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8.1


第八章 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三视图

和直观图
要点梳理
1.多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 平行 ,侧棱都 平行且长度 相等 ,上底面和下底面是 全等 的多边形.

(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个
公共点 的三角形. (3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面截棱锥

得到, 其上下底面的两个多边形相似.

补充:几种四棱柱(六面体)的关系:
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是
矩形

底面为 正方形

侧棱与底面 边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形,并且顶点在底面的射影是底 面的中心,这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E

S

D
O C

各侧棱相等,各侧面 是全等 的等腰三角形,各等腰 三角形底 边上的高相等(它叫做正棱锥的 斜高)。

A

B

正棱台

用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。
正棱台的侧面是全等的等腰梯形,

它的高叫作正棱台的斜高。

斜高

正四棱台

正棱锥

2.旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其 一条直角边所在 直线 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到.

3.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用 正投影 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括 正视图 、 侧视图、 俯视图 .

4.空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法,基 本步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′ 轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ =45°(或135°) .

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观 图中平行于 x′轴、y′轴 . (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长 度保持不变,平行于y轴的线段,长度变为原来 的一半 . (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面, 在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平 面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中 仍平行于z′轴且长度 不变 .

画三视图的基本要求:
正 视 图 侧 视 图 正 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度 侧 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度

c(高)

c(高)

a(长)

高 平 长对正 齐
b(宽)

b(宽)

俯 视 图

a(长)

宽相等

俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度

5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 互相平行 ,而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看,三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形.

题型分类
题型一

深度剖析

几何体的结构、几何体的定义

【例1】下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则 此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线

解析 A错误.如图所示,由两个结构 相同的三棱锥叠放在一起构成的几何 体,各面都是三角形,但它不一定是棱锥.

B错误.如下图,若△ABC不是直角三角
形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边,所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等, 则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正

六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.
D正确.

答案 D

题型二:空间几何体的直观图: 【例 2】已知正三角形 ABC 的边长为 a, 那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的 面积为( 3 2 A. a 4 ). 3 2 B. a 8 6 2 C. a 8 6 2 D. a 16

解析

如图①②所示的实际图形和直观图.

1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a, 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′, 2 6 则C′D′= 2 O′C′= 8 a. 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2×a× 8 a= 16 a . 答案 D

探究提高 对于直观图,除了解斜二测画法的规

则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′

之间的关系S′=
知能迁移2

2 S , 能进行相关问题的计算. 4 如图所示,直观图四边形

A′B′C′D′是一个底角为45°,
腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面

积是

.

解析

把直观图还原为平面图形得:

直角梯形ABCD中,AB=2,BC=1+ 2 ,AD=1,
1 ?面积为 ( 2 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? 2. 2

答案 2 ? 2

题型三 几何体的三视图

例题 3.(2011·浙江)若某几何体的三视图 如图所示,则这个几何体的直观 图可以是( ).

知识迁移:(2011·海南)在一个几何体的三 视图中,正视图和俯视图如图所示,则相 应的侧视图可以为( ).

解析 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半 圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于 底面的三棱锥的组合体,故其侧视图应为D. 答案 D

【试一试】(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给 定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右 图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆 柱,其正(主)视图,俯视图如右图.其中真命题的个数是 ( A.3 B.2 C.1 D.0 ).

[尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相 同,故选A.

答案 A

题型四:侧面展开图
? 例题四:
如图,直三棱柱 中,

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质,并能 灵活应用. 2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底

面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面
边长的一半构成的直角三角形中解决. 3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截面.

失误与防范
1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截

面与底面平行.
2.掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面 的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可 见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚

线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样
宽”.

3.掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.

“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;
平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.” 4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图; 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 提升空间想象能力.


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