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2013年北京市房山区高三一模数学理科



题目要求的一项.

学 (理科)2013.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合

2 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | x ? 4} ,则 M ? (CR N ) =

>A. (?2, 1] C. (??, ?1]

B. [?2, 1] D. (??, ?2)

2.已知 {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和.若 a1 + a9 = 18, a4 = 7 ,则 S10 = A. 55 C. 90 B. 81 D. 100 开始

S ? 0, n ? 1

3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中 ① 处可以填入 A. n ? 4 B. n ? 8 C. n ? 16 D. n ? 16

S ? S ?n n ? 2n


① 是 输出 S
结束

4.在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心到直线 ? cos? ? 2? sin? ? 1 ? 0 的距离为 A.

5 5

B. 2 5 5

C. 3 5 5

D. 4 5 5

2 5.下面四个条件中, “函数 f ( x) ? x ? 2 x ? m 存在零点”的必要而不充分的条件是

A. m ? ?1 C. m ? 2

B. m ? 1 D. m ? 1

??? ? ??? ? ???? ???? 6. 在△ABC 中, AB ? AC, AC ? 1 ,点 D 满足条件 BD ? 3 BC ,则 AC ? AD 等于
A. C.

3

B. 1 D.

3 2 7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥 的四个面的面积中,最大的是
A. 4 3 B. 8

1 2

高三数学(理科)试题第 1 页(共 4 页)

C. 4 7 D. 8 3

8.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x0 ?R 满足: ?a ? 0, ?x ? M ,0 ? x ? x0 ? a ,称 x0 为 集合 M 的聚点.则下列集合中以 1 为聚点的有: ① { A.①④

n | n ? N} ; n ?1

2 ② { | n ? N* } ; n

③Z;

④ { y | y ? 2x } D. ①②④

B. ②③

C. ①②

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 10.已知双曲线 C : 为 . .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且过点 (2,3) ,则它的渐近线方程 a 2 b2

11.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能在第一或最后 一步实施,程序 B 和 C 在实施时必须相 邻,则实验顺序的编排方法共有 作答) 12.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC , 已知 ?BPA ? 30? , BC ? 11 , PB ? 1 , 则 PA ? 圆 O 的半径等于 . , 种.(用数字

O B P A

C

13.某商品在最近 100 天内的单价 f (t ) 与时间 t 的函数关系是

?t (0 ? t ? 40, t ? N) ? 4 ? 22 ? f (t ) ? ? ?? t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N) ? 2 ?

t 109 (0 ? t ? 100, t ?N) .则这种商品 日销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是 g (t ) ? ? ? 3 3
的日销售额的最大值为 .

14.已知函数 f ( x) 的定义域是 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0, 1] 上为非减函数,且满足以下三个
高三数学(理科)试题第 2 页(共 4 页)

条件:① f (0) ? 0 ;

x 1 4 ② f ( ) ? f ( x) ; ③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) .则 f ( ) ? 5 2 5



f(

1 )? 2013

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

C (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 c2 ? ab , 2
试判断△ABC 的形状. 16.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ⊥底面 ABCD , ABCD 为直角梯形, BC // AD , ?ADC ? 90? ,
P

F

1 AD ? 1 , PA ? PD , E,F 为 AD,PC 的中点. 2 (Ⅰ)求证:PA//平面 BEF; (Ⅱ)若 PC 与 AB 所成角为 45? ,求 PE 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 F-BE-A 的余弦值. BC ? CD ?
A

D E B

C

17.(本小题满分 13 分)

PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空
气质量为一级;在 35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/ 立方米以上空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测 数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本, 监测值如茎叶图 所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三 天数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到
PM2.5 日均值(微克/立方米)

2 3 4 6 7 8 9

8 7 4 3 9 6 2

1 5 8 3 5

4 5

3

PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列和数学期望;

高三数学(理科)试题第 3 页(共 4 页)

(Ⅲ)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计 算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 7 ax ? (a ? 1) x ? ln x , g ( x) ? x 2 ? 2bx ? . 2 8

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ?

1 时,函数 f ( x) 在 (0, 2] 上的最大值为 M ,若存在 x ?[1,2] ,使得 4 g ( x) ? M 成立,求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F (1,0) ,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点, 直线 AO,BO 分别与直线 m : x ? ?2 相交于 M ,N 两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.

20.(本小题满分 13 分) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用 记号 x 表示.例如 1.2 ? 0.2, ?1.2 ? 0.8, 足如下条件:

8 1 ? .对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满 7 7

? 1 ? a1 ? a , an ?1 ? ? an ? ?0
(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ) a ? 当

an ? 0, an ? 0,

其中 n ? 1,2, , . 3?

2 ,求数列 ?an ? 的通项公式;
1 时, 对任意的 n ? N* , 都有 a n ? a , 求符合要求的实数 a 构成的集合 A ; 4

(Ⅲ)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p , q 互质) ,对于大于 q q

的任意正整数 n ,是否都有 a n ? 0 成立,证明你的结论.

高三数学(理科)试题第 4 页(共 4 页)

参考答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1B

2D

3B

4A

5C

6A

7C

8A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?1 ? i 12. 2 3 , 7 10. y ? ? 3x 13. 11. 14.

96
1 1 , 2 32

808.5

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? cos 2 x ? 3 sin 2 x
1 3 ? 2( cos 2 x ? sin 2 x) 2 2

………………………………………4 分

? 2 s i n2( ? x

?
6

) …………………6 分

2? ? ?. 2 C ? (Ⅱ)因为 f ( ) ? 2sin(C ? ) ? 2 2 6
周期为 T ? 所以

……………………………………7 分

s i nC ? (

?

6

?)
所以

1
?
6 ?C?

因为 0 ? C ? ? 所以 C ?

?
6

?

7? 6

……………………………………8 分

?
6

?

?
2

所以 C ?

?
3

……………………………………………………9 分

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a2 ? b2 ? ab ? ab ………………………………………11 分
整理得 a ? b 所以 三角形 ABC 为等边三角形 …………………………………………12 分 …………………………………………13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO

?

BC // AD , BC ?

? AE//BC,且 AE=BC ? 四边形 ABCE 为平行四边形 ………………………………….………………..1 分 ? O 为 AC 中点
又 F 为 AD 中点 ? OF // PA ……………………………………………...….2 分
高三数学(理科)试题第 5 页(共 4 页)

1 AD , 2

E 为 AD 中点

P 平面 B E F ……………...….3 分 ? O F? 平面 B E, F ? A ? PA //平面 BEF ………………………………………..……..…..4 分

(Ⅱ)解法一:
? PA ? PD E为AD中点 ? PE ? AD

? 侧面PAD ? 底面ABCD, 侧面PAD ? 底面ABCD ? AD, PE ? 平面PAD ? PE ? 平面ABCD ………………………….…………………6 分
易知 BCDE 为正方形
z
P

? AD ? BE
建立如图空间直角坐标系 E ? xyz , PE ? t ( t ? 0 ) 则 E ?0,0,0?, A?1,0,0?, B?0,1,0?, P?0,0, t ?, C ?? 1,1,0?

F

D E

C

? PC ? ?? 1,1,?t ?, AB ? ?? 1,1,0?
A

O

B

y

? PC与AB所成角为45 ? cos ? PC , AB ? ?

0

x

PC ? AB PC AB

?

1?1? 0 2 ? t2 2

? cos 45 0 ?

2 ,…….………8 分 2

解得: t ?

2

? PE ? 2

…………………………………………………………………….9 分

解法二:由 BCDE 为正方形可得 由 ABCE 为平行四边形

EC ? 2BC ? 2

可得 EC // AB 即 ?PCE ? 450 …………………………………..…5 分

? ?PCE 为 PC与AB所成角

? PA ? PD E为AD中点 ? PE ? AD

? 侧面PAD ? 底面ABCD, 侧面PAD ? 底面ABCD ? AD, PE ? 平面PAD ……………………………………………………………….…7 分 ? PE ? 平面ABCD …………………………………………………………………….8 分 ? PE ? EC ? PE ? EC ? 2
(Ⅲ) F 为 PC 的中点,所以 …………………………………..………9 分
? 1 1 F ? ?? , , ? 2 2 2 ? ? 2 ? ? ?



? 1 1 2? ? EB ? ?0,1,0? , EF ? ? ? , , ? 2 2 2 ? ? ?
设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BEF 的法向量
高三数学(理科)试题第 6 页(共 4 页)



? n ? EB ? y ? 0, ? ? 1 1 2 ?n ? EF ? ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?

取 x ? 2 ,则 z ?

2 ,得 n ? 2,0, 2

?

?

……………………………………………….11 分

EP ? 0,0, 2 是平面 ABE 的法向量 ………………………………………………….12 分

?

?

? cos ? n, EP ? ?

n ? EP n EP

?

3 3

………………………………………………….13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 .………………………………………….14 分 3

17(本小题满分 13 分) (Ⅰ)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天 记“从 15 天的 PM 2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事 件A 则 P ( A) ?
1 C4 ? 11 44 C2 ? 3 C15 91

??????????????3 分

(Ⅱ) ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

????????4 分
1 2 C5C10 45 ? 3 C15 91

P(? ? 0) ?

0 3 C5 C10 24 ? 3 C15 91

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

1 C52C10 20 ? 3 C15 91

P(? ? 3) ?

3 0 C5 C10 2 ? 3 C15 91

?????????????????8 分 所以 ? 的分布列为

?

0
24 91

1
45 91

2

P

20 91 ?????????????9 分
????????????10 分

3 2 91

E? ?

24 45 20 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 91 91 91 91

(Ⅲ) 15 天的空气质量达到一级或二级的频率为

10 2 ? 15 3

??????11 分

365 ?

2 1 ? 243 , 3 3
高三数学(理科)试题第 7 页(共 4 页)

1 所以估计一年中有 243 天的空气质量达到一级或二级. ?????? 13 分 3 (说明:答 243 天,244 天不扣分)
18(本小题满分 13 分) (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ? ln x

f ( 1 ) ? 1? l n ? ? 1 ? 1 ……………………1 分
………………………………………….…2 分

f '( ) ? ? x ? 1

1 x

f '(1) ? 0

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 y ? ?1 …………………………….…3 分 (Ⅱ) f '( x) ? ax ? (a ? 1) ? ① 当 a ? 0 时, 解 f '( x) ? ?

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x

( x ? 0) ………4 分

x ?1 x ?1 ? 0 ,得 x ? 1,解 f '( x) ? ? ? 0 ,得 x ? 1 x x
………………………5 分

所以函数 f ( x) 的递增区间为 (0,1) ,递减区间为在 ?1, ?? ? ② a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? i)当 0 ? a ? 1时, x f’(x) f(x) + 增

1 a

1 ?1 a

(0,1) )

1

1 (1, ) a


1 a

1 ( , ??) a
+ 增 ………………………6 分

函数 f ( x) 的递增区间为 (0,1) , ? ii)当 a ? 0 时,

1 ?1 ? , ?? ? ,递减区间为 (1, ) ……………………7 分 a ?a ?

1 ?0 a
………………………8 分 ………………………9 分

在 ? 0,1? 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 函数 f ( x) 的递增区间为 ? 0,1? ,递减区间为 (1, ??) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 所以 M ? f (1) ? ?

1 时, f ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,2) 上是减函数, 4
…………………………………11 分

9 , 8

存在 x ? [1, 2] ,使 g ( x) ? ?

9 8

高三数学(理科)试题第 8 页(共 4 页)

即存在 x ? [1, 2] ,使 x 2 ? 2bx ?

7 9 ?? , 8 8 9 8

方法一:只需函数 g ( x) 在[1,2]上的最大值大于等于 ?

9 ? ? g (1) ? ? 8 ? 所以有 ? ? g (2) ? ? 9 ? 8 ? 7 9 ? ?1 ? 2b ? 8 ? ? 8 3 ? 即? 解得: b ? 2 ?4 ? 4b ? 7 ? ? 9 ? 8 8 ?
………………………………………………13 分

7 9 ?? 8 8 3 x 1 整理得 b ? ? ? [ 2, ], x ? [1, 2] 2 2 x
方法二:将 x 2 ? 2bx ? 从而有 b ? ?

3 ? x 1? ? ? ? ? 2 x ?max 2
3 2
…………………………………………………13 分

所以 b 的取值范围是 (??, ] .

19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由焦点坐标为 (1, 0) 所以 p ? 2 所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x …………………………………4 分
2

可知

p ?1 2

(Ⅱ) 当直线 l 垂直于 x 轴时, ?ABO 与 ?MNO 相似, 所以

OF 2 1 S?ABO ?( ) ? S?MNO 2 4

…………………………………….…6 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ………………………7 分 设 M (?2, y M ) , N (?2, y N ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 解

? y ? k ( x? 1 ) ? 2 ? y ? 4x

整理得

k 2 x 2? ( 4 ? 2k 2 )x? k2 ?, 0

所以 x1 ? x2 ? 1

…………………………………………………………….9 分

高三数学(理科)试题第 9 页(共 4 页)

1 ? AO ? BO ? sin ?AOB S ?ABO AO BO x1 x2 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? …………………….14 分 S ?MNO 1 ? MO ? NO ? sin ?MON MO NO 2 2 4 2
综上

S?ABO 1 ? S?MNO 4

20(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a1 ?

2 ? 2 ? 1 , a2 ?

1 ? a1

1 2 ?1

?

2 ? 1 ? 2 ? 1 ……….2 分

若 ak ? 所以 an ?

2 ? 1 ,则 ak ?1 ? ?

?1? ? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 ? ak ? ? ?
……………………………………3 分

2 ?1

(Ⅱ)? a1 ? a ? a , a ? ①当

1 1 1 所以 ? a ? 1 ,从而 1 ? ? 4 4 4 a

1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? a ? a ? 1 ,即 1 ? ? 2 时, a2 ? a1 a a 2 a
2

所以 a ? a ? 1 ? 0 解得: a ?

?1 ? 5 ? 1 ? ?1 ? 5 ? ? ,1? ,舍去) , (a ? 2 2 ?2 ?

……………….4 分

②当

1 1 1 1 1 1 ? ? ?2? a , ,即 2 ? ? 3 时, a2 ? ?a? a1 a a 3 2 a
2

所以 a ? 2a ? 1 ? 0 解得 a ?

?2 ? 8 ? 1 1? ? 2 ? 1, ( a ? ? 2 ? 1? ? , ? ,舍去) ………………5 分 2 ? 3 2?
1 1 1 1 1 1 ? ? ?3? a ? a ? 时,即 3 ? ? 4 时, a2 ? a1 a a 4 3 a
………………6 分

③ 当

解得 a ?

?3 ? 13 ? 1 1 ? ?3 ? 13 ? ? , ? ,舍去) (a ? 2 2 ? 4 3?
?1 ? 5 , a ? 2 ?a , ?3 ? 13 1? 2 2

综上,集合 A ? ? a? (Ⅲ)结论成立.

?.

………………7 分 ……………………8 分

高三数学(理科)试题第 10 页(共 4 页)

由 a 是有理数,可知对一切正整数 n , an 为 0 或正有理数, 可设 a n ?

pn ( p n 是非负整数, q n 是正整数,且 pn , qn 互质) qn
…………………………………9 分

由 a1 ?

p p ? 1 ,可得 0 ? p1 ? q ; q q1

若 p n ? 0 ,设 qn ? ? pn ? ? ( 0 ? ? ? p n , ? , ? 是非负整数) 则

qn pn q ? 1 ?? ? ? n ,而由 a n ? 得 pn qn an pn pn
q 1 ? ? n ? ,故 p n ?1 ? ? , q n ?1 ? p n ,可得 0 ? p n ?1 ? p n ………11 分 an pn pn

an ?1 ?

若 p n ? 0 则 p n ?1 ? 0 , 若 a1 ,a 2 , a3 ,? ? ?, a q 均不为 0,则这 q 正整数 pn (n ? 1, 2,3,?, q) 互不相同且都小于 q , 但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾. 故 a1 ,a 2 , a3 ,? ? ?, a q 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ?a n ?中 a m 以及它之后的项均为 0, 所以对于大于 q 的自然数 n ,都有 a n ? 0 ……………………………………………13 分

高三数学(理科)试题第 11 页(共 4 页)


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