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山东省潍坊市2015届高三第二次模拟数学【理】试题及答案

时间:2015-05-28


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高三数学(理工农医类)
钟。

2015.04

本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分

第Ⅰ卷
符合题目要求的.

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

1. 设全集 U ? R ,集合 A ? {x || x |? 1} , B ? {x | log2 x ? 1} ,则 A. (0,1] B. [ ?1,1] C. (1,2] D. (??,?1) ? [1,2]

U

A ? B 等于

2. 设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1 C.1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3?i
D.3

3. 已知命题 p : ?x ? 0, x ? A. p 是假命题

4 1 ? 4 ;命题 q : ?x0 ? (0,?? ), 2 x0 ? ,则下列判断正确的是 x 2
C. p ? (?q) 是真命题 D. (?p) ? q 是真命题

B. q 是真命题

4. 设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ; C.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则 ? // ? ; B.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则 ? ? ? ; D.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ;

5.若 ? ? (0, A.

?
2

) ,且 cos 2 ? ? cos(
B.

?
2

? 2? ) ?
1 4

1 2

1 3

C.

3 ,则 tan ? ? 10 1 D. 5

6. 已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0,2] 时,

x ? [0.1) ? x, f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x, x ? [1,2] ,则函数 y ? f ( x) 在 [2,4] 上的大致图像是

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7. 已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,底面△ABC 是边长为 1 的正三角形,棱 SC 是 球 O 的直径且 SC=2,则此三棱锥的体积为

A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

8.某公司新招聘 5 名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译 人员不能分给同一部门;另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门, 则 不同的分配方案种数是 A.6 B.12 C.24 D.36 9. 已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 和两点 A( ? m,0 ) ,B (m,0) ( m ? 0 ) ,
2 2

若圆 C 上存在点 P,使得 ?APB ? 90 ? ,则 m 的最大值为 A.7 B. 6 C. 5 D. 4

10. 已 知 函 数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2014 x 2015 ? ? ?? ? ? , 若 函 数 f ( x) 的 零 点 都 在 2 3 4 2014 2015

[a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内,则 b ? a 的最小值是
A.1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某校对高三年级 1600 名男女学生的视力状况进行调查, 现用分层抽样的方法抽取一个容量是 200 的样本,已知样本中女生比男生少 10 人,则该校高三年级的女生人数 是 ;

12. 当输入的实数 x ? [2,3] 时, 执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 103 的概率是 ;

13. 已知 G 为△ABC 的重心,令 AB ? a , AC ? b ,过点 G 的直线分别交 AB、 AC 于 P、Q 两点,且 AP ? ma , AQ ? nb ,则

1 1 ? =__________. m n
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14. 抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,点 O 是坐标原点,过点 O,F 的圆与抛物线 C 的准线相 切,且该圆的面积为 36? ,则抛物线的方程为 ;

15.定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足:对 ?x ? (0,??) ,都有 f (2 x) ? 2 f ( x) ;当 x ? (1,2] 时,

f ( x) ? 2 ? x ,给出如下结论:
②函数 f ( x) 的值域为 [0,??) ;

①对 ?m ? Z ,有 f (2m ) ? 0 ; ③存在 n ? Z ,使得 f (2n ? 1) ? 9 ;

k k ?1 ④函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 单调递减的充分条件是“存在 k ? Z ,使得 (a, b) ? (2 ,2 ) ,其中所有

正确结论的序号是:

.(请将所有正确命题的序号填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 m ? ( 3 sin ?x,? cos2 ?x), n ? (cos?x,1)(? ? 0) , 把 函 数 f ( x ) ? m ? n ?

1 化简为 2

f ( x) ? A sin(tx ? ? ) ? B 的形式后,利用“五点法”画 y ? f ( x) 在某一个周期内的图像时,列表并
填入的部分数据如下表所示:

x
?x ? ?
f ( x)

? 12
0 0

? 2
1

7? 12



3? 2
?1

2?
0

0

(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求 ? 的值及函数 y ? f ( x) 在区间 [ ? (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 f (

? ?

A ? ? ) ? 1 , c ? 2 , a ? 7 ,求 2 6

, ] 上的值域; 2 6

BA? BC .
17. (本小题满分 12 分) 如图, 边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, 其中 AB ∥CD,AB⊥BC,DC=BC=

1 AB=1,点 M 在线段 EC 上。 2

(Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF;
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(Ⅱ)判断点 M 的位置,使得平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角为

? 。 3

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公比 q ? 0 , S2 ? 2a2 ? 2 , S3 ? a4 ? 2 . (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式;

? log2 an ? n 2 (n ? 2) , n为奇数 ? (Ⅱ)令 cn ? ? , T n 为数列{ cn }的前 n 项和,求 T2 n . ?n , n为偶数 ? ? an
19. (本小题满分 12 分) 某公司采用招考的方式引进人才,规定考生必须在 B、C、D 三个测试点中任意选取两个进行测试, 若在这两个测试点都测试合格,则可参加面试,否则不被录用。已知考生在每个测试点的测试结果 只有合格与不合格两种,且在每个测试点的测试结果互不影响。若考生小李和小王一起前来参加招 考,小李在测试点 B、C、D 测试合格的概率分别为 概率都是

2 1 1 , , ,小王在上述三个测试点测试合格的 3 3 2

2 . 3

(Ⅰ)问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由; (Ⅱ)假设小李选择测试点 B、C 进行测试,小王选择测试点 B、D 进行测试,记 ? 为两人在各测试点 测试合格的测试点个数之和,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 20. (本小题满分 13 分)

y2 ? 1 的焦点重合,且椭圆 E 的短轴的两 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,其焦点与双曲线 C: x ? 2
2

个端点与其一个焦点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过双曲线 C 的右顶点 A 作直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P 、 Q 。 ①设 M( m ,0) ,当 MP ? MQ 为定值时,求 m 的值; ②设点 N 是椭圆 E 上的一点,满足 ON//PQ,记△NAP 的面积为 S1 ,△OAQ 的面积为 S2 ,求 S1 + S2 的取
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值范围. 21. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? a ln x ? bx ? b, g ( x) ? (Ⅰ)求 g ( x) 的极大值; (Ⅱ)设 b ? 1, a ? 0 ,若 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| 求 a 的最大值; ( Ⅲ ) 设 a ? ?2 , 若 对 任 意 给 定 的 x0 ? (0, e] , 在 区 间 (0, e] 上 总 存 在 s, t (s ? t ) , 使

ex ,其中 a, b ? R . ex

1 1 ? | 对任意的 x , x ?[3,4](x ? x ) 恒成立, 1 2 1 2 g ( x2 ) g ( x1 )

f (s) ? f (t ) ? g ( x0 ) 成立,求 b 的取值范围.

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