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高考数学总复习经典测试题解析版9.7 双曲线


9.6 双曲线
一、选择题 1.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正 三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率为( A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 )

x2 y2 a b

解析 (数形结合法)因为 MF1

的中点 P 在双曲线上, |PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a,[来 源:Z_xx_k.Com] 所以 e= = 答案 D 【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于a、c的等式,从而迅速获解.
x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上, a2 b2

c a

2 = 3+1,故选 D. 3-1

2.

已知双曲线 C :

则 C 的方程为( A.
x2 y2 =1 20 5

) B.
x2 y 2 =1 5 20

C.

x2 y 2 =1 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

答案 A

x2 y2 3.设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( a 9
A.4 B.3 C.2 D.1

).

x2 y2 解析 双曲线 2- =1 的渐近线方程为 3x±ay=0 与已知方程比较系数得 a=2. a 9
答案 C [来源:Z_xx_k.Com] 4.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,

B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为(
A. 2 B. 3 C.2

). D.3

解析 设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入 2- 2=1 可得 y = 2, 所以|AB|=2× =2×2a, ∴b =2a , c =a +b =3a , ∴e= = 3. 答案 B 5.设 F1、F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 3 2 时, PF1 · PF2 的值为( A.2 C.4 ) B.3 D.6
2

x2 y2 a b

x2 y2 a b c a

b4 a

b2 a

2

2

2

2

2

2

x2

解析 设点 P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2 3+1=4, 1 x2 0 2 2 S△PF1F2= |F1F2|×|y0|=2|y0|=2,|y0|=1, -y2 0=1,x0=3(y0+1)=6, 2 3

PF1 · PF2 =(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=x0+y0-4=3.
答案 B

2

2

x2 y2 6. 已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的 a b
距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则 双曲线的焦距为( A.2 3 ). B.2 5 C.4 3 D.4 5

解析

? 2 ? p 由题意得?- =-2, 2 ?-1= - ?
p a+ =4,
B[来源:Z§xx§k.Com]

b a

?p=4, ? ?a=2, ?b=1

?

c= a2+b2= 5.∴双曲线的焦距 2c=2 5.
答案

7.如图,已知点 P 为双曲线

- =1 右支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、 16 9 右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+λ S△IF1F2 成立,则 λ 的值 为( )

x2

y2

5 4 A. B. 8 5 4 3 C. D. 3 4 解析 根据 S△IPF1=S△IPF2+λ S△IF1F2,即|PF1|=|PF2|+λ |F1F2|, a 4 即 2a=λ 2c,即 λ = = . c 5 答案 B 二、填空题 8.双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的距离是________. 3 6 解析 由题意得:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x. 3 6 ∴焦点(3,0)到直线 y=± 2x 的距离为 答案 6 3 2 = 6. 2+1

x2 y2

x2 y2

9.已知双曲线 2- 2=1 左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线 与双曲线一个交点为 P,且∠PF1F2= π , 则双曲线的渐近线方程为________. 6

x2 y2 a b

b2 2b2 b2 b2 b 解析 根据已知|PF1|= 且|PF2|= ,故 - =2a,所以 2=2, = 2. a a a a a a 答案 y=± 2x
10.已知双曲线
x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 2 a b

2b2

相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为____________.

c=3,所以 b=2,即 a 2 ? 5 ,所以该 双曲线的方程为 答案
x2 y 2 ? ?1 5 4

x2 y 2 ? ?1. 5 4

11.如图,已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A、B 为 左、右焦点,且双曲线过 C、

D 两顶点.若 AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.

x2 y2 解析 设双曲 线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0). 由题意得 B(2,0), C(2,3), a b

?4=a +b , ∴? 4 9 ?a -b =1,
2 2

2

2

?a =1, 解得? 2 ?b =3,
2 2

∴双曲线的标准方程为 x - =1. 3 答案 x2- =1 3 12.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的 离心率为________.

y2

y2

x2 y2 a b

4 解析 根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2-

a

9

b2

=1,考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲

线自身的一个等式 a2+b2=c2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出 a=1,

b= 3,c=2,所以,离心率 e=2.
答案 2 三、解答题 13.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点 ,过 F 的直线 l 与 E 相交 于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程.

x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
由题意知 c=3,a2+b2=9, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:

x2 y2 1 1 ? 2- 2=1, ?a b

?x y ? ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

[

两式作差得:

y1-y2 b2 x1+x2 -12b2 4b2 = 2 = = , x1-x2 a y1+y2 -15a2 5a2
-15-0 =1, -12-3

又 AB 的斜率是

所以将 4b2=5a 2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5. 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 14.求适合下列条件的双曲线方程. ?9 ? (1)焦点在 y 轴上,且过点(3,-4 2)、? ,5?. ?4 ? (2)已知双曲线的渐近线方程为 2x±3y=0,且双曲线经过点 P( 6,2). 解析 (1)设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则因为点(3,-4 2),

x2 y2

y2 x2 a b

?9 ? ? ,5?在双曲线上, ?4 ? 32 9 ? ? a -b =1, 所以点的坐标满足方程,由此得? 25 81 ? ? a -16b =1.
2 2 2 2

? 1 1 令 m= 2,n= 2,则方程组化为? 81 a b 25m- n=1. 16 ?
32m-9n=1, ∴a =16,b =9.所求双曲线方程为
2 2

1 ? m = , ? 16 解方程组得? 1 n= . ? ? 9

y2
16

- =1. 9

x2

2 x2 y2 (2)由双曲线的渐近线方程 y=± x,可设双曲线方程为 - =λ (λ ≠0). 3 9 4 6 4 1 ∵双曲线过点 P( 6,2),∴ - =λ ,λ =- , 9 4 3 3 1 故所求双曲线方程为 y2- x2=1. 4 3

x2 y2 15.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴 a b
长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上 3

→,求 t 的值及点 D 的坐标. 存 在点 D,使→ OM+→ ON=tOD 解析 (1)由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= 即 bx-2 3y=0,∴
2

b
2 3

x,

|bc| = 3, b2+12

∴b =3,∴双曲线的方程为

x2
12

- =1. 3

y2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0,

则 x1+x2=16 3,y1+y2=12,

x 4 3 ? ?y = 3 , ∴? x y ? ?12- 3 =1,
0 0 2 0 2 0

?x0=4 3, ∴? ?y0=3,

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). 16.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 (4,- 10). (1)求双曲线方程; → ·MF → =0; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF 1 2 (3)求△F1MF2 的面积. 解析 (1) ∵e= 2,∴设双曲线方程为 x2-y2=λ . 又∵双曲线过(4,- 10)点,∴λ =16-10=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 ∴kMF1= 法一 由(1)知 a=b= 6,c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ,kMF2=

m
3+2 3

m
3-2 3



∴kMF1·kMF2=

m2
9-12



m2
-3

,又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3,

→ ·MF → =0. ∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,MF 1 2 → =(-3-2 3,-m),MF → =(2 3-3,-m), 法二 ∵MF 1 2 → ·MF → =(3+2 3)(3-2 3)+m2=-3+m2. ∴MF 1 2
2 2 → → ∵M 在双曲线上,∴9-m =6,∴m =3,∴MF1·MF2=0.

(3) ∵△F1MF2 中|F1F2|=4 3,且|m|= 3, 1 1 ∴S△F1MF2= ·|F1F2|·|m|= ×4 3× 3=6. 2 2


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