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求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

时间:2016-04-17


求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)

总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法) 、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、 数学归纳法、 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、 特征根法 二。四种基本数列:等差数列、等比数列、

等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数 列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法 1.适用于: an?1 ? an ? f (n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,

a2 ? a1 ? f (1)


a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解法一:由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 解法二: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则
n ?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a1 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? )? n ?2 ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 31 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

a ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函 评注:已知 a1 ? a , n?1
数、分式函数,求通项

an .

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。

例 3.已知数列

{an } 中, an ? 0 且

Sn ?

1 n (a n ? ) 2 a n ,求数列 {an } 的通项公式.

Sn ?
解:由已知

1 n 1 n (a n ? ) S n ? ( S n ? S n ?1 ? ) 2 an 得 2 S n ? S n ?1 ,

化简有

2 2 2 2 Sn ? Sn ?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以

2 Sn ?

n(n ? 1) a ? 0 , sn ? 2 ,又 n

2n(n ? 1) 2 ,



an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法 1.适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2.若

an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an

两边分别相乘得,

n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.
3,?) ,

例 5.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 则它的通项公式是 an =________.

?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0 ( n =1,2,

解:已知等式可化为:

(an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0
a n ?1 n ? a n ?1 即 n

* ? a n ? 0 ( n ? N )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 ,

an n ?1 ? n ? n ? 2 时, a n ?1 an ? a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 n ? 1 ? n ? 2 ? ? 1 ? 1 1 a n ?1 a n ?2 a1 n ?1 2 =n. = n

?

评注:本题是关于

a n 和 a n ?1 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到

a n 与 a n ?1 的更为明显的关系式,从而求出 a n .
练习.已知

an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式.

答案:

a n ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) -1.

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式

a n?1 ? nan ? n ?1, 转化为

a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 若令 bn ? a n ? 1,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式,进而应用累乘法求
出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一 个函数。 1.形如

an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型 a n }为等差数列; a n }为等比数列;

(1)若 c=1 时,数列{

(2)若 d=0 时,数列{

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.

待定系数法:设

an?1 ? ? ? c(an ? ? ) ,



an?1 ? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得

(c ? 1)? ? d ,所以

??

d d d , (c ? 0) an ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1 所以有:

d ? ? d a1 ? ?a n ? ? c ? 1? 构成以 c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ?
an ? d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1 a n ? (a1 ? d d ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1.

所以

即:

规律: 将递推关系

a n?1 ? can ? d 化为

a n ?1 ?

d d ? c( a n ? ) c ?1 c ? 1 ,构造成公比为 c 的等比数列

{a n ?

d d d } a n ?1 ? ? c n ?1 (a1 ? ) c ? 1 从而求得通项公式 1? c c ?1

逐项相减法(阶差法) :有时我们从递推关系 两式相减有

a n?1 ? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 a n ? can?1 ? d ,

an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列 {an?1 ? an } ,进而求得通项公式.

an?1 ? an ? c n (a2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例 6 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)
又? a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1
解法二:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an?1 ? 2an ? 1
两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 )(n ? 2) ,故数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 2,公比为 2 的等 比数列,再用累加法的??

练习.已知数列

{an } 中,

a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 an ? , 2 2 求通项 a n 。

1 a n ? ( ) n ?1 ? 1 2 答案:

2.形如:

a n?1 ? p ? an ? q n

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即:

a n?1 ? an ? q n ,累加即可.
n

a ? p ? an ? q , ②若 p ? 1 时,即: n?1
求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p
n ?1

.目的是把所求数列构造成等差数列

a n ?1
即:

p

n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n 1 p bn ?1 ? bn ? ? ( ) n ?( ) bn ? n p q ,然后类型 1,累加求通项. p q ,令 p ,则

ii.两边同除以 q

n ?1

. 目的是把所求数列构造成等差数列。

a n ?1
即:

q

n ?1

?

p an 1 ? ? q qn q ,
bn ?1 ? p 1 ? bn ? q q .然后转化为类型 5 来解,

bn ?


an q ,则可化为
n

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设

a n?1 ?? ? q n?1 ? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。 例 7 已知数列

{an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

解法一(待定系数法) :设

an?1 ? ?13n ? ?2 (an ? ? ? 3n?1 ),比较系数得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 , a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比为 2 的等比数列,

?a 则数列
所以

n

? 4 ? 3n ?1?

是首项为

an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1 ,即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1
an ?1 2 an 4 ? ? n? 2 n ?1 3 3 3 ,下面解法略 得: 3

解法二(两边同除以 q

n ?1

) : 两边同时除以 3

n ?1

解法三(两边同除以 p

n ?1

) : 两边同时除以 2

n ?1

a n ?1 a n 4 3 n ? n ? ?( ) n ?1 3 2 ,下面解法略 2 得: 2

3.形如

a n?1 ? pan ? kn ? b

(其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

方法 1:逐项相减法(阶差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤:

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ;

1、确定 f ( n) =kn+b

2、设等比数列

bn ? (an ? xn ? y) ,公比为 p (an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ,即 bn ? pbn?1

3、列出关系式

4、比较系数求 x,y 5、解得数列

(an ? xn ? y) 的通项公式

6、解得数列

?an ? 的通项公式
{an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n, 求通项 a n .(逐项相减法)


例 8 在数列 解:? ,

a n?1 ? 3a n ? 2n,

? n ? 2 时, an ? 3an?1 ? 2(n ?1) ,
两式相减得

an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 .令 bn ? a n?1 ? a n ,则 bn ? 3bn?1 ? 2

利用类型 5 的方法知

bn ? 5 ? 3n?1 ? 2
5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2. a1 ?



an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ? 1
an ?



再由累加法可得

an ?

亦可联立 ① ②解出

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

例 9. 在数列 { an } 中,

3 ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 a 2 ,求通项 n .(待定系数法)

解:原递推式可化为

2(an ? xn ? y) ? an?1 ? x(n ? 1) ? ? y 2bn ? bn?1
9 1 9 1 ? bn ? ( ) n ?1 2 , 公比为 2 . 2 2

比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为

所以

?bn ? 是一个等比数列,首项

b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?

即:

1 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) n 2 1 a n ? 9 ? ( ) n ? 6n ? 9 2 故 .

4.形如

a n?1 ? pan ? a ? n 2 ? b ? n ? c

(其中 a,b,c 是常数,且 a ? 0 )

基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 比较系数得 x ? 3, y ? 10, z ? 18 , 所以 an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18) 由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 ,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0

an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 则 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。

5.形如 an?2 ? pan?1 ? qan 时将 an 作为 f ( n) 求解 分析:原递推式可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( p ? ? )(an?1 ? ?an ) 的形式,比较系数可求得 ? ,数列

?an?1 ? ?an ? 为等比数列。
例 11 已知数列

{an } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:设

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )

比较系数得 ? ? ?3 或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 , (取-3 结果形式可能不同,但本质相同)



an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ,则 ?an?1 ? 2an ? 是首项为 4,公比为 3 的等比数列

?an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,所以 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1
a ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 练习.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 n? 2
答案:

an ? 11 ? 3n .
r a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

四、迭代法

3( n ?1)2 {a } a ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 12 已知数列 n 满足 n?1

n

3( n ?1)2 a ? an 解:因为 n?1 ,所以

n

3 n?2 3( n ?1)?2 an ? an ? [an ]3n?2 ?1 ?2 3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3 n?3 2

n?1

n?2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

?? ? a13 ?a
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2)?( n?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1



a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2



注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、对数变换法 适用于

r a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

p>0,

an ? 0

例 14. 设正项数列

2 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 2an a n ? 的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?

an an ? 1 an an ? 1 b ? log2n ? 1 ,则 解:两边取对数得: log2 ? 1 ? 2 log2 , log2 ? 1 ? 2(log2 ? 1) ,设 n

a

bn ? 2bn?1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log1 2?1 ? 1
n ?1

bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,

2 an n?1 n?1 n loga ? 1 ,∴ a n ? 2 2 ?1? 2 , log2 ? 2

?1

练习 数列

?an ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2
2?n

a n ?1

(n≥2) ,求数列

?an ? 的通项公式.

答案:

a n ? 2 2? 2

5 例 15 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。

两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) 比较系数得, x ? 由 lg a1 ? (同类型四)

lg 3 lg 3 lg 2 ,y? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 ,得 lg an ? n? ? ? 0, 4 16 4 4 16 4 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等比数列, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 4 1 16 1 4 n ?1

? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5 ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 ) ? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1
5 n ? 4 n ?1 16 1 4 1 16 1 n?1 4 5

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 4 1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

? lg(3 ? 3 ? 2 ) )

?2

5n?1 ?1 4

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 16 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 ? 1 1? 1 1 ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 ,公差为 , an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ? 2 a1

?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1

七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 17 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 代入 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 , 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳 法加以证明。 例 18 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?

(2n ? 1)2 ? 1 由此可猜测 an ? ,下面用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

(2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

ak ?1 ? ak ? ? ? ? ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有 Sn ,又有 an

分析:把已知关系通过 an ? ? 方法求解。

? S1 , n ? 1 转化为数列 ?an ? 或 Sn 的递推关系,然后采用相应的 S ? S , n ? 2 n ?1 ? n
1 (an ? 1)(an ? 2) ,且 a2 , a4 , a9 成 6

例 19 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 等比数列,求数列 {an } 的通项公式。

? 解:∵对任意 n ? N 有 Sn ?

1 (an ? 1)(an ? 2) 6



∴当 n=1 时, S1 ? a1 ? 当 n≥2 时, S n ?1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6


1 (an ?1 ? 1)( an ?1 ? 2) 6

⑴-⑵整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ∵ {an } 各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 3
2 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2a9 成立

2 当 a1 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去

所以 an ? 3n ? 2 练习。已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ? 答案: S n ? S n?1 ? an 2、对无穷递推数列 例 20 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 求 {an } 的通项公式。 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . ② ①

1 ( a n ? 1) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 2

(an ? 1) 2 ? (an?1 ? 1) 2

an ? 2n ? 1

则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 ,

则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? 所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

十、不动点法

目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法

不动点的定义:函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在 f ( x) x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为

f ( x) 的不动点或称 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的不动点。
分析:由 f ( x) ? x 求出不动点 x0 ,在递推公式两边同时减去 x0 ,在变形求解。 类型一:形如 an?1 ? qan ? d 例 21 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:递推关系是对应得递归函数为 f ( x) ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) ? x 得,不动点为-1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,?? 类型二:形如 an ?1 ?

a ? an ? b c ? an ? d
a?x?b c?x ? d

分析:递归函数为 f ( x) ?

( 1 )若有两个相异的不动点 p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点 p,q ,再将两式相除得

an ?1 ? p a ?p a ? pc (a q ? pq)k n?1 ? (a1 p ? pq) ,其中 k ? ,∴ an ? 1 ?k? n a ? qc an ?1 ? q an ? q (a1 ? p)k n?1 ? (a1 ? q)
(2)若有两个相同的不动点 p,则将递归关系式两边减去不动点 p,然后用 1 除,得

2c 1 1 。 ? ? k ,其中 k ? a?d an?1 ? p an ? p
例 22. 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

5a n ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式. 2a n ? 7

分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数 t,得:

a n ?1

7t ? 4 5a ? 4 (2t ? 5)a n ? 7t 2t ? 5 , ?t ? n ?t ? ? (2t ? 5) 2a n ? 7 2a n ? 7 2a n ? 7 an ?

令t ?

7t ? 4 , 解之得 t=1,-2 2t ? 5

代入 a n ?1 ? t ? (2t ? 5)

an ? t 得 2a n ? 7

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 a ?2 , a n ?1 ? 2 ? 9 n , 2a n ? 7 2a n ? 7

相除得

a n ?1 ? 1 1 a n ? 1 a ?1 a ?1 1 ,即{ n }是首项为 1 ? ? ? , an ? 2 a n ?1 ? 2 3 a n ? 2 a1 ? 2 4 a n ? 1 1 1? n 1 4 ? 3 n ?1 ? 2 的等比数列, = ? 3 , 解得 a n ? . 3 an ? 2 4 4 ? 3 n ?1 ? 1 an ? 1 , 2a n ? 7
1 a n ?1 ? 1 ? 2a n ? 7 2(a n ? 1) ? 9 2 3 , ? ? ? 3(a n ? 1) 3(a n ? 1) 3 an ? 1
2 ? 3bn , ?, 转化为累加法来求. 3

公比为

方法 2: ?,

a n ?1 ? 1 ? 3

两边取倒数得

令 bn?

1 ,则 b n ? an ? 1

例 23 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两个不 4x ?1 4x ?1

动点。因为

21an ? 24 ?2 ?a ? 2? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 ? n ?是 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1


a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 为公比的等比数列,故 n ? ?2 为 首 项 , 以 ? 2( )n?1 , 则 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9

an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

十一。特征方程法

形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列

形如 a1 ? m1, a2 ? m2 , an? 2 ? pan? 1 ? qan ( p, q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项

an ,其特征方程为 x2 ? px ? q ?①

若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1, c2 是待定常数) 若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1 , c2 是待定常数) 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an 例 24 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 解:其特征方程为 x ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,
2

?c1 ? 1 ?a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, c ? ?a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 2 ? ? 2

?an ? 1 ? 2n?1

25 5 4 求数列 {a } 的通项。 例 25、数列 {an } 满足 a1 ? ? ,且 an ?1 ? n 29 12 2an ? 4 25 29 25 2 2 an ? an ? 2? an ? ? ? 4 ?? ? 4 4 ??① 解: an ?1 ? ? ? an ?1 ? 29 29 2an ? 2an ? 4 4 29? ? 25 25 2 令? ? ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? ,将它们代回①得, 4 4
2 an ?

25 ? ? an ? ? ? ? a ? 1? ??②, a ? 25 ? ? 4 ? an ?1 ? 1 ? n ??③, n ?1 29 29 4 2 an ? 2an ? 4 4
2

2

25 ? 25 ? an ?1 ? an ? ? 4 ? 4 ? , ③÷②,得 ? ? an ?1 ? 1 ? an ? 1 ? ? ?
25 25 25 ? ? an ? a ? n 4 ? 2 lg 4 ,∴数列 ?lg 4 ? 成等比数列,首项为 1,公比 q=2 则 lg ? ? an ?1 ? 1 an ? 1 ? an ? 1 ? ? ? an ?1 ? 25 25 25 2n?1 an ? ? 10 4 ? 2n ?1 ,则 4 ? 102n?1 ,? a ? 4 所以 lg n?1 n an ? 1 an ? 1 102 ? 1 an ?
十二、基本数列 1.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 等差数列的广义形式,见累加法。

2

2.形如

a n ?1 ? f (n) 型 等比数列的广义形式,见累乘法。 an

3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2, 其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加来求出通 项;或用逐差法(两式相减)得 a n?1 ? a n?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通项.


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