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排列组合典型题大全含答案


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排列组合典型题大全
一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重
复,把不能重复的元素看作“客” ,能重复的元素看作“店” , 则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策 略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例 1】 (1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每

人限报一科,有多少种不同

的报名方法? (2)有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】(1) 3 (2) 4 : 【例 2】
4

3

(3) 4

3

把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法?

【解析】 :完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案, 第二步: 将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案, 依次类推, 由分步计数原理知共有 7 种不同方案. 【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军, 获得冠军的可能性有 ) 8 ( A、
3
6

3 B、

8

C、A8

3

D、

C8

3

【解析】 :冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把 8 名学生看作 8 家“店” 项冠 ,3 军看作 3 个“客” ,他们都可能住进任意一家“店” ,每个“客”有 8 种可能,因此共有 8 种 不同的结果。所以选 A 1、4 封信投到 3 个信箱当中,有多少种投法? 2、4 个人争夺 3 项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问 最后有多少种情况? 3、4 个同学参加 3 项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果? (2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果? 4、5 名学生报名参加 4 项比赛,每人限报 1 项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这 4 项
3

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比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少? 5、甲乙丙分 10 瓶汽水的方法有多少种? 6、 (全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的 报名方法共 (A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种

7、5 位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人 可以兼职,则不同的负责方法有多少种? 8、4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级,不同的分法有多少种? 思考:4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?

二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与
排列.
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【例 1】 A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的 排法种数有 【解析】 :把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24 种
4

例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行 排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
甲 乙 丙 丁
5 2 2 A5 A2 A2 ? 480 种不同的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

【例 2】 (2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 )

【解析】 间接法 6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有, :
2 2 2 2 C3 A 2 A 4 A 2 =432 种
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其中男生甲站两端的有 A 2C3 A 2 A 3 A 2 =144 ,符合条件的排法故共有 288

1

2

2

2

2

例 2、6 名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排 法有( C )种。

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A)720

B)360 C)240 D)120

三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排
列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例 1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】 :除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排法 种数是 A5 A6 ? 3600 种
5 2
5 2

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有 同的插法(具体数字作答) 【解析】 :

种不

A1 A1 A1 = 5 0 4 或分类 7 8 9

【例 3】 高三(一)班学要安=排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的 演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 【解析】 :不同排法的种数为 A5 A6 =3600 【例 4】 某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工 程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法种数是 【解析】 :依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中,可 得有 A5 =20 种不同排法。 【例 5】某市春节晚会原定 10 个节目,导演最后决定添加 3 个与“抗冰救灾”有关的节目, 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的 10 个节目的相对顺序不变, 则该晚会的节目单的编排总数为 种. 【解析】 A9 A10 A11 =990 : 【例 6】.马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 【解析】 :把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方 法,所以满足条件的关灯方案有 10 种. 说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒 模型可使问题容易解决.
3
2

5

2

1

1

1

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【例 7】 3 个人坐在一排 8 个椅子上, 若每个人左右两边都有空位, 则坐法的种数有多少种? 【解析】 解法 1、先将 3 个人(各带一把椅子)进行全排列有 A 3 ,○*○*○*○,在四个空 : 3 中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有 A 4 种,所以每个人左右两边都空位的排法有
1

A 1 A 3 =24 种. 4 3
解法 2:先拿出 5 个椅子排成一排,在 5 个椅子中间出现 4 个空,*○*○*○*○*再让 3 个人 每人带一把椅子去插空,于是有 A 4 =24 种. 【例 8】 停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不 同的停车方法有多少种? 【解析】 :先排好 8 辆车有 A 8 种方法,要求空车位置连在一起,则在每 2 辆之间及其两端的 9 个空档中任选一个,将空车位置插入有 C 9 种方法,所以共有 C 9 A 8 种方法. 注:题中*表示元素,○表示空.
例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 含首尾两个空位共有种
1 1 8 8

3

A 5 种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包 5


4 4 A 6 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5 A 6 5

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

四.元素分析法(位置分析法) 某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元 :
素;再排其它的元素。 【例 1】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 )
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D. 48 种
2 3

【解析】 方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。 A 3 A3 ? 36 : 方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C 2 C 2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则有
1 1 3

选法 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.
2 2

【例 2】 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多 少种? 【解析】 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法; : 所以共有 A3 A4 ? 72 种。.
1 4
1
4

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【例 3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种? 【解析】 法一: A 5 A6 ? 3600
1 6

法二: A6 A5 ? 3600
2 5

法三: A7 ? A6 ? A6 ? 3600
7 6 6
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五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

【例 1】 (1) 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种



(2)把 15 人分成前后三排,每排 5 人,不同的排法种数为 (A) A15 A10
5 5

(B) A15 A10 A5 A3 (C) A15

5

5

5

3

15

(D) A15 A10 A5 ? A3
5 5 5

3

(3)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元 素排在后排,有多少种不同排法? 【解析】 : (1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共
6 A6 ? 720 种,选 C .
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(2)答案:C (3)看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半
1 5 段 的 四 个 位 置 中 选 一 个 有 A4 种 , 其 余 5 个 元 素 任 排 5 个 位 置 上 有 A5 种 , 故 共 有 2

1 2 5 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.

例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 上的特殊元素丙有

A 2 种,再排后 4 个位置 4

A 1 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 2 A1 A 5 种 4 5 4 4 5

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 !
C D E F G H B A A B C D E F G H A

A 4 并从此位置把圆形展成 4

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有

1 m An n

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练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈

120

五.定序问题缩倍法(等几率法) 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序, :
可用缩小倍数的方法. 【例 1】. A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相邻)那 么不同的排法种数是( )
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【解析】 : B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素全排列 数的一半,即

1 5 A5 ? 60 种 2

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有多少种不同 的插法?
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【解析】 :法一: A9

3

法二:

1 9 A9 6 A6

【例 3】将 A、B、C、D、E、F 这 6 个字母排成一排,若 A、B、C 必须按 A 在前,B 居中,C 在后的原则(A、B、C 允许不相邻) ,有多少种不同的排法? 【解析】 :法一: A6 法二:
3

1 6 A6 3 A3

例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排 列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 法,则共有
4 A 7 种方法。

A7/ A3 7 3
1 种坐

4 A 7 种方法, 其余的三个位置甲乙丙共有

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理

方法

练习题:10 人身高各不相等 ,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
5 C10

六.标号排位问题(不配对问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 【例 1】 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )

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A、6 种

B、9 种

C、11 种

D、23 种

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【解析】 :先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . 【例 2】 编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 答案:B 【例 3】 :同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则 4 张贺年卡不同的分配方式共有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)11 种 (D)23 种 【解析】 :设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为 a、b、c、d。 第一步,甲取其中一张,有 3 种等同的方式; 第二步,假设甲取 b,则乙的取法可分两类: (1)乙取 a,则接下来丙、丁取法都是唯一的, (2)乙取 c 或 d(2 种方式) ,不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理,一共有 3 ( ? )? 种分配方式。 故选(B) ?1 2 9 【例 4】 :五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式 共有( ) (A)60 种 (B)44 种 (C)36 种 (D)24 种 答案:B 4*2+4*3*3
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六.不同元素的分配问题(先分堆再分配) :注意平均分堆的算法
【例 1】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) 分成 1 本、2 本、3 本三组; (2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人 1 本,一个人 2 本,一个人 3 本; (3) 分成每组都是 2 本的三个组; (4) 分给甲、乙、丙三人,每个人 2 本; (5) 分给 5 人每人至少 1 本。 【解析】 : (1) C 6 C 5 C 3
2 1 C5 C1 C1 C1 C1 C1 5 5 4 3 2 A5 A4 4
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1

2

3

(2) C 6 C 5 C 3 A3

1

2

3

3

(3)

2 2 C 62 C 4 C 2 2 2 2 (4) C 6 C 4 C 2 3 A3

(5)

【例 2】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) .
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2 1 1 C4 ? C2 ? C1 【解析】 :第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有 ; 2 A2

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第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,其分法有 A3 所以满足条件得分配的方案有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

3

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 【例3】 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有 (A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
3 1 1 C5 C2C1 3 ? A3 =60 种, 2 A2

【解析】 :人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式,若是 1,2,2,则有 若是 1,1,3, 则有

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1 2 2 C5C4 C2 3 ? A3 =90 种,所以共有 150 种,选 A 2 A2

【例 4】 将 9 个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为 ( ) A.70 B.140 C.280 D.840 答案 : A ) ( 【例 5】 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同 的分配方案有( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 【解析】 :将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5
1 2 C5 ? C4 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 个班, 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有 2 A2
3 共有 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B.

【例 6】 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超 过 2 个,则该外商不同的投资方案有( )种 A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种
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2 2 3 3 【解析】 :按条件项目可分配为 2,1, 0, 0 与 1,1,1,0 的结构,∴ C4 C32 A2 ? C4 A3 ? 36 ? 24 ? 60



选 D; 【例 7】 (1)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( A、480 种 答案: B . (2)12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方 案有多少种? 答案:
4 4 C12C84C4 3 A3 A3 3



B、240 种

C、120 种

D、96 种

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【例 8】

有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担 ) C、2520 种 D、5040 种

这三项任务,不同的选法种数是( A、1260 种 B、2025 种

【解析】 :先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第 三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10C8C7 ? 2520 种,选 C .
2 1 1

【例 9】 .某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
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【解析】 :因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种; ②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 A8 方法,所以共 有 3A8 ; ③若乙参加而甲不参加同理也有 3A8 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方 法,然后再安排其余 8 人到另
2 2 两 个 城 市 有 A8 种 , 共 有 7 A8 方 法 . 所 以 共 有 不 同 的 派 遣 方 法 总 数 为 3 3 3 4

3 3 A84 ? 3 A8 ? 3 A8 ? 7 A82 ? 4088 种

或者:8*8*A82+1*9*A 82 【例 10】 四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 【解析】 :先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四个盒中每 次排 3 个有 A4 种,故共有 C4 A4 ? 144 种.
3 2

2

3

1、有 6 本不同的书 (1)平均分成三份有多少种不同的分法? (2)平均分配给三个人有多少种不同的分法? (3)分成三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本,有多少种不同的分法? (4)分配给三个人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本,有多少种不同的分法? (5)分成三份,两分各 1 本,一份 4 本,有多少种不同的分法? (6)分配给三个人,两个人各 1 本,另外一个人 4 本,有多少种不同的分法? 2、30 名同学分成 3 个小组,每组 10 人,共有多少种不同的分组方法?

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3、有 15 本不同的小说、送给 5 名学生,每人 3 本,共有多少种不同的分送方法? 4、 (三校联考)4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级,每班至少一个人的不同的分法有 ( ) B.72 种 C.36 种 D.24 种

A.144 种

5、 (重庆理)将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方 案有 6、 (宁夏 理)某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少 安排一个班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答)

7、 全国 II)5 名志愿者分到 3 所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方 ( 法共有( A.150 种 ) B.180 种 C.200 种 D.280 种

8、 (西宁模拟 理)3 名乒乓国手参加“希望工程”献爱心活动,他们准备赞助 7 名失学儿童, 其中把他们分成 1 人,3 人,3 人三组后,再分给 3 名国手,则这样的方案有____种。 9、 (包头模拟 理)将 4 名曾参加过奥运会的运动员分配到三个城市进行奥运知识宣传,每个 城市至少分配一名运动员,则不同的分配方法有() A.36 B.48 C.72 D.24 种.

10、陕西 理) ( 安排 3 名支教老师去 6 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答)

11、 (贵阳模拟 理)3 本不同的书分给 6 个人,每个人至多 2 本,则不同的分配方案有 _种。 (用数字做答)

七.相同元素的分配问题隔板法:
【例 1】 :把 20 个相同的球全放入编号分别为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒子中的球数 不少于其编号数,则有多少种不同的放法? 【解析】 :向 1,2,3 号三个盒子中分别放入 0,1,2 个球后还余下 17 个球,然后再把这 17 个球分成 3 份,每份至少一球,运用隔板法,共有 C16 ? 120 种。
2
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【例 2】 案?

10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方

【解析】 :10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆 至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,

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故共有不同的分配方案为 C9 ? 84 种.
6

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【例 3】 :将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中的 3 个 中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
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【解析】 1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有 C4 种方法。 : 2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以 在 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球所产生的 3 个、4 个 5 个空挡中分别插 入两个板。各有 C3 、 C4 、 C5 种方法。 3、由分步计数原理可得 C4 C3 C4 C5 =720 种
例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置 插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C9 种分法。
6

3

2

2

2

3

2

2

2

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个 空隙中,所有分法数为 C n ?1 练习题: 2 .x?
m ?1

1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法?

C94
3 C103

y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

八.多面手问题( 分类法---选定标准)
【例 1】 有 11 名外语翻译人员,其中 5 名是英语译员,4 名是日语译员,另外两名是英、 : 日语均精通,从中找出 8 人,使他们可以组成翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日 语,这两个小组能同时工作,问这样的 8 人名单可以开出几张?
4 3 1 4 1 3 4 2 3 1 1 3 C54 C 4 ? C5 C 2 C 4 ? C54 C 2 C 4 ? C52 C 4 ? C54 C 4 ? C5 C 2 C1 C 4

十.排数问题(注意数字“0” )

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【例 1】 (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位 数字的共有( ) B、300 种 C、464 种 D、600 种
5

A、210 种

【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3,?,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计顺序)

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有多少种?

3 【 解 析 】 : 将 I ? ?1 , 2 ,?

, 1 0分 成 四 个 不 相 交 的 子 集 , 能 被 4 整 除 的 数 集 ? 0

A ? ?4,8,12,?100? ;能被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9,? 97? ,能被 4 除余 2 的
数集 C ? ?2, 6,? ,98? ,能被 4 除余 3 的数集 D ? ?3, 7,11,? 99? ,易见这四个集 合中每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也符合 要求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求 的取法共有 C25 ? C25C25 ? C25 种.
2 1 1 2

例 2.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 C3
1 1

然后排首位共有 C 4

最后排其它位置共有

3 A4

C4
3

1

A4

3

C3

1

由分步计数原理得 C4C3 A4

1

1

? 288

十一.染色问题:涂色问题的常用方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论; (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。 【例 1】 将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂
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A、B、C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 ? 60 种方法。
1 2

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色中 任选两种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中任选 一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有
1 2 1 1 C5 A4 C2C2 ? 240 种方法。
2

(3)若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法
5

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综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420. [规律小结] 涂色问题的常用方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;(2)根据相对 区域是否同色分类讨论;(3)将空间问题平面化,转 化成平面区域涂色问题。 1、用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部 分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?

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① ②





2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻 两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?

3、把一个圆分成 3 块扇形,现在用 5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互 不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成 4 块扇形呢?

4、 (全国Ⅰ)将 1,2,3 填入 3 ? 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种 填法,则不同的填写方法共有( A.6 种 B.12 种 C.24 种 ) D.48 种

5、 (全国 I)如图,一环形花坛分成 A B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在 , 每块里种 1 种花, 且相邻的 2 块种不同的花, 则不同的种法总数为 ( A.96 B.84 C.60 D.48 )

6、 (全国)如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用 同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种?

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十三. 几何中的排列组合问题: x y 2 2 【例 1】 已知直线 ? ? 1 ( a,b 是非零常数)与圆 x ? y ? 100 有公共点,且公共点的 a b
横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 【解析】 圆上的整点有: ( ? 6, ? 8) ,( ? 8, ? 6),( ? 10,0),(0 ? 10) :
2 C12 =66

条 12 个
1

其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 C12 =12 不满则条件 66-4+12-14=60



其中平行于坐标轴的有 14 条 答案:60


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