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全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案

时间:2017-06-25


2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
考试时间:2016 年 5 月 8 日(星期日) 试题构成:
类别 题号 1 2 3 4 填 5 空 6 题 7 8 9 10 11 解 12 答 13 题 14 初等数论 三角等式,数的轮换 竞赛 难 解析几何 双曲线的离心率 高二 中 平面几何 几何证

明 竞赛 易 立体几何 数列 不等式 初等数论 三角函数 共面问题 零点存在性定理 基本不等式,数的收拢 整除问题 基本运算 高一 高一 高二 竞赛 高一 中 难 中 难 易 平面向量 线性关系 高一 易 解析几何 圆,直线 高二 易 章节 不等式 概率与计数原理 函数 导数 解不等式 计数原理 估值,周期 导函数,基本不等式 知识点 适用阶段 高一 高二 高一 高二 难度 易 易 易 易

上午 8∶00-10∶00

解题建议:
放弃 适当放弃 10,12,14 7,8

试题正文与答案: 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分)
1.若关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 ,则 ab 的值是. 解析 由题设 b ? 0 ,不等式 x ? a ? b 等价于 ? a ? b ? x ? ? a ? b ,

?

?

1

从而 ?

? ?a ? b ? 2 ?a ? ?3 ,解得 ? ,所以 ab ? ?3 .故填 ?3 . ? a ? b ? 4 b ? 1 ? ?

2.从 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率是.
2 4 C5 ? C2 4 4 解析 取出两数之和为偶数(两数均为奇数或均为偶数)的概率为 ? .故填 . 2 9 C9 9

3.已知 f ? x ? 是周期为 4 的奇函数,且当 x ? ?0,2? 时, f ? x ? ? x2 ? 16x ? 60 ,则 f 2 10 的值 是. 解析 注意到 36 ? 40 ? 49 ,即 6 ? 2 10 ? 7 ,所以 8 ? 2 10 ? ? 0,2 ? , 所以 f 2 10 ? f 2 10 ? 8 ? ? f 8 ? 2 10 ? ?36 .故填 ?36 . 评注 因为 f ? x ? ? ? x ? 8 ? ? 4 或 f ? x ? ? x ? x ? 16? ? 60 .
2

?

?

?

?

?

?

?

?

? f 8 ? 2 10 ? ? 8 ? 2 10 ? 8 ? 4 ? ?36 或
学会观察, 选用合适的方法进行计算. 10 ? 8 ? 60? ? ?36 . ?

? ? ? ? ? f ?8 ? 2 10 ? ? ? ??8 ? 2 10 ?? ?2 ?
2

?

4.已知直线 l 是函数 f ? x ? ? 2ln x ? x 2 图象的切线,当 l 的斜率最小时, l 的方程是. 解析 由题意从而 f ? ? x ? ?

2 ? 2 x… 4 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立. x

所以直线 l 的斜率最小值为 4 , 此时切点为 ?1,1? , 切线方程为 4 x ? y ? 3 ? 0 . 故填 4 x ? y ? 3 ? 0 . 5.在平面直角坐标系 xOy 中,如果直线 l 将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 平分,且不经过第四象限,那
2 2

么 l 的斜率的取值范围是. 解析 圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 5 ,
2 2

由题设直线 l 过点 ?1,2 ? ,其方程为 y ? 2 ? k ? x ? 1? ,即 y ? kx ? 2 ? k , 注意到 l 不经过第四象限,则 ?

0 ?k… k 2 .故填 ?0,2? . ,解得 0剟 0 ?2 ? k…
??? ? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? AB ? AC , AQ ? AP ? BC ,则 △APQ 的面积 3 2

6.已知等边 △ ABC 的边长为 2 ,若 AP ? 是. 解析 由 AP ?

?

?

??? ?

? ??? ? 1 ??? 2 3 AB ? AC 得点 P 是等边三角形 ABC 的中心,所以 AP ? , 3 3

?

?

又由 AQ ? AP ?

????

??? ?

? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? 3 3 BC 得 PQ ? BC ,且 AP ? PQ ,因此 △APQ 的面积为 .故填 . 2 2 3 3

2

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

A

P B

Q C

JC2016T06D 评注 若找不到方向,此题也可以建系考查.

1 7.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 ,点 P 在棱 BC 上,点 Q 为棱 CC1 的中点.若过点

A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形,则 BP 的取值范围为.
解析 先作出基本图形如下图左所示,假设能构成五边形, 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点, 如下图右所示,连接 AP 与 CD 的延长线交于点 W ,连接 WQ 并延长与 C1D1 交于 R , 则 R 是所截五边形的第三个顶点. (注:作图方法不唯一)
D1 A1 D P A B
A B

C1 B1 Q C
A1

D1

R B1

C1 Q C P W

D

JC2016T07D 通过同样的方法,可以作出其余的点,如下图所示,
X S A1 D A B t P D1 1-t R t B1

C1 Q C W

JC2016T07D 若存在这样的五边形,则每个顶点都存在, 设 BP ? t ,通过相似可以得 RC1 ? CW ?

1? t , t

?0 ? t ? 1 1 ? ?1 ? 从而只需 ? ,解得 ? t ? 1 .故填 ? ,1? . 1? t 2 0? ?1 ?2 ? ? t ?
3

评注如下图所示,由于是正方体,也可采用极端思想,需要几何动态的观点.
(X) D1 A1 D P A B B1 C1 Q C W

JC2016T07D 当点为 BC 中点时,有 PQ∥AD1 ,即 BP ?

1 时,截面为四边形 APQD1 ; 2

当 P 移向 C 时, W 远离 C , X 点向 D 点靠拢,此时可形成五边形, 即当 0 ? BP ?

1 1 时,截面为四边形;当 ? BP ? 1 时,截面为五边形. 2 2

因此 BP 的取值范围为 ?

?1 ? ?1 ? ,1? .故填 ? ,1? . ?2 ? ?2 ?

8.已知数列 ?an ? 的奇数项依次构成公差为 d1 的等差数列,偶数项依次构成公差为 d 2 的等差数列, 且对任意 n ? N , 都有 an ? an ?1 . 若 a1 ? 1 ,a2 ? 2 , 且数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 ? 75 , 则 a8 ? .
*

解析 分析知 S10 ? 5? a1 ? a2 ? ? 10 ? d1 ? d2 ? ? 75 ,即 d1 ? d 2 ? 6 , 从此点无法解决根本,按照题目的设想,可求出 d1 , d 2 . 首先,可以得到该数列的奇偶项表达式(分段通项) , 设 n ? N ,则 a2n?1 ? 1 ? ? n ? 1? d1 , a2n ? 2 ? ? n ? 1? d2 ,
*

其次,因为对任意 n ? N ,都有 an ? an ?1 ,
*

即只需满足 a2n?1 ? a2n ? a2n?1 (或 a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ) , 因此 1 ? ? n ? 1? d1 ? 2 ? ? n ? 1? d2 ? 1 ? ? n ? 1? d1 对 n ? N 恒成立,
*

分析左边,若需 ? n ? 1?? d1 ? d2 ? ? 1 ,则必须满足 d1 ? d2? 0 ?; 分析右边,若需 ? n ? 1? d1 ? ? n ? 1? d2 ? 1 ,即 n ? d1 ? d2 ? ? 1 ? d1 ? d2 ? ?5 , 则必须满足 d1 ? d2… 0 ?. 因此分析得 d1 ? d 2 . 最后, d1 ? d 2 ? 3 , a8 ? a2 ? 3d 2 ? 11.故填 11 . 评注?若不然,若 d1 ? d 2 ? 0 ,则令 ? n ? 1?? d1 ? d2 ? ? 1 ,解得 n ?

1 ? 1, d1 ? d 2

4

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

若令 n0 ? ?

?

? 1 ? 1? ? 1 ,则有 ? n0 ? 1?? d1 ? d2 ? ? 1 与题意矛盾. ? d1 ? d 2 ?

?的理由同?类似. 事实上,在解决问题“不等式 ax 2 ? ax ? 1… 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.”的时候, 就没将问题讲清楚,而是直接根据主观论断,否定 a ? 0 的情形,本质上否定就是寻找一个 x0 ,使 得 ax0 ? x0 ? 1 ? 0 ,这跟函数的零点以及单调性有关.
2

0 恒成立,符合题意; ①当 a ? 0 时, 1…
②当 a ? 0 时,只许满足 ?

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a? 0

,从而 0 ? a? 4 ;

③当 a ? 0 时,易知 ? ? a ? 4a ? 0 ,
2

易知方程 ax ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x1 ?
2

? a ? a 2 ? 4a ?a ? a 2 ? 4a , x2 ? , 2a 2a

又 f ? x ? ? ax2 ? ax ? 1对称轴 x ? ? 又 x1 ? ?

1 1? ? ,所以在 ? ??, ? ? 上单调递增, 2 2? ?

1 ? x2 , f ? x1 ? ? 0 ,所以 ?x0 ? x1 , 2

2 使 f ? x0 ? ? ax0 ? x0 ? 1 ? f ? x1 ? ? 0 ,与题意矛盾.

综上所述:实数 a 的取值范围是 ?0,4? . 这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点(变号零点)个数的思想是一致的. 9.已知正实数 x, y 满足 分析

? x ? 2?
y

2

? y ? 2? ?
x

2

? 16 ,则 x ? y ? .

x, y 若不是以整体 x ? y 的形式求出,则必定分别求出,这类问题涉及到对代数式变形.
2 2

解析 解法一:将题设条件式通分并整理,得 x ? x ? 2 ? ? y ? y ? 2 ? ? 16 xy ? 0 , 整理得 x ? x ? 2 ? ? y ? y ? 2 ? ? 8 ? x ? y ? ? 0 ,因此 x ? y ? 2 ,所以 x ? y ? 4 .故填 4 .
2 2 2

? x ? 2? 解法二:因为为 x, y 正实数,所以 16 ?
y

2

? y ? 2? ?
x

2

x y 8x 8 y … 8? 2 ? ? 16 , … ? y x y x

等号成立的条件为 x ? y ? 2 ,所以 x ? y ? 4 .故填 4 . 解法三:因为 16 ?

? x ? 2?
y
2

2

?

? y ? 2?
x

2



? x ? y ? 4?
x? y

2


2

所以 16 ? x ? y ? …? x ? y ? ? 8 ? x ? y ? ? 16 ,即 ? x ? y ? 4 ? ? 0 ,所以 x ? y ? 4 .故填 4 .

5

? x ? 2? 解法四:由
y

2

? y ? 2? ?
x
1

2

? x2 y 2 4 4 ? ? 4 x 4 y ? ?? ? ? ? ?? ? x y x? ? x ? ? y ? ? y

? x2 y 2 4 4 ? 4 … 4 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? 16 ,等号成立的条件是 x ? y ? 2 , ? y x y x?
所以 x ? y ? 4 .故填 4 . 评注常见的不等式链“调和平均数 H n ? 几何平均数 Gn ? 算术平均数 An ? 幂平均数 Qn ”, 简记为调几算幂,设 a1, a2 , ???, an 是 n 个正实数, 则

n 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 an

剟n a1a2 ??? an

2 2 a1 ? a2 ? ??? ? an a 2 ? a2 ? ??? ? an . ? 1 n n

10.设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和: n 整除 2016 ,且 2016 整除 n ,那么 M 的所有不 同正因子的个数为. 解析 因为 n 2016 , 2016 n , 所以 n 与 2016 的素因子相同,而 2016 ? 2 ? 3 ? 7 ,故可设 n ? 2 ? 3 ? 7 .
5 2 5 2
2 2

2

2

5 x 10 ? x? 10 ?2 x… ?3剟 ? ? ? 2 ,从而有 ?1剟 y 4 , 这样我们由题设条件可得 ? y? 4 ,且 ? 2 y… ? z? 2 ?2 z… ? 1 z 2 ? ? ?1剟
故 M ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
3 4

?

10

? ? ?3 ? 3

2

? 33 ? 34 ? ? ? 7 ? 7 2 ? ? 23 ? ? 28 ? 1? ? 3 ? 40 ? 56

? 23 ? 5 ? 51 ? 3 ? 23 ? 5 ? 23 ? 7 ? 29 ? 32 ? 52 ? 7 ? 17 ,
所以, M 的所有不同正因子的个数为 ?9 ? 1?? 2 ? 1?? 2 ? 1??1 ? 1??1 ? 1? ? 360 . 评注 算术基本定理: 若不计素因数的次序, 则每一个大于 1 的整数 n 都可以唯一分解成素因数乘积 的形式,即 n
?k ?1 ?2 ? p1 p2 ? pk

,其中

p1, p2 ,?, pk 均为素数, ?1,?2 ,?,?k 为自然数.

有结论如下: (1) n 的约数个数为 f ? n ? ? ??1 ? 1???2 ? 1? ??? ??k ? 1? ; (2) n 的所有约数之和为

?1 ? p ? p
1

2 1

?1 ? ? ? p1 ??1 ? p2 ? p22 ? ??? ? p2?2 ? ??? 1 ? pk ? pk2 ? ? ? pk?k ;

?

?

(3)欧拉(Euler)函数 ? ? n ? 表示不大于 n 且与 n 互质的数的个数为

? ? n ? ? n ?1 ?
?

?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ?? 1 ? ???1 ? ? . p1 ?? p2 ? ? pk ?
6

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11.已知

1 1 35 ? ?? ? ? , ? ? ? 0, ? ,求 tan ? . sin ? cos ? 12 ? 2?

解析 解法一:由题设知 12 ?sin ? ? cos? ? ? 35sin ? cos? , 令 sin ? ? cos ? ? t ,则 t ? 1, 2 ? ,且 sin ? cos ? ?

?

?

t2 ?1 t2 ? 1 ,则 12t ? 35 ? , 2 2

2 即 35t ? 24t ? 35 ? 0 ,解得 t ?

5 7 或 t ? ? (舍) , 7 5

即有 sin ? ? cos ? ? 所以 sin ? ?

7 12 , sin ? cos ? ? . 5 25

4 3 3 4 4 3 , cos ? ? 或 sin ? ? , cos ? ? ,从而 tan ? ? 或 . 5 5 5 5 3 4
2

1 1 2 352 ? 1 1 ? 解法二:由题设可得 2 ? ? ? ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? 12 ? sin ? cos? ?

?

2 2 sin2 ? ? cos2 ? sin2 ? ? cos2 ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? ? sin2 ? cos2 ? sin ? cos? 2

2 ? tan ? ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? tan2 ? ? 2 ? ? ? tan ? ? ? 2 ? tan ? ? ? ?, 2 tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? ? ?
2

注意到 tan ? ? 0 ,解得 tan ? ?

1 25 4 3 ? (舍负) ,进一步解得 tan ? ? 或 . tan ? 12 3 4

12.如图,点 P 在 △ ABC 的边 AB 上,且 AB ? 4 AP ,过点 P 的直线 MN 与 △ ABC 的外接圆交 于点 M , N ,且点 A 是弧 MN 的中点. 求证: (1) △ ABN ∽△ ANP ; (2) BM ? BN ? 2 MN .
A M P N

B

C

JC2016T10 解析 (1)因为点 A 是弧 MN 的中点,所以 ?AMN ? ?ANM , 又 ?AMN ? ?ABN ,所以 ?ABN ? ?ANP ,

7

又因为 ?BAN ? ?NAP ,所以 △ ABN ∽△ ANP . (2)由(1)知,

AB AN BN ? ? ,又 AB ? 4 AP , AN AP NP BN ? 2 ,即 BN ? 2 NP , NP

所以 AN ? 2 AP ,从而

同理 BM ? 2 MP .所以 BM ? BN ? 2 MN . 13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 的直线 l 与双曲线 C a 2 b2

交于 A, B 两点. 若 OF ? AB ? FA ? FB ,求双曲线 C 的离心率 e . 解析 解法一(参数方程法) :因为双曲线 C 的右焦点 F 的坐标为 ? c,0 ? ,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则直线 l 的方程即为 ?

? x ? c ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

代入双曲线方程,并整理得 c cos ? ? a
2 2

?

2

?t

2

? 2b 2c cos ? ? t ? b 4 ? 0 ,

2b2 c2 cos2 ? ? c2cos 2? ? a 2 2ab 2 b4 ? 2 则有 t1t2 ? 2 , t1 ? t2 ? , c cos2 ? ? a 2 c cos2 ? ? a 2 c2 cos2 ? ? a 2
因为 OF ? AB ? FA ? FB ,则有
2 2

?

?

2ab 2 c b4 ? , c 2 cos 2 ? ? a 2 c 2 cos 2 ? ? a 2

从而 2ac ? b ,即 e ? 2e ? 1 ? 0 ,因为 e ? 1 ,故 e ? 1 ? 2 .

2b 2 ? b 2 ? ?? ? , 解法二(普通计算法) :①当 AB 斜率不存在时,由 OF ? AB ? FA ? FB 得 c a ? a ?
故 2ac ? b2 ? c2 ? a 2 ,因为 e ? 1 ,故 e ? 1 ? 2 . ②当 AB 斜率存在时,设斜率为 k ,记 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
2 2 则由 OF ? AB ? FA ? FB ,得 c 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k c ? x1

2

1 ? k 2 c ? x2 ,

即 c x1 ? x2 ? 1 ? k c ? c ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 .
2 2

? y ? k ? x ? c? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,消 y 整理得 ? b ? a k ? x ? 2a ck x ? a c k ? a b ? 0 , ? 2 2 2 2 2 2 b x ? a y ? a b ?
故 ? ? 2a ck
2

?

2 2

?

? 4 ? b2 ? a 2k 2 ?? a 2c2k 2 ? a 2b2 ?

? 4 ? a 2 b 2 c 2 k 2 ? a 4 b 2 k 2 ? a 2 b 4 ? ? 4 ? a 2 b 4 k 2 ? a 2b 4 ?

8

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

? 2a 2 ck 2 x ? x ? ? ? 1 2 a 2 k 2 ? b2 2 2 且? ,由 c x1 ? x2 ? 1 ? k c ? c ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 , 2 2 2 2 2 ?x x ? a c k ? a b 1 2 ? a 2 k 2 ? b2 ?
得c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2b 4 k 2 ? a 2b 4 2 a c k ? b c ? 2a c k ? a c k ? a b , ? 1 ? k a 2k 2 ? b2 b2 ? a 2k 2

整理得 c

2ab2 k 2 ? 1 ?b 4 2 , ? 1 ? k a 2k 2 ? b2 b2 ? a 2k 2

从而 2ac ? b2 ? c2 ? a 2 ,因为 e ? 1 ,故 e ? 1 ? 2 . 14.已知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值 ? .若九个 内角中有一个角等于 120? ,试求常数 ? 的值. 解析 九个内角中任选 5 个,记为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,其余 4 个记为 y1, y2 , y3 , y4 , 由题意 ? ? sin x1 ? sin x2 ? sin x3 ? sin x4 ? sin x5 ? cos y1 ? cos y2 ? cos y3 ? cos y4 , 且 ? ? sin y1 ? sin x2 ? sin x3 ? sin x4 ? sin x5 ? cos x1 ? cos y2 ? cos y3 ? cos y4 , 所以 sin x1 ? cos y1 ? sin y1 ? cos x1 ,即 sin x1 ? cos x1 ? sin y1 ? cos y1 , 所以 2 sin ? x1 ? 45? ? ? 2 sin ? y1 ? 45? ? , 即 y1 ? x1 或 y1 ? 45? ? x1 ? 45? ? 180? ,即有 y1 ? x1 或 y1 ? 270? ? x1 . 设 y1 ? 120? ,由内角的任意可交换性可知,九个角的度数只有两种: 120? 和 150? . 设有 k 个 120? , 9 ? k 个 150? ,则由内角和公式知 k ?120? ? ?9 ? k ? ?150? ? ?9 ? 2? ?180? , 解得 k ? 3 .所以 ? ? 5sin150? ? cos150? ? 3cos120? ? 1 ?

3 . 2

9


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