nbhkdz.com冰点文库

2016新课标三维人教A版数学选修4-3 4.2 用数学归纳法证明不等式

时间:




用数学归纳法证明不等式

对应学生用书 P42 1.利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中,方法多种多样,其中数学归纳法是常用的方法之一.在运用数学 归纳法证明不等式时, 由 n=k 成立, 推导 n=k+1 成立时, 常常要与其他方法, 如比较法、 分析法、综合法、放缩法等结合进行. 2.归纳—猜想—证明的思想方法 数学归纳法

作为一种重要的证明方法, 常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想 方法中.一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论;更重要的是,要用不完全 归纳法去发现某些结论、 规律并用数学归纳法证明其正确性, 形成“观察—归纳—猜想—证 明”的思想方法.

对应学生用书 P42

利用数学归纳法证明不等式

[例 1] 证明:2n+2>n2,n∈N+. [思路点拨] 验证n=1,2,3 假设n=k成立, n=k+1成 ― → ― → 时,不等式成立 推证n=k+1 立,结论得证 [证明] (1)当 n=1 时,左边=21+2=4;右边=1,

左边>右边; 当 n=2 时,左=22+2=6,右=22=4,所以左边>右边; 当 n=3 时,左=23+2=10,右=32=9,所以左边>右边. 因此当 n=1,2,3 时,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥3 且 k∈N+)时,不等式成立. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

当 n=k+1 时, 2k 1+2


=2· 2k+2 =2(2k+2)-2>2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因 k≥3,则 k-3≥0, k+1>0)≥k2+2k+1=(k+1)2. 所以 2k 1+2>(k+1)2.故当 n=k+1 时,原不等式也成立.


根据(1)(2),原不等式对于任何 n∈N 都成立.

数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时,由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式 中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 n=k 时 的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等 式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配 凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.

1 1 1 5 1.用数学归纳法证明: + +?+ > (n≥2,n∈N+). 3n 6 n+1 n+2 1 1 1 1 5 证明:(1)当 n=2 时,左边= + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立.即 1 1 1 5 + +?+ > .当 n=k+1 时, 3k 6 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 5 + + ? + + + + > + 3k 6 ?k+1?+1 ?k+1?+2 3k+1 3k+2 3?k+1?

? 1 + 1 + 1 - 1 ?>5+?3× 1 - 1 ?=5. ?3k+1 3k+2 3k+3 k+1? 6 ? 3k+3 k+1? 6
∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,原不等式对一切 n≥2,n∈N+均成立. 2.用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2<2- (n≥2,n∈N+). 2 3 n n

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1 5 1 3 证明:(1)当 n=2 时,1+ 2= <2- = ,不等式成立. 2 4 2 2 1 1 1 1 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,即 1+ 2+ 2+?+ 2<2- , 2 3 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,1+ 2+ 2+?+ 2+ <2- + <2- + =2- + - 2 3 k ?k+1?2 k ?k+1?2 k k?k+1? k k 1 1 =2- ,不等式成立. k+1 k+1 由(1)(2)知原不等式在 n≥2,n∈N+时均成立. n?n-1? 2 3.设 Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+ x ,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较 Pn 与 Qn 2 的大小,并加以证明. 解:(1)当 n=1,2 时,Pn=Qn. (2)当 n≥3 时,(以下再对 x 进行分类). ①若 x∈(0,+∞),显然有 Pn>Qn. ②若 x=0,则 Pn=Qn. ③若 x∈(-1,0), 则 P3-Q3=x3<0,所以 P3<Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以 P4<Q4. 假设 Pk<Qk(k≥3), 则 Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk k?k-1?x2 k?k-1?x3 =1+kx+ +x+kx2+ 2 2 k?k+1? 2 k?k-1? 3 =1+(k+1)x+ x+ x 2 2 k?k-1? 3 =Qk+1+ x <Qk+1, 2 即当 n=k+1 时,不等式成立. 所以当 n≥3,且 x∈(-1,0)时,Pn<Qn.

归纳—猜想—证明

[例 2] 设 f(n)>0(n∈N+),对任意自然数 n1 和 n2 总有 f(n1+n2)=f(n1)f(n2),又 f(2)=4. (1)求 f(1),f(3)的值. (2)猜想 f(n)的表达式,并证明你的猜想. [思路点拨] 利用 f(n1+n2)=f(n1)f(n2)可求出 f(1),f(3)再猜想 f(n),利用数学归纳法给出 证明. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[解] (1)由于对任意自然数 n1 和 n2, 总有 f(n1+n2)=f(n1)· f(n2). 取 n1=n2=1,得 f(2)=f(1)· f(1),即 f2(1)=4. ∵f(n)>0(n∈N+), ∴f(1)=2. 取 n1=1,n2=2,得 f(3)=23. (2)由 f(1)=21,f(2)=4=22,f(3)=23, 猜想 f(n)=2n. 证明:①当 n=1 时 f(1)=2 成立; ②假设 n=k 时,f(k)=2k 成立. f(k+1)=f(k)· f(1)=2k· 2=2k 1,


这就是说当 n=k+1 时,猜想也成立. 由①②知猜想正确,即 f(n)=2n.

利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是: 观察——归纳——猜想——证明. 即先通 过观察部分项的特点.进行归纳,判断并猜想出一般结论,然后用数学归纳法进行证明.

4.在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N+). (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4 的值,由此猜测{an},{bn}的通项公式; (2)证明你的结论. 解:(1)由条件得 2bn=an+an+1,a2 n+1=bnbn+1. 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2. (2)用数学归纳法证明:①当 n=1 时,由上知结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立. 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当 n=k+1 时,ak+1=2bk-ak= 2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2). a2 k+1 bk+1= =(k+2)2. bk 所以当 n=k+1 时, 结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数都成立. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

5.是否存在常数 a,b,c 使等式 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=an(bn2+ c)对于一切 n∈N+都成立,若存在,求出 a,b,c 并证明;若不存在,试说明理由. 解:假设存在 a,b,c 使 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=an(bn2+c),对于 一切 n∈N+都成立. 当 n=1 时,a(b+c)=1; 当 n=2 时,2a(4b+c)=6; 当 n=3 时,3a(9b+c)=19. a?b+c?=1, ? ? 解方程组?a?4b+c?=3, ? ?3a?9b+c?=19, 证明如下: ①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立. ②假设 n=k(k∈N+)时等式成立, 即 12+22+32+?+k2+(k-1)2+?+22+12 1 = k(2k2+1); 3 当 n=k+1 时, 12+22+32+?+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+?+22+12 1 = k(2k2+1)+(k+1)2+k2 3 1 = k(2k2+3k+1)+(k+1)2 3 1 = k(2k+1)(k+1)+(k+1)2 3 1 = (k+1)(2k2+4k+3) 3 1 = (k+1)[2(k+1)2+1]. 3 即 n=k+1 时,等式成立. 1 因此存在 a= ,b=2,c=1 使等式对一切 n∈N+都成立. 3

? ?a=3, 解得? b=2, ? ?c=1.

1

对应学生用书 P44 1 1 - - 1.用数学归纳法证明“对于任意 x>0 和正整数 n,都有 xn+xn 2+xn 4+?+ n-4+ n-2 x x 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1 + n≥n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值 n0 应为( x A.n0=1 C.n0=1,2 B.n0=2

)

D.以上答案均不正确

1 解析:需验证:n0=1 时,x+ ≥1+1 成立. x 答案:A 2.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的 起始值 n0 应取( A.2 C.5 ) B.3 D.6

解析:n 取 1,2,3,4 时不等式不成立,起始值为 5. 答案:C 1 1 1 3.用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N+,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式 2 3 2 -1 成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( A.2k C.2k
-1

) B.2k-1 D.2k+1


解析:由 n=k 到 n=k+1,应增加的项数为(2k 1-1)-(2k-1)=2k 项. 答案:C 1 1 1 m 4.若不等式 + +?+ > 对大于 1 的一切自然数 n 都成立,则自然数 m 的 2n 24 n+1 n+2 最大值为( A.12 C.14 ) B.13 D.不存在

1 1 1 解析:令 f(n)= + +?+ ,取 n=2,3,4,5 等值,发现 f(n)是单调递增的,所 2n n+1 n+2 以[f(n)]min> m m ,所以由 f(2)> ,求得 m 的最大值为 13. 24 24

答案:B n+2 1 1 1 5.证明 <1+ + +?+ <n+1(n>1),当 n=2 时.要证明的式子为________. 2 2 3 2n 解析:当 n=2 时,要证明的式子为 1 1 1 2<1+ + + <3. 2 3 4 1 1 1 答案:2<1+ + + <3 2 3 4

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1 ? 2n+1 1 1 1+ ??1+ ???1+ 6.用数学归纳法证明“? ? 3?? 5? ? 2n-1?> 2 ”时,n 的最小取值 n0 为 ________. 解析:左边为(n-1)项的乘积,故 n0=2. 答案:2 7.设 a,b 均为正实数(n∈N+),已知 M=(a+b)n,N=an+nan 1b,则 M,N 的大小关


系为________ 解析:当 n=1 时,M=a+b=N. 当 n=2 时,M=(a+b)2,N=a2+2ab<M. 当 n=3 时,M=(a+b)3,N=a3+3a2b<M. 归纳得 M≥N. 答案:M≥N 8.用数学归纳法证明,对任意 n∈N+,有 1 1 1? 2 (1+2+?+n)? ?1+2+3+?+n?≥n . 证明:(1)当 n=1 时,左边=右边,不等式成立. 1? 9 2 当 n=2 时,左边=(1+2)? ?1+2?=2>2 ,不等式成立. 1 1? 2 (2)假设当 n=k(k≥2)时不等式成立,即(1+2+?+k)? ?1+2+?+k?≥k . 则当 n=k+1 时,有 1? ? 1 左边=[(1+2+…+k)+(k+1)]? ??1+2+?+k? 1 ? + k+1?

1 1 1 ?1+1+?+1? + 1≥k2 1+ +?+ ?+ (1+ 2+? + k) = (1+ 2+?+ k)? + ( k + 1) × 2 k k? ? ? ? 2 k+1 1 1? k + +1+(k+1)? ?1+2+?+k?. 2 1 1 1 3 ∵当 k≥2 时,1+ +?+ ≥1+ = ,(*) 2 k 2 2 k 3 3 ∴左边≥k2+ +1+(k+1)× =k2+2k+1+ ≥(k+1)2. 2 2 2 这就是说当 n=k+1 时,不等成立,由(1)、(2)可知当 n≥1 时,不等式成立. 9.设数列{an}满足 an+1=a2 n-nan+1,n=1,2,3?. (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+2. 解:(1)由 a1=2,得 a2=a2 1-a1+1=3, 由 a2=3,得 a3=a2 2-2a2+1=4,

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由 a3=4,得 a4=a2 3-3a3+1=5. 由此猜想 an 的一个通项公式: an=n+1(n≥1). (2)证明:用数学归纳法证明. ①当 n=1,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立, 即 ak≥k+2,那么,当 n=k+1 时. ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时, ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有 n≥1,有 an≥n+2. a· 2x+a-2 10.设 a∈R,f(x)= 是奇函数, 2x+1 (1)求 a 的值;(2)如果 g(n)= n (n∈N+),试比较 f(n)与 g(n)的大小(n∈N+). n+1

解:(1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0.故 a=1. 2n-1 2n-2n-1 n (2)f(n)-g(n)= n - = n . 2 +1 n+1 ?2 +1??n+1? 只要比较 2n 与 2n+1 的大小. 当 n=1,2 时,f(n)<g(n); 当 n≥3 时,2n>2n+1,f(n)>g(n). 下面证明,n≥3 时,2n>2n+1,即 f(x)>g(x). ①n=3 时,23>2×3+1,显然成立, ②假设 n=k(k≥3,k∈N+)时,2k>2k+1, 那么 n=k+1 时,2k 1=2×2k>2(2k+1).


2(2k+1)-[2(k+1)+1]=4k+2-2k-3=2k-1>0(∵k≥3), 有 2k 1>2(k+1)+1.


∴n=k+1 时,不等式也成立,由①②可以判定,n≥3,n∈N+时,2n>2n+1. 所以 n=1,2 时,f(n)<g(n);当 n≥3,n∈N+时,f(n)>g(n).

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn


2016新课标三维人教B版数学选修4-5 3.1 数学归纳法原理

2016新课标三维人教B版数学选修4-5 3.1 数学归纳法...则当 n=k+1 时应得到( --+ ) A.1+2+22+...C 1 1 1 127 4.用数学归纳法证明不等式 1+ +...

2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳法

2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳法_高二数学_数学_高中教育_...(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立. 用数学归纳法证明不等式 [典例] 已知 n...

2016新课标创新人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳法

2016新课标创新人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳...用数学归纳法证明不等式应注意两点 (1)证明不等式...2-a3 2-a 4-3a 2- 3-2a ?n-1?-?n-2?a...

...轮总复习(人教新课标文科)配套学案39 数学归纳法

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案39 数学归纳法_...2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 探究点二 用数学归纳法证明不等式 1? 用...