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设计必修五课堂讲义1-1-2(2)


预习导学 高中数学 · 必修5· 人教A版

第一章

解三角形

1.1.2 余弦定理(二)

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第一章

解三角形

[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形

式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.

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[知识链接]

第一章

解三角形

1.以下问题不能用余弦定理求解的是________. (1)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可 求其他的边和角. (2)已知两角和一边,求其它角和边.

(3)已知一个三角形的二条边及其夹角,求其他的边和角.
(4)已知一个三角形的三条边,解三角形. 答案 (2)

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第一章

解三角形

2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是________. (1)在△ABC中,若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形.

(2)在△ABC中,若a2 <b2+c2,则△ABC为锐角三角形.
(3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形. 答案 (1)(3)

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第一章

解三角形

[预习导引] 1.正弦定理及其变形 a b c (1)sin A=sin B=sin C= 2R . (2)a=2Rsin A ,b=2Rsin B,c=2Rsin C .

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2.余弦定理及其推论

第一章

解三角形

(1)a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 (2)cos A= 2bc ; cos B= 2ca ; cos C= 2ab . (3)在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为直角;c2>a2+b2?C 为钝 角;c2<a2+b2?C 为锐角.

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第一章

解三角形

3.三角变换公式
(1)cos (α+β)= (2)cos (α-β)= (3)cos 2α= cos αcos β-sin αsin β ; cos αcos β+sin αsin β ; 2cos2α-1= 1-2sin2α .

cos2α-sin2α=

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第一章

解三角形

要点一 正、余弦定理的综合应用
例1 如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB

=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.

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第一章

解三角形

解 在△ABD 中,AD=10,AB=14,∠BDA=60° ,设 BD=x, 由余弦定理, 得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos ∠BDA, ∴142=102+x2-2×10· xcos 60° , 即 x2-10x-96=0,解得 x1=16,x2=-6(舍去), ∴BD=16.

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第一章

解三角形

∵AD⊥CD,∠BDA=60° ,∴∠CDB=30° . BC BD 在△BCD 中,由正弦定理: = , sin∠CDB sin∠BCD 16sin 30° ∴BC= sin 135°=8 2.

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第一章

解三角形

规律方法 余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进 行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦

定理,还是余弦定理,必要时也可列方程(组)求解.同时,
要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用, 要抓住能利用某个定理的信息.

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第一章

解三角形

跟踪演练 1 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c,已知 a2-c2=2b,且 sin Acos C=3cos Asin C,求 b. 解 法一 在△ABC 中,∵sin Acos C=3cos Asin C, 则由正弦定理及余弦定理有:
2 2 2? a2+b2-c2 ? b + c - a ? a· =3? ? ?c,化简并整理得: 2ab 2 bc ? ?

2(a2-c2)=b2.又由已知 a2-c2=2b,∴4b=b2.解得 b=4 或 b= 0(舍).

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第一章

解三角形

法二 由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccos A.又 a2-c2=2b, b≠0.所以 b=2ccos A+2.① 又 sin Acos C=3cos Asin C,∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, sin (A+C)=4cos Asin C,即 sin B=4cos Asin C, b 由正弦定理得 sin B= sin C,故 b=4ccos A.② c 由①②解得 b=4.

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第一章

解三角形

要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC中,有(1)a=bcos C+ccos B;

(2)b=ccos A+acos C;
(3)c=acos B+bcos A; 这三个关系式也称为射影定理,请给出证明.

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第一章

解三角形

证明 法一 (1)由正弦定理得b=2Rsin B,c=2Rsin C,
∴bcos C+ccos B=2Rsin Bcos C+2Rsin Ccos B =2R(sin Bcos C+cos Bsin C)=2Rsin(B+C) =2Rsin A=a. 即a=bcos C+ccos B.同理可证(2)b=ccos A+acos C;

(3)c=acos B+bcos A.

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法二 (1)由余弦定理得

第一章

解三角形

a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= 2ac ,cos C= 2ab , a2+b2-c2 a2+c2-b2 ∴bcos C+ccos B=b· 2ab +c· 2ac a2+b2-c2 a2+c2-b2 2a2 = + = 2a =a. 2a 2a ∴a=bcos C+ccos B.同理可证(2)b=ccos A+acos C; (3)c=acos B+bcos A.

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第一章

解三角形

规律方法

(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数

式的差异.形式上一般有:左 ? 右;右 ? 左或左 ? 中 ? 右三 种. (2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种: 一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把

边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理转化.

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第一章

解三角形

跟踪演练 2 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, cos B c-bcos A 求证: = . cos C b-ccos A a2+c2-b2 b?a2+c2-b2? 2ac 法一 因为左边= 2 = , a +b2-c2 c?a2+b2-c2? 2ab

证明

b2+c2-a2 c-b· b?a2+c2-b2? 2bc 右边= = , b2+c2-a2 c?a2+b2-c2? b-c· 2bc ∴等式成立.
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第一章

解三角形

2Rsin C-2Rsin B· cos A 法二 因为右边= 2Rsin B-2Rsin C· cos A sin?A+B?-sin Bcos A = sin?A+C?-sin Ccos A sin Acos B =sin Acos C=左边. ∴等式成立.

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第一章

解三角形

要点三 利用正、余弦定理判断三角形形状

例3

在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=

2sin Bcos C,试确定△ABC的形状.

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第一章

解三角形

解 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得 b2+2bc+c2-a2=3bc,
2 2 2 b + c - a bc 1 2 2 2 即 a =b +c -bc,∴cos A= 2bc =2bc=2,

∵A∈(0,π), π ∴A= ,又 sin A=2sin Bcos C, 3 a2+b2-c2 a2+b2-c2 由正、余弦定理,得 a=2b· 2ab = , a ∴b2=c2,b=c,∴△ABC 为等边三角形.

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第一章

解三角形

规律方法 题中边的大小没有明确给出,而是通过一个关系 式来确定的,可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的 关系,也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来 判断.

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解三角形

跟踪演练 3 在△ABC 中, 若 B=60° , 2b=a+c, 试判断△ABC 的形状. 解 法一 根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B.
?a+c? ?2 2 2 ∵B=60° ,2b=a+c,∴? = a + c -2accos ? 2 ? ? ?

60° ,

整理得(a-c)2=0,∴a=c. 又∵2b=a+c,∴2b=2a,即 b=a.∴△ABC 是正三角形.

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第一章

解三角形

法二 根据正弦定理,2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C. 又∵B=60°,∴A+C=120°.∴C=120°-A, ∴2sin 60°=sin A+sin (120°-A), 整理得 sin (A + 30°) = 1 , ∵ 0°< A < 120°, ∴ 30°< A + 30° < 150° , ∴ A + 30° = 90° , ∴ A = 60° , C =

60°.∴△ABC是正三角形.

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第一章

解三角形

再见
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1.1、1.2课堂讲义

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