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浙江省名校新高考研究联盟2013届第二次联考数学(理科)试题


绝密★启用前

浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第二次联考

数学(理科)试题卷
命题: 校审: 校对:

注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封线内填写 学校、班级、考号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 15

0 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A,B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件A A 恰好发生 k 次
k 的概率 P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,?, n) . n

球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径.
2

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 1 台体的体积公式 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) ,其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台 3
球的体积公式 V ? 体的高.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.若 i 是虚数单位, A. 1 2. ( x ?

1? i ? a ? bi(a, b ? R) ,则 a ? b 的值是 1? i B. 0 C. ?1

( D. ? 2



1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数为 ... 3x
B. 5 C. 4 D. 2





A. 6

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π , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2 π π π π y A. y ? 2sin( x ? ) B. y ? 2sin( x ? ) ( ) 3 6 6 3 2 π π π π C. y ? 2sin( x ? ) D. y ? 2sin( x ? ) 3 6 6 3 13 O 2 2 4.已知 P ? {x | x ? 2},Q= {x | x ? a} ,若“ x ? P ”是“ x ? Q ”的
3.函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 A. ?? ?,2? B. ?? ?,2? C. ?2,??? A. x, y , z 都是直线 C. x, y 是直线, z 是平面 ( ) D. [2,??)
-2

x

5.已知命题:“若 x ? y, y ∥z ,则 x ? z ”成立,则下列情况不恒成立的是 .... B. x, y , z 都是平面 D. x , z 是平面, y 是直线





6.给四面体 ABCD 的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所 涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法共有 ( ) A.360 B.240 C. 144 D.96 7.若 a ? b ? c ,设方程

1 1 1 ? ? ? 0 的两个实根分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则下列关 x?a x?b x?c
( B. x1 ? a ? b ? x2 ? c D. a ? x1 ? b ? c ? x2 )

系中恒成立的是 A. a ? x1 ? b ? x2 ? c C. a ? x1 ? x2 ? b ? c 8.双曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,抛物线 a2 b2 C2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F2 ,设 C1 与 C 2 的一个交点为 P , | PF1 |? 2a ? 2c ,则双曲线 ( ) C1 的离心率是

A.

2? 2 2

B. 2

C. 1? 2

D. 2

? y ? ln x, y?2 ? 9.若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0, ,则 的最大值是 ( ) x ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 A. B. 2 C. 2e D. e 3 10.定义 ?x ? 是不超过 x 的最大整数,如 ?3.7? ? 3, ?? 1.3? ? ?2, ?1? ? 1.若函数 f ( x) ? x ? ?x? ? a 在 x ? R 上有最大值,则正实数 a 的取值范围是 ( ) ?1 ? ?1 ? A. ? ,1? B ?0,1? C. (0,??) D. ? ,?? ? ?2 ? ?2 ?

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第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11.一几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 ▲ .
2 2 正视图

?? x ? 1, x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? , 则不等式 f ( x) ? f (? x) ? 4 ? x ? 1, x ? 0
的解集是 ▲

侧(左)视图

2

13.A 盒子里装有 3 个大小形状完全相同的小球,分别标有数字 1, 2,3;B 盒子里也有 3 个大小形状完全相同的小球,分别标有 数字 2,3,4. 现分别从 A,B 两盒子里各任取一个球,记所得的 两个数字之差的绝对值为 ? ,则 E? = 14. 若 m ? n ? 2 ? 0, m ? 0, n ? 0 , 则 ▲ . ▲ . 的最小值为
俯视图 (第11题)

4 1 ? m n

15 . 右 下 图 是 一 个 算 法 的 程 序 框 图 , 则 输 出 S 的 值 是 ▲ .

16.已知过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两 点,若 | AF |? 2 | FB | ,则弦长 | AB | 的值为 ▲

17.平面向量 a, b 满足: a ? b ? 4 , a ? b ? 3 ,则 a 的最大值 与最小值的和是 ▲ .

? ?

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分.写出文字说明、证 明过程或演算步骤. ) 18. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分 别为 a , b , c , 满 足 :

(

B ? 3c

B)

C ?s 3 c C) ? 4 c ( B c Ci. o o
3 , 求 p 的值. 4

s os o

n

s

si

s

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? p sin C , a ? 1, S ?ABC ?

19.(本题满分 14 分) 已知等比数列 {an } 的各项均为正数,满足: a1 ? 2 , 4a3 ? a2 a6 .设
2

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bn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 an , n ? N * .
(Ⅰ) 求 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ; ? bn ?

(Ⅱ)求使 7 ? kan ? (n ? 1)Tn 对任意正整数 n 恒成立的实数 k 的取值范围.

20.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , E 为 AD 的中点, ABCE 为菱
0 形, ?BAD ? 120 , PA ? AB , F 是线段 BP 的中点, CG ? ?CE(0 ? ? ? 1) .

1 时,证明: FG ∥平面 PDC ; 2 (Ⅱ)是否存在 ? ,使得二面角 A ? PB ? G 的平面角的余弦 33 值为 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明 11
(Ⅰ)当 ? ? 理由.
B

P

F A G C E D

x y 21. (本题满分 15 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a b 2 3 ) 在椭圆 C 上,直线 右焦点分别为 F1 , F2 , P (1, 点 3 PF 的倾斜角是 30 ? . 1
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若过 F1 的直线交椭圆于 B, D 两点,过 F2 的直线交 椭 圆 于 A, C 两 点 , 且 AC ? BD , 求 四 边 形
F1 D

2

2

y C B

O

F2

x

ABCD 的面积的最小值.

A

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

(Ⅰ)当 b ? ?3 时,求函数 f (x) 的单调区间;

1 3 a ?3 2 ax ? (b ? ) x ? 3x ,其中 a ? 0 , b ? R . 3 2

(Ⅱ)当 a ? 3 ,且 b ? 0 时, (i)若 f (x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求证: f ( x1 ) ? 1 ;

(ii)若对任意的 x ? [0, t ] ,都有 ? 1 ? f ( x) ? 16 成立,求正实数 t 的最大值.

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