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2016-2017学年高一上学期入学考试数学试题










注意事项:本试卷满分 120 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列计算正确的是( A.-|-3|=-3 C.3-1=-3 D. =±3 ) D. 5 ) B.3

0=0

2.下列无理数中,在-1 与 2 之间的是( A. - 3 B. - 5 C. 3

3. 已知点 P(a-1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内,则 a 的取值范围在数轴上可表示为(阴影部分)(
A. B.

)

-3 -2 -1

0

1

2

-3 -2 -1

0

1

2

C.

-3 -2 -1

0

1

2

D.

-3 -2 -1

0

1

2

4.我们学习解二元一次方程组时, 通过代入消元法或者加减消元法变 二元方程为一元方程,这种解题方法主要体现的数学思想是( A.分类讨论 C.函数与方程 B.化归与转化 D.数形结合
1 b 1 a



5.对于非零的两个实数 a、b,规定 a ? b ? ? ,若 2 ? (2 x ? 1) ? 1 ,则

x 的值为(
A.
5 6

) B.
5 4

C.

3 2

D. ?

1 6

1

6.某种商品每件的标价是 330 元,按标价的八折销售时,仍可获利 10%,则这种商品每件的进价为( )

A.240 元

B.250 元

C.280 元

D.300 元
C

7 、 设计一个商标图案如图中阴影部分,矩形

ABCD 中,AB=2BC,且 AB=8cm,以点 A 为 圆心, AD 为半径作圆与 BA 的延长线相交于点 F,则商标图案的面积等于 ( ) 2 A、(4π+8)cm B、(4π+16)cm2 C、(3π+8)cm2 D、(3π+16)cm2

F

A (第 7 题图)

B

8.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,M 为边 AD 的中点,延长 MD 至点 E,使 ME=MC,以 DE 为边作正方形 DEFG,点 G 在边 CD 上,则 DG 的长为( A. 3 ? 1 C. 5 ? 1 ) B. 3 ? 5 D. 5 ? 1

第 8 题图 9.如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的圆分别交边 AC、AB 于 D、E 两 点,连接 BD、DE.若 BD 平分∠ABC,则下列结论不 一定成立的是( ) A.BD⊥AC B.AC2=2AB?AE D. BC=2AD.

C.△ADE 是等腰三角形

10.如图,已知抛物线 y1 ? ? x 2 ? 4 x 和直线 y2 ? 2 x .我们约定:当 x 任取 一值时,x 对应的函数值分别为 y1、y2,若 y1≠y2,取 y1、y2 中的较小 值记为 M;若 y1=y2,记 M= y1=y2.
2

下列判断: ①当 x>2 时,M=y2; ②当 x<0 时,x 值越大,M 值越大; ③使得 M 大于 4 的 x 值不存在; ④若 M=2,则 x= 1 .其中正确的有 ( )

A.1 个

B.2 个

C. 3 个

D .4 个

第 10 题图

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.分解因式:2a2-8 = .

12.点 A、B、C 在同一条数轴上,其中点 A、B 表示的数分别为﹣3、1, 若 BC=2,则 AC 等于 .

13.从 1、2、3、4 中任取一个数作为十位上的数字,再从 2、3、4 中 任取一个数作为个位上的数字, 那么组成的两位数是 3 的倍数的概率 是 14. .
汶川地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①的单顶帐篷需要 17 根钢管,这样的帐篷按 根钢管。

图②、图③的方式串起来搭建,则串 7 顶这样的帐篷需要

图①

图②

图③

15.如图(a) ,有一张矩形纸片 ABCD,其中 AD=6cm,以 AD 为直径的 半圆,正好与对边 BC 相切,将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠,使点 A 落在

3

BC 上,如图(b).则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为 _____________.

第 15 题图 16.如图,在⊿ABC 中,AB=AC,D 是 AB 上一点,点 E 在 AC 的延长线上,且 BD=CE,连结 DE 交 BC 于 F,过点 D 作 DG ⊥ AE, 垂足为 G, 连结 FG . 若 FG= 2 , ∠ E=30 ° , 则 GE= .

第 16 题图 三.解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(本题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分) (1)计算: 3 ? (? ) ?1 ? 2 tan 30 0 ? (3 ? ? ) 0 (2)先化简,再求值: 1=0 的根. 18.(本题 6 分)已知,关于 x 的方程 x 2 ? 2m x ? ?m 2 ? 2 x 的两个实数根
x1 、 x 2 满足 x1 ? x2 ,求实数 m 的值.
2 19. (本题 8 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , 其中 a ? 0 (1) 若方程 f ( x) ? 2 x ? 0

1 2

m?3 5 ? (m ? 2 ? ) 2 3m ? 6m m?2

,其中 m 是方程 x2+3x-

有两个实根 x1 ? 1, x2 ? 3 ,且方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x) 的解析式; (2) 若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 A(-3,0) B(m,0)两点, 且当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立.求实
4

数 m 的取值范围.

20. (本题 10 分) 为推广阳光体育“大课间”活动,我市某中学决 定在学生中开设 A:实心球.B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种 活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学 生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的 信息解答下列问题: (1)在这项调查中,共调查了多少名学生? (2)请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比, 并将两个统计图补充完整; (3)若调查到喜欢“跳绳”的 5 名学生中有 3 名男生,2 名女生.现 从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生. 请用画树状图或列表的方法, 求 出刚好抽到同性别学生的 概率.

21.(本题 12 分)某超市计 划购进一批甲、乙两种玩 具,已知 5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 231 元, 2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元. (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?

5

(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过 20 件,超出部分可以享受 7 折优惠,若购进 x(x>0)件甲种玩具需要 花费 y 元,请你求出 y 与 x 的函数关系式; (3)在(2)的条件下,超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种, 且数量超过 20 件,请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱. 22.(本题 12 分)(1)问题发现 如图 1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点 A、D、E 在同一直线上,连接 BE 填空:①∠AEB 的度数为 ; .

②线段 AD、BE 之间的数量关系是 (2)拓展探究 如图 2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠

ACB=∠DCE=900, 点 A、D、E 在同一直线上,CM 为
△DCE 中 DE 边上的高,连接 BE。请判断∠AEB 的度 数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系,并说明理由。 (3)解决问题 如图 3, 在正方形 ABCD 中, CD= 2 。 若点 P 满足 PD=1, 且∠BPD=900,请直接写出点 A 到 BP 的距离。

图3 23.(本题 14 分)如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴 交于 A(-1,0),B(5,0)两点,直线 y=- x+3 与 y
3 4

y P

C

6

A

E O F D

B X

轴交于点 C, ,与 x 轴交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点, 过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F,交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m。 (1)求抛物线的解析式; (2)若 PE =5EF,求 m 的值; (3)若点 E/是点 E 关于直线 PC 的对称点、是否存在点 P,使点 E/落 在 y 轴上?若存在,请直接写出相应的点 P 的坐标;若不存在,请说 明理由。

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1——5 ACCBA 6——10 ABDDB

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
7

11. 2(a+2)(a-2) 14. 83 三、解答题(共 72 分)

12.2 或 6 15. (3π 9 3 )cm2 4

13.

1 3

16. 6

17.(本题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分) (1)原式= 3 +(-2)=
2 3 +1 ........................(4 分) 3

3 -1 ..................................(5 分) 3

(2)∵m 是方程 x2+3x-1=0 的根, ∴m2+3m-1=0,即 m2+3m=1.................(1 分) ∴所求式=
m?3 ( m ? 2)( m ? 2) ? 5 ? 3m( m ? 2) m?2 m?2 = m?3 ? ...............(3 分) 3m( m ? 2) ( m ? 3)( m ? 3) 1 = 3m( m ? 3) = 21 ........................(4 分) 3( m ? 3m )

= 1 .............................(5 分)
3

18.(本题 6 分) 解:原方程可变形为:x2-2(m+1)x+m2=0 ...................(1 分) ∵x1、x2 是方程的两个根, ∴⊿≥0 ∴8m+4≥0 即 4(m+1)2-4m2≥0 m≥1 2

................................(3 分)

又 x1、x2 满足 x1 ? x2 , ∴x1=x2 或 x1=-x2 即⊿=0 或 x1+x2=0 .......................(4 分)

8

由⊿=0 即 8m+4=0 ,得 m=- . 由 x1+x2=0 即 2(m+1)=0,得 m=-1(不合题意,舍去) 所以,当 x1 ? x2 时,m 的值为- . .......................(6 分) 19.(本题 8 分)
解: (1)据题意,设 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3),

1 2

1 2

f ( x) ? a( x ? 1)(x ? 3) ? 2x ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a. ① 由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0. ② 2 因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 , 1 2 1 a ? ?(舍去) 即 5a ? 4a ? 1 ? 0 . 解得 a ?或 5 2 将 a ? 1. 代入①得 f ( x) 的解析式 f ( x) ? x ? 6 x ? 3
(2) 据题意知, x1 ? ?3, x2 ? m 是方程 f ( x) ? 0 的两个根.由韦达定理

x1 ? x2 ? m ? 3, x1 ? x2 ? ?3m 故方程 f ( x) ? 0 可化为 x2 ? (3 ? m) x ? 3m ? 0 要使得当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立.当且仅当

? f (?1) ? 0 ?2m ? ?2 ?m ? ?1 ?? ?? ? f (0) ? 0 ? 3 m ? 0 ? ? m?0 ?

故实数 m 的取值范围为 ?m | m ? 0?

20. (本题 10 分) 解: (1)根据题意得: 15÷10%=150(名) 答:在这项调查中,共调查了 150 名学生................(2 分) (2) 本项调查中喜欢 “立定跳远” 的学生人数是; 150﹣15﹣60﹣30=45 (人) ,............................................(3 分)

9

所占百分比是: 画图如下:

?100%=30%,......................(4 分)

.........(6 分)

(3)用 A 表示男生,B 表示女生,画图如下:

共有 20 种等可能情况,同性别学生的情况是 8 种, 则刚好抽到同性别学生的概率是

8 2 .......... ? 20 5

....(10 分)

21.(本题 12 分)解: (1)设每件甲种玩具的进价是 x 元,每件乙种玩 具的进价是 y 元,..............................(1 分) 由题意得 ,........... ........................(3 分) 解得 ,....................................(4 分)

答:件甲种玩具的进价是 30 元,每件乙种玩具的进价是 27 元; ...........................................(5 分) (2)当 0<x≤20 时,
10

y=30x;........................................(7 分) 当 x>20 时, y=20?30+(x﹣20)?30?0.7=21x+180;..........(9 分)

(3)设购进玩具 x 件(x>20) ,则乙种玩具消费 27x 元; 当 27x=21x+180, 则 x=30 所以当购进玩具正好 30 件,选择购其中一种即可;....(10 分) 当 27x>21x+180, 则 x>30 所以当购进玩具超过 30 件,选择购甲种玩具省钱;....(11 分) 当 27x<21x+180, 则 x<30 所以当购进玩具少于 30 件,选择购乙种玩具省钱......(12 分)

22.(本题 12 分) (1)① 60 ...........................................(2 分) ② AD=BE.........................................(4 分) (2)∠AEB=900;AE=2CM+BE. ?????????????(6 分) 理由:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE= 900, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
11

∴△ACD≌△BCE. ??????????????????(8 分) ∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350. ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=1350-450=900.?????????(9 分) 在等腰直角三角形 DCE 中,CM 为斜边 DE 上的高, ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM. ∴

AE=DE+AD=2CM+BE???????????????????(10 分)
(3)
3 ?1 3 ?1 或 ???????????????????(12 分) 2 2

23.(本题 14 分) 解:(1)∵抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A (-1,0) , B(5,0)两点, ∴?
2 ?0= ? (?1 ) ? b+c

? 0= ? 5 ? 5b+c
2

∴?

? b=4 ? c=5

∴抛物线的解析式为 y=-x2+4x+5.?????????(3 分) (2)点 P 横坐标为 m, 则 P(m,-m2+4m+5),E(m,- m+3),F(m,0), ∵点 P 在 x 轴上方,要使 PE=5EF,点 P 应在 y 轴右侧,∴ 0<m< 5.
3 4

PE=-m2+ 4m+5-(- m+3)= -m2+
分两种情况讨论: ①当点 E 在点 F 上方时,EF=- m+3. ∵PE=5EF,∴-m2+
3 4

3 4

19 m+2????(6 分) 4

19 3 m+2=5(- m+3)[ 4 4 13 2 即 2m -17m+26=0,解得 m1=2,m2= (舍去)????(8 分) 2
12

②当点 E 在点 F 下方时,EF= m-3. ∵PE=5EF,∴-m2+
19 3 m+2=5( m-3), 4 4

3 4

即 m2-m-17=0,解得 m3= ∴m 的值为 2 或

1 ? 69 1 ? 69 ,m4= (舍去) ,???(10 分) 2 2

1 ? 69 ???????????????(11 分) 2
1 2 11 ),P2(4 , 5), 4

(3) 点 P 的坐标为 P1( - ,

P3(3 - 11 , 2 11 -

3).????????????????????????(14 分)

13


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