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05.一道国际赛题的另解

时间:2012-10-23


中 等 数 学 



道 国 际 赛 题 的 另 解  
查 晓 东   张 玲 

( 江苏省天一 中学 。1 11  ( 24 0 ) 江苏省无锡市天一实验学校 ,1 11  240 ) 中圈分类号 : 16 1 0 5.   文献标识码 :   A 文章缩号 : 0 5 6 1 (0 2 0 — 0 6 O   1 - 46 2 1 ) 5 0 1 一 l 0

题 目 求所有的有序三元数组( , , ,   Y )   

满 x、 Q, +、÷ +都 足, ∈ +  专, 、    y   且 , z +
是 整数.  

所 ,,)(1) 轮. 以(,= ,2 其 换  , 1 , ,   及    
() abc 3若 ,、两两不等, 不妨设 a 6 c > >.  
则 + 1:c b N 一 + E 
+ 

(00 青少年数学国际城市邀请赛 ) 21,  

=  a≤ c+b<2a  

解设=,÷ =(. N.   , ,詈 . ∈ + 詈,   ac ) = b  
( ) a=b C则  1若 =,
( y   , ,)=( , ,) 1 11 .  

a =b+c .  

又 



’字 :D: 警 N , D   D +       +∈    


j   ≤2 b c<2   b b=2 . =3 . ca c  

( ) 口 b C中恰 有 两 个 相 等 , 妨 设  2 若 、、 不
a=b 则  .
+   =,+旦 a
, +  

所 以 ,n bC ( ,,)=(k2 ,) 其 置换. 3 ,kk 及  

÷   =, C  

故 ( yZ   ,,)


z+

上 :c+ 一 1
.  

(,1,,,)其 换 丢 ,)3  及 轮. 2 (1 了  2  
( t? ,1   ,,) , 1

综上,  

故 aI,1a c 2 . cc2   = a  
设 a= .则  k

( Y     , ,)


( ,,) k|2 ) 其轮换. 口 bc :( ,,k 及 j }  
收稿 日 : 1 — 2 1  期 2 1 1—6 0

2(, ) ) 2, , ,     (1 ) 轮. 3 ,及 换 ,  其    


整理得 √ (s  ) 2t  .   q+ = q+   由于上式右边 为整数 , 故  + t 0 否  p= (
则, 上式 左边 为无理数 , 矛盾 ) .  
于是 , + q = . p 2t 0 s   从 而 ,q =一 qt 一 2  ps 2 = pt .

由t , #O 得 

p2 号 ±,  q     = 
矛盾.  

故不存在符合条件 的 使 t   +    , a n √ 与 
ct + 均 为有理数 . o      

万方数据

一道国际赛题的另解
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 查晓东, 张玲 查晓东(江苏省天一中学,214101), 张玲(江苏省无锡市天一实验学校,214101) 中等数学 High-School Mathematics 2012(5)

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