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1.4全称量词与存在量词


复 习 复习: 一、“或”“且”“非”含义是什么?

二、判断三种复合命题真假的原则。
三、命题的否定与否命题有何区别?

练习:下列哪些语句是命题?
(1) x>3 ;
(2)2x+1是整数;

(3)存在 x ? R ,使 x>3 ; 任意 x ? R ,使 x>3


(4)对任意一个 x?Z, 2x+1是整数. 观察:(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

选修2-1

第一章 常用逻辑用语

1.4 全称量词和存在 量词

新 课
阅读教材P21-23,思考并回答下列问题: 1、什么是全称量词、全称命题?常见的全称 量词有哪些?用什么数学符号表示?

所有的、任意、一切、每一个 、任给.
2、什么是存在量词、特称命题?常见的全称 量词有哪些?用什么数学符号表示?

存在、至少有一个、有的、有一个、 有些、对某个
3、对于例1、2中命题真假的判断和我们以往 的经验有何异同?

全称量词

含变量x的全称命题的符号表示
? 通常,将含变量x 的语句用p(x),q(x),r(x), 等表示,变量x的取值范围用M表示。那么, 全称命题“对M中的任意一个x,有p(x)成 立。”可以用符号简记为:

?x ? M , p(x)
例如:?x ? R , x ? 1 ? 0
2

存在量词

含变量x的特称命题的符号表示
? 特称命题“存在M中的一个x ,使p(x)成 立。”可以用符号简记为:

? x ? M , p ( x)
例如:?x ? R , x ? 1 ? 0
2

对例题的再思考
? x >3 对任意实数 x , x>3 ? 2x+1 是奇数 对任意x ∈R, 2x+1 是奇数

? x >3 对有些实数 x , x>3

? 2x+1 是奇数 存在x ∈R, 2x+1 是奇数

改变变量的范围,就可能 改变语句的性质

切忌:以偏概全

全称量词

留心在平常学习生活中的命题
1、矩形的对角线长相等;

2、垂直同一直线的两个平面相互平行;
3、指数函数都是单调函数。

练习:
课本P23 练习第1、2题

探究
写出下列命题的否定

全称命题的否定

1)所有的矩形都是平行四边形; ?x ? M,p(x)

2)每 一 个 素 数 都 是 奇 数 ; 2 3) ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

否定:

?x ? M,?p(x) 1) 存 在 一 个 矩 形 不 是 平 行 四 边 形 ; ?x ? M,?p(x) 2) 存 在 一 个 素 数 不 是 奇 数 ;

3) ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

探究
写出下列命题的否定

全称命题的否定

1)有些实数的绝对值是正数;?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x) 2)某些平行四边形是菱形; 2 ?x ? M,p(x) <0 3)?x ? R, x ? 1 ?
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数;

?x ? M,?p(x)

2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

全称命题的否定

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p: ?x ? M , P( x),

它的否定?p:?x ? M,?p(x).
一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:

?x ? M,p(x) 它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

特称命题 p :

全称命题的否定

结论

全称命题的否定是特称命题.
特称命题的否定是全称命题.

例习题

:说出下列全称命题的否定: 例3 (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对任意实数,它的个位数字不等于3. 2 (4) 1)p:?x ? R,x +2x+3 ? 0; (5) p:有的三角形是等边三角形; (6) p:有一个素数含三个正因数.

练习:P26练习题1、2

应用举例

说 例5写出下列命题的否定,并判断真假:

1)p:任意两个等边三角形都是相似的;

2)p:?x ? R,x +2x+2=0;
2

3) 三角形的内角和是180o;
4) 有些矩形的对角线不互相垂直; 矩形的对角线不互相垂直;

5) 四边形不是平行四边形。

讨论:再举一些类似于3)、4)、5)小题
的例子。

练习:请用符号语言表示下列命题
? ? ? ? (1)对任意实数x,sin2x=2sinx· cosx; (2)过点P有一条直线a和平面α垂直; (3)对一切无理数x ,3x+1还是无理数; 2 2 2 (4)方程 x ? y ? z 有正整数解;

练习
?1 ? 已知集合P ? ? , 2 ? ,函数y ? log2 (ax 2 ? 2 x ? 2) 的 ?2 ? 定义域为Q, 若P ? Q ? ?, 求实数a的取值范围。
?1 ? P ? Q ? ? 意思为 ?x ? ? , 2? , 分析: ?2 ? 使 ax2 ? 2 x ? 2 ? 0成立.

思考:你能把这道题变成一道“恒成立” 问题吗?

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练习: 课本P26 习题1.4 第1、2、3题
P27 B组题





小结
1、全称量词、存在量词 2、全称命题、特称命题及真假的判断 3、含有一个全称量词或存在量词的命题的 否定。 4、全称量词与存在量词在数学和生活中的 应用。





作业:
1、课本 P30 习题1.4 第
完成课本P30复习参考题(今晚上报需讲 题目) 2、周末完成章末知识总结(要求20分钟 完成) 3、完成《世纪金榜》到P18、P96

例1判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数;

(2) ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1;
(3)对每一个无理数x, x 也是无理数.
2

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3),,(2)与(4)之 间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除;

(3)存在一个x∈ R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

概念理解

4、全称量词指的是所研究集合中的所有 (每一个)元素都满足某一条件。 存在量词指的是所研究集合中至少有一个 元素满足某一条件即可。 5、因此判断全称命题为真需证明对集合中 的每一元素结论都成立,否则命题为假; 判断特称命题为真只需在集合中找到一个 元素使得结论成立即可。

请举出几个含有全称量词或存在题词的命题。

全称量词

下列是否是全称命题?并判断其真假

? ? ? ? ?

(1)所有的素数是奇数; (2) ?x ? R , x 2 ? 1 ? 1 (3)对每一个无理数x,x2是有理数; (4)每个三角形都存在外接圆; (5)正偶数都不是素数。

下列是否是特称命题?判断其真假
? ? ? ? ? (1)有些整数只有两个正因数; (2)有一个四边形没有外接圆; (3)存在两个相交平面垂直于同一直线; (4)有些奇函数的图象不过原点; (5)对某个实数x,它的平方根为0;


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