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天津市五区县2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试题


2013-2014 学年天津市五区县高二(下) 期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位, =( )

A. 1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i D.﹣1+2i 2.3 名学生参加同时举行的 5 项体育活动,若每名学生可以自由

选择参加其中的一项,则 不同的参赛方法共有( )种. A. 3
5

B.5

3

C.

D.5×3 时,第一步

3.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(n+3)= 验证 n=1 时,左边应取的项是( A. 1 B.1+2 4.函数 y= A. 2 ) C.1+2+3 ) C.

D.1+2+3+4

在区间[ ,2]上的最小值为( B.

D.e

5.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名 未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血清不能起到预防感冒的作 2 用”,利用 2×2 列联表计算的 K ≈3.918,经查对下面的临界值表,我们( ) 0.50 P(K ≥k0) 0.455 k0
2

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 0.001 7.879 10.828

A. 至少有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B. 至少有 99%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” C. 至少有 97.5%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” D. 没有充分理由说明“这种血清能起到预防感冒的作用” 6.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,下列说法错误的是(



A.﹣2 是函数 y=f(x)的极小值点 C. y=f(x)在 x=0 处切线的斜率大于零 增.

B. 1 是函数 y=f(x)的极值点 D.y=f(x)在区间(﹣2,2)上单调递

7.现有男生 3 人,女生 5 人,从男生中选 2 人,女生中选 1 人参加数学、物理、化学三科 竞赛,要求每科均有 1 人参加,每名学生只参加一科竞赛,则不同的参赛方法共有( ) 种. A. 15 B.30 C.90 D.180 8.已知 =21,则(2 ﹣ ) 的二项展开式中的常数项为(
n



A. 160 B.﹣160 C.960 D.﹣960 9.某化工厂为预测产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系, 现取 8 对观测值,计算得: 间的回归直线方程是( A. ) C. =2.62+11.47x D. =11.47﹣ xi=52, yi=228, xi =478,
2

xiyi=1849,则 y 与 x 之

=11.47+2.62x B. =﹣11.47+2.62x

2.62x 10.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁不能排在一 起,则不同的排法共有( ) A. 12 种 B.20 种 C.24 种 D.48 种 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.已知 a1=3,an+1= ,试通过计算 a2,a3,a4,a5 的值,推测出 an= _________ .

12.一个箱子中装有 6 个白球和 5 个黑球,如果不放回地依次抽取 2 个球,则在第 1 次抽到 黑球的条件下,第 2 次仍抽到黑球的概率是 _________ . 13.已知 t>0,若 (2x﹣1)dx=6,则 t= _________
3

14.已知函数 f(x)=﹣x +2ax,x∈[0,1],若 f(x)在[0,1]上是增函数,则实数 a 的取值 范围为 _________ . 15.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中 得﹣1 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该 射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击,则该射手得 3 分的概率为 _________ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知 i 是虚数单位,m∈R,z=m(m﹣1)+(m +2m﹣3)i. (Ⅰ)若 z 是纯虚数,求 m 的值; (Ⅱ)若在复平面 C 内,z 所对应的点在第四象限,求 m 的取值范围; 2 (Ⅲ)当 m=2 时,z 是关于 x 的方程 x +px+q=0 的一个根,求实数 p,q 的值. 17. (12 分)学校运动队有男运动员 5 名,女运动员 3 名,其中男女队长各 1 名. (Ⅰ)8 人站成一排,其中队长不站在两端,有多少种不同的站法?

(Ⅱ)要从 8 名运动员中,选派 3 人外出比赛,若男队长因故不能参加、且必须有女运动员 参加,有多少种不同的选派方法?
2 5

18. (12 分)已知式子(2x + ) . (Ⅰ)求展开式中含
2 5

的项; + ) 的展开式中的第三项的系
n

(Ⅱ)若(2x + ) 的展开式中各二项式系数的和比( 数少 28,求 n 的值.

19. (12 分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则:每人从备选的 10 道题中一次性抽取 3 道题独立作答,至少答对 2 道题即闯关成功.已知 10 道备选题中,甲 只能答对其中的 6 道题,乙答对每道题的概率都是 . (Ⅰ)求甲闯关成功的概率; (Ⅱ)设乙答对题目的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 20. (12 分)已知函数 f(x)=2lnx+ x ,g(x)=3x+b﹣1. (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)设 F(x)=f(x)﹣g(x) , (ⅰ)求函数 y=F(x)的单调区间; (ⅱ)若方程 F(x)=0 有 3 个不同的实数根,求实数 b 的取值范围.
2

天津市五区县 2013~2014 学年度第二学期期末考试 高二数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.

3 n

12.

2 5

13.3

14. a ?

3 2

15.

4 9

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) 解: (Ⅰ)∵ z 是纯虚数 ∴?

? m(m ? 1) ? 0 ???????????????????????2 分 2 ?m ? 2m ? 3 ? 0

解得: m ? 0 ;??????????????????????????4 分 (Ⅱ)∵ z 所对应的点在第四象限 ∴?

? 0 ? m(m ? 1 ) 2 ?m ? 2m ? 3? 0

???????????????????6 分

解得: ?3 ? m ? 0 ; ???????????????????????8 分 (Ⅲ)当 m ? 2 时, z ? 2 ? 5i ∵ z 是关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 的一个根
2

∴ (2 ? 5i) ? p(2 ? 5i) ? q ? 0
2

即: (2 p ? q ? 21) ? (5 p ? 20)i ? 0 ?????????????????10 分 根据复数相等的充要条件得

?2 p ? q ? 21 ? 0 ? ? 5 p ? 20 ? 0
解得, p ? ?4, q ? 29 .????????????????????????12 分

17. (12 分)
2 解: (Ⅰ)先在中间的 6 个位置中选两个,排上队长,方法有 A6 种;?????2 分 6 其余的人任意排,方法数有 A6 种,??????4 分

再根据分步计数原理,
2 6 共有 A6 A6 ? 21600 种不同的站法. ???????????????6 分

(Ⅱ)法一: (直接法) : “男队长因故不能参加但必须有女运动员参加”包括以下几种情况,
1 2 1 女 2 男,共有 C3 ? C4 ? 18 种不同的选派方法, 2 1 2 女 1 男,共有 C3 ? C4 ? 12 种不同的选派方法, 3 3 女,共有 C3 ? 1 种不同的选派方法。???????????????9 分

由分类加法计数原理知,
1 2 2 1 3 共有 C3 ? C4 ? C3 ? C4 ? C3 ? 31 (种)选法???????????????12 分

法二: (间接法) ,
3 不考虑“必须有女运动员参加”的条件,从 7 人中任选 3 人,有 C7 种选法,

???????????????????? 8 分
3 其中全是男运动员的选法有 C4 种选法????????????????10 分 3 3 故“男队长因故不能参加但必须有女运动员参加”共有 C7 ? C4 ? 31(种)选法

??????????????????12 分

18. (12 分) 解: (Ⅰ) Tr ?1 ? C5 (2 x )
r 2 5? r

1 ( )r x

= C5 x

r 10 ? 2 r

1 25? r ( ) r x

r 2 = C5

5? r

x10?3r

??????????????????????2 分 ??????????????????4 分

令 10 ? 3r ? ?2 则 r ? 4 ,

∴展开式中含

T4?1

1 的项为: x2 10 ? C 54 2 5? 4 x ? 2 ? 2 ,??????????????????????6 分 x
5

1? ? 5 (Ⅱ) ? 2 x 2 ? ? 的展开式中各二项式系数的和为 2 ? 32 x? ? 2? ? ? x ? ? 的展开式中的第三项为: x? ?
n

????8 分

T2?1 ? C x
2 n

n?2 2

n ?6 2 ( )2 ? 4Cn2 x 2 x

? ????????????????10 分

2 依题意得, 32 ? 4Cn ? 28

解得, n ? 6

?????????????????????????12 分

19. (12 分) 解:(Ⅰ)设 “甲闯关成功”为事件 A

P ? A? ?

2 1 3 C6 C4 ? C6 2 ? ;???????????????????????4 分 3 C10 3

(Ⅱ)依题意 X ? B (3, ) , X 可能取的值为 0,1,2,3???????????5 分

P? X P? X P? X P? X

1 3 1 8 ? 0 ? ? C30 (1 ? )3 ? 3 27 1 12 4 1 1 ? 1? ? C3 ? ? (1 ? ) 2 ? ? 3 3 27 9 1 1 6 2 ? 2 ? ? C32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? ? 3 3 27 9 1 1 3 ? 3? ? C3 ? ( )3 ? ???????????????????????9 分 3 27

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

8 27

4 9

2 9

1 27
???????10 分

EX ?

0 ? 8 ? 1 ? 12 ? 2 ? 6 ? 3 ? 1 27

?1

???????????????????12 分

(或 EX ? np ? 3 ? 20. (12 分)

1 ? 1) 3

解: (Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为(0, ?? ) ∵ f ?( x ) =

2 ? x ???????????????????????1 分 x

∴ f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 又∵ f (1) ?

1 2

∴曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为:

y?

1 ? 3( x ? 1) 2

即: 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ?????????????3 分

(Ⅱ) 依题意得 F ( x) ? 2 ln x ?

1 2 x ? 3 x ? b ? 1 ( x ? 0) 2
????????????4 分

2 x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? (ⅰ) F ?( x) ? ? x ? 3 ? x x x
由 F ?( x) > 0,可得 x >2 或 0<x <1,

由 F ?( x) < 0,可得 1< x <2.????????????????????6 分 ∴ 函数 F ( x) 的单调递增区间为 (0 ,1) 和 (2, ?? ), 单调递减区间为 (1 , 2 ) ????????????????7 分 (ⅱ) 由(ⅰ)可知: 当 x 变化时, F ? ? x ? , F ? x ? 的变化情况如表

x
F ? ? x? F ? x?

? 0,1?
?
?

1

?1, 2?
?
?
3 ?b 2

2

? 2, ???
?
?

0

0
2 ln 2 ? 3 ? b

3 ? ?b 2

∴当 x ? 1 时, F ( x) 有极大值,并且极大值为 F (1) ? ?

当 x ? 2 时, F ( x) 有极小值,并且极小值为 F (2) ? 2ln 2 ? 3 ? b ??????9 分 若方程 F ( x) ? 0 有 3 个不同的实数根,则

3 ? ? F (1) ? ? ? b ? 0 2 ? ? ? F (2) ? 2 ln 2 ? 3 ? b ? 0
解得

2 ln ? 2

3 ? 3b ? ? ???????????????????????12 分 2


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