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河南省安阳市2016

时间:2017-12-07


河南省安阳市 2016-2017 学年高一数学下学期期末考试试题
一、选择题: (共 12 小题,每小题 5 分. ) 1.若集合 A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x ,x∈R},则 A∩B 等于( A.{x|-1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≥0} D.? )
2

)

1 4 2 2

.若 a< ,则化简 ?2a-1? 的结果是( 2

A. 2a-1

B.- 2a-1

C. 1-2a

D.- 1-2a

3.函数 y= lg x+lg(5-3x)的定义域是(

)

5 A.[0, ) 3

B.[0, ]

5 3

C.[1, )

5 3

D.[1, ]

5 3

4.若角 600°的终边上有一点(a,-3),则 a 的值是(

)

A.- 3

B. 3

C.

3 3

D.-

3 3

5 5.已知△ABC 中,tan A=- ,则 cos A 等于( 12

)

12 A. 13

5 B. 13

5 C.- 13

12 D.- 13

6.已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a·b 等于(

)

A.-10

B.-6

C.0

D.6

7.若 0<a<1,则函数 y=a 与 y=(1-a)x 的图象可能是下列四个选项中的(

x

2

)

1

1 x-2 3 8.设函数 y=x 与 y=( ) 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( 2

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

9.三视图如图所示的几何体的全面积是(

)

A.2+ 2

B.1+ 2

C.2+ 3 π ),则下列结论正确的是( 3 π 对称 3

D.1+ 3 )

10.设函数 f(x)=sin(2x+ A.f(x)的图象关于直线 x=

π B.f(x)的图象关于点( ,0)对称 4 π C.把 f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象 12 π D.f(x)的最小正周期为 π ,且在[0, ]上为增函数 6 11.若将函数 y=tan(ω x+ π π )(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 4 6 ) 1 D. 2

π tan(ω x+ )的图象重合,则 ω 的最小值为( 6 1 A. 6 1 B. 4 1 C. 3

12.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ? x, y ? ,则

PA ? PB 的最大值是(

)

A.2

B. 2 5

C.3

D.2+ 3
2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分.) → → 13. 已知 A(1,2), B(3,4), C(-2,2), D(-3,5), 则向量AB在CD方向上的投影为________.

4 3π sin α +cos α 14.已知 sin(2π -α )= ,α ∈( ,2π ),则 等于________. 5 2 sin α -cos α

π 15.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P, 2 过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________.

1 16. 设函数 f(x)定义在实数集上, f(2-x)=f(x), 且当 x≥1 时, f(x)=ln x, 则 f( ) , 3

f( ) , f(2)三个数由小到大的排列顺序为________.

1 2

三、解答题(解答应写出必要的文字说明和演算步骤) π π 17.(10 分)已知向量 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ ),- <θ < . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ ; (2)求|a+b|的最大值.

18.(12 分)求经过点 P(6,-4)且被定圆 O:x +y =20 截得的弦长为 6 2的直线 AB 的方程.

2

2

19.(12 分)某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用 药后每毫升中的含药量 y(微克)与服药的时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线,其中 OA 是线段,曲线 AB 是函数 y=ka (t≥1,a>0,且 k,a 是常数)的图象. (1)写出服药后 y 关于 t 的函数关系式; (2)据测定,每毫升血液中的含药量不少于 2 微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服 药为早上 6∶00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟? (3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药, 则第二次服药后 3 小时, 该病人每毫升血液中
3
t

的含药量为多少微克(精确到 0.1 微克)?

20.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)EF∥面 ACD; (2)面 EFC⊥面 BCD.

π 21.(12 分)如右图所示,函数 y=2cos(ω x+θ )(x∈R,ω >0,0≤θ ≤ )的图象与 y 2 轴交于点(0, 3),且该函数的最小正周期为 π . (1)求 θ 和 ω 的值; π 3 (2)已知点 A( ,0),点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= , 2 2

x0∈[ ,π ]时,求 x0 的值.

π 2

π 1+ 3 2 2 22.(12 分)已知函数 f(x)= 3sin (x+ )-cos x- (x∈R). 4 2 (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期;

4

(2)若 A 为锐角,且向量 m= (1,5)与向量 n=(1,f(

π -A))垂直,求 cos 2A 的值. 4

5

安阳市 36 中高一数学试题(2017.6)参考答案

1-12:

CCCAD

ABBAC

DB

2 10 13. 5 14. 15. 1 7 2 3

1 16.f( ) 2

f( ) f(2).

1 3

π π 17.(10 分)已知向量 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ ),- <θ < . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ ; (2)求|a+b|的最大值.



(1)若 a⊥b,则 sin θ +cos θ =0.

π π π 由此得 tan θ =-1(- <θ < ),∴θ =- . 2 2 4 (2)由 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ )得

a+b=(sin θ +1,1+cos θ ),
|a+b|= ?sin θ +1? +?1+cos θ ? = 3+2?sin θ +cos θ ?=
2 2

π 3+2 2sin?θ + ?, 4

π 当 sin(θ + )=1 时,|a+b|取得最大值, 4
6

π 即当 θ = 时,|a+b|的最大值为 2+1. 4

18.(12 分)求经过点 P(6,-4)且被定圆 O:x +y =20 截得的弦长为 6 2的直线 AB 的方 程. 解 由题意知,直线 AB 的斜率存在,

2

2

且|AB|=6 2,|OA|=2 5,作 OC⊥AB 于 C. 在 Rt△OAC 中,|OC|= 20-?3 2? = 2. 设所求直线的斜率为 k, 则直线的方程为 y+4=k(x-6), 即 kx-y-6k-4=0. ∵圆心到直线的距离为 2, ∴ |6k+4| 2 = 2,即 17k +24k+7=0, 2 1+k
2

7 ∴k=-1 或 k=- . 17 故所求直线的方程为 x+y-2=0 或 7x+17y+26=0.

19.(12 分)某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用药后 每毫升中的含药量 y(微克)与服药的时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线,其中 OA 是线段,曲线 AB 是函数 y=ka (t≥1,a>0,且 k,a 是常数)的图象. (1)写出服药后 y 关于 t 的函数关系式; (2)据测定,每毫升血液中的含药量不少于 2 微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服 药为早上 6∶00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟? (3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药, 则第二次服药后 3 小时, 该病人每毫升血液中 的含药量为多少微克(精确到 0.1 微克)?
t

7

(1)当 0≤t<1 时,y=8t;
?ka=8, ? 当 t≥1 时,? 7 ?ka =1. ?

2 ? ?a= , 2 ∴? ? ?k=8 2.

8t, 0≤t<1, ? ? ∴y=? 2 t 8 2? ? , t≥1. ? 2 ? (2)令 8 2·( 2 t ) ≥2,解得 t≤5. 2

∴第一次服药 5 小时后,即第二次服药最迟应当在当天上午 11 时服药. (3)第二次服药后 3 小时, 每毫升血液中含第一次所服药的药量为 y1=8 2×( (微克);含第二次服药后药量为 y2=8 2×( 故第二次服药再过 3 小时, 该病人每毫升血液中含药量为 4.7 微克. 2 8 2 )= 2 2

2 3 2 ) =4(微克),y1+y2= +4≈4.7(微克). 2 2

20.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)EF∥面 ACD; (2)面 EFC⊥面 BCD.



(1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点,

∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD,
8

∵EF?面 ACD,AD? 面 ACD,∴EF∥面 ACD. (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC. ∵BD? 面 BCD, ∴面 EFC⊥面 BCD.

π 21.(12 分)如右图所示,函数 y=2cos(ω x+θ )(x∈R,ω >0,0≤θ ≤ )的图象与 y 2 轴交于点(0, 3),且该函数的最小正周期为 π . (1)求 θ 和 ω 的值; π 3 (2)已知点 A( ,0),点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= , 2 2

x0∈[ ,π ]时,求 x0 的值.

π 2



(1)将 x=0,y= 3代入函数 y=2cos(ω x+θ )中, 3 , 2

得 cos θ =

π π 因为 0≤θ ≤ ,所以 θ = . 2 6 2π 2π 由已知 T=π ,且 ω >0,得 ω = = =2. T π π (2)因为点 A( ,0),Q(x0,y0)是 PA 的中点, 2

y0=

3 π ,所以点 P 的坐标为(2x0- , 3). 2 2 π π )的图象上,且 ≤x0≤π , 6 2

又因为点 P 在 y=2cos(2x+

9

5π 3 7π 5π 19π 所以 cos(4x0- )= ,且 ≤4x0- ≤ , 6 2 6 6 6 5π 11π 5π 13π 2π 从而得 4x0- = ,或 4x0- = ,即 x0= , 6 6 6 6 3 3π 或 x0= . 4

π 1+ 3 2 2 22.(12 分)已知函数 f(x)= 3sin (x+ )-cos x- (x∈R). 4 2 (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; π (2)若 A 为锐角,且向量 m=(1,5)与向量 n=(1,f( -A))垂直,求 cos 2A 的值. 4 解 π 1+ 3 2 2 (1)f(x)= 3sin (x+ )-cos x- 4 2 2 1+ 3 2 2 (sin x+cos x)] -cos x- 2 2

= 3[

1 2 = 3sin xcos x-cos x- 2 = 3 1+cos 2x 1 π sin 2x- - =sin(2x- )-1, 2 2 2 6

所以 f(x)的最小正周期为 π ,最小值为-2. (2)由 m=(1,5)与 n=(1,f( π 得 5f( -A)+1=0, 4 π π π 4 ∴5sin[2( -A)- ]-4=0,即 sin(2A- )=- . 4 6 3 5 π -A))垂直, 4

10

π π π 2π ∵A∈(0, ),∴2A- ∈(- , ), 2 3 3 3 π 4 ∵sin(2A- )=- <0, 3 5 π π ∴2A- ∈(- ,0), 3 3 π 3 ∴cos(2A- )= . 3 5 π π ∴cos 2A=cos[(2A- )+ ] 3 3 3 1 4 3 4 3+3 = × + × = . 5 2 5 2 10

11


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