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课时作业1

时间:2017-05-02




用数学归纳法证明不等式

一、基础达标 1.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n>n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始 值 n0 应取( )

A.2B.3C.5D.6 答案 C 解析 当 n=1 时,21=12+1; 当 n=2 时,22<22+1;当 n=3 时,23<32+1; 当 n=4 时,24<42+1.而当 n=5 时,25>52+1, ∴n0=5. 1 1 1 2. 用数学归纳法证明: 1+ + +?+ n <n(n∈N+, n>1), 第二步证明从“k 到 k+1”, 2 3 2 -1 左端增加的项数是(


)

A.2k 1B.2kC.2k-1D.2k+1 答案 B 1 1 1 解析 当 n=k 时,左端=1+ + +?+ k , 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 那么当 n=k+1 时,左端=1+ + +?+ k + k+?+ k+1 , 2 3 2 -1 2 2 -1 1 1 1 1 1 1 =1+ + +?+ k + k+ k +?+ k 2 3 2 2 -1 2 +1 2 +2k-1 1 1 1 ∴左端增加的项为 k+ k +?+ k ,所以项数为:2k. 2 2 +1 2 +2k-1 1 1 1 127 3.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> 成立时,起始值 n0 至少应取( 2 4 64 2 A.7B.8C.9D.10 答案 B 1 1 1 1 1 127 解析 1+ + + + +?+ = ,n-1=6,n=7,故 n0=8. 2 4 8 16 64 64 1 4 27 a 4.已知 x∈R+,不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+ n≥n+1,则 a x x x x 的值为( )

)

A.2nB.n2C.22(n 答案 D

-1)

D.nn

1 4 27 解析 已知 a>0,不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4, x x x a 可推广为 x+ n≥n+1,则 a 的值为 nn,故选 D. x 5.用数学归纳法证明:2n 1≥n2+n+2(n∈N+)时,第一步应验证________.


答案 n=1 时,22≥12+12+2,即 4=4 1 1 1 6.设 n∈N+,n>1,求证:1+ + +?+ > n. 2 3 n 1 证明 (1)当 n=2 时,不等式左边=1+ > 2=右边. 2 (2)假设 n=k(k>1,k∈N+)时,不等式成立, 1 1 1 即 1+ + +?+ > k,那么当 n=k+1 时,有 2 3 k 1 1 1 1 1 1+ + +?+ + > k+ 2 3 k k+1 k+1 = k?k+1?+1 k+1 > k2+1 k+1 = = k+1. k+1 k+1

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知对任何 n∈N+,n>1, 1 1 1 1+ + +?+ > n均成立. 2 3 n 1 7.设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a, an 1 求证:对一切 n∈N+,有 1<an< . 1-a 证明 用数学归纳法. 1 (1)当 n=1 时,a1>1,又 a1=1+a< ,显然命题成立. 1-a (2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立, 1 即 1<ak< . 1-a 当 n=k+1 时,由递推公式,知 1 ak+1= +a>(1-a)+a=1, ak 1-a2 1 1 同时,ak+1= +a<1+a= < , ak 1-a 1-a 1 当 n=k+1 时,命题也成立,即 1<ak+1< . 1-a 1 综合(1)、(2)可知,对一切正整数 n,有 1<an< . 1-a 二、能力提升

1 1 1 1 8.用数学归纳法证明:1+ 2+ 2+?+ n <2- n (n≥2)(n∈N+)时第一步需要证明 2 3 ?2 -1?2 2 -1 ( ) 1 A.1<2- 2-1 1 1 B.1+ 2<2- 2 2 2 -1 1 1 1 C.1+ 2+ 2<2- 2 2 3 2 -1 1 1 1 1 D.1+ 2+ 2+ 2<2- 2 3 4 22-1 答案 C 1 1 1 1 解析 用数学归纳法证明 1+ 2+ 2+?+ n (n≥2), 2<2- n 2 3 ?2 -1? 2 -1 1 1 1 第一步应验证不等式为:1+ 2+ 2<2- 2 ; 2 3 2 -1 9.对于正整数 n,下列说法不正确的是( A.3n≥1+2nB.0.9n≥1-0.1n C.0.9n<1-0.1nD.0.1n≥1-0.9n 答案 C 解析 由贝努利不等式 ∵(1+x)n≥1+nx,(n∈N+,x≥-1), ∴当 x=2 时,(1+2)n≥1+2n,故 A 正确. 当 x=-0.1 时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B 正确,C 不正确. n+2 1 1 1 1 10.证明 <1+ + + +?+ n<n+1(n>1),当 n=2 时,中间式子为________. 2 2 3 4 2 1 1 1 答案 1+ + + 2 3 4 1 1 1 1 1 1 解析 当 n=2 时,中间的式子 1+ + + 2=1+ + + . 2 3 2 2 3 4 11.用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数, 1 ? 1 1 2n+1 1+ ??1+ ???1+ 不等式? ? 3?? 5? ? 2n-1?> 2 均成立. 1 4 5 证明 (1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立; (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N+)时不等式成立, 1 ? 1 1 2k+1 1+ ??1+ ???1+ 即? ? 3?? 5? ? 2k-1?> 2 . 则当 n=k+1 时, )

1 ? ?1+1??1+1???1+ 1 ??1+ ? 3?? 5? ? 2k-1?? 2?k+1?-1? > > 2k+1 2k+2 2k+2 4k2+8k+4 · = = 2 2k+1 2 2k+1 2 2k+1 4k2+8k+3 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 = = . 2 2 2k+1 2 2k+1

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 12.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N+,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b> 0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2) 当 b = 2 时 , 记 bn = 2(log2an + 1)(n∈N + ) , 证 明 : 对 任 意 的 n∈N + , 不 等 式 b1+1 b2+1 bn+1 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn (1)解 由题意,Sn=bn+r, 当 n≥2 时,Sn-1=bn 1+r,


所以 an=Sn-Sn-1=bn 1(b-1),


由于 b>0 且 b≠1, 所以 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列, 又 a1=b+r,a2=b(b-1), b?b-1? a2 =b,即 =b,解得 r=-1. a1 b+r (2)证明 当 b=2 时,由(1)知 an=2n 1,


因此 bn=2n(n∈N+), 2+1 4+1 2n+1 所证不等式为 · · ?· > n+1. 2 4 2n 3 ①当 n=1 时,左式= ,右式= 2, 2 左式>右式,所以结论成立. 2+1 4+1 2k+1 ②假设 n=k 时结论成立,即 · · ?· > k+1, 2 4 2k 则当 n=k+1 时, 2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k+3 2k+3 · · ?· · > k+1· = ,要证当 n=k+1 时结论成立,只需 2 4 2k 2?k+1? 2?k+1? 2 k+1 证 2k+3 ≥ k+2,即证 ≥ ?k+1??k+2?, 2 2 k+1 2k+3

由基本不等式可得:

2k+3 ?k+1?+?k+2? = ≥ ?k+1??k+2?成立, 2 2 2k+3 故 ≥ k+2成立,所以,当 n=k+1 时,结论成立. 2 k+1 由①②可知,n∈N+时, b1+1 b2+1 bn+1 不等式 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn 三、探究与创新 an 1 1 13.在数列{an}中,a1=2,an+1= + (n≥1).证明: 2<an< 2+ . 2 an n 证明 首先,证明 an> 2成立. (1)当 n=1 时,a1=2> 2成立. (2)假设 n=k (k≥1)时,ak> 2成立, 当 n=k+1 时,由题意知 ak 1 ak 1 ak+1= + ≥2 · = 2, 2 ak 2 ak ak 1 即 ak+1≥ 2,当且仅当 = 即 ak= 2时,等号成立. 2 ak 这与 ak> 2矛盾,所以只有 ak+1> 2. 由(1),(2)知,不等式 an> 2(n∈N+)成立. 1 其次,证明不等式 an< 2+ (n∈N+)成立. n 1 (3)当 n=1 时,a1=2< 2+ =1+ 2,即不等式成立. 1 1 (4)假设 n=k(k≥1)时,不等式 ak< 2+ 成立. k ak 1 由题知,当 n=k+1 时,ak+1= + , 2 ak 1 ak 2 1 由 ak< 2+ ,得 < + ① k 2 2 2k 1 2 由 ak> 2,得 < ② ak 2 ak 1 2 1 2 1 由①,②得 + < + + = 2+ , 2 ak 2 2k 2 2k 1 1 1 即 ak+1< 2+ = 2+ < 2+ , 2k k+k k+1 1 即 ak+1< 2+ 成立. k+1 1 由(3),(4)得不等式 an< 2+ (n∈N+)成立. n 1 综上所述, 2<an< 2+ (n∈N+)成立. n


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