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“直线与圆”考题精选


“直线与圆”考题精选
1.(全国 II 文) (15)已知圆 O: x ? y ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线
2 2

与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析: ? ax ? by ? r ? x ? 2 y ? 5 ? 0. 或由题意可直接求出切线方程为 y-2= ?

1 (x-1)

, 即 x+2y-5=0, 2 5 1 5 25 从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? . 2 2 2 4

2 2 (全国 II 理) (16) 已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦, 垂足为 M 1, 2 ,

?

?

则四边形 ABCD 的面积的最大值为 解 1:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d 2 ,由 AC⊥BD,得 d1 +d 2 ? OM ? 3 .
2 2 2

S?

1 | AC | ? | BD | ? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? (4 ? d12 )+(4-d 2 2 ) ? 8 ? ( d12 ? d 2 2 ) ? 5 . 2
2 2 2

解 2:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d 2 ,由 AC⊥BD,得 d1 +d 2 ? OM ? 3 .

? d1d 2 ?

3 1 1 2 2 ; 四边形 ABCD 的面积 S ? | AC | ? | BD | ? ? 2 4 ? d1 ? 2 4-d 2 2 2 2

3 ? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 2 16 ? 4(d12 ? d 2 2 ) ? d12 ? d 2 2 ? 2 4 ? (d1d 2 ) 2 ? 2 4 ? ( ) 2 ? 5 . 2
解 3:∵弦 AC、BD 相互垂直,∴四边形 ABCD 的面积为

1 AC ? BD 2 S ? AC ? BD ? ( ) ,当且仅当 AC=BD 时 2 2
取等号。此时圆心 O 到 AC、BD 的距离相等。 作 OR⊥BD 于 R,则 R 是 BD 的中点,同理,作 OT⊥AC 于 T, T 是 AC 的中点,且 OR =OT,则四边形 OTMR 是正方形。 由 M (1, 2) ? OM ?
D

y
A
R M T

B

O C

x

3 , ∴ OR ? 3 ?

2 6 ? , 2 2
6 10 ? ? BD ? AC ? 10 . 4 2

在 Rt?ORD 中, DR ?

OD 2 ? OR 2 ? 4 ?

四边形 ABCD 的面积 S ABCD ?

1 1 AC ? BD ? ? 10 ? 10 ? 5 . 2 2

∴四边形 ABCD 的面积的最大值为 5.

2. (四川卷理) (14)若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A、B
2 2
2 2

-1-

两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 解析:由题意得 O1 (0,0), O2 ( m ,0) ,且 5 ?| m |? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 , 所以有 m ? ( 5 ) ? ( 2 5 ) ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?
2 2 2

w

5 ? 20 ?4。 5

3.(上海卷文) (15)已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行, 则 k 的值是( C ) (A) 1 或 3 (B)1 或 5 (C)3 或 5 (D)1 或 2

解:当 k =3 时, k -3=0,此时两直线都平行于 x 轴,∴平行; 当 k ≠3 时,

k ?3 2(k ? 3) 1 ?? ? ? ?1 ? 4 ? k ? ?1 ,∴ k =5. 综上, k =3 或 5. 4?k 2 4?k
(17)点 P(4,-2)与圆 x ? y ? 4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A
2 2



(A) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

(B) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

(C) ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

(D) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

解: (典型的代入法求轨迹) 。设中点坐标 Q( x, y ) ,圆上的动点 P( x 0 , y 0 ) ,则有

? x0 ? 4 ?x ? ? x0 ? 2 x ? 4 ? 2 2 2 2 2 ?? ,代入圆的方程 x ? y ? 4 整理得 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 . ? ? y0 ? 2 y ? 2 ? y 0 ?2 ? y ? ? 2
(上海卷理) (10)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ?

?
3



? cos? ? ? sin? ? 1 围成图形的面积是________.
【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的图象如图,可求

得A (

3 ?1 3 ? 3 1 3 ? 3 3? 3 , ) , B (1,0) ,O(0,0) , 三角形 AOB 的面积为: ? 1 ? = . 4 2 2 2 2
2 2

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于 (18).过圆 C:
点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积 满足 S I ? S IV ? S II ? S III , 则这样的直线 AB 有( B ) (A) 0 条 (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条

-2-

【解析】由已知,得: S IV ? S II ? S III ? S I , 第 II,IV 部分的面积是 定值,所以, S IV ? S II 为定值,即 S III ? S I 为定值,当直线 AB 绕着 圆心 C 移动时,由其大小的变化情况知只可能有一个位置符合题意, 即直线 AB 只有一条,故选 B。 4. (重庆卷文) (1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A ) A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

2 2 解法 1(直接法) :设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (0 ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,

解得 b ? 2 ,故圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 。
2 2

解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) , 故圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 .
2 2

解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C。 (重庆卷理) (1)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为( B )
2 2

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

D.相离

解:圆心为 (0, 0) 到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
2 2

1 2 2 ? ? 1 ,选 B。 ,而 0 ? 2 2 2
D )

5. (陕西卷文) (4) 过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 ( (A) 3 (B)2 (C) 6 (D)2 3

解析 1: 直线方程y= 3 x,圆的标准方程x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,圆心 (0, 2) 到直线的距离

d?

3?0 ? 2 ( 3) 2 ? (?1) 2

? 1 ,由垂径定理知所求弦长为 d ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故选 D.

解析 2:代数方法, ?

2 2 ? ?x ? y ? 4 y ? 0

? ? y ? 3x
2

? x 2 ? 3 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? 3.
2

所求弦长为 l ? 1 ? ( 3) | x1 ? x2 |? 2 3 ? 1 ? k

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .

6. (江西卷文) (16)设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1(0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题:
-3-

A .存在一个圆与所有直线相交 B .存在一个圆与所有直线不相交 C .存在一个圆与所有直线相切 D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 ABC (写出所有真命题的代号) . 【解析】因为 x cos ? ? y sin ? ? 2sin ? ?1 ? 0 ,所以点 P(0, 2) 到 M 中每条直线的距离

d?

1 cos 2 ? ? sin 2 ?
2

? 1,
2

即 M 为圆 C : x ? ( y ? 2) ? 1 的全体切线组成的集合,所以存在圆心在 (0, 2) ,半径大于 1 的圆与 M 中所有直线相交, 也存在圆心在 (0, 2) ,半径小于 1 的圆与 M 中所有直线均不相 交, 也存在圆心在 (0, 2) ,半径等于 1 的圆与 M 中所有直线相切,故 A、B、C 正确,又因 M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故 D 错误,故命题中正确的序号是 ABC. 7. (湖北卷文) (14)过原点 O 作圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 20 ? 0 的两条切线,
2 2

设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为
2 2

。4

【解析】 可得圆 A 方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 , 设线段 PQ 的中点为 B,则 5 ?| AB | ?5? | AB |? 1,

?| QB |? 5 ? 1 ? 2,?| PQ |? 4.
8.(安徽卷文) (7)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( A ) A. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 【解析】可得 l 斜率为 ? B. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

3 3 , ? l : y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 A。 2 2

(11)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上, 且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是____(0,-1,0)____ 【解析】设 M (0, y,0) ,由 1 ? y ? 4 ? 1 ? (?3 ? y) ? 1 ,可得 y ? ?1 ,故 M (0, ?1, 0) .
2 2 2

(安徽卷理) (12)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同 的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? ? R) ,它与曲线 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. [解析] 直线的普通方程为 y ? x, 曲线的普通方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 .
2 2

-4-

∴ | AB |? 2 2 ? (
2

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 . 1?1
? x ? ?1 ? 2 cos ? ( ? 为参数 ),试判断他们的公共点个数. ? y ? 2 ? 2sin ?

9.(福建卷理)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ?

解:圆的方程可化为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,其圆心为 C (?1, 2) ,半径为 2. 由于圆心到直线 l 的距离 d ?
| 3 ? (?1) ? 4 ? 2 ? 12 | 3 ?4
2 2

?

7 ? 2, 5

故直线 l 与圆相交,其公共点个数为 2. 10.(广东卷文) (13)以点 (2, ? 1) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【解】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ? 所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2



| 2 ?1 ? 6 | 5 , ? 1?1 2

25 2

(14) (坐标系与参数方程选做题)若直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 ? y ? 2 ? 3t


4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k ?
【解】将 ?

? x ? 1 ? 2t 3 7 3 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t
4 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 k ? 2? ? k ?

当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k2 ? ?

3 7 得 k ? ?6 ;当 k ? 0 时,直线 y ? ? x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直. 综上可知, k ? ?6 . 2 2
(广东卷理) (13) . (坐标系与参数方程选做题)若直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 2t , (t为参数) ? y ? 2 ? kt.
-1 .

与直线 l2 : ?

? x ? s, ( s 为参数)垂直,则 k ? ? y ? 1 ? 2 s.

【解析】把 l1 和 l 2 的参数方程化为普通方程得 l1 : kx ? 2 y ? (k ? 4) ? 0, l2 : y ? 1 ? 2 x , 因为 l1 ? l2 ,从而 ? ? (?2) ? ?1, 故 2k ? 2 ? 0 ? k ? ?1 .

k 2

11. (海南、宁夏卷文) (5)已知圆 C1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0
2 2

-5-

对称,则圆 C2 的方程为( B ) (A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2
2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2
2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ? 2 2 【解析】 C1 (?1,1), 设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? , b ? 1 ? ? ?1 ? a ?1 ?
解得: ?

?a ? 2 ,对称圆的半径不变,为 1,故选 B. ?b ? ?2

12. (辽宁卷文) (7)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为( B ) (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

解:圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中 圆心到两直线的距离等于半径 2即可. (法一)设圆心为 (a, ?a) ,半径为 r,则 | a ? a | ? | a ? a ? 4 | ? r ,∴ a ? 1, r ? 2 。 2 2 (法二)由题意知圆心为直线 x ? y ? 0 、 x ? y ? 4 ? 0 分别与直线 x ? y ? 0 的交点的中点, 交点分别为(0,0) 、 (2,-2) ,∴圆心为(1,-1) ,半径为 2 。
2 2 2 2 13. (天津卷文) (14)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 ,

则 a ? ____1____. 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 , a

1 | 2 2 利用圆心(0,0)到直线的距离 d ? a = 2 ? 3 ? 1 ,解得 a ? 1. 1 |
(天津卷理)(13) 设直线 l1 的参数方程为 ?

?x ? 1? t (t 为参数) , ? y ? 1 ? 3t

直线 l 2 的方程为 y=3x+4,则 l1 与 l 2 的距离为___________

3 10 5

-6-

解析:直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与 l 2 平行,其距离为

|4? 2| 10

?

3 10 . 5

14. (浙江卷文) (9)已知三角形的三边长分别为 3, 4,5 ,则它的边与半径为1 的圆 的公共点个数最多为( B ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆: r ?

a+b-c ab , ?1? 2 a+b+c

此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况, 但 5 个以上的交点不能实现. 15. (江苏卷) (18) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 , 求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相 垂直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标。 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式, 考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 16 分。 解:(1)易知 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 . 由垂径定理得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 22 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2
y

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, 或k ? ?
2

7 . 24
1

则直线 l 的方程为: y 即y

? 0或 y ? ?

7 ( x ? 4) , 24

? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 .

O

1

4

x

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:

1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) , k
-7-

即: kx ? y ? n ? km ? 0, ?

1 1 x? y?n? m ? 0. k k

因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理得:圆心 C1 到直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。

4 1 | ? ?5? n? m| k 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km | ? k , 2 1 k ?1 ?1 k2
化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ? 解之得:点 P 坐标为 ( ?

?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? . ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

3 13 5 1 , ) 或( ,? ) 。 2 2 2 2 3 13 5 1 , ) 或 P2 ( , ? ) .经检验点 P1 和 P2 满足题目条件. 2 2 2 2

这样的点 P 只可能是点 P 1 (?

法二: 依题意点 P 在线段 C1 C 2 的中垂线上,且与 C1 、 C 2 构成等腰直角三角形, C1 C2 ???? ? ???? ? 的中点 M ( 1 ,3) , kC1C2 ? 4 , 设点 P (a, b) ,则 b ? 3 ? ? 7 (a ? 1 ) ,又 PC1 ? PC2 ? 0 , 2 7 4 2 即 a2 ? b2 ? a ? 6b ? 7 ? 0 ,解得 a ? ? 3 , b ? 13 ;或 a ? 5 , b ? ? 1 . 2 2 2 2 满足条件的点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) . 2 2 2 2 16. (全国Ⅰ文) (16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

其中正确答案的序号是 解:两平行线间的距离为 d ?

.(写出所有正确答案的序号)

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o ,

l 1 的倾斜角为 45o ,所以直线 m 的倾斜角等于 30o ? 450 ? 750 或 45o ? 300 ? 150 。
故填①⑤.

-8-