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1.4.1正余弦函数的图像和性质


在日常生活中:抖动绳子、潮汐、艺术 体操中运动员舞动的彩带等等都展现了 波浪形的图形,这些美丽图形和正弦函 数图像,余弦函数图像非常相似!

温故知新

正(余)弦函数的定义: 实 数
一 一对应 唯一确定



正 ( 余 ) 弦 值

定义:任意给定的一个实数x

,有唯一确定的值 sinx(cosx)与之对应。由这个法则所确定的 函数 y=sinx叫做正弦函数,y=cosx叫做余弦 函数,二者定义域为R。

?遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察
图象获得对它性质的直观认识, 是研究函数 的基本方法.

如何画出正弦函数、余弦函数的 图像呢?

回忆学过的基本作图方法。 用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线

思考:

?? ?? 你能在直角坐标系中作出点c ? ,sin ? 吗? 3? ?3

简单的列表、描点不能作出标准的正弦图象。

思考:
如何画出比较精确的正弦函数、 余弦函数的图像呢?

小组讨论

1.如何画出比较精确的正弦函数、余弦 函数的图像呢? 2.如何在直角坐标系中描点 C ( , sin )
3 3

?

?

探究问题:
?? ?? 你能在直角坐标系中作出点c ? ,sin ? 吗? 3? ?3

y

P

M
单位圆

o

x

利用平移正弦线可以精确的描出点。

-

一起来用平移正弦线的方法画出y=sinx x?[0,2?] 的图像。
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1-

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

探究问题: y=sinx , x?R 的图像又是怎样的呢?
y
11

y=sinx x?[0,2?]
? 2?
13 ? 6

-? -1

o

x
3?
4?

y
1 -4? -3? -2? -?

y=sinx , x?R
? 2? 3?

正弦曲线
4?
5? 6?

o
-1

x

探究问题:
怎么画余弦函数y=cosx ,x?R的图象?
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

y=sinx, x?R

x

正弦函数的图象 ? y=sin(x + ) = cosx 2 余弦函数的图象 y
1 -4? -3? -2? -?

正弦曲线

y=cosx ,x?R

余弦曲线

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

小组讨论
1.在精确度要求不太高时,如何快捷地作出 正弦函数、余弦函数的图象呢?

2.在作出正弦函数、余弦函数的图象时,应 抓住哪些关键点?

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-

(五点作图法)

-1

o
-1-

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)
11? 6

?

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

2?

图象的最低点 ( 3? ,?1)
2

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 (定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1-

-

图象的最高点 与x轴的交点

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1-

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

? 3? ( , 0 ) ( x 2? 2 2 ,0) 图象的最低点 (? ,?1)

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质 例1 用“五点法”画出下列函数的简图: (1)y=1+sinx,x∈[0,2π]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π] .

x sinx

0
0

π/2

π

3π/2 2π

1

0

-1

0

1+sinx 1
y 2 1 O -1

2

1

0

1

y=1+sinx
3p 2

p 2

π

2π x

x

0 -1

π/2

π

3π/2 2π

cosx 1 -cosx
y 1 O -1

0 0

-1 1

0 0

1 -1

y=-cosx
3p 2

p 2

2π x

π

【变式训练 1】 作出下列函数的简图:y=2+cosx, x∈[0,2π].
解:①列表: x cosx 2+cosx 0 1 3 π 2π 0 2 π -1 1 3π 2 0 2 2π 1 3

②描点:

③连线:用平滑曲线依次连接各点.

【拓展】 函数

? 3π? ? y=sin?x- 2 ? ?和 ? ?

y=cosx 的图像有何

关系?并在同一坐标系内画出它们的草图.
? ?3π ? 3π? ? ? ? 解:y=sin?x- 2 ?=-sin? 2 -x? ?=cosx, ? ? ? ?

∴两函数图像相同.(图略)



结:

今天你学到了什么?
(1)利用平移正弦线作 y ? sin x, x ? R 的图象。

? (2)根据关系 cos x ? sin( x ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 2
的图象 。 (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。

课堂作业: 1必做:教材第46页习题1.4.1A组第1题

2选做:教材第47页习题1.4.1B组第1题

应用正、余弦曲线解三角不等式

【例 2】 在[0,2π]内,使 sinx>cosx 成立的 x 值的取 值范围是( ) ?π π? ? ?π ? 5π? ? ? ? ? ? A.?4,2?∪?π, 4 ? B.?4,π? ? ? ? ? ? ? ? ?π 5π? ?π ? ?5π 3π? ? ? ? ? ? , C.?4, 4 ? D.?4,π? ∪ ? ?4 2? ? ? ? ? ? ?

分析: 在同一坐标系内作出 y=sinx 与 y=cosx 在[0,2π] 上的图像,观察图像.

解:用“五点法”作出 y=sinx,y=cosx(0≤x≤2π)的简 图.

π 5π 由图像可知(1)当 x=4或 x= 4 时,sinx=cosx. π 5π (2)当 <x< 时 sinx>cosx. 4 4 π 5π (3)当 0≤x<4或 4 <x≤2π 时,sinx<cosx.

答案:C

应用正、余弦曲线解三角不等式

【变式训练 2】 利用正弦曲线或余弦曲线,写出满 足下列条件的 x 的区间: (1)sinx>0,x∈[0,2π]; (2)cosx<0,x∈[0,2π]. 解:(1)如图①,由 sinx>0,x∈[0,2π],得 x∈(0,π);



(2)如图②,由 cosx<0,x∈[0,2π],得

?π 3π? ? , x∈? ?2 ?. 2 ? ?


点评: 解简单的三角不等式时, 利用三角函数的图像直观、 方便,注意体会数形结合思想方法的应用.

【拓展】 求函数 y=

1 log2 -1的定义域. sinx

1 ? ?log2 -1≥0, sin x 解:为使函数有意义,需满足? ?sinx>0, ? 1 ? ?sinx≤ , 2 ? ?sinx>0. ? 如图所示.



π 由正弦曲线或单位圆得 {x|2kπ< x≤2kπ+ , k∈Z}∪{x|2kπ 6 5π + ≤x<2kπ+π,k∈Z}. 6

延伸:应用正、余弦曲线判断方程根的个数 【1】 判断方程 x2-cosx=0 的根的个数.

分析:构造函数 f(x)=x2 和 g(x)=cosx,转化为判断 函数 f(x)和 g(x)的图像交点个数.

解: 设 f(x)=x2, g(x)=cosx 在同一直角坐标系中画出 f(x)

和 g(x)的图像,如图所示. 由图知 f(x)和 g(x)的图像有两个交点,则方程 x2-cosx= 0 有两个根.

点评:关于方程根的个数问题,往往是运用数形结合构造函 数,转化为函数图像交点的个数问题.

【2】 判断方程 x+sinx=0 的根的个数.
解:设 f(x)=-x,g(x)=sinx,在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图像,如图所示.

由图知 f(x)和 g(x)的图像仅有一个交点,则方程 x+sinx =0 仅有一个根.

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

o1

M1

-1 A

y

余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
y
1-

-

o1

-

-1

-

-

o
-1-

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

o
-1-

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

o1

M1

-1 A

y

(1) 等分 作法: (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
3

-

Q1

-

o
-1-

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

y
1Q2

o1

M 2 M 1-1

o
-1-

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

-

-

-

l

正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

-1 -

o

2?

4?
-

6?

-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在 ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, 与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

-

-


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