ) ? 4 ,则 f ( ? 1) 的值为 ( A. ? 3 B. ? 2
x



C. 2

D. 3

6.若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0 . 25 ,则 f ( x ) 可以是 ( A. f ( x ) ? 4 x ? 1 C. f ( x ) ? e ? 1
x



B. f ( x ) ? ( x ? 1) D. f ( x ) ? ln( x ?

2

1 2

)

7.函数 y ? x ? 4 x ? 1, x ? [1,5 ] 的值域是
2

( C. [ ? 3 , ?? )
1



6 A. [1, ]

1 B. [ ? 3,]

6 D. [ ? 3, ]

8.曲线 C : y ? e 在点 A 处的切线 l 恰好经过坐标原点,则 A 点的坐标为
x


1 e



A. (1, e )

B. (1,1)

C. (e ,1)

D. ( ,1 )

9.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆 乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A. 2800 元 B. 2400 元 C. 2200 元 D. 2000 元 10.已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的增函数,且 f (1) ? 0 ,函数 g ( x ) 在 ( ? ? ,1] 上为增函数,在
[1, ? ? )

上为减函数,且 g ( 4 ) ? g (0 ) ? 0 ,则集合 { x | f ( x ) g ( x ) ? 0} = B. { x | 0 ? x ? 4} D. { x | 0 ? x ? 1或 x ? 4}





A. { x | x ? 0 或 1 ? x ? 4} C. { x | x ? 4}

11.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ) ? f ( x ? 2 ) ,当 x ? ?3 ,5 ? 时, f ( x ) ? 2 ? x ? 4 . 下列四个不等关系中正确的是 ? ? A. f (sin ) ? f (cos )
6

( B. f (sin 1) ? f (cos 1) D. f (cos 2 ) ? f (sin 2 )



C. f (cos

2? 3

) ? f (sin

6 2? 3

)

3 2 12.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ? ( x ) .

① f ( x ) 的单调减区间是 ?

?2

? ,2 ? ; ?3 ?

② f ( x ) 的极小值是 ? 15 ; ③当 a ? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x ) ? f ( a ) ? f ?( a )( x ? a ) ④函数 f ( x ) 满足 f ( 其中假命题的个数为 A.0 个
2 3 ? x) ? f ( 2 3 ? x) ? 0

( B.1 个 C.2 个 D.3 个



第Ⅱ卷(非选择题
13.已知集合 M ? y y ? x ? 1, x ? R , N ? x y ?
2
2

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?

?

?

2? x

2

?,则 M ? (

R

N ) ? ______.

14.命题“ ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 .”的否定是___________________.

2

15.函数 f ( x ) ?

x 1? x
3

, 则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x 的零点是



16.函数 f ? x ? ? a x ? 3 x ? 1 对于 x ? ? ? 1,1 ? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 已知 a , b , c 是三个连续的自然数,且成等差数列, a ? 1, b ? 2 , c ? 5 成等比数列,求 a , b , c 的值.

18. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 , B ? ? x ? x ? a ? ? x ? 4 a ? ? 0 ? ,
2

?

?

(1) 若 a ? 0 且 A ? B ? ?x 3 ? x ? 4 ? ,求 a 的值; (2) 若 A ? B ? A ,求 a 的取值范围. 19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x | x ? m | ? n ,其中 m , n ? R (1) 若 f ( x ) 为 R 上的奇函数,求 m , n 的值; (2) 若常数 n ? ? 4 ,且 f ( x ) ? 0 对任意 x ? [0, 1] 恒成立,求 m 的取值范围. 20. (本题满分 12 分) 如图, 在平面直角坐标系中,N 为圆 A : ( x ? 1) ? y ? 16 上的一动点, B (1, 0 ) , M 是 BN 点 点
2 2

中点,点 P 在线段 AN 上,且 MP ? BN ? 0 . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x ? y ? 4 的位置关系,
2 2

并说明理由.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( k ? k ln x ) e
2 x

( k 为非零常数, e ? 2.71828 ? ? ? 是自然对数的底数),曲线

y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(1)判断 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) ? (1
a ) x - e ln x + b , ( a > 0) , 求 ( a ? 1) b 的最大值.
x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如多选,则按所做的第一题计分.作答时请写清题 号.

3

22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在正 ? A B C 中, D , E 分别在边 B C , A C 上, 点 且 BD ?
1 3 BC ,CE ? 1 3 C A , A D , B E 相交于点 P ,

求证: (1) P , D , C , E 四点共圆; (2) A P ? C P . 23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处, 极轴与 x 轴非负半轴重合. 直线 l 的参数方程为:
? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? . ? ?y ? 1 t ? 2 ?

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P , Q 两点,求 PQ 的值.

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? 1 ? log
2

a (其中 a ? 0 ) .

(1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

4

参考答案
一、选择题 二、填空题 (13) DBCABA DACADC

?

2, ? ?

?

(14) ? x 0 ? R ,使得 x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 . (16)4

2

(15) 0 三、解答题 17. (本题满分 12 分)

解:因为 a , b , c 是三个连续的自然数,且成等差数列,故设 a ? n ? 1, b ? n , c ? n ? 1 ,--3 分 则 a ? 1 ? n, b ? 2 ? n ? 2, c ? 5 ? n ? 6 , 由 a ? 1, b ? 2 , c ? 5 成等比数列, 可得 ? n ? 2 ? ? n ? n ? 6 ? ,解得 n ? 2 ,-----9 分
2

所以 a ? 1, b ? 2 , c ? 3 ------12 分 18. (本题满分 12 分) 解: A ? ?x 2 ? x ? 4 ? , (1)当 a ? 0 时, B ? ? x a ? x ? 4 a ? ,---3 分 若 A ? B ? ?x 3 ? x ? 4 ? ,则 a ? 3 ;----6 分 (2) A ? B ? A 说明 A ? B ,----8 分 当 a ? 0 时, B ? ? x a ? x ? 4 a ? ,需 ?
?a ? 2 ?4a ? 4

,解得 1 ? a ? 2 ;----9 分

当 a ? 0 时, B ? ? ,不合题意;----10 分 当 a ? 0 时, B ? ? x 4 a ? x ? a ? ,需 ? 综上 1 ? a ? 2 .----12 分 19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 若 f ( x ) 为奇函数,? x ? R ,? f (0) ? 0 ,即 n ? 0 ,---2 分
? f ( x) ? x | x ? m |

?4a ? 2 ?a ? 4

,无解;----11 分

由 f ( ? 1) ? ? f (1) ,有 | m ? 1 |? | m ? 1 | ,? m ? 0 ---4 分

此时, f ( x ) ? x | x | 是 R 上的奇函数,故所求 m , n 的值为 m ? n ? 0 (Ⅱ) ① 当 x ? 0 时, ? 4 ? 0 恒成立,? m ? R ----6 分

5

② 当 x ? (0, 1] 时,原不等式可变形为 | x ? m |?
? m ? ?x ? ? ? ∴ 只需对 x ? (0, 1] ,满足 ? ?m ? ? x ? ? ? 4 x 4 x (2)

4 x

即?x ?

4 x

? m ? ?x ?

4 x

恒成立—7 分

(1)

恒成立-----9 分

对(1)式:令 g ( x ) ? ? x ?

4 x

,当 x ? (0, 1] 时, g ' ? x ? ? ? 1 ?

8 x
2

? 0,

则 g ( x ) 在 (0 , 1] 上单调递减,? m ? g ( x ) m in ? g (1) ? 3 对(2)式:令 h ( x ) ? ? x ?
4 x

,当 x ? (0, 1] 时, h ? ( x ) ? ? 1 ?

4 x
2

? 0,

则 h ( x ) 在 (0 , 1] 上单调递增,? m ? h ( x ) m ax ? h (1) ? ? 5 ---11 分 由①、②可知,所求 m 的取值范围是 ? 5 ? m ? 3 .---12 分 20. (本题满分 12 分) 解:(1)由点 M 是 BN 中点,又 MP ? BN ? 0 , 可知 PM 垂直平分 BN,所以 | PN |? | PB |, 又 | PA | ? | PN |? | AN |, 所以|PA|+|PB|=4 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1,

由 2 a ? 4 , 2 c ? 2 , 可得 a ? 4 , b ? 3 .
2 2

可知动点 P 的轨迹方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

----4 分
Q

(2)设点 P ( x 0 , y 0 ), P B

Q(

的中点为

,则

x0 + 1 y0 , ) 2 2

| PB | ?

( x 0 ? 1) ? y 0 ?
2 2

x0 ? 2 x0 ? 1 ? 3 ?
2

3 4

x0

2

?

1 4

x0 ? 2 x0 ? 4 ? 2 ?
2

1 2

x0 ,

-----6 分
x0 ? 1 y0 , ), 2 2
2

即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q ( 半径为 r1 ? 1 ?
1 4
2

x 0 , 又圆 x ? y

? 4 的圆心为 O(0,0) ,半径 r2 ? 2 ,

6

OQ =

骣0 + 1 骣 x 鼢+ y0 珑 鼢 珑 珑 2 鼢 桫2 桫

2

2

=

1 4

x0 +

2

1 2

x0 +

1 4

+

1 骣 3 2÷ ?3 x0 ÷ 又 ? ÷ 桫 4 4?

?

1 16

x0 ?
2

1 2

x0 ? 1

?1?

1 4

x0 ,

-----8 分

故 | OQ |? r2 ? r1 , 即两圆相内切.-----10 分 21. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ? ( k ? k ln x ?
' 2

k x

)e ,

x

由题意知 f ? (1) ? 0 ,解得 k ? 1 或 k ? 0 (舍);---2 分
x 所以 f ( x ) ? (1 ? ln x ) e , f ( x ) ? (1 ? ln x ?
'

1

设 g ( x ) ? 1 ? ln x ?

1 x

,则 g ( x ) ? ?
'

1 x

?

1 x
2

?

)e x 1? x x
2

x

于是 g ( x ) 在区间 ( 0 ,1) 内为增函数;在 (1, ?? ) 内为减函数. 所以 g ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,且 g (1) ? 0 所以 g ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) ? 0 所以 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是减函数.----4 分
'

(Ⅱ) f ( x ) ? (1 ? a ) x ? e ln x ? b ? h ( x ) ? e ? ( a ? 1) x ? b ? 0 --6 分
x x

得 h ? ( x ) ? e ? ( a ? 1)
x

当 a > 0, 即 a + 1 > 1 时, h ?( x ) ? 0 ? x ? ln( a ? 1), h ?( x ) ? 0 ? x ? ln( a ? 1) 所以当 x ? ln ( a ? 1) 时, h ( x ) m in ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1) ? b ? 0
( a ? 1) b ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln( a ? 1)( a ? 1 ? 1) ,令 a ? 1 ? t ( t ? 1)
2 2

设 F ( t ) ? t ? t ln t ( t ? 1) ; 则 F ?( t ) ? t (1 ? 2 ln t ) -------9 分
2 2

F ?( t ) ? 0 ? 1 ? t ?

e , F ?( t ) ? 0 ? t ?

e e 时, ( a ? 1) b 的最大值为

当t ?

e 时, F ( t ) m ax ?

e 2

,当 a ?

e ? 1, b ?

e 2

---12 分

22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (I)在 ? A B C 中,由 B D ?
1 3 BC ,CE ? 1 3 C A,

知: ? A B D ≌ ? B C E , ? ? ADB ? ? BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? . 所以四点 P , D , C , E 共圆;---5 分
7

(II)如图,连结 D E .在 ? CDE 中,C D ? 2 C E , ? A C D ? 6 0 ,由正弦定理知 ? C E D ? 9 0 由 四点 P , D , C , E 共圆知, ? D P C ? ? D E C ,所以 A P ? C P . ---10 分 23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1)? ? ? 4 cos ? ,? ? 由?
2 2 2 2

?

?

? 4 ? cos ? ,
2 2

? x ? y , ? cos ? ? x ,得 x ? y
2

? 4x

所以曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 ,----2 分
2

它是以 ? 2 , 0 ? 为圆心,半径为 2 的圆.---4 分
? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ,整理得 t 2 ? 3 3 t ? 5 ? 0 ,---6 分 (2)把 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

设其两根分别为 t 1 , t 2 , 则 t 1 ? t 2 ? 3 3 , t 1 t 2 ? 5 ,---8 分 所以 PQ ? t 1 ? t 2 ?
7 .----10 分

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)当 a ? 4 时, f ( x ) ? 2 ,
x ? ? ? 1 2
x ? 1 时, x ? 0 ,此时无解

1 2

时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ?
1 2 ? x ? 2 3

1 2

? x ? 1 时, 3 x ? 2 ,得 ?

2? ? ? 不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ? ? ---5 分 3? ?

1 ? ?? x ? 2, x ? ? 2 ? 1 ? (1)设 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ? 3 x , ? ? x ? 1 ,---7 分 2 ? ? x ? 2, x ? 1 ? ?

(2)故 f ( x ) ? ? ?
?

?

? , ?? ? ,----8 分 2 ? 3
3 2

(3)即 f ( x ) 的最小值为 ?

.所以若使 f ( x ) ? log

2

a 有解,只需 log

2

a ? f ( x ) min ,即

8

log

2

a ? ?

3 2

,解得 a ?

2 4

,即 a 的取值范围是 ?

?

? , ?? ? .----10 分 ? ? 4 ? 2

9


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