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8 函数与方程练习题

时间:2013-07-12


§2.8 函数与方程
一、选择题 1.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )

解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a, ]上连续不断, b 并且有 f(a)·f(b)<0.A、 B 选项中不存在 f(x)<0,D 选项中零点两侧函数值同号,故选 C. 答案 C 2.已知函数 f(x)=a -x-a(a>0,a≠1),那么函数 f(x)的零点个数是( A.0 个 C.2 个 答案 D 解析 在同一坐标系中作出函数 y=a 与 y=x+a 的图象,a>1 时,如图(1),0<a<1 时,如 图(2),故选 D.
x x

)

B.1 个 D.至少 1 个

[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法. 3.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是( A.1 B.2
2 2 2

). D.4
2

C.3
2

解析 (数形结合法)∵a>0, a +1>1.而 y=|x -2x|的图象如图, y=|x -2x|的图象 ∴ ∴

与 y=a +1 的图象总有两个交点.∴方程有两解.

2

答案 B 【点评】 本题采用数形结合法解题,画出对应函数的图象,观察函数的交点情况确定解的 个数. 4.若函数 f(x)=x +mx+1 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 ( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
2 2

)

B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
2

解析:由题意知,一元二次方程 x +mx+1=0 有两不等实根,可得 Δ >0,即 m -4>0,解 得 m>2 或 m<-2. 答案:C 5. 函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x ? 3 的零点所在的区间为( A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) ) D.(2,3)

答案 B 1 2 6. 方程 x + 2x-1=0 的解可视为函数 y=x+ 2的图象与函数 y= 的图象交点的横坐标,

x

4? ? 4 若 x +ax-4=0 的各个实根 x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点?xi, ?(i=1,2,…,k)均在

?

xi?

直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是( A.R C.(-6,6)

). B.? D.(-∞,-6)∪(6,+∞)

4 3 3 解析 (转化法)方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x +a= ,原方程的实根是曲线 y=x

x

4 3 3 +a 与曲线 y= 的交点的横坐标;而曲线 y=x +a 是由曲线 y=x 向上或向下平移|a|个单

x

位而得到的. 4? ? 若交点?xi, ?(i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧, x

?

i

?

4 因直线 y=x 与 y= 交点为:(-2,-2),(2,2);

x

?a>0, ? 3 所以结合图象可得:?x +a>-2, ?x≥-2, ?
? a∈(-∞,-6)∪(6,+∞);选 D. 答案 D

?a<0, ? 3 或?x +a<2, ?x≤2, ?

【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程. 7.已知函数 f(x)=xe -ax-1,则关于 f(x)零点叙述正确的是( A.当 a=0 时,函数 f(x)有两个零点 B.函数 f(x)必有一个零点是正数 C.当 a<0 时,函数 f(x)有两个零点 D.当 a>0 时,函数 f(x)只有一个零点 1 x 解析 f(x)=0?e =a+
x

).

x x

1 x 在同一坐标系中作出 y=e 与 y= 的图象,

可观察出 A、C、D 选项错误,选项 B 正确. 答案 B 二、填空题
?2 -1, ? 8.已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x -2x
x

x>0? x≤0.

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的

取值范围是________. 解析:画出图象,令 g(x)=f(x)-m=0,即 f(x)与 y=m 的图象的交点 有 3 个,∴0<m<1. 答案:(0,1)

?x 2 , 0 ? x ? 9, ? 9. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( x ) 的零点是_____. 2 ? x ? x, ? 2 ? x ? 0. ?
1

答案 -1 和 0 10.函数 f ( x) ? cos x ? lg x 零点的个数为 .

答案 4 11.已知函数 f(x)=e -2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 解析 由原函数有零点,可将问题转化为方程 e -2x+a=0 有解问题,即方程 a=2x-e
x x x x x

有解. 令函数 g(x)=2x-e ,则 g′(x)=2-e ,令 g′(x)=0, x=ln 2, 得 所以 g(x)在(- ∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是减函数,所以 g(x)的最大值为:g(ln 2)=2ln 2-2.因此,a 的取值范围就是函数 g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln 2-2]. 答案 (-∞,2ln 2-2] 12.用二分法求方程 x =2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时,如果我们选取初始区间是 [1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________. 1.5-1.4 解析 设至少需要计算 n 次,由题意知 <0.001, n 2 即 2 >100,由 2 =64,2 =128 知 n=7. 答案 7 三、解答题 13.二次函数 f(x)=x -16x+q+3.若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范 围; 解析:∵函数 f(x)=x -16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有
? ?f? ? ? ?f?
2 2 2

n

6

7

1? ≤0? -1? ≥0

? ?1-16+q+3≤0? ,即? ? ?1+16+q+3≥0



∴-20≤q≤12. ∴实数 q 的取值范围为[-20,12] 1 1 x 14.若 a>1,设函数 f(x)=a +x-4 的零点为 m,g(x)=logax+x-4 的零点为 n,求 + 的

m n

取值范围. 1 1 [分析] 欲求 + 的取值范围,很容易联想到基本不等式,于是需探讨 m、n 之间的关系,

m n

观察 f(x)与 g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化为 指数函数 y=a 和对数函数 y=logax 与直线 y=-x+4 的交点的横坐标,因为指数函数
x

y=ax 和对数函数 y=logax 互为反函数,故其图象关于直线 y=x 对称,又因直线 y=-x+4
垂直于直线 y=x,指数函数 y=a 和对数函数 y=logax 与直线 y=-x+4 的交点的横坐标 之和是直线 y=x 与 y=-x+4 的交点的横坐标的 2 倍, 这样即可建立起 m, 的数量关系式, n 进而利用基本不等式求解即可. 解析 令 a +x-4=0 得 a =-x+4,
x x x

令 logax+x-4=0 得 logax=-x+4, 在同一坐标系中画出函数 y=a ,y=logax,y=-x+4 的图象,结合图形可知,n+m 为直 线 y=x 与 y=-x+4 的交点的横坐标的 2 倍, ? 由
?y=x ? ? ?y=-x+4
x

, 解得 x=2, 所以 n+m=4,

m n 1 1 ?1 1? ?1 1? 因为(n+m)? + ?=1+1+ + ≥4,又 n≠m,故(n+m)? + ?>4,则 + >1. n m n m

?

?

n m
x

?

?

n m

15.已知函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. 思路分析 由题意可知,方程 4 +m·2 +1=0 仅有一个实根,再利用换元法求解. 解析 ∵f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点, 即方程(2 ) +m·2 +1=0 仅有一个实根. 设 2 =t(t>0),则 t +mt+1=0. 当 Δ =0 时,即 m -4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去),
2

x

x

x

x

x

x 2

x

x

2

∴2 =1,x=0 符合题意. 当 Δ >0 时,即 m>2 或 m<-2 时,

x

t2+mt+1=0 有两正或两负根,
即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的,函数问题可以转化为方程问题来解决,方 程问题也可以转化为函数问题来解决,本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题. 16. (1)m 为何值时,f(x)=x +2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)①f(x)=x +2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实根 ?Δ =0,即 4m -4(3m+4)=0,即 m -3m-4=0,∴m=4 或 m=-1. ②法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.
2 2 2 2 2

?Δ =4m -4? 3m+4? >0 ? 由题意,在?? x1+1? ? x2+1? >0 ?? x1+1? +? x2+1? >0 ? ?m -3m-4>0 ? ?3m+4-2m+1>0 ?-2m+2>0 ?
2

2

?

?m>4或m<-1, ? ??m>-5, ?m<1, ?

∴-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1).

?Δ >0, ? 法二 由题意,知?-m>-1, ?f? -1? >0, ?

?m -3m-4>0, ? 即?m<1, ?1-2m+3m+4>0. ?

2

∴-5<m<-1.∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0,得|4x-x |+a=0, 即|4x-x |=-a. 令 g(x)=|4x-x |,h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象. 由图象可知,当 0<-a<4,即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点.故 a 的取值范围为(-4,0).
2 2 2


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