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基本初等函数指数函数对数函数幂函数复习学案

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实数指数幂及其运算
知识梳理 1. (1)a m ? a n ?
(3)
* (m , n? N )

(2) a ) ? (
m n

(m, n ? N * ) (m, n ? N * )

am ? an
0

(m ? n, a ? 0,m, n ? N * )(4) a ? b)m ? (

2. 规定: a ? 3.根式性质: (1) ( n a ) ?
n

(a ? 0)
(n ? 1, n ? N ? )

a?n ?
n

(a ? 0)
? an ? ? ? 当n为正奇数时 当n为正偶数时

(2)

4.分数指数幂 (1)正分数指数幂:

a ?

1 n

(a ? 0)

a ?
? m n

m n

(a ? 0, n, m ? N ? , 且
?

m 为既约分数) n )

(2)负分数指数幂: a

(a ? 0 ,n ,m N 且 ? ? ,
? ?

5、有理指数幂运算法则: a ? 0, b ? 0 , (1) a ? a ? (2) ( a ) ? 例 4. (有理指数幂)计算下列各式:
? ?

m 为既约分数 n

(3)

(a ? b)? ?

3 0 1 ?1 ?2 0.5 (1) (2 ) ? 2 ? (2 ) 2 ? (0.01) 5 4 1 4 1 ? ? 7 0 3 ?0.75 (2) (0.064) 3 ? (? ) ? [(?2) ] 3 ? 16 ? | ?0.01| 2 8 2 1 ? 3 ? ?1 0 (3) (?3 ) 3 ? (0.002) 2 ? 10( 5 ? 2) ? ( 2 ? 3) 8
变式:计算下列各式: (1) ( 25 ? 125) ? 5 ;
3 4

(2) 4a b

2 3

?

1 3

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) 3

例 5. 已知 2 ? 2
x

?x

? a(常数) ,求 8x ? 8? x 的值
y ?y

变式: 设 x ? 0 , y ? 0 x ? x 1.设 b ? 0,化简式子 a 3b ?3 A.a
3

? 2 2 ,求 x y ? x ? y 的值
1 5 6

?

B. ?ab?

? ? ?a
1 2

?2

b2

? ? ?ab ?
1 3

的结果是( C. ab
?1

) D. a
?1

?1

2.化简[ ( ? 5) ] 4 的结果为 (
3 2

) C.- 5 D.-5

A.5 3.式子 a ?

B. 5

1 经过计算可得到( a
B.

)

A.

C.

D.

? 4.设 ? , ? 是方程2x2 +3x+1=0的两根,则( )? ?的值为 ,(

1 4



A.8
? 1 3

B.

1 8

C.-8
3

D.-

1 8

1 -2 -1 0 7.计算 0.027 -(- ) +256 4 -3 +( 2 -1) =__________. 7
8.化简

a a

2 3 1 23

b b
?

?

a ?1 b ?1 ? 3 ?( ) =__________. b a
2

9.已知 x ? x a 的范围

1 2

1 2

? 3, 求

x ?x ?2 的值. x ?1 ? x ? 3
_____

3 2

?

3 2

________

图象

当 x>0 时,________ 当 x<0 时,_____ 当 x=0 时,_____ 性质 在 R 上为单调_______

当 x>0 时,_____ 当 x<0 时,________ 当 x=0 时,_____

在 R 上为单调_______

a>0 且 a≠1,无论 a 取何值,恒过点____ 1.函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( A、 a ? 1 2. f(x)= a 是( A、奇函数
x
?x



B、 a ? 2 ) B、偶函数 )

C、a< 2

D、1< a ?

2
D、既奇且偶函数

C、非奇非偶函数

3.函数 y=

2 ?1 是( 2x ?1

A、奇函数

B、偶函数 C、既奇又偶函数
x

D、非奇非偶函数

4、下列函数图象中,函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) ,与函数 y ? (1 ? a) x 的图象只能是 ( )
y 1 O x 1 O x y y 1 O x y 1 O x

A

B

C

D

5、函数 f ( x ) ? 2 A、

x

?x x ? 0?
x

? 1 ,使 f ( x) ? 0 成立的 x 的值的集合是(
B、



?x x ? 1?

C、

?x x ? 0?

D、

?x x ? 1?


6、函数 f ( x ) ? 2 ,g ( x) ? x ? 2 , 使 f ( x) ? g( x) 成立的 x 的值的集合( A、 是 ?
x

B、 有且只有一个元素 D、 有无数个元素 ( ) B、 0 ? a ? 1且 b ? 1 D、 a ? 1 且 b ? 0

C、 有两个元素

7、 若函数 y ? a ? (b ? 1) a ? 0 且 a ? 1 ) ( 的图象不经过第二象限, 则有 A、 a ? 1 且 b ? 1 C、 0 ? a ? 1且 b ? 0 8、F(x)=(1+
x

2 ) ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( ) 2 ?1
B、可能是奇函数,也可能是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数

A、是奇函数 C、是偶函数 二、填空题 9、 函数 y ?

32 ? 2 x 的定义域是_________。
x

10、 指数函数 f ( x) ? a 的图象经过点 (2 ,
x

1 ) ,则底数 a 的值是_________。 16

11、 将函数 f ( x ) ? 2 的图象向_________平移________个单位,就可以得到函数

g ( x ) ? 2 x ?2 的图象。
12、 函数 f ( x ) ? ( ) 三、解答题

1 2

x ?1

,使 f ( x ) 是增函数的 x 的区间是_________

2 x ? 2? x 14、已知函数 y ? 2

求函数的定义域、值域

王新敞
奎屯

新疆

ax ?1 (a ? 0且a ? 1) 15、已知函数 f ( x ) ? x a ?1 (1)求 f ( x ) 的定义域和值域; (2)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x ) 的单调性。
21、已知函数 y ? 4 ? ?2
x x ?1

? 3 的定义域为[-1,2],求值域.

一. 预习填空: 1. 对 数













如果a ? 0且

a,1 ?

M ? 0 那么 ? ,N

0

,

① ____________ ? log a M ? log a N ② log a ③ ____________ ? n log a M .
注意公式的逆用,及左右两边运算结构的差异. 2. 换底公式:

M ? __________________ N

log a N ? _________(其中a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, N ? 0) log a log a bglog b a ? ______ .log a b ?
( 1 )求 log 8 4的 值.
( 2 )已 知log a 2 ? m , log a 3 ? n 求a 2 m ? n的 值 例 8.计算下列各式的值:

1 ? ______, a

, log a b log b c log c a ? ______, log an b m ? _____ .

?1? 1 lg 32 ? 4 lg
2 49 3

8 ? lg 245;

?2? lg 52 ? 2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2)2 ;
?3? lg 2 ? lg 3 ? lg 10 . lg 1.8
例 9.计算下列各题: 1 log 5; 2 2

3

(1)2

( 2).2 2? log2 5

( 3)(lg 5) 2 ? 2 lg 2 ? (lg 2) 2
(4).(log 2 3 ? log 4 9 ? log 8 27 ? ? ? log 2n 3 n ) ? log 9 n 32
例 13 已知 a

1 1 ? lg(1 ? ), b ? lg(1 ? ),用a、b表示 lg 2, lg 7. 7 49

例 15( )已知 log 1

9

18

? a,18b ? 5, 求 log 36 45 , log 5472 的值。
x ? 2 3

(2)已知log7 [log3 (log2 )] ? 0,求x .

10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (log 2 x) ? x ?

a ,a 为常数. x

(1)求函数 f(x) 的表达式; (2)当 f(x)时偶函数时,讨论 f(x)的单调性.

一般地,我们把函数 定义域是 总结: y .

叫做对数函数。其中 x 是自变量,它的

? log 1 x 与 y ? log a x
a

图象之间的关系是

a>1 图 像 定义域: 值域: 图像过定点: x? 时,y<0; x? 时,y>0 在 (0,??) 上是单调

0<a<1

性 质

函数

x? 时,y>0; x? 时,y<0 在 (0,??) 上是单调

函数

例 2.求下列函数的定义域: (1) y ? log 0.2 (4 ? x); (4) y ? log 6 (2) y ? log 5 x
2

(3) y ?
2

lg(2 x ? 3)

1 : 1 ? 3x

(5) y ? log ( x ?1) (5 ? x )

(6) y ? log ( x ?1) (16 ? 4 )
x

(7) y ? log 2 | x ? 8 |

(8) y ? log ( 3 x ?1) ( x ? 2 x ? 3) .
2

x2 ? 4 (9) y ? lg( x 2 ? 2 x ? 3)

1 ?1) 在 (0, ??) 上是( ) 2 x A.增函数且 y ? 0 ; B.增函数且 y ? 0 ; C. 减函数且 y ? 0 ; D. 减函数且 y ? 0 4. log m 5 ? log n 5 ? 0 ,则( ) A. m ? n ? 1; B. n ? m ? 1; C. 0 ? n ? m ? 1 D. 0 ? m ? n ? 1 2 5. f ( x) ? lg( ) 。 ? 1) 的图象关于( 1? x A. x 轴对称; B. y 轴对称; C. (0, 0) 轴对称; D. y ? x 轴对称
3. 函数 f ( x) ? log 1 ( 6. 方程 log 2 ( x ? 4) ? 3 的实根的个数是
x

。 。 .

7. g ( x ) ? ?

? e , x?0 1 ,则 g ( g ( )) = e ?ln x, x ? 0
x

1 , a= 则 2 x l 9. 函数 f ( x) 是偶函数, f ( x ? 2) ? f ( x) , 且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 ? 1 , f (g 1)2 求 o 0
8. 设 a ? 1 , 函数 f ( x) ? log a x 在区间 ? a, 2a ? 上的最大值与最小值只差为

10. f ( x) ? log a x , (0 ? a ? 1), 比较 f ( ), f (2), f ( )

1 2

1 4

22、已知函数 y ? (log 2 ) ? 3 ? log 2 ? 3 x ? [1, 2] 的值域
x 2 x2

2.已知 a>0 且 a≠1,函数 y=logax,y=a 在同一坐标系中的图象可能是 ( )

x

3. 已 知 不 等 式 log x (2 x 2 ? 1) ? log x (3x) ? 0 成 立 , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ( A. (0, ) )

1 3

B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 3

D. ( , )

1 1 3 2

4. 若函 数 y ? log a ( x ? b) (a>0,且 a≠ 1) 的图 象过 两点 ( -1, 0 )和 ( 0, 1) ,则 ( A.a=2,b=2 B.a= 2 ,b=2
x

)

C.a=2,b=1

D.a= 2 ,b= 2

5.(2011 届·龙岩质检)已知函数 f ( x ) ? ? A.-1 B.

?log 2 x, x ? 0; ?2 , x ? 0.
C.-1 或

若 f (a) ?

1 ,则 a 的值为( 2
D.-1 或 2



2

1 2

6.(2011·海淀)函数 f(x)=log2xA. ? 0, ?

1 的零点所在区间为 x

( )

? ?

1? 2?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?
.

C.(1,2) D.(2,3) 7.方程 lg x+lg(x+3)=1 的解是 x= 8. ?

?1? ? ?2?

log

8 2

的值为

.

? 1 x ?( ) , x ? 0; 9. 函数 f ( x) ? ? 2 ?log 2 ( x ? 2), x ? 0. ? 若 f( x0 )≥2,则 x0 的取值范围是 1? x 6.已知函数 f(x)=-x+ log 2 . 1? x 1 1 (1) f ( ) ? f (? ) 的值; 2007 2007

.

(2)试判断函数 f(x)在(-1,1)上的单调性并加以证明; (3)当 x∈(-a,a](其中 a∈(-1,1),且 a 为常数)时,f(x)是否存在最小值,若存在,求 出最小值;若不存在,请说明理由.

幂函数及其性质专题
一、幂函数的定义 二、函数的图像和性质 (1) y ? x (2) y ? x 2
1

(3) y ? x 2

(4) y ? x ?1

(5) y ? x3

用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像, 通过观察图像, 可以看出:

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调 增减性 定点(公共点) 3.幂函数性质

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图 象都过点(1,1) ; (2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在 [0,+∞]上,是增函数 (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上 是减函数.
例 1.已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x
2

?

?

?5 m ?3

,当 m 为何值

时, f ? x ? : (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反 比例函数; (5)是二次函数;

例 2.比较大小:
1 1

(1)1.5 2 ,1.7 2

3 3 (2)(?1.2) ,(?1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 , log 3 0.5
3 0.5

?1

?1

?2

例 3.已知幂函数 y ? x 求 m 的值.

m2 ? 2 m ?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,

【同步练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是( A. y ? ) C. y ? 2 x )
3

x

B. y ? x

3

D. y ? x

?1

2. 下列函数在 ? ??, 0 ? 上为减函数的是( A. y ? x 3
1

B. y ? x

2

C. y ? x

D. y ? x )

?2

3. 下列幂函数中定义域为 x x ? 0 的是( A. y ? x 3
2

?

?

B. y ? x 2
- 1 2

3

C. y ? x

?

2 3

D. y ? x

?

3 2

4.函数 y=(x2-2x)

的定义域是(



A.{x|x≠0 或 x≠2}B. (-∞,0) ? (2,+∞) C. (-∞,0) ? [2,+∞] D. ] (0, 2) 5.函数 y=(1-x ) 的值域是( A. [0,+∞]
2
2
1 2

) C. (0,1) ) C. [0,+∞] ) D.1≥a≥0 。 D. (-∞,+∞) D. [0,1]

B. (0,1)

6.函数 y= x 5 的单调递减区间为( A. (-∞,1) 7.若 a <a A.a≥1
1 2 - 1 2

B. (-∞,0) ,则 a 的取值范围是( B.a>0

C.1>a>0

2 3 8.函数 y= (15+2 x-x ) 的定义域是

9.函数 y=

1 x
2-m-m 2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是________.

2

10、讨论函数 y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图. 11、比较下列各组中两个数的大小:
3 3

(1) 1.5 5 , 1.7 5 ; (2)0.71.5,0.61.5; (3) (- .2) 1



2 3

, (- .25) 1



2 3




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