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2011年全国高中数学联赛天津赛区预赛

时间:2012-05-25


中 等 数 学 

2 1 年全 国高中数学联赛天津赛 区预赛  0  1
中图分类号:G 2 .9 44 7   文献标识码:A   文章编号 : 0 5—6 1 ( 0 2 0 —0 2 0  10 4 6 2 1 ) 1 o6— 3





选择题( 每小题 6 , 3 分) 分 共 6  

列, 且 
0 +0 = , 3+a t "  _ n 2 4+a +c 5 t 5  6=1 ?

1 果 (詈时 有s  成 .  ∈0 1 总 i 如 , n  >  
立, 则实数 k的取值范围是(   ) .  

贝 口 + 8 口  _ 07 口 +9

.  

(( ,  ( ∞ ) A一 詈 )。 】 B ,  。 ) 詈   (  ,  (  ,  c   ) 2 D   】 ) )
2 已 知 函 数 Y=f( .  )有 反 函 数 Y:  

2 已知 0 一 B D 是 正 四棱锥 , 中, . AC 其   O   ,C= . O为球心、 为半径作一  A= B 2 以 1 个球. 则这个球与正 四棱锥相交部分 的体积 
是一  

f ( )将 Y , 的图像绕 ( , 1 逆时针      . =(  ) I一) 旋转 9 。所求曲线的方程是( 0,   ( Y 厂 。_ A) = (  )一   2
() B y=-  ( )一   f - 2
( ) ,一 ( + )一1 C Y:  _ 1     ( y=  - D) ,一( 一1 )+1  

3 若实数 、 .  

满 足 

) .  

=3  一 n, 一= , lt =l t卢  卢詈 oa oa 且 gn g    
则  的值是— —. .   4 设 A、 双 曲线 的 两个 焦 点 , C在  .  是 点 双曲线上. 已知△ A C的三边长成 等差数  B
列 , / A B=10. 且 C 2 。则该 双 曲线 的离心 率 为  5 函数  ) . 的定义 域 为 ( ∞ )且 满足  0, ,

3 设 n为正 整数 , . 且 

= +) : +). 1   1     ,   。 y
则(   ) .  
(   =X B) y  ( x>X A)   y 

f)x1+2. f一 () 0 x 2 _3= f  
则  ) 的最小值是  6 复数 满 足  .
( z 2i 2 i 6 . 3 +  )= ( 一 )  

( )    C x<
则 实数 口的值 是 (  

() D 以上都有可能 
) .  

4 若直线 Y= 3与 曲线 Y=e ̄相 切 , .  一 xa  
( A)一 4 ( )一 B 2 () ( 4 C 2 D) 

则  等于一

 

5 在半径 为 1的o D上取 一定点  和 一  .

三、 解答题 ( 每小题 2 0分 , 6 分 ) 共 0  
1 在 四 面 体 A C 中 , D _ 面 B D, . BD A i - C   A = B 肋   DC=0<4  已知 E是 B 5. O D上 


动点 曰 设点 P满足 P B 且A   . ∥O , 户?百=1 .  
则点 P的轨迹 是 (   ( 椭 圆  A) ) .   ( 抛物 线  B)

点, 满足 C E上 B , B A 1 D 且 E= D= 。  
( ) 明 : B C=   1证   A  ;

( ) 曲线  ( 以上都有 可能  C双 D) 6 将( b c d 展开之后再合并 同 . a+ + + )   类项 , 所得 的多项 式 的项数是 (   ) .  

( ) 点 D 到平 面 A C的距 离 为  , 2若 B 求 
1J 

( ); ( ): ( ) 4 ( )  Ac   BC   c c  D c 2
二、 填空题( 每小题 9 , 5 分 共 4分)   1 九个正实数 0 ,: …,, .  口 , 口 构成等 比数 

CS0的值. O   
2 设 0 bc d e f为 实数 , . 、 、, 、、 且  积 + x+c I  +e f  b ≥  d  + l

21 0 2年第 1 期 

2  7

对 任 意的实 数  成 立. 明 : 证  
4 c—   1d e I a b ≥ 4f—   .  

所 得多项 式 中每一 项都 形如 

k   王   q( 0 . a 6 c d k> ) 2  

3 设数 列 {  定 义为  . a}

于是 ,1   + + 4 9   ≥0 .   + 2  3   = ( )  

口= , +=a+/ : 1n 1. l 1   2  ̄ 口+ (≥ ) 口I   3  
证 明 : 1 当 n>l ,川 +   l 4    () 时 a a-= a ; n

易知 , 上式共 有 C +一 41    =C: 整数 解 . - 3 . 组  
二 、 .1 2. 1 1  

( l 。n Z. 2 2 +<   )+    去  口 口口   1  
参 考 答 案 
— —

设 公 比为 q则 由已知条件 可得  .

n 1 g=   , +) 寺, (
口 q ( +q  +   l  1 +9 g )=1 . 5   以上 两式 相 比得 q( q )= 0 2 1+   2 .  



1 C. .  

作出 Y s   和 Y k 的图像 , =i n =z 知选 c  .
2.A.  

从 , 2 丢  而q ,: . =口
故 a +a +a =aq( + 7 8 9 1 1 q+q)=12     1.  
2.   .  

点 (, t) ( , 1 逆时针旋转 9 。 t )绕 1 一 )   0,  
得 到 (  t ,一2 . - )t )  

令  = 一 () 则  . t. 厂 Y= 一2=  _ 一2 t ,一( ) .  
3.   B.

考虑棱长为 2的正方体. 将点 0置于正  方体的中心 , A C 则 B D恰好可以与正方体 的  


个面重合. 于是 , 由对称性可知 , 所求体积 

由 :    
易得  =Y.    
4.   A.

,,   ):

, 对 数  取

是球体 体 积 的  , 即  .  
3  . .  

设切 点 的横 坐 标 为 。在  = 处 曲线  .  。 Y= xa e+的斜 率为 e , 线 Y= 一   直   3的 斜 率 
为 1 .  

记 t   = 则  a n  

t =, a 专 n   卢
t   an

故 e =1j o 一 .     = a   因此 , 点 的纵坐 标为  切
e  ” =1=‰ 一3  
l: 一a 一3 = a = 一4.    

a n (  
.  

1  + y

5.   B.

不妨设 0 0 0 、 ( , ) P( Y . ( , ) A 10 、  ,)  

故  :  

Y   1+  

由于 A /O , P / B 故可设 B kx一 )  ) (( 1 , .   将这些 坐标 代人  . :1得    ,
k=  

√  3

取其正 根得 Y= .    

再利用 点 日 在 O 0上 , 可 得 到 ( Y  即  , )
满 足的方 程为 


因 ,ly丢 此 =g= .  o   3   4 ÷ 
依题 意 , 可设 ICl A = ICI且  A +lBI 2 B ,
I  +I ACl BCl 一 l I   AB  


(  一1 + , Y = x一1 ) )     2 .  

从 而 , P的轨迹 是抛 物线. 点  
6.D.  

’l   Ar I1 只r ll   n£ 1 r ,no  

中 等 数 学 

由此 ,A : A : B = : : . ICI lBl I CI 3 7 5  

=  

_1 .  

于是, 线的离心率为÷ . 双曲  
5 3  ..

设 / B C=∞ 分 别 在 A B A A C和 A B   DC

中用余弦定理得 
BC 2=A  +AC 曰 2—2 B? c s A AC o  
. 

由(一 ÷+ :得 厂)  ) 0    2 3 , ÷一 小 一 )   o .  
联 立 以上两式解 得 , )= + . (       由平均值 不等式 得 
2 + 

BC  =BD  +C D 一2 D . Dc s 0 B C o  .  

以上两 式相 减并 注意 
AB =BD +AD , AC =CD +AD ,  



A  + D? D o  A A cs t D B C cs0= B?C o  . O 

 ̄ CS t A —+B   Dcs   O  =— 2   " _ o 0 O D DC  

。 ÷13.? 3 c x  \1x :    x ( c ) , +  。 |   ≥x   了 2  ÷
=X


I -

1 c  +o O s  (
: —


且当 : 时 ,   1 上式等号成立.   因此 , )   的最小值为 3 .  
6.   2.

1 1    ) 土   ‘( O一 …  .  \ 0S - ~     ‘ s?0) i  J nC ’  
sn 0 i 
D? BD ? CD sn 0, i   

解法 1 直接计 算知  1z+  l 一I z 6I 8 II 4 . 3 2i2 i 一  = ( z      一 )   由此 可见 , Il 2 则  若 z> ,
I z+2 i > I z一6I 3    I i      

V=  
n 

』 (名+  ) >l ( z 6 I   3 2i I 2 i 一 ) ,    

这与已知条件矛盾 ;   若 II 2 则  z< ,
I (z  ) <l (  ) , l 3 +2i l 2 +6i I  I  
也矛盾 .   因此 ,   =. 2  

S 8   AB?   c— AC 



C S 0一C S0? i    4 O  O  s 0 n   1一sn 0? O   i   C S0 —1 ‘ 3  

解法 2 设 Il r代 入条件 得  z =.


解 00 ÷. 得c    s=
2 若 a=0 则 b=0 d=0 e=0 结 论  . , , , ,
成 立.  



 

二 !    ( ± !
3r一2 i    ‘  

 ̄ r=Il= ] 12 z2    
解 得 r 2 即  = . = , 2  

.  

当a ≠0时 , 因为 a    + ≥0 所 以 , x+ c ,  
a>O.  一4a  ̄ 0  b c< .

进一步, 不妨 设 d> . O   则 由 黜    + >d  e   知  + c x + x+  ̄


三 、. A B 1 由 D= E=1有  ,

A  1 B= 而



o 0 DE = c s0      o BD =c sO   , si n
_ _ _

1,  

a≥ d>0.  

记 g x d  e   ( )= x + x+

CD =  DE 
=  


一  


. 

分 两种 情形讨 论 :   若 e一 d O 由    4r> , + + ≥I() ,   c gx I 得 
础    +c d   x+ >0 + ±( x +e   1 .  



故A   C=
0 c sO   o 

)  

故 ( e 一 ( d ( + ≤O  b+ ) 4 a+ ) c   ,
( —e 一 ( b ) 4 口一d (   ≤0 ) c一 .  

21 0 2年第 1 期 

2  9

21 年全 国高中数学联赛辽宁赛 区预赛  0  1
中圈分类号 :G 2 .9 4 4 7  文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5— 4 6(0 2 0 0 2 0   10 6 1 2 1 ) l一 0 9— 5





选 择题 ( 每小 题 6分 , 3 共 6分 )  
) .  

3 一个 盒子 里 有 3个 黑 球 和 4个 白球 , .  

1 已 知  ∈ R, . Y∈ R. “I l , 则   <1 且  I I ” “ + +I Y <1 是 I yI  —Y < ”   I 2 的(

现从 盒子里 随 机 每 次取 出一 个 球 , 出后 不  取 再放回, 每个 球 被取 出的 可能性 相等 , 到某  直
种颜 色 的球 全 部 被 取 出. 最后 取 出 的是 黑  则

( 充 分条 件而 非必要 条件  A) ( 必要 条件 而非 充分条 件  B) ( 充分 必要 条件  c) ( 即非充 分条 件亦 非必要 条件  D) 2 函数 f )= ̄ 3 + l . ( /  一   2—3 x的值  域为(   ) .  

球 的概率 为 (  


) .  
(    B) 4 (    c)1 (    D) 3

4 ff .、是互 相 垂 直 的 异 面 直 线 , 与平 面    Z
平 行 , 在 平 面  内. 在 平 面  内 到 ZZ Z   则 、  

( [, ] A) 1   

( 『寻 BL 1 ) ,J     1
( ) 12  D [ ,]

距离 相等 的点 的轨迹 是 (  
( 直 线  A)

) .  

( 椭 圆  B)

( )1 ] C [,    
以上两 式相 加得 

( ) 物 线  C抛

( 双 曲线  D)

凼 此 ,  1   l a . 口 + +a 一 =4    

(  4 c b 一 a )+(  4s ≤0 e一 d O .   此 时 ,a —   4f—   . 4 c b ≥1d e I  

( ) 口 =1口 = 口 + = a 一  l 2 由 1 ,2 4, 1 4   口 一, 得 
一  

若 e 一 d<O 则 g x >0 且 g( 的    4f. , () , 1  )

)  ,

最小值为 

.  

其 中 , =   , 2一 .   2+ 口=    
因 为  >1>3 0 且  =1 所 以 , /> , ,   卢 >   _一   )    ( 。 卢   1(  



在 已知 条件 中取  =一二 . 0 - 则  -
4a   z  c-b



≥_) de g ≥r 2 ( 4d . _ 4.   - 

一  

)I ) ( ≥2   j }

故 4 c b >4f—   a —  d e  ̄ 4 c—   1d e I a b ≥ 4f—   .  


0 

( ≥2 后 )
.  

ak 1  

于是 , n>1时 , 当 有 

3 () . 1 由条件知 { 是递增数列 , = . 0} 0 4    
将 递推 公式 移项 并平 方得 

s +   塞   塞 <+  =  

=  

(川 一 a) = a + , 口 2  3: 1     且 口+一 a+   口 = . p : 4 l + : I l n  
进 而 , 一 aa 一 +口  1  口 4    I 2 l= .


+S 1< +  卢.  13. (-) .s 口Ⅱ  
=   .  
( 龙. 丁 云 提供)  

 ̄ n   U < S

以上两 式相 减并 分解 因式 得  (   1 0 一 ) n + +n 一 - a )= . n+ —  1 ( l  1 4   0  


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