nbhkdz.com冰点文库

[名校联盟]河北省衡水中学2012届高三上学期一调考试数学(理)试题

时间:2011-11-26


2011— 衡水中学 2011—2012 学年度上学期一调考试
高三年级理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 选择题(每小题5 选择题 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意, 序号填涂在答题卡上) 序号填涂在答题卡上) 1.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”和这个命题真值相同的命题为 ( )

A.若一个数是负数,则它的平方是正数 B.若一个数的平 方不是正数,则它不是负数 C.若一个数的平方是正数,则它是负数 D.若一个数不是负数,则它的平方是非负数 2.若非空集合 S ? {1,2,3,4,5},且若 a∈S,则必有 6-a∈S,则所有满足上述条件的集合 S 共有 A.6 个 3. B.7 个 C.8 个 D.9 个 )
[来源:学§科§网]





f(x)是定义域为 R 的增函数,且值域为 R+,则下列函数中为减函数的是(
A.f(x)+

f(-x) B.f(x)-f(-x)
2

C.f(x)·f(-x)

D. )

f (? x) f ( x)

4.函数 f(x)=x +ax-3a-9 对任意 x∈R 恒有 f(x)≥0,则 f(1)=( A.6
x

B.5
2

C.4 )

D.3

5.关于 x 的方程 a =-x +2x+a(a>0,且 a≠1)的解的个数是( A.1
2 2

B.2

C.0

D.视 a 的值而定 )

6.设 lg x-lgx -2=0 的两根是?、?,则 log??+log?? 的值是( A.-4 B.-2
2

C.1

D.3 )

7.当 x∈(-2,-1)时,不等式(x+1) <loga|x|恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[2,+∞) 8. 对于函数 f ( x) = ? B.(1,2] C.( 1,2) )

D.(0,1)

?sin x, sin x ≥ cos x , 则下列正确的是( ?cos x, sin x < cos x
B.当且仅当 x = 2kπ +

A.该函数的值域是[-1,1]

π
2

(k ∈ Z ) 时,该函数 取得最大值 1

C.当且仅当 2kπ + π < x < 2kπ +

3π (k ∈ Z )时f ( x) < 0 2

D.该函数是以π为最小正周期的周期函数 9.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB + DC ? 2 DA) ? ( AB ? AC ) = 0, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 10. 若 A + B = A. [0, ] ) B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 ) D.[0,1] D.等边三角形

1 2

2π , 则 cos 2 A + cos 2 B 的值的范围是( 3 1 3 1 B. [ , ] C. [ ,1] 2 2 2

[来源:Zxxk.Com]

11.如图所示的曲线是函数 f ( x) = x 3 + bx 2 + cx + d 的大致图象,
2 则 x12 + x 2 等于(

y


x
1

?1
x1

Ox 2

2 x

(第 11 题) 8 10 16 5 B. C. D. 9 9 9 4 2 12.已知二次函数 f ( x) = ax + bx + 1 的导函数为 f ′( x ) , f ′(0) > 0 ,f(x)与 x 轴恰有一个交

A.

点,则

f (1) 的最小值为 ( f ′(0)

)

A. 2

3 B. 2

C. 3

5 D. 2

第Ⅱ卷(主观题 共 90 分)
注意将答案写在答题纸上) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分,注意将答案写在答题纸上) 填空题( 13.把一个函数图像按向量 a = ( ,?2) 平移后,得到的图象的表达式为 y = sin( x +

π

π
6

3

)?2,

则原函数的解析式为


?

14. 已 知 函 数 f ( x ) = 3x + x ? 5 的 零 点 x0 ∈ [ a, b ] , 且 b ? a = 1 , a , b ∈ N , 则

a+b =

.
2
2

15.设函数 f ( x ) = ax + b (a≠0),若 ∫ f ( x)dx = 2 f ( x0 ) ,x0>0,则 x0=
0



16.已知在平面直角坐标系中, A(?2,0), B (1,3), O 为原点,且 OM = α OA + β OB, (其中

α + β = 1, α , β 均为实数) N(1,0) | MN | 的最小值是 ,若 ,则

.

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。将解 解答题( 答过程写在答题纸上) 答过程写在答题纸上) 17.(本小题满分 10 分) 设 a、b∈Z,E={(x,y)|(x-a) +3b≤6y},点(2,1)∈E,但(1,
2

0) ? E,(3,2) ? E。求 a、b 的值。
[来源:学科网 ZXXK]

18. (本小题满分 12 分) 已知 tan(

π

+ ) = 2,θ 为锐角,求 cos( + θ ) 的值。 4 2 3

θ

π

19.(本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情 况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千 米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x )的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)的定义域是 R, 对于任意实数 m,n, 恒有 f(m+n)=f(m)f(n), 且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)求证: f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性; ⑶设集合 A={(x,y)|f(x )f(y )>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若 A∩B
2 2

= ? ,求 a 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = x +

t (t > 0) 和点 P (1 , 0) , P 作曲线 y = f ( x) 过点 x

的两条切线 PM 、 PN ,切点分别为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) . (1)求证: x1 , x 2 为关于 x 的方程 x + 2tx ? t = 0 的两根;
2

(2)设 MN = g (t ) ,求函数 g (t ) 的表达式; (3) (2) 在 的条件下, 若在区间 [ 2 ,16] 内总存在 m + 1 个实数 a1 , a2 ,L , am +1(可以相同) , 使得不等式 g ( a1 ) + g ( a 2 ) + L + g ( a m ) < g ( a m +1 ) 成立,求 m 的最大值.

高三理科数学试题答案 一、 二、
选择题 :CBDCB

ABCBB CA 14. 3 15.
2 3 3

填空题: 填空题:13. y = cos x

16.

3 2 2

三、解答题 17. 解:∵点(2,1)∈E,∴(2-a) +3b≤6 ① 2 ∵点(1,0) ? E,∴(1-a) +3b>0 ② 2 ∵点(3,2) ? E,∴(3-a) +3b>12 ③……………………………………………………3 分
2

由①②得 6-(2-a) >-(1-a) ,解得 a>-
2 2

3 1 3 ;类似地由①③得 a<- 。∴- <a<- 2 2 2

1 。 2
∵a∈Z,∴ a = ?1 ,…………………………………………………………………………6 分

4 < b ≤ ?1 ,又 b∈Z,∴ b = ?1 。……………………………………………9 分 3 综上所述, a = b = ?1 …………………………………………………………………………10 分
由 ①②③得 ? 18.解:Q tan 2(

π

+ ) = tan( + θ ) = ? cot θ , 4 2 2

θ

π

+ ) 4 2 = ? 4 , ∴tan θ = 3 。……………………6分 又Q tan 2( + ) = π θ 4 2 3 4 1 ? tan 2 ( + ) 4 2 3 4 Q θ 为锐角 ∴sin θ = cos θ = ,……… ………………………………………8 5 5

π

θ

2 tan(

π

θ

分 ∴ cos(

π
3

+ θ ) = cos

π
3

cos θ ? sin

π
3

? sin θ =

1 4 3 3 4?3 3 ? ? ? = .………………12 分 2 5 2 5 10

19. 解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.
?200a+b=0, ? 再由已知得? ? ?20a+b=60,

?a=-1, ? 3 解得? 200 ? ?b= 3 .

………………………………4 分

故函数 v(x)的表达式为

?60, (0 ≤ x < 20) ? ……………………………………………………………6 分 v( x) = ? 200 ? x ? 3 , (20 ≤ x ≤ 200) ?

(2)依题意 并由(1)可得 ?60 x, (0 ≤ x < 20) ? ………………………………………8 分 f ( x ) = ? x (200 ? x) , (20 ≤ x ≤ 200) ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200;……9 分 1 1?x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? ? = 3 . ……………10 分 2 3 3? ? 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 .……………11 分 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. ………12 分 20.解:⑴ a ? b = cos

3 3 x x x ? cos ? sin x ? sin = cos 2 x 2 2 2 2

r r x x 3 3 | a + b |= (cos x + cos ) 2 + (sin x ? sin ) 2 = 2 + 2 cos 2 x = 2 cos 2 x 2 2 2 2
Q x ∈ [0, ],∴ cos x > 0,∴| a + b |= 2 cos x ………………………………………5 分 2
⑵ f ( x) = cos 2 x ? 4λ cos x, 即f ( x) = 2(cos x ? λ ) 2 ? 1 ? 2λ2
Q x ∈ [0, ],∴ 0 ≤ cos x ≤ 1. 2

π

π

①当 λ < 0 时,当县仅当 cos x = 0 时, f (x ) 取得最小值-1,这与已知矛盾;……7 分 ②当 0 ≤ λ ≤ 1时, 当且仅当 cos x = λ 时, f (x ) 取得最小值 ? 1 ? 2λ ,由已知得
2

3 1 ? 1 ? 2λ 2 = ? , 解得λ = ;………………………………………………………………9 分 2 2

③当 λ > 1时,当且仅当cos x = 1时, f (x ) 取得最小值 1 ? 4λ ,由已知得1 ? 4λ = ? 3
2

5 ,这与 λ > 1 相矛盾,………………………………………………11 分 8 1 综上所述, λ = 为所求. ……………………………………… ………12 分 2
解得 λ = 21. 解:⑴f(m+n)=f(m)f(n),令 m=1,n=0,则 f(1)=f(1)f(0),且由 x>0 时,0<f(x)<1,∴

f(0)=1;设 m=x<0,n=-x>0,∴f(0)=f(x)f(-x),∴f(x)=

1 >1。……………4 分 f (? x)

⑵设 x1<x 2,则 x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2 -x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,∴f(x)在 R 上单调递减。……………8 分

⑶∵f(x )f(y )>f(1), f(x +y )>f(1), f(x)单调性知 x +y <1, f(ax-y+2)=1=f(0), ∴ 由 又
2 2 2 2 2 2

∴ax-y+2=0,又 A∩B = ? ,∴

2 a +1
2

≥ 1 ,∴a2+1≤4,从而 ? 3 ≤ a ≤ 3 。……12 分

即 x1 + 2tx1 ? t = 0 , ①
2

同理,由切线 PN 也过点 P (1,0) ,得 x 2 + 2tx 2 ? t = 0 .②
2

由①、②,可得 x1 , x 2 是方程 x + 2tx ? t = 0 ( * )的两根……………………………4 分
2

(2)由( * )知. ?

? x1 + x 2 = ?2t , ? x1 ? x 2 = ?t . t t ? x2 ? ) 2 x1 x2 = [( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ][1 + (1 ? t 2 ) ] x1 x 2

MN = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( x1 +

= 20t 2 + 20t ,
∴ g (t ) =

20t 2 + 20t (t > 0) .……………………………8 分

(3)易知 g (t ) 在区间 [ 2 , 16] 上为增函数,

∴ g (2) ≤ g (a i ) ≤ g (16) (i = 1,2, L , m + 1) ,
则 m ? g ( 2) ≤ g ( a1 ) + g ( a 2 ) + L + g ( a m ) < g ( a m +1 ) ≤ g (16) .……………………10 分 即 m ? g ( 2) < g (16) ,即 m 20 ? 2 + 20 ? 2 <
2

20 ? 16 2 + 20 ? 16 ,

所以 m <

136 ,由于 m 为 正整数,所以 m ≤ 6 . 3

又当 m = 6 时,存在 a1 = a 2 = L = a 6 = 2 , a 7 = 16 满足条件,所以 m 的最大值为

6.

…………………………………………………………12 分

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

独家资源交换签约学校名录(放大查看) 附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/Info.aspx?InfoID=85353


赞助商链接

[名校联盟]河北省衡水中学2012届高三第三次调研考试地...

[名校联盟]河北省衡水中学2012届高三第三次调研考试地理试题 隐藏>> 衡水中学 2011—2012 学年度上学期调考试 高三年级地理试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ...

[名校联盟]河北省衡水中学2012届高三上学期期末考试英...

[名校联盟]河北省衡水中学2012届高三上学期期末考试英语试题 [名校联盟]浙江省杭州十四中2012届高三12月月考试题[名校联盟]浙江省杭州十四中2012届高三12月月考试题...

[名校联盟]河北省衡水中学2011-2012学年高一下学期二调...

[名校联盟]河北省衡水中学2011-2012高一下学期调考试化学试题 隐藏>> 选择...C. CaF2 和 CsCl D. D. CCl4 和 Na2O 20.同族元素所形成的同一类型的化...