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广州市高一数学期末试题


广州市 2014-2015 学年第一学期高一期末试卷


注意事项:



本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上. 2.选择题每小题选出答案

后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
2 球的表面积公式 S ? 4? R ,球的体积公式 V ?

4? R3 ,其中 R 为球的半径. 3

第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 若全集 U ? ?1,2,3,4?, M ? ?1,2?, N ? ?2,3? ,则 ? U ( M I N ) 是( ) A. ?1, 2,3? B. ?2? C. ?1,3, 4? D. ?4?

2.与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( ) A. 3x ? 4 y ? 6 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 3. 函数 y ? A. {x | x ? 0} B. 6 x ? 8 y ? 4 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ) D. {x | x ? 3} )

x ? 3 的定义域是(
B. {x | x ? 3}

C. {x | x ? 0}

4. 设点 B 是点 A(2,﹣3,5)关于 xOy 面的对称点,则 A、B 两点距离为( A.10 B. C. 第 1 页,共 10 页 D.38

5. 函数 y ? ( ) ?
x

1 2

1 的图象可能是( 2



A.

B.

C.

D.

6. 如图是底面半径为 1, 母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体, 则该组合体的侧视图的面积 为( ) A.8π B.6π C. D. 7. 圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 9 的位置关系是( ) A. 相交
2

B. 外切

C. 相离

D. 内切

8. 函数 g ( x) ? x ? 4x ? 9 在 [?2, 0] 上的最小值为( A. 5 B. 9 C. 21 D. 6



9. 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3 )处的切线方程是 (

)

A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0

B. x ? 3 y ? 2 ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0


10. 已知 直线l ? 平面?,直线m ? 平面?,下列命题正确的是(

① l ? m ? ? / /? ③ ? ? ? ? l / /m
A. ①② B. ③④

② l / /m ? ? ? ? ④ ? / /? ? l ? m
C. ②④ D. ①③

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 计算

lg 50 ? lg ?5 B(4,1) , 则直线 AB 的倾斜角是
1 2

12.已知点 A(5, 2),

13. 若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 14. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 在 [0, ??) 上递减,且 f ( ) ? 0 ,则满足 f ( x ? 1) ? 0 的 x 的取值范围 第 2 页,共 10 页

三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 1 10 已知函数 f ( x) ? a x ? x ,且 f (1) ? . 3 3 (1)求 a 的值; (2)判定 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)令函数 g ( x) ? f ( x) ? 5 ,且 g (a) ? 8 ,求 g (?a) 的值.

16.(本小题满分 12 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中,直线 AB 的方程为 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,直线 AC 的方程为

2 x ? 3 y ? 22 ? 0 ,直线 BC 的方程为 3x ? 4 y ? m ? 0 .
(1)求证: ?ABC为直角三角形 ; (2)当 ?ABC 的 BC 边上的高为 1 时,求 m 的值.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥ AC,PA=6, BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥ 平面 DEF; (2)平面 BDE⊥ 平面 ABC.

第 3 页,共 10 页

18.(本小题满分 14 分) 某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示: 月份 一 二 三 用气量(立方米) 4 20 26 支付费用(元) 8 38 50

该市的家用天然气收费方法是:天然气费=基本费+超额费+保险费.现已知,在每月用气量 不超过 a 立方米时,只交基本费 6 元;用气量超过 a 立方米时,超过部分每立方米付 b 元; 每户的保险费是每月 c 元(c≤5) .设该家庭每月用气量为 x 立方米时,所支付的天然气费用 为 y 元.求 y 关于 x 的函数解析式.

19.(本小题满分 14 分) 已知圆 C 的半径为 3,圆心 C 在直线 2 x ? y ? 0 上且在 x 轴的下方, x 轴被圆 C 截得的弦长 BD 为2 5. (1)求圆 C 的方程; ( 2 )若圆 E 与圆 C 关于直线 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 对称, P ( x, y ) 为圆 E 上的动点, 求

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx (m ? 0) ,其中 e ? 2.71828 L 为自然对数的底数. (1)若函数 f ( x ) 的图像经过点 ( , 0) ,求 m 的值; (2)试判断函数 f ( x ) 的单调性,并予以说明; (3)试确定函数 f ( x ) 的零点个数. 第 4 页,共 10 页

1 e

参考答案 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 A 5 D 6 D 7 A 8 B 9 B 10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分. 11. 1 12.

45o

13.

3

14. {x | x ? ?

1 3 或x ? - , x ? R} 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 10 10 1 解: (1)因为 f (1) ? ,所以 ? a ? , 3 3 3 所以 a ? 3 . (2)由(1)得 f ( x) ? 3x ?
f (? x) ? 3? x ? 1 1 ? x ? 3x ?x 3 3
1 ,所以 f ( x) 的定义域为 (??, ??) 3x

-------------1 分 ----------3 分 ----------------4 分 -----------------5 分 ----------------6 分 ---------------7 分 所以 f ( x) ? g ( x) ? 5 ---------8 分 ----------9 分

所以 f ( x) ? f (? x) 所以 f ( x) 为偶函数. (3)因为 g ( x) ? f ( x) ? 5 , g (a) ? 8 所以 f (a) ? g (a) ? 5 ? 13 因为 f ( x) 为偶函数 所以 f (?a) ? g (?a)+5 ? 13 所以 g (?a) ? 8 .

----------11 分 ---------12 分

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)直线 AB 的斜率为 k AB ? 直线 AC 的斜率为 k AC 所以 kAB?kAC=﹣1, 所以直线 AB 与 AC 互相垂直, 因此, ?ABC 为直角三角形;

3 , 2 2 ?? , 3

---------2 分 ---------4 分 ---------5 分 --------- 6 分

第 5 页,共 10 页

(2)解方程组 ?

?3x ? 2 y ? 6 ? 0 ?x ? 2 ,得 ? ,即 A(2,6) ?2 x ? 3 y ? 22 ? 0 ? y ? 6, 3? 2 ? 4 ? 6 ? m 3 ?4
2 2

--------8 分

设点 A 到直线 BC 的距离为 d , d ?

?

30 ? m 5



-------10 分

依题意有当 d =1,即

30 ? m ? 1 ,即|30﹣m|=5,解得 m=25 或 35. 5

------12 分

17. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 D、E 为 PC、AC 的中点,所以 DE∥PA, 又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以 PA∥平面 DEF; (2)因为 D、E 为 PC、AC 的中点,所以 DE= -----4 分 ----2 分

1 PA=3; 2

------5 分 -----6 分

又因为 E、F 为 AC、AB 的中点,所以 EF= BC=4; 又 DF=5 所以 DE2+EF2=DF2, 所以∠DEF=90°, 所以 DE⊥EF; 因为 DE∥PA,PA⊥AC,所以 DE⊥AC; 因为 AC∩ EF=E,所以 DE⊥平面 ABC; 因为 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC.

------8 分

-------9 分 -------10 分 --------12 分 ----------14 分

18. (本小题满分 14 分) 解:根据题意, y ? ?

?6 ? c, ?6 ? b( x ? a) ? c,

0? x?a x?a

① ②

------2 分

因为 0<c≤5,所以 6+c≤11. 由表格知,二、三月份的费用大于 11,因此,二、三月份的用气量均超过基本量 a, 于是有 ?

?38 ? 6 ? b(20 ? a) ? c ?50 ? 6 ? b(26 ? a) ? c.

------6 分 -------8 分

解得 b=2,2a=8+c. (3)

第 6 页,共 10 页

因为 0<c≤5,所以 a ? 所以 6+c=8,c=2.

8?c ? 4. 2

---------10 分 ---------12 分

因此,a=5,b=2,c=2. 所以, y ? ?

?8, 0 ? x ? 5 ?2 x ? 2, x ? 5

-------------14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)设圆心坐标 (a, ?2a) ,则圆方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? 2a)2 ? 9 作 CA ? x轴 于点 A,在 Rt ?ABC中,CB ? 3, AB ? 5, ? CA ? 2 ,所以 | ?2a |? 2 所以 a ? ?1 又因为点 C 在 x 轴的下方,所以 a ? 1, 所以圆 C 的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 (2)方法一:由(1)知,圆 C 的圆心坐标为 (1. ? 2) 点 C (1. ? 2) 到直线 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离为 d ? 因为圆 E 与圆 C 关于直线 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 对称, 所以 CE ? 2d ? 3 5 圆 E 的半径为 3 因为 P ( x, y ) 为圆 E 上的动点,所以 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? PC
2 2

---------1 分 --------2 分 --------3 分 ---------4 分 --------5 分 --------6 分

| 2?8?5| 4 ? 16

?

3 5 2



--------8 分

-------10 分 -------11 分

因为 PC ? EC ? EP 所以 PC 的最大值为 3 5 ? 3 , -------12 分 --------13 分 --------14 分

PC 的最小值为 3 5 ? 3
2 2 所以 ( x ? 1) ? ( y ? 2) 的取值范围为 [3 5 ? 3,3 5 ? 3]

方法二:由(1)知,圆 C 的圆心坐标为 (1. ? 2) 设圆心 E (m, n) , 由题意可知点 E 与点 C 关于直线 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 对称,

第 7 页,共 10 页

n?2 ? 1? m 2? ? 4? ?5 ? 0 ? ?m ? ?2 ? 2 2 所以有 ? ?? ?n ? 4 ? n ? 2 ? 1 ? ?1 ? ? m ?1 2
所以点 E (?2, 4) 且圆 E 的半径为 3 所以 | EC |?

- ------9 分

(?2 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 3 5 ,
2 2

-------10 分 -------11 分

因为 P ( x, y ) 为圆 E 上的动点,所以 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? PC 因为 PC ? EC ? EP 所以 PC 的最大值为 3 5 ? 3 ,

-------12 分 --------13 分 --------14 分

PC 的最小值为 3 5 ? 3
2 2 所以 ( x ? 1) ? ( y ? 2) 的取值范围为 [3 5 ? 3,3 5 ? 3]

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为函数 f ( x ) 的图像经过点 ( , 0) 所以 0 ? ln 所以 m ? e (2)因为函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,设 0 ? x1 ? x2 所以 f ( x1 ) ? ln x1 ? mx1 ,

1 e

1 m ? e e

-------1 分 -------2 分 -------3 分 -------4 分

f ( x2 ) ? ln x2 ? mx2 ,
x1 ? m( x1 ? x2 ) x2

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? m( x1 ? x2 ) ? ln

因为 0 ? x1 ? x2 , m ? 0 , 所以

x1 x ? 1 ,所以 ln 1 ? m( x1 ? x2 ) ? 0 x2 x2

--------5 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x ) 在定义域上单调递增. (3)函数 f ( x ) 的零点只有一个 ① 当 m ? (0,e) 时, f (1) ? ln1 ? m ? m ? 0 第 8 页,共 10 页

--------6 分 --------7 分

f (e ?1 ) ? ln e ?1 ? me ?1 ? ?1 ? 1 e

m m?e ? ?0 e e

--------8 分

且函数 f ( x ) 在 [ ,1] 上的图象是连续不间断曲线 所以由零点定理可得 函数 f ( x ) 在 (e?1 ,1) 上存在一个零点, --------9 分

又由(2)得 f ( x ) 在定义域上单调递增,所以函数 f ( x ) 的零点只有一个. --------10 分 ② 当 m ? e 时, f ( ) ? ?1 ?

1 e

e ? 0 ,又由(2)得 f ( x) 在定义域上单调递增, e
--------11 分

所以函数 f ( x ) 的零点只有一个. 方法一: ③ 当 m ? (e,+?) 时,设 x0 ? m ? e ? 0 则 f (1) ? ln1 ? m ? m ? 0

f (e? x0 ? 2 ) ? ln e? x0 ? 2 ? me? x0 -2 ? ? x0 ? 2 ?
因为 x0 ? 0 ,所以 所以 ? x0 ? 2 ?

x0 ? e x 1 ? ? x0 ? 2 ? x00+2 ? x0 +1 x0 +2 e e e

-----12 分

1 e
x0 +1

? 1, 1 e
x0 ?1

e

0 x0 +2

x

? 1,
-------13 分

e

0 x0 ? 2

x

?

? ? x0 ? 2 ? 2= ? x0 ? 0 ,即 f (e? x0 ?2 ) ? 0

且函数 f ( x ) 在 (e

? x0 ? 2

,1) 上的图象是连续不间断曲线
? x0 ? 2

所以由零点定理可得 函数 f ( x ) 在 (e

,1) 上存在一个零点,

又由(2)得 f ( x ) 在定义域上单调递增,所以函数 f ( x ) 的零点只有一个. --------14 分 方法二: ③ 当 m ? (e,+?) 时,设 g ( x) ? e ?
x

m x

(m ? e)

则 g (1) ? e ? m ? 0, g (m) ? e ?
m

m ? em ? 1 ? 0 , m

且函数 g ( x) 在 [1, m] 上的图象是连续不间断曲线 所以存在 x0 ? (1, m), 使得 g ( x0 ) ? 0 ,即 m ? x0e 0
x

----------12 分 -----------13 分

从而有 f (e

? x0

) ? ?x0 ? me? x0 ? ?x0 ? x0 ? 0

且函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的图象是连续不间断曲线

第 9 页,共 10 页

又由(2)得 f ( x ) 在定义域上单调递增, 所以当 m ? (e,+?) 时,函数 f ( x ) 的零点只有一个. --------14 分

第 10 页,共 10 页


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