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2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计


昆明黄冈实验学校

高二理数 《选修 2-1》 2.4.2 抛物线的简单几何性质

教学设计

第3周

2015 年 3 月 16-22 日

2.4.2
一、内容及其解析

抛物线的简单几何性质(4 课时)
辅备教师:马能礼
<

br />主备教师:周雷凤

本次课学的内容是抛物线的一些基本性质,其核心内容是抛物线的离心率及准线,理解它 关本节课要键是先让学生理解直观的图形,从中抽象出抛物线的性质。 学生已经学过抛物线线概念和标准形式,本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上 的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系,并有参照对比的作用。是抛物线 的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围,解决重点的关键是引导学生动手、动脑,从图 形的直观得到抛物线性质的准确刻画。 二、目标及其解析 1、目标定位 (1)了解抛物线的几何性质; (2)会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 2、目标解析 (1)是指:抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. (2) 是指: 能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程及轨迹方程等. 三、问题诊断分析 在本节抛物线性质的教学中, 学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥 曲线的概念产生混淆, 产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问 题,就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习,其中关键是借助图形直观类比。 四、教学支持条件分析 在本节课双曲线的性质教学中, 准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利 于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。 五、教学设计过程 第一、二课时 复习: 问题 1:抛物线的概念?抛物线标准方程有哪几种?他们的形式是怎么样的? (设计意图:让学生先回顾抛物线概念和标准方程,为探究抛物线性质做好准备) 自学
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阅读教材第 P 68 ? P 69 页,完成下列问题: 1. 抛物线的几何性质: 标准方程

y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

图 形

范 围 对 称 轴 顶 性 质 点 离 心 率 焦 点 准 线

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

y ? 0, x ? R

y ? 0, x ? R

x轴

x轴

y轴

y轴

(0,0)

e=1

( ,0) 2 x=- 2

p

(- ,0) 2 x=

p

(0, ) 2 y=- 2

p

(0,- ) 2 y=

p

p

p
2

p

p
2

互学、导学 问题一 抛物线的几何性质有哪些?(设计意图:让学生充分认识抛物线)

(师生活动:结合图像,各组研讨,最好教师归纳小结) 问题 1:类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,说出抛物线 y2=2px (p>0)的范围、 对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证?
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问题 2: 类比抛物线 y2=2px (p>0), 抛物线 y2=-2px(p>0)、 x2=2py(p>0)、 x2=-2py(p>0) 的性质如何呢? 问题 3:通过抛物线的几何性质,怎样探求抛物线的标准方程? 答:求抛物线的标准方程,主要利用待定系数法,要根据已知的几何性质先确定方程的形 式,再求参数 p. 例 1 (教材 P68 例 3 )已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点
M 2, ?2 2 ,求它的标准方程.

?

?

【方法归纳】 (1)注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物 线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点和焦点 关于抛物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中,通过定义的运用,实现两个距离之间 的转化,简化解题过程. 变式训练 1: 若 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离, 则 P 的坐标为 ( B ?1 2? A.? ,± ? 4? ?4 ?1 2? B.? ,± ? 4? ?8 ?1 2? C.? , ? ?4 4 ? ?1 2? D.? , ? ?8 4 ? )

解:由知, P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离,因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线 ?1 1 2 ?1 ? 2? 上, 而 F? ,0?, 所以 P 点的横坐标为 , 代入抛物线方程得 y=± , 故点 P 的坐标为? ,± ?, 8 4 4? ?4 ? ?8 问题二 抛物线的焦点弦问题

(设计意图:让学生了解焦点弦的重要性,体现团结合作的智慧) (师生活动:小组讨论分析、总结答案,教师归纳结论) 问题 1:什么是抛物线的焦点弦?过焦点的弦长如何求? 解:抛物线 y2=±2px (p>0)的过焦点的弦长|AB|=x1+x2+p,其中 x1,x2 分别是点 A,B 横坐标的绝对值;抛物线 x2=±2py (p>0)的过焦点的弦长|AB|=y1+y2+p,其中 y1,y2 分别 是点 A,B 纵坐标的绝对值. 问题 2:抛物线的通径是什么? 例2 已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点.

(1)若直线 l 的倾斜角为 60°,求|AB|的值; (类似教材 P73 习题 2.4 第 5 题)
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(2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 解:(1)因为直线 l 的倾斜角为 60°,所以其斜率 k=tan 60°= 3, ?3 ? 又 F? ,0?. ?2 ?
2

3? ? 所以直线 l 的方程为 y= 3?x- ?. 2? ? 9 消去 y 得 x2-5x+ =0. 4

?y =6x, 联立? ? 3? y= 3?x- ? ? ? 2?

若设 A(x1,y1),B(x2,y2).则 x1+x2=5, 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p. 2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 |AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p=x1+x2+3, 2 2 3 所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3,又准线方程是 x=- , 2 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3+ = . 2 2 【归纳方法】 (1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长 度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论. 变式训练 2: (教材 P69 例 4)斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线 相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长. 问题三 探究和抛物线有关的轨迹方程(设计意图:让学生学会简单轨迹方程的求法)

p

p

∴|AB|=5+3=8.

p

p

问题 1:怎样判断一个动点的轨迹是抛物线? (师生互动:小组讨论得出结论,教师补充) 答:(1)如果动点满足抛物线的定义,则动点的轨迹是抛物线; (2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式,则该动点的轨迹是抛物线. 例3 → 已知点 A 在平行于 y 轴的直线 l 上,且 l 与 x 轴的交点为(4,0).动点 P 满足AP平

→ → 行于 x 轴,且OA⊥OP,求 P 点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
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→ 解:设动点 P 的坐标为(x,y),则由已知得 A 点坐标为(4,y),所以OA=(4,y), → → → → → 轨迹的形状为抛物线.

OP=(x,y).因为OA⊥OP,所以OA?OP=0,
因此 4x+y2=0,即 P 的轨迹方程为 4x+y2=0. 【方法归纳】 求解圆锥曲线的轨迹方程的方法: 一是代数法: 建立坐标系——设点——找限制条件—— 代入等量关系——化简整理,简称“建设限代化”;二是几何法:利用曲线的定义、待定系 数.但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件,防止重、漏解. 变式训练 3: (教材 P74 习题 2.4 B 组第 1 题)从抛物线 y2 ? 2 px ? p>0? 上各点向轴作垂线 段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线?( y 2 ? 六、小结 1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以根据 待定系数法求抛物线的方程. 2.解决抛物线的轨迹问题,可以利用抛物线的标准方程,结合抛物线的定义. 七、目标检测(检学) 教材 P72 练习第 1、2、3 题 八、配餐作业 A组 1.抛物线 y=mx (m<0)的焦点坐标是
2

1 px ? p>0? ) 2

( 1? ? D.?0,- ? 4 m? ?

B

)

m? ? A.?0, ? 4? ?

1? ? B.?0, ? 4 m? ?

m? ? C.?0,- ? 4? ?

2.(2014? 鹤岗高二检测)抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距 离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12

【解析】 选 B.抛物线 y2=8x 的准线是 x=-2,由条件知 P 到 y 轴距离为 4,所以点 P 的横坐标 xP=4 . 根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6. 3.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦 点的距离为 3,则|OM|=(B ) A.2 B.2 C.4 D.2

【解析】选 B.由抛物线定义知 , +2=3,所以 p=2,抛物线方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0)在此抛物
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线上,所以

=8,于是|OM|=

=2 B组

4. 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点, |AF|=2, 则|BF|=________. 解析 由 y2=4x,知 p=2,F(1,0),由抛物线定义,xA+ =|AF|, 2

p

∴xA=2-1=1,因此 AB⊥x 轴,F 为 AB 中点,从而|BF|=|AF|=2. 5.设抛物线 y2= 2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物 线准线的距离为 . ,则 FA 的中点 B 的坐标为 . ,

【解析】由抛物线 y2=2px(p>0),得焦点 F 的坐标为 代入抛物线方程得, 2p? =1,所以 p=

, 所以 B 点到准线的距离为 + = p= C组

6.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三 角形时,其面积为 . 4

【解析】据题意知,△PMF 为等边三角形时,PF=PM,所以 PM 垂直抛物线的准线, 设P ,则 M(-1,m),等边三角形边长为 1+ = . ,F(1,0),

所以由 PM=FM,得 1+

,解得 m2=12,

所以等边三角形边长为 4,其面积为 4

7.(选作)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上 一点,若 ? =-4,求点 A 的坐标.

【解析】由 y2=4x,知 F(1, 0), 因为点 A 在 y =4x 上,所以不妨设 A( 代入 ? =-4 中,得 (12

,y),则

=(

,y),

=(1-

,-y) .

)+y(-y)=-4,化简得 y4+12y2-64=0.

所以 y2=4 或 y2=-16(舍去),所以 y=±2.所以点 A 的坐标为(1,2 )或(1,-2). 九、教后反思

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第三、四课时(习题课) 一、复习提问:

其中 P ? x0 , y0 ? 为抛物线上任一点. 二、评讲配餐作业 4—7 题 三、典例分析 题型一 抛物线的几何性质 例题 1( 《学乐时空》第 41 页) 题型二 抛物线的几何性质的应用 例题 2( 《学乐时空》第 42 页例题 1) 题型三 抛物线的几何性质焦点弦 例题 3 ( 《学乐时空》第 44 页例题 1) 题型四 直线与抛物线的位置关系 例题 4 ( 《学乐时空》第 45 页例题 2) 变式训练 3( 《学乐时空》第 42 页练习 3、4、5) 变式训练 3( 《学乐时空》第 44 页练习 1、2) 变式训练 2 ( 《学乐时空》第 41 页练习 3\4\5) 变式训练 1 ( 《学乐时空》第 4142 页练习 1 与练习 2)

四、课后作业 完成 1.《学乐时空》第 43 页的知识激活部分; 2. 《学乐时空》第 46 页的知识激活部分.

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