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集合与常用逻辑用语、不等式试题一含答案


集合与常用逻辑用语、不等式试题 一、选择
2 1.设集合 A ? ? x | y ? lg( x ? 3)? , B ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?
D. ? 4. ? ??

( B )

A. ?

/>B. ? 3, 4 ?

C. ? ?2,1?

2 2.集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a ,若 A

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为
( D ) D.4

A.0

B.1

C.2

3.已知集合 P ? ?4,5,6?, Q ? ? 1,2,3?,定义 P ? Q ? ?x | x ? p ? q, p ? P, q ? Q?,则集合 P ? Q 的所有 真子集的个数为 A.32 ( B ) D.以上都不对

B.31

C.30

4.已知 f ( x) ? 3x ? 1, ( x ? R) ,若 | f ( x) ? 4 |? a 的充分条件是 | x ? 1 |? b , (a, b ? 0) ,则 a , b 之间的关
系是 A. a ? ( B )

b 3

B. b ?

a 3

C. b ?

a 3

D. a ?

b 3


5.下列说法错误的是 ( C 2 2 A.命题“若 x — 3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x —3x+2≠0” B.“x>1”,是“|x|>1”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.若命题 p:“ ? x∈R,使得 x2+x+1<0”,则 ? p:“ ? x∈R,均有 x2+x+1≥0” 6.集合 A ? {?1,0,1} , A 的子集中,含有元素 0 的子集共有 ( B)

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 7.设集合 A={x|1 ? x ? 2},B={x|x ? a }.若 A ? B 则 a 的范围是( B A. a <1 B. a ? 1 C. a <2 D. a ? 2

)

8.已知集合 A ? ( x, y) x ? y ? 2 , B ? ( x, y) x ? y ? 4 ,那么集合 A A. x ? 3, y ? ?1 B. (3,?1) C. ?3,?1?

?

?

?

?

B 为(D)

D. ?(3,?1)?

9.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是( D ) .. A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数 10.设 x, y ? R ,那么“ x ? y ? 0 ”是“ A.必要不充分条件 C.充要条件

x ? 1 ”的( B ) y
B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

11.已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴, y 轴分别交于 A, B 两点,若动点 P (a, b) 在线段 AB 上,则 ab 的最大值 为 A. ( A )

1 2

B.2

C.3

D.

1 3
( D )

12.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f ( ) >f(1)的实数 x 的取值范围是 A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+ ∞)

1 x

13.下列结论正确的是(

B ) A.当 x ? 0且x ? 1 时,lg x ? 1 ? 2 lg x C. 当x ? 2时, x ?

B. 当x ? 0 时, x ? 1 ? 2 x D.当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

1 无最大值 x


14.已知正数 x、y 满足 ?

?2 x ? y ? 0 2x ? y ,则 z ? 2 的最大值为( B ?x ? 3 y ? 5 ? 0
D.64 )

A.8 B.16 C.32 15. 下列三个不等式中,恒成立的个数有( B ①x? A.3

1 ? 2( x ? 0) ; x
B.2



c c a?m a ? (a ? b ? c ? 0) ;③ ? (a, b, m ? 0, a ? b) 。 a b b?m b
C.1 D.0

? x ? y ? 2≥0, ? 16.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?
平面区域的面积为4,则实数 t 的值为 A.1 B.2
2

(B) C.3 D.4 C )

2 17.不等式 ax ? x ? c ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ,则函数 y ? ax ? x ? c 的图象大致为(

18.若不等式 x ? 1 ? a 成立的充分条件为 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值范围为(

)

? ?) (A) [3,
【答案】A

(B) [1, ? ?)

(C) ( ??,3]

1] (D) (??,

? x ? 1, ? 19.已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? 2, 那么 x 2 ? y 2 的取值范围是( D ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
(A) [1, 4] (B) [1,5] (C) [ , 4] (D) [ ,5] 二、填空



4 5

4 5

1.若全集 U ? R,集合 A ? { x | x2 ? 4x ? 3 ? 0 } , B ? { x | log3 (2 ? x) ? 1 } ,则 C ( A
U

B)

14. 答案: { x | x ? ?1 或 x ? 2 } 2.命题“ ?x ? R,cos x ? 1 ”的否定是 【答案】 ?x ? R, cos x ? 1 3.已知集合 A ? x 1≤x≤3 , B ? x a≤x≤a ? 3 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为 【答案】 ?0,1? 4.当 x ? (1, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
2

.

?

?

?

?





5? 【答案】 ?-?,-
?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? x , y 5.若变量 满足 ? 则 z ? x ? y 的最大值是 x ? 0, ? ? ?y ? 0
【答案】2

? x ? 2 y ≤ 10, ?2 x ? y ≥ 3, ? 6. 设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域, 则 D 中的点 P( x,y ) 到直线 x ? y ? 10 距离的最大值 ?0 ≤ x ≤ 4, ? ? y ≥1
是 【答案】 4 2 7.已知关于 x 的不等式 ? ax ?1?? x ? 1? <0 的解集是 (??, ?1) 【答案】—2 .

1 (? , ??) .则 a ? 2

.

? x? y?2 ? 8.若实数 x,y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 4 ,则 2 x ? 3 y 的最小值是_______ ? x? y?0 ?
【答案】4;

9.已知函数 f ( x) ? 1+2 x +

3 ( x ? 0) 在 x=a 时取到最小值,则 a=________. x

答案:

6 2

10. 若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,则有: (m ? n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 , 类比上述性质,相应地,对等比数列 {bn } ,有 【答案】 11.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 第4个五角形数记作 a4 ? 22 , ……, 若按此规律继续下去, 则 a5 ? a3 ? 12 , , 若 an ? 145 , 则n ? . .

【答案】35,10 三、解答 1. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? log3 (? x2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A , g ( x) ? x ? 2 x ? 2, x ? R 的值域为集合 B ,

U ? [?6, ??) .

(1)求 A 和 B ; (2)求 A ? B 、 CU ( A ? B) .

2 【答案】解:(1) 解 ? x ? x ? 2 ? 0 得, ?1 ? x ? 2

? A ? {x | ?1 ? x ? 2}

……………………………………3 分

y ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ?1)2 ? 1 ? 1 ? B ? {y | y ? x2 ? 2x ? 2, x ? R} ? { y | y ? 1}
……………………………6 分

(-1, 2) ? [1, ??)=[1, 2) ……………………………8 分 (2) 由(1)得, A ? B ? A? B ? (-1, 2) ?[1, ??)? (?1, ??) ……………………………10 分
所以, CU ( A ? B) ? [?6, ?1] ……………………………12 分

2.设 A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又 A ? B={3,5},A∩B={3},求实数 a,b,c 的值. 解:∵A∩B={3},∴3∈B,∴32+3c+15=0,∴c= -8.由方程 x2-8x+15=0 解得 x=3 或 x=5, ∴B={3,5}.由 A ? (A ? B)={3,5}知, 3∈A,5 ? A(否则 5∈A∩B,与 A∩B={3}矛盾) 故必有 A={3},∴方程 x2+ax+b=0 有两相同的根 3, 由韦达定理得 3+3= -a,3× 3=b,即 a= -6,b=9,c= -8. 3.已知命题 p: 1 ? 的取值范围. 答案:{m|0<m≤3} 解 析 : 由 1?

x ?1 ≤2,命题 q:x2-2x+1-m2≤0(m>0), 若? p 是? q 的充分不必要条件,试求实数 m 3

x ?1 ≤2 , 得 -2≤x≤10 . ∴ ? p:A={x|x < -2 或 10 < x}, 由 x2-2x+1-m2≤0(m > 0) 得 3

1-m≤x≤1+m.? q:B={x|x<1-m 或 1+m<x,m>0}.∵? p 是? q 的充分非必要条件,且 m>0,从而有集合 A 是 B 的真子集,必有 m>0 且 1+m≤10 且-2≤1-m,解得 0<m≤3. 故实数 m 的取值范围是{m|0<m≤3} 4.设命题 p:{x|x2-4ax+3a2<0}(a>0),命题 q:{x|x2-x-6≤0,且 x2+2x-8>0} (1)如果 a=1,且 p∧q 为真时,求实数 x 的取值范围; (2)若? p 是? q 的充分不必要条件时,求实数 a 的取值范围. ? 解析:(1) 当 a>0 时, {x|x2-4ax+3a2<0}={x|(x-3a)(x-a)<0}={x|a<x<3a},如果 a=1 时,则 x 的取值范 围是{x|1<x<3},而{x|x2-x-6≤0,且 x2+2x-8>0}={x|2<x≤3}, 因为 p∧ q 为真,所以有{x|1<x<3}∩{x|2<x≤3}={x|2<x<3}.故实数 x 的取值范围是{x|2<x≤3}. (2) 若? p 是? q 的充分不必要条件,表明 q 是 p 的充分不必要条件.由(1)知,{x|2<x≤3}是{x|a<x< 3a}(a>0)的真子集,易知 a≤2 且 3<3a,解得{a|1<a≤2}.故实数 a 的取值范围是{a|1<a≤2}.

5. (本小题满分 12 分) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨。先库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨,在此基 础上生产这两种混合肥料。若生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 10000 元;生产 1 车皮乙种肥料产生的利 润为 5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润? 【答案】解:设 x、 y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

?4 x ? y ? 10 ?18x ? 15 y ? 66 ? ? ----4 分 ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x, y ? Z
再设分别生产甲、乙两种肥料各 x、 y 车皮产生

的利润为 z ? 10000 x ? 5000y ? 5000 (2 x ? y) --5 分

由?

?4 x ? y ? 10 得两直线的交点 M (2,2) ---7 分 ?18x ? 15y ? 66

令 t ? 2 x ? y ,当直线 L: y ? ?2 x ? t 经过点 M (2,2) 时,它在 y 轴上的截距有最大值为 6,此时 z ? 30000 ---------------11 分 故分别生产甲、乙两种肥料各 2 车皮时产生的利润最大为 30000 元.---------===12 分

6. (本小题满分 12 分)记关于 x 的不等式 (1)若 a=3,求 P; 【答案】解: (1)由

x?a ? 0 的解集为 P,不等式|x-1|≤1 的解集为 Q. x ?1

(2)若 Q ? P,求正数 a 的取值范围.

x?3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? .-----------5 分 x ?1

(2) Q ? x x ? 1 ≤1 ? x 0 ≤ x ≤ 2 . 由 a ? 0 ,得 P ? x ?1 ? x ? a ,又 Q ? P ,所以 a ? 2 , 即 a 的取值范围是 (2, ? ?) .-----------12 分

?

? ?

?

?

?

7.(文)已知关于 x 的不等式: (1)当 a=1 时,解该不等式; (2)当 a>0 时,解该不等式.

(a ? 1) x ? 3 ?1 x ?1

2x-3 [解析] (1)当 a=1 时,不等式化为 <1, x-1 x-2 化为 <0,∴1<x<2, x-1 解集为{x|1<x<2}.

(2)a>0 时,

+ -3 ax-2 <1? <0 x-1 x-1

?(ax-2)(x-1)<0, 2 方程(ax-2)(x-1)=0 的两根 x1= ,x2=1. a 2 ①当 =1 即 a=2 时,解集为? a 2 2 ②当 >1 即 0<a<2 时,解集为{x|1<x< }. a a 2 2 ③当 <1 即 a>2 时,解集为{x| <x<1}. a a


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