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2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 实际问题中导数的意义学案 北师大版选修1-1


实际问题中导数的意义
一、学习要求: 导数在实际生活中的应用 二、学习目标 能运用导数方法求解有关利润最大,用料最省,效率最高等最优化问题,体会导数在解 决实际生活问题中的作用。 三、重点难点 用导数方法解决实际生活中的问题 四、要点梳理 解应用题的基本程序是: 读题 建模 求解 反馈

(文字语言) (数学语言) (导学应用) (检验作答) 利用导

数解决生活中的优化问题的一般步骤: ① 分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间 的函数关系 y ? f ? x ? ;注意 x 的范围。 ② 利用导数求函数 f ( x ) 的极值和函数的最值;给出数学问题的解答。 ③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。 五、基础训练: 1. 周长为 20cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为________。 2 某产品的销售收入 y1(万元) 是产量 x(千台) 的函数: y1 ? 17 x2 , 生产总成本 y2(万

元) 也是产量 x(千台) 的函数:y2 ? 2x3 ? x2 ( x ? 0) , 为使利润最大, 应生产产品________ 台。
3 3 一轮船以 v 千米/时的速度航行,每小时用煤 0.3 ? 0.001v 吨, v ? ____ 千米/时,才能

使轮船航行每千米用的煤最少。 4 设正三棱柱的体积为 v ,那么其表面积最小时的底面边长为________。

5 某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知 总收益 R 与年产量 x 的关系是:

1 2 ? ?400 x ? x (0 ? x ? 400) R( x) ? ? 2 ,则总利润最大时,每年生产的产品是_______ ? ?80000( x ? 400)
个单位。 六、典型例题 例 1 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2 :1 , 问: 该长方体长,宽,高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

例 2 经过点 M (1,1) 作直线 l 分别交 x 轴正半轴, y 轴正半轴于 A, B 两点,设直线 l 的斜率 为 k , ?OAB 的面积为 S (1) 求 S 关于 k 的函数关系式 S ? f (k ) ; (2) 求 S 的最小值以及相应的直线 l 的方程。

变式:有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。为了保证安全,交通部门规定:隧道 内的车距 d ( m) 正比于车速 v(km / h) 的平方与自身长 l (m) 的积,且车距不得小于半个车身 长。而当车速为 60 (km / h) 时,车距为 1.44 个车身长。在交通繁忙时,应规定车速为多少 时可以使隧道的车流量最大。

例 3 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A , B 及 CD 的中点 P 处,已知

AB ? 20km, CB ? 10km , 为了处理三家工厂的污水, 现要在矩形 ABCD 的区域上 (含边界) ,
且与 A,B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO, BO, OP ,设排污

管道的总长为 ykm 。 (1) 按下列要求写出函数关系式: ①设 ?BAO ? ? (rad ), 将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 op ? x(km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (2)请你选用(1)中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最 短。 D P O A B C

七、反思感悟

八、千思百练: 1. 有一长为 16 米的篱笆, 要围成一个矩形场地, 则此矩形场地的最大面积为________ m 。 2 一个膨胀中的球形气球,其体积的膨胀率为 0.3m / s ,则其半径增至 1.5m 时,半径的
3

2

增长率是________。 3 容积为 256 升的方底无盖水箱,它的高为________时最省材料 4 一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,当圆半径与矩形的高的比为 ________时,窗户周长最小。 5 若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为________。 6 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形的面积的最大值为________。 7 用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形 的边长为________。 8 将水注入圆锥形容器中, 其速度为 4m / min , 设圆锥形容器的高为 8m , 顶口直径为 6 m , 求当水深为 5m 时,水面上升的速度。
3

9 某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品可获利 200 元,如果生产出一件次品,则损 失 100 元,已知该厂制造电子元件过程中,次品率 p 与日产量 x 的关系是:

p?

3x (x ? N ? ) 4 x ? 32

(1)求该厂的日盈利额 T (元)用日产量 x (件)表示的函数; (2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?

10 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/ 时)的函数解析式可以表示为 y ? 100 千米。 (1) 当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

1 3 x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) ,已知甲乙两地相距 128000 80


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