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2013-2014年物理奥林匹克竞赛国家集训队 热学练习题答案解析


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2013-2014 年物理奥林匹克竞赛国家集训队 热学练习题 所在中学: 成绩:

注意:必须写出完整步骤,否则得不到步骤分。答卷请勿涂改,无法看清的地方一律不给分。

1、 分) 一端开口, (12 横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。 先对管子加热, 使它形成从开口端温度 1000K 均匀变为闭端

200K 的温度分布,然后把管子开口端密封,再使整体温度降为 100K,试问管中最后的压强是多大? 2、 (12 分)一容积为 1 升的容器,盛有温度为 300 K,压强为 30 ? 10 Pa 的氩气,氩的摩尔质量为 0.040 kg。若器
4

壁上有一面积为 1.0×10 ㎝ 的小孔,氩气将通过小孔从容器内逸出,经过多长时间容器里的原子数减少为原有原 子数的 1 / e ? 3、 (12 分)若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为 H 的均匀气体球壳,试证:这层球壳厚度 H 就是大气标高。 4、 (12 分) 标准状态下氦气的粘度为?1 ,氩气的粘度为? 2 ,他们的摩尔质量分别为 M1 和 M2.。试问: (1)氦原子和氦 原子碰撞的碰撞截面 ? 1 和氩原子与氩原子的碰撞截面 ? 2 之比等于多少?(2)氦的导热系数 ? 1 与氩的导热系数 ? 2 之 比 等 于 多 少 ? ( 3 ) 氦 的 扩 散 系 数 D1 与 氩 的 扩 散 系 数 D2 之 比 等 于 多 少 ? ( 4 ) 此 时 测 得 氦 气 的 粘 度

-3

2

?1 ? 1.87 ?10 ?3 N ? s ? m ?2 和氩气的粘度?2 ? 2.11 ?10 ?3 N ? s ? m ?2 。用这些数据近似的估算碰撞截面 ? 1 , ? 2 。
5、 (12 分) 在热水瓶里灌进质量为 m=1.00 kg 的水,热水瓶胆的内表面 S=700 cm ,瓶胆内外容器的间隙 d=5.00 mm, 间隙内气体压强 p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内 的水温从 90℃降为 80℃,取环境温度为 20℃。 6、 (12 分)加热室 A(1000 C )中蒸发出来的铍原子(相对原子质量为 9)经小孔逸出,再经狭缝准直器 B 而形成原 子束,最后进入另一真空室 D 中, (1)原子束将与真空室背景分子进行碰撞,若进行 1m 后其原子束强度(单位时间内 通过的原子数) 减少为 1/e。 真空室温度为 300K, 试问真空室压强多少?设铍原子与真空中分子的碰撞截面为10
?20 o
2

m2 ,

忽略铍原子间的碰撞。 (2)铍原子束的平均速率是多少?(3)铍原子进行 1m 所需平均时间是多少?(4)估计铍原子 束撞击容器壁所产生的压强(设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为) 10 cm ,因真空室室温较低,所有撞击在容器 壁上的铍原子均沉积在器壁上) ,将这一压强与真空室中气体压强进行比较。 7、 (12 分) 声波可在气体管中形成驻波。现用 1000Hz 的声波在碘蒸气管中做实验,在温度为 400K 时,测得管内形 成的驻波的相邻波节间距为 6.77cm。试问: (1)声波的波速是多少?(2)管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分 子?为什么?已知碘的相对原子质量为 127, 声波在气体中的传播速度满足 v ?
10 ?3

1

??s

关系, 其中 ? 为气体密度,? s 为

气体的绝热压缩系数 ? s ? ?

1 ?V ( )s , V ?p

下标“s”表示绝热过程。

8、(16 分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成 A、B 两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B 内各有 1mol 的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态,它们的压强、体积、温度分别为 p0,V0,T0.A 室中有一电加热器使之徐徐加 热,直到 A 室中压强变为 2p0,试问: (1)最后 A,B 两室内气体温度分别为多少?(2)在加热过程中,A 室气体对 B 室 做了多少功?加热器传给 A 室气体多少热量?(4)A,B 两室的总熵变是多少?

1

1、 分) 一端开口, (12 横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。 先对管子加热, 使它形成从开口端温度 1000K 均匀变为闭端 200K 的温度分布,然后把管子开口端密封,再使整体温度降为 100K,试问管中最后的压强是多大? 〖分析〗 :开始时长管中气体有温度分布,所以它不处于平衡态。但是整体温度降为 100K 以后,长管中气体处于 平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数,而它是和整体温度降为 100K 以后的分子数相等的。在计算 分子数时要先求出长管中的温度分布,然后利用 p=nkT 公式。 〖解〗 :因为管子是一端开口的,所以 p ? p0 。显然,管子中气体的温度分布应该是

T ( x) ? 200 ?

(1)由于各处温度不同,因而各处气体分子数密度不同。考虑 x~x+dx 一段气体,它的分子数密度为 n(x),设管子的横截 面积为 S,考虑到 p=nkT,则这一小段中的气体分子数为

1000 ? 200 x L

dN ? Sn( x)dx ?
管子中气体总分子数为

Sp dx kT( x)

N?
利用(1)式可得

Sp L dx ? k ?0 T ( x)

Sp L 800 x ?1 ? ? (200 ? ) dx 0 k L 管中气体最后的压强是 p1( p1 ? p 0 ),温度是 T,.则 N ? SLp1 / kT N?
由上面两式相等,最后可以计算出

p ? (1 / 8) ? p0 ? ln 5 ? 0.20 p0
即:管中气体最后的压强为 0.20 p 0 。 2、 (12 分)一容积为 1 升的容器,盛有温度为 300 K,压强为 30 ? 10 Pa 的氩气,氩的摩尔质量为 0.040 kg。若器
4

壁上有一面积为 1.0×10 ㎝ 的小孔,氩气将通过小孔从容器内逸出,经过多长时间容器里的原子数减少为原有原 子数的 1 / e ? 〖分析〗 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的 : 分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的,应该建立微分方 程。考虑在 t 到 t ? dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N 变化为 N ? dN , 其中 dN 就是在 dt 时间内泻 流流出去的分子数, 列出 dN 和 dt 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。 经过分离变量, 积分, 就可以得到 所需要的结果。 〖解〗 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为 :

-3

2

- dN ? nvAdt / 4
其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容 器体积 V , 并且在 0 到 t 之间进行积分

?

t

0

? (v ? A / 4V )dt ? ?

n2

n1

(1 / n)dn

? (v ? A / 4V )t ? ln(n2 / n1 )
现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

n2 ? n1 / e,

ln(n2 / n1 ) ? ?1
2

t?

π?Mm V 2π ? M m 4V 4V ? ? ? ? A 8RT A RT A?v

? 100 s
即:经过 100 s 容器内原子数减为原来的 1 / e 。. 3、 (12 分)若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为 H 的均匀气体球壳,试证:这层球壳厚度 H 就是大气标高。 〖分析〗 在离地高为 z ~ z ? dz 的范围内的球壳体积为 :

dV ( z ) ? 4π( RE ? z ) 2 dz

(1)

[ 说明:这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于 一层“纸” 。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。] 当然, 我们也可以如下更清楚地求出:

dV ( z ) ? ?

4 π[( z ? dz ? RE ) 3 ? ( z ? RE ) 3 ] 3

4 π[3( z ? RE ) 2 ? dz ? 3( z ? RE ) ? dz 2 ? dz 3 ] 3

忽略 dz 的二次方和三次方项, 同样有

dV ( z ) ? 4π( z ? RE ) 2 dz
〖解〗 若设在海平面处的气体分子数密度 为 n (0) , 在球壳体积 dV( z ) 范围内的分子数 :

dN ( z ) ? dV ( z ) ? n( z ) ? 4π( z ? RE ) 2 dz ? n(0) ? exp( ?M m gz / RT )

N ? n(0)?

?

0

4π( z 2 ? 2 zRE ? RE ) ? exp( ?M m gz / RT )dz
2

令 RT / M m g ? H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为 n(0) ,所有大气的总分子数为 N ,则:

N ? 4π n(0)[ ? z 2 exp( ? z / H )dz ? 2RE ? z exp( ? z / H )dz
0 0
2 ? RE ? ? 0

?

?

exp( ?

kT 2 2k T kT 2 1 z RE ? [1 ? ? 2( ) ? 2] )]dz ? n(0) ? 4π mg mg ? RE mg H RE
(2)

现在来估计

kT / mgRE

的数量级。设地球大气为平均温度

T = 273 K 的 等 温 大 气 , 而 且

RE ? 6.4 ? 10 6 km, m ? 29 ? 1.67 ? 10 ?27 kg
kT 1.38 ? 10 ?23 ? 273 ? ? 0.00124 ?? 1 mgRE 29 ? 1.67 ? 10 ? 27 ? 9.8 ? 6.4 ? 10 6
(3)

利用(3)式可以看到,(2)式的方括号中的第二项比第一项小 3 个数量级, 第三项又比第二项小 3 个数量级。我 们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然,用近似方法进行计算要简便得多。 这时

3

2 N ? n(0)4π RE (

kT 2 ) ? n(0) ? 4π RE ? H mg

其中 H 为大气标高。由此看来,把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体 球壳,这层球壳厚度就是大气标高。 4、 (12 分) 标准状态下氦气的粘度为?1 ,氩气的粘度为? 2 ,他们的摩尔质量分别为 M1 和 M2.。试问: (1)氦原子和氦 原子碰撞的碰撞截面 ? 1 和氩原子与氩原子的碰撞截面 ? 2 之比等于多少?(2)氦的导热系数 ? 1 与氩的导热系数 ? 2 之 比 等 于 多 少 ? ( 3 ) 氦 的 扩 散 系 数 D1 与 氩 的 扩 散 系 数 D2 之 比 等 于 多 少 ? ( 4 ) 此 时 测 得 氦 气 的 粘 度

?1 ? 1.87 ?10 ?3 N ? s ? m ?2 和氩气的粘度?2 ? 2.11 ?10 ?3 N ? s ? m ?2 。用这些数据近似的估算碰撞截面 ? 1 , ? 2 。
【解】 (1)因为? ?

nmv ? ,? ? 3

1 8k T ,v ? ?m 2?n

则有
1 2 1 2 1 2 1 2

??

mv 2 ? 3 2? 3?

km

?

?T ?

1 2

T m

?

?

T M

?

在温度相同情况下,原子和氦原子碰撞的碰撞截面 ? 1 和氩原子与氩原子的碰撞截面 ? 2 之比为

?1 ? ?1 ?2 ?2
(2)因为 ? ?

M1 M2

?

?2 M1 ? ?1 M 2

nmv ? CV ,m nmv ? ? ,? ? 3 Mm 3

所以

? ?? ?

CV ,m Mm

则有

?1 ?1 M 2 ? ? ? 2 ?2 M1
v? nmv ? ,? ? , ? ? mn 3 3
所以

(3)应为 D ?

D

?
而? ?

?

1

?

M V

所以

D1 ?1 M 2 ? ? D2 ? 2 M 1
(4)由(1)可以得到
4

?1 ? ?2 ?

RTM 1

?

?

2 ? 1.0 ? 10 ?21 m 2 3?1 N A 2 ? 2.8 ? 10 ?21 m 2 3? 2 N A
2

RTM 2

?

?

5、 (12 分) 在热水瓶里灌进质量为 m=1.00 kg 的水,热水瓶胆的内表面 S=700 cm ,瓶胆内外容器的间隙 d=5.00 mm, 间隙内气体压强 p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内 的水温从 90℃降为 80℃,取环境温度为 20℃。 【解】可以假定热水瓶胆夹层内气体充满及其稀薄的气体热传导条件,单位时间内在单位面积上传递的热量为

JT ?

C 1 nv (T ? T0 ) V ,m 6 NA

(1)

其中 v ?

8k T ' ,根式内的 T'为降温过程中夹层内气体的平均温度 ?m

而且有

1 1 K T ' ? [ (90?C ? 80?C) ? 20?C] ? ? 273 K ? 326 K 2 2 ?C p 5R n? , CV ,m ? kT 2
J T ? Adt ? cm水 dT
3 ?1 ?1

(2) (3)

由于在 dt 时间内漏出的热量是由水的温度降低 dT 所释放的热量提供的,故 (4)

其中 c ? 4.18 ?10 J ? kg ? K 为水的比热容,将(1) (3)代入(4)后积分有 (2)

?

t

0

dt ? ?

1 cm水 6 ?RT ' M m dT ? 4h T ? T0 Ap 5R 2

【讨论】本题得到的结果与实际情况出入相当大。有这样的因素本题没有考虑: (1)即使在常温下,辐射传热仍 然是比较重要的传热形式。在气体热传导及对流传热一再减小的情况下,辐射传热起了主导作用。日常用的热水瓶虽 然在真空夹层内镀了银, 但仍然在辐射传热。 瓶口的传热损失。 实际的热水瓶夹层中的真空度一般为 133~13.3Pa (2) (3) 的数量级,它要比 1.33

? 10?2 Pa

大 4~5 个数量级,因而保持温度时间要缩短数个量级。 (4)即使在

1.33 ? 10?2 Pa 的压强下,它仍然不满足平均自由程比夹层厚度大得多的条件。气体热传导并不与夹层气体
压强严格成正比。

6、 (12 分)加热室 A(1000 C )中蒸发出来的铍原子(相对原子质量为 9)经小孔逸出,再经狭缝准直器 B 而形成原 子束,最后进入另一真空室 D 中, (1)原子束将与真空室背景分子进行碰撞,若进行 1m 后其原子束强度(单位时间内 通过的原子数) 减少为 1/e。 真空室温度为 300K, 试问真空室压强多少?设铍原子与真空中分子的碰撞截面为10
?20

o

m2 ,

忽略铍原子间的碰撞。 (2)铍原子束的平均速率是多少?(3)铍原子进行 1m 所需平均时间是多少?(4)估计铍原子 束撞击容器壁所产生的压强(设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为) 10 cm ,因真空室室温较低,所有撞击在容器
5
10 ?3

壁上的铍原子均沉积在器壁上) ,将这一压强与真空室中气体压强进行比较。 【分析】这是泄流问题(它和气体分子碰壁数属于同一类问题) ,也是一个和分子束分布、自由程、气体压强等基本 概念有关的综合性问题。 【解】 (1)按照自由程分布,自由程分布在 x ~ x ? dx 的概率为

P( x)dx ? ?

dN 1 x ? exp( ? )dx N0 ? ?

(1)

由题中可知原子束的自由程出现在 1m ~ ?? 间的概率为 1/e,即

?

??

x0

P( x)dx ?

1 e

(2)

由(1) (2)可以求出铍原子束与真空室空气碰撞的平均自由程为 ? ? 1m 为了求出真空室压强,利用平均自由程公式

? ?

kT 2?p
kT ? 2.93 ?10 ?1 Pa 2??

(3)

由此得到

p?

(2)铍原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得

v束 ? ?

9k T 8m 9 ? 3.14 ?1.38 ?10 ? 23 ?1273 m ? s ?1 ? 27 8 ? 9 ?1.67 ?10

? 2000 m ? s ?1
(3)铍原子进行 1m 所需平均时间

t?

x ? 5 ?10 ? 4 s v束

(4)铍原子束刚进入真空容器时,单位时间内透过单位截面积的平均分子数为 n0 v束 ,其中 n0 为该截面处铍原子

束的粒子数密度,则碰到单位面积器壁上的铍原子数为

n0 v束 e

,因为从 1000 高温容器中出来的铍原子束是与 300K

真空容器壁相碰撞,两者温度相差非常大,可假设原子束与器壁完全非弹性碰撞,撞击粒子全部粘附在器壁上,每个 分子产生的动量改变 mv束 ,所有这些分子撞击容器壁所产生的 压强为

1 p束 ? n0 v束 mv束 e n 9?k T 1 ? 0 8e ? 2.3 ? 10 ? 4 Pa

6

7、 (12 分) 声波可在气体管中形成驻波。现用 1000Hz 的声波在碘蒸气管中做实验,在温度为 400K 时,测得管内形 成的驻波的相邻波节间距为 6.77cm。试问: (1)声波的波速是多少?(2)管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分 子?为什么?已知碘的相对原子质量为 127, 声波在气体中的传播速度满足 v ?

1

??s

关系, 其中 ? 为气体密度,? s 为

气体的绝热压缩系数 ? s ? ?

1 ?V ( )s , V ?p

下标“s”表示绝热过程。

【分析】虽然本题没有指出碘蒸气是什么气体,但是可以假定它是理想气体,否则无法解题。这是一个有关绝热过 程、能量均分定理波动中的驻波的复合题。应该明确,声波在气体中的传播是满足绝热条件的,所以要利用绝热压缩 系数来着手解题。 【解】绝热过程方程为 两边微分得到
?

pV ? ? C V ? dp ? ?V ? ?1dV ? 0

两边同时除以 V dV ,并且考虑到这是一个绝热过程,一下彪“s”表示

(

?V ?p )s ? ? ?p V

由本题对绝热压缩系数的定义知

?s ?

1 ?p

(1)

由理想气体物态方程 pV ? nRT 以及对密度的定义知道 代入声速公式 v ?

??

pM m RT

(2)

1

??s

得到

v?

?RT
Mm
(4)

(3)

所以

??

M mv 2 RT

我们知道驻波两相邻波节之间的距离为 ? / 2 ,所以声波的波长为 (5) ? ? 2 ? 6.77cm ? 13.54cm 现在声波的频率为? ? 1000 Hz ,则声速为

v ? ?? ? 135 .4m ? s ?1

(6)
?1

先假定碘蒸气为单原子分子气体, M m ? 0.127 kg ? mol 即 这和单原子分子的 ? ? 5 / 3 相差较大。

, 又有 T=400K, (6) 将 一起代入 (4) 得

? ? 0.70

再假定碘蒸气为双原子分子气体, M m ? 2 ? 0.127 kg ? mol ,得 ? ? 1.40
?1

它和能量均分定理得到的结果符合得很好。说明碘蒸气是双原子分子气体。 8、(16 分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成 A、B 两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B 内各有 1mol 的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态,它们的压强、体积、温度分别为 p0,V0,T0.A 室中有一电加热器使之徐徐加 热,直到 A 室中压强变为 2p0,试问: (1)最后 A,B 两室内气体温度分别为多少?(2)在加热过程中,A 室气体对 B 室 做了多少功?加热器传给 A 室气体多少热量?(4)A,B 两室的总熵变是多少?
7

【分析】这是热力学第一定律和热力学第二定律相结合的题目,在通常的热力学第一定律习题中在附加求熵变, 注意汽缸和活塞都是绝热的。A 对 B 的影响是通过活塞的做功来实现的,而 A,B 的压强始终相等。A,B 的总体积不变。 【解】 (1)B 经历的是准静态绝热过程。设 B 的末态温度和体积分别为 TB,VB;A 的末态温度和体积分别为 TA,VA, 双原子理想气体的 ? ? 7 / 3 ,则应该有

( 2 p0 )? ?1 p0 ? ? TB? T0
所以 B 室的气体温度为
2 7 2 7

? ?1

TB ? 2 T0 ? 2 T0 ? 1.22T0
另外, p0V0 ? 2 p0VB ,可以得到
? ?

VB ? 2 7 T0 ? 0.61V0


?

5

VA ? 2V0 ? VB ? 2V0 ? 0.61V0 ? 1.39V0

对 A 利用理想气体物态方程,得到 A 室气体温度为

TA ?

2 p0VA ? T0 ? 2 ?1.39T0 ? 2.78T0 p0V0

(2)汽缸和活塞都是绝热的,A 室对 B 室气体做的功等于 B 室气体内能的增加(注意 A 室气体和 B 室气体都是 1mol)

W ? ?U B ? CVm (TB ? T0 ) ? 5 R (1.22T0 ? T0 ) 2

? 0.55 RT0
(3)加热器传给 A 的热量等于 A 室气体和 B 室气体内能增量的和

?Q ? ?U A ? ?U B ? CVm (2.78T0 ? T0 ) ? 0.55 RT0 ? 5 RT0
(4)按照理想气体熵变公式,可以知道

?S A ? C p ,m ln ?S B ? C p ,m ln
其总熵变为

2p TA ? R ln 0 ? 2.885 R T0 p0 2p TB ? R ln 0 ? 2.8 ? 10 ?3 R, T0 p0

?S ? ?S A ? ?S B ? 2.89 R

8


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